25.4 相似三角形的判定课件 2025-2026学年 冀教版九年级数学上册

该初中数学课件围绕“相似三角形的判定”展开，从全等三角形的判定出发，通过类比、猜想、验证与证明的逻辑链条，逐步构建起两角相等、两边成比例夹角相等及三边成比例三种判定方法的知识体系，形成清晰的学习支架，帮助学生由浅入深理解几何推理的本质。 其亮点在于紧扣新课标核心素养，突出几何直观、推理能力和创新意识的培养。例如，在探究“两个角对应相等是否能判定相似”时，设计画图、作全等、证平行的步骤，引导学生经历从直观感知到严谨证明的过程，体现数学思维的严密性。又如在三边成比例的判定中，借助构造辅助线和比例关系推导，强化学生的模型意识与符号表达能力。这种以问题驱动、层层递进的教学设计，既提升学生的问题解决能力，也便于教师精准把握教学重难点，实现高效课堂。

第二十五章 图形的相似 25.4 相似三角形的判定 课时1 两角相等 22002 1.经历探索相似三角形判定的过程，培养发现、提出、分析和解决问题的能力，发展科学的探究精神，养成严谨的科学态度. 2.经历探索相似三角形判定的过程，了解相似三角形的判定定理及定理的证明，发展几何直观和推理能力. 3.通过相似三角形判定的应用，培养推理能力，发展数学核心素养. 学习目标 22002 （1）什么是相似三角形？目前判定相似的方法有什么？ （2）全等三角形有哪些判定方法？经历了怎样的研究历程？ （3）类比全等的判定，你认为相似的判定至少需要几个条件？ 请设计研究思路，并进行研究 问题导入 思考 22002 猜想：①一个角等能判定两个三角形相似吗？ ②两个角等能判定两个三角形相似吗？ ③三个角等能判定两个三角形相似吗？ 一个条件 两个条件 三个条件 22002 做一做：请任意作一个含30°角的三角形，然后组内对比一下你们做的三角形相似吗？你能得到什么结论？ 结论：满足一个角对应相等的两个三角形不相似 学生活动一：【一起探究】 探究新知 22002 满足两个角对应相等的两个三角形相似吗？说明理由. 一般的三角形满足两个角对应相等相似吗？动手画一画 学生活动二：【一起探究】 探究新知 思考 22002 思考：如何证明上述猜想？ 请画出图形，写出已知、求证并证明. 猜想：两个角对应相等的两个三角形相似 22002 已知：在△ABC与△DEF中，∠A=∠D,∠B=∠E, 求证：△ABC∽△DEF （1）证明相似的方法学几个？本题可以选择哪个方法？ （2）如何将两个三角形转化到一个三角形中？ 思考 22002 证明：在AB上截取AM=DE,在AC上截取AN=DF,连接MN ∵∠A=∠D ∴△AMN≌△DEF ∴∠AMN=∠E,∠ANM=∠F ,MN=EF ∵∠B=∠E ∴∠AMN=∠B ∴MN∥BC ∴△AMN∽△ABC ∵△AMN≌△DEF ∴△DEF∽△ABC M N 你还有其他方法吗？ 22002 方法：作全等，证相似 作相似，证全等 22002 判定定理：两角对应相等的两个三角形相似 符号语言： ∵∠A=∠D,∠B=∠E ∴△ABC∽△DEF 22002 例1：已知：如图，在△ABC 中，点D，E，F 分别在边AB，AC，BC上，且DE∥BC，DF∥AC. 求证：△ADE∽△DBF. 学生活动三：【探究判定定理的应用】 探究新知 22002 证明：∵ DE∥BC. ∴∠ADE＝∠B. 又∵DE∥AC， ∴∠A＝∠BDF. ∴ △ADE∽△DBF. 22002 本节课我们研究了相似三角形判定定理，请同学们带着以下问题进行总结： (1)本节课你学到了哪些知识？目前为止相似三角形的判定方法你学了几个？ (2)本节课学习经历了怎样的过程？这个过程中用到了哪些数学方法？积累了哪些活动经验？ (3)根据全等三角形的判定，你认为相似三角形判定还需要从哪些方面进行研究？ 课堂总结 22002 1.如图，已知三个三角形，相似的是（ ） A. ①和② B. ②和③ C. ①和③ D. ①和②和③ A 当堂检测 22002 C 2.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，则图中的相似三角形共有（ ） A.1对 B.2对 C. 3对 D. 0对 22002 3. 如图，四边形ABCD是矩形，直线l垂直平分线段AC，垂足为O，直线l分别与线段AD、CB 的延长线交于点E,F. （1）△ABC与△FOA相似吗？为什么？ （2）试判定四边形AFCE 的形状， 并说明理由. 22002 解：（1）△ABC ∽ △ FOA 理由：∵直线l垂直平分线段AC， ∴∠AFO=∠CFO=∠BAC，又∠AOF=∠ABC＝90° ，∴△ABC ∽ △FOA. 22002 （2）四边形AFCE 是菱形， △ AOE ≌△ COF， ∴AE＝CF， ∵直线l垂直平分线段AC ∴AE＝CE，AF＝CF， ∴AE＝CE＝AF＝CF， ∴四边形AFCE是菱形. 22002 第二十五章 图形的相似 25.4 相似三角形的判定 课时2 两边对应成比例且夹相等 22002 1.经历探索相似三角形判定的过程，培养几何直观与推理能力，发展科学的探究精神，养成严谨的科学态度. 2.通过相似三角形判定的应用，培养推理能力，发展数学核心素养. 学习目标 22002 （1）目前判定相似的方法有哪些？ （2）全等三角形有哪些判定方法？类比全等的判定猜想相似 的判定还会有哪些？ 问题导入 思考 22002 根据上节所学的相似三角形的判定定理，猜想满足两个条件还有其他的判定相似的方法吗？并设计方案，说明猜想的正确性. 学生活动一： 【一起探究】 探究新知 22002 全等的判定方法 相似的判定 AAS 两角对应相等的两个三角形相似 ASA SAS 猜想： 请类比全等的判定定理，对相似的判定进行猜想 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似 22002 全等的判定方法 相似的判定 SSS 猜想： HL 猜想： 三边对应成比例两个三角形相似 斜边、直角边对应成比例的两个直角三角形相似 22002 做一做：画出△ABC与△DEF，使∠A=∠D， =2（比值可以自己确定） 学生活动二： 【一起探究】 探究新知 22002 （1）你画的两个三角形相似吗？ （2）如何验证这两个三角形相似？试一试. （3）如何证明这两个三角形相似呢？上节课证明判定定理的方法对你有 什么启示？ 思考 22002 思考：如何证明上述猜想？ 请画出图形，写出已知、求证并证明. 猜想：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似 22002 已知：如图25-4-8，在△ABC和 △A′B′C′中，= ，∠A=∠A′ . 求证： △ABC∽△A′B′C′. 22002 你还有其他方法吗？ 22002 方法：作全等，证相似 作相似，证全等 归纳总结 22002 判定定理：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似 符号语言： ∵∠A=∠D, ∴△ABC∽△DEF 22002 32 例 已知：在△ABC与△A′B′C′中，∠A＝∠A′＝60°， AB＝4 cm，AC＝8 cm，A′B′＝11 cm，A′C′＝22 cm. 求证：△ABC∽△A′B′C′. 学生活动三： 【探究判定定理的应用】 探究新知 证明：∵=，=, ∴=. 又∵∠A=∠A′=60°， ∴△ABC∽△A′B′C′. 22002 本节课我们研究了相似三角形判定定理，请同学们带着以下问题进行总结： (1)本节课你学到了哪些知识？目前为止相似三角形的判定方法你学了几个？ (2)本节课学习经历了怎样的过程？这个过程中用到了哪些数学方法？积累了哪些活动经验？ 课堂总结 22002 C 1.下列各组条件中，一定能推得△ABC 与△ EFD相似的是（ ） A.∠A =∠ E 且∠ D= ∠ F B. ∠ A =∠ B且∠ D =∠ F C. ∠ A =∠ E且= D. ∠ A =∠ E且= 当堂检测 22002 2.如图，已知△ABC，△DCE，△FEG，△HGI 是4个全等的等腰三角形，底边BC，CE，EG，GI 在同一直线上，且AB＝2，BC＝1，连接AI，交FG 于点Q，则QI＝___． 22002 3.如图，在△ABC中，点D，E 分别在边AB，AC上，∠AED＝∠B，射线AG分别交线段DE，BC于点F，G，且 (1)求证：△ADF∽△ACG； (2)若　　　　，求　　的值． 22002 （1）证明：∵∠AED=∠B，∠DAE=∠DAE， ∴∠ ADF =∠ C. 又∵= , ∴△ ADF ∽△ ACG. 22002 （2）解：∵△ ADF ∽△ ACG, ∴= 又∵=，∴ = ∴=1. 22002 第二十五章 图形的相似 25.4 相似三角形的判定 课时3 三边对应成比例 22002 1.经历探索相似三角形判定的过程，培养几何直观与推理能力，发展科学的探究精神，养成严谨的科学态度. 2.通过相似三角形判定的应用，培养推理能力，发展核心素养. 学习目标 22002 （1）目前判定相似的方法有哪些？ （2）全等三角形有哪些判定方法？类比全等的判定猜想相似 的判定还会有哪些？ 问题导入 思考 22002 全等的判定方法 相似的判定 AAS 两角对应相等的两个三角形相似 ASA SAS 猜想： 两边对应成比例且夹角相等的 两个三角形相似 22002 全等的判定方法 相似的判定 SSS 猜想： HL 猜想： 三边对应成比例两个三角形相似 斜边、直角边对应成比例的两个直角三角形相似 22002 做一做：画出△ABC与△DEF，使 =2，（比值可以自己确定） 学生活动一： 【一起探究】 探究新知 22002 （1）你画的两个三角形相似吗？ （2）如何验证这两个三角形相似？试一试. （3）如何证明这两个三角形相似呢？上节课证明判定定理的方法对你有 什么启示？ 思考 22002 思考：如何证明上述猜想？ 请画出图形，写出已知、求证并证明. 猜想：三边对应成比例的两个三角形相似 22002 已知：如图25-4-11，在△ABC和 △A′B′C′中，= = 求证： △ABC∽△A′B′C′. 22002 你还有其他方法吗？ 22002 方法：作全等，证相似 作相似，证全等 归纳总结 22002 判定定理：三边对应成比例的两个三角形相似 符号语言： ∵ ∴△ABC∽△DEF 22002 例 如图，在Rt△ABC与Rt△A′B′C′中，∠B＝90°， ∠B′＝90°， 求证： Rt△ABC∽Rt△A′B′C′ ． 学生活动二： 【探究判定定理的应用】 探究新知 22002 你能得到什么结论？试着用自己的语言说一说 22002 判定定理：直角边和斜边对应成比例的两个直角三角形相似. 符号语言： ∵∠B=∠E=90°， ∴△ABC∽△DEF A B C E F D 学生活动三 :【一起探究】 探究新知 22002 本节课我们研究了相似三角形判定定理，请同学们带着以下问题进行总结： (1)本节课你学到了哪些知识？目前为止相似三角形的判定 方法你学了几个？ (2)本节课学习经历了怎样的过程？这个过程中用到了哪些 数学方法？积累了哪些活动经验？ 课堂总结 22002 1.已知△ABC 的三边长分别为6 cm，7.5 cm，9 cm，△DEF 的一边长为4 cm，当△DEF 的另两边是下列哪一组时，这两个三角形相似(　　) A．2 cm，3 cm B．4 cm，5 cm C．5 cm，6 cm D．6 cm，7 cm C 当堂检测 22002 2.在Rt△ABC 和Rt△DEF 中，已知AB＝2，BC＝4，DE＝3，EF＝6，如果Rt△ABC 和Rt△DEF 相似，还需要添加条件，下列条件中不可能的是(　　) A．∠A＝∠D＝90° B．∠B＝∠E＝90° C．AC,DF=3 D．∠A＝∠E＝90° D 22002 3.如图， = = ，求证：∠BAD＝∠CAE. 证明：∵ = = ， ∴△ABC∽△ADE. ∴∠BAC =∠DAE. ∴∠BAC －∠CAD =∠DAE －∠CAD ， 即∠BAD=∠ CAE. 22002 $