25.4 相似三角形的判定 课件 2025-2026学年冀教版九年级数学上册

该初中数学课件围绕“相似三角形的判定”展开，从定义出发，逐步引导学生通过平行线、两角相等、两边成比例及夹角相等等方法构建知识体系，形成由浅入深的学习支架。课堂导入以实际问题切入，如小明用仅有的量角器判断三角形是否相似，激发探究兴趣，并自然过渡到判定定理的发现与证明过程。 其亮点在于紧扣新课标核心素养，体现数学眼光、思维与语言的融合运用。例如，通过“两角对应相等即相似”的探究活动，培养学生几何直观和推理能力，借助图形移动、平行线构造等操作强化空间观念；在例题设计中融入公共角、对顶角、直角等隐含条件，训练学生识别关键信息的能力。教学内容结构清晰，注重从生活情境中提炼数学问题，帮助学生建立模型意识，提升逻辑表达能力。对学生而言，能系统掌握相似三角形的判定方法并灵活应用；对教师而言，提供了可直接使用的教学流程与典型例题，便于开展高效课堂。

第二十五章 图形的相似 25.4 课时1 两角相等 22002 1.经历探索相似三角形判定的过程，培养发现、提出、分析和解决问题的能力，发展科学的探究精神，养成严谨的科学态度. 2.经历探索相似三角形判定的过程，了解相似三角形的判定定理及定理的证明，发展几何直观和推理能力. 3.通过相似三角形判定的应用，培养推理能力，发展数学核心素养. 学习目标 22002 1、根据相似三角形的定义，你知道什么样的两个三角形相似吗？ 满足（1）三个角对应相等 ；（2）三条边对应成比例 的两个三角形是相似三角形. A B C B′ C′ A′ 新课导入 22002 2、还有判断两三角形相似的方法吗? DE∥BC △ADE∽△ ABC D E A B C A B C D E 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似. 有没有其他更简单的办法判断两个三角形相似? 思考 22002 学校举办活动，需要三个内角分别为90°，60°，30°的形状相同、大小不同的三角纸板若干. 小明手上的测量工具只有一个量角器，他该怎么做呢？ 22002 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,∠A=30°;在Rt△DEF中,∠F=90°,∠D=30°,△ABC与△DEF相似吗？为什么？ E 30° F D 30° C B A 方法一：相似三角形的定义 分析:由已知容易推出三对角对应相等推理三边对应成比例时，可先设BC=a,,则AB=2a,AC= a 设EF=b,则DE=2b,DF= b ∴△ABC∽△DEF 22002 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,∠A=30°;在Rt△DEF中,∠F=90°,∠D=30°,△ABC与△DEF相似吗？为什么？ E 30° F D 30° C B A 目前，要判定两个三角形相似，有哪些方法可以选择？试选择一个合适的方法来进行说明. 方法二：用“A”型 把△DEF移动到△ABC内， 由于∠ACB=∠DFE=90°可得EF//BC ∴△ABC∽△DEF 22002 我们发现在两个直角三角形中有两个角对应相等，则这两个三角形是相似的.那么是不是任意的两个三角形，只要具备“两角对应相等”就会相似呢？ 画两个△ABC和 △A′B′C′，使∠A=∠A′，∠B=∠B′，探究下列问题： B A C C′ A′ B′ 22002 问题：如果两个三角形有两组对应角相等，那么它们是否相似？ B A C C′ A′ B′ 证明：在 △ABC 的边 AB（或 AB 的延长线）上，截取 AD=A′B′，过点 D 作 DE // BC，交 AC 于点 E， 已知：如图，△ABC和△A'B'C'中，∠A=∠A'，∠B=∠B'. 求证：△ABC∽△A'B'C'. E D 22002 此处构造平行从而得到相似，再利用全等的技巧达到目的，让学生明白替换的数学思想. B A C C′ A′ B′ E D 则有△ADE ∽△ABC，∠ADE =∠B. ∵∠B=∠B′， ∴∠ADE=∠B′. 又∵ AD=A′B′，∠A=∠A′， ∴ △ADE ≌ △A'B'C， ∴ △A′B′C′ ∽ △ABC. 若△ABC≌△A′B′C′，△A′B′C′∽△A′′B′′C′′， 则△ABC∽△A′′B′′C′′. 22002 C A A' B B' C' ∵ ∠A=∠A'， ∠B=∠B' ∴ △ABC ∽ △A'B'C' 相似三角形的判定定理一： 两角对应相等的两个三角形相似 判定两个三角形相似，只需要找到两组对应角相等即可 归纳总结 22002 例1 （1）已知：如图，在△ABC中，点E、E、F分别在边AB，AC，BC上，且DE//BC,DF//AC. 求证：△ADE∽△DBF A B C F E D 由平行得出相等的角 由平行，你还能想到什么？还有其他做法吗？ A型 证明：∵ DE∥BC. ∴∠ADE＝∠B. 又∵DE∥AC， ∴∠A＝∠BDF. ∴ △ADE∽△DBF. 典型例题 22002 (2)如图：∠C=∠B,请找出图中的相似三角形，并进行证明. A B C E D F ∵∠C=∠B,∠A=∠A ∴△ABE∽ACD ∵∠C=∠B,∠1=∠2 ∴△DBF∽ECF 1 2 公共角 对顶角 22002 (3)已知：如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC,垂足为D. 求证：△ABD∽△BCD C B A D 1 证明：∵∠1+∠C=90° ∠A+∠C=90° ∴∠1=∠A 又∠BDC=∠BDA=90° ∴△ABD∽△BCD 同角的余角相等 （拓展一）图中有几对相似三角形？ 3对. △ABC∽△BDC △ABC∽△ADB △BAD∽△CBD 22002 本页设计直角三角形和斜边上的高构成的三个直角三角形之间的相似关系，依据是直角和公共角对应相等而得到相似. 存在于哪两个三角形中？ （拓展二）已知：如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC,垂足为D. 求证: 证明：∵∠ADB=∠ABC=90° ∠A=∠A ∴△ADB∽△ABC C B A D 22002 观察已知线段BC、CD和所求线段AC存在于哪两个三角形中？ （拓展三）已知：如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC,垂足为D. 若BC=5，CD=2，求AC的长. 证明：∵∠BDC=∠ABC=90° ∠C=∠C ∴△BCD∽△ACB ∴2AC=25 ∴AC=12.5 C B A D 找相等的角常用的方法： 1.平行 2.公共角 3.对顶角 4.同角（或等角）的余角（或补角）相等 22002 例2（课本75页“做一做”）已知：如图，点D在△ABC的边AB上，过点D作直线截△ABC，使截得的三角形与原三角形相似.你认为满足条件的直线有几条？请把这些直线画出来. A B C ● D 有3条直线，分别是DE、DF、DM E F M ①过点DE//BC，交AC于点E ②作∠ADF=∠C, ③过点DM//AC，交AC于点M 典型例题 22002 1.有一个角等于110°的两个等腰三角形(　 ) A.全等 B.相似 C.既不相似也不全等 D.无法确定 B 当堂检测 22002 2. 如图，已知 AB//DE，∠AFC ＝∠E，则图中相似三角形共有( ) A. 1对 　　B. 2对 C. 3对 　　D. 4对 C 22002 A B D C 3. 如图，点 D 在 AB上，当∠ ＝∠ (或∠ =∠ )时， △ACD∽△ABC. ACD ACB B ADB 22002 证明：∵∠BAC= ∠1+ ∠DAC， ∠DAE= ∠3+ ∠DAC，∠1=∠3， ∴ ∠BAC=∠DAE. ∵ ∠C=180°－∠2－∠DOC ， ∠E=180°－∠3－∠AOE， ∠DOC =∠AOE（对顶角相等）， ∴ ∠C= ∠E. ∴ △ABC∽△ADE. 4. 如图，∠1=∠2=∠3，求证：△ABC ∽△ADE． A B C D E 1 3 2 O 22002 两角分别相等的两个三角形相似． 相似三角形的判定 判定定理1 ⑴.注意图形中的公共角、对顶角、直角. ⑵.两直线平行时的同位角、内错角. ⑶.等角的余角、等角的补角． 课堂总结 22002 第二十五章 图形的相似 25.4 课时2 两边对应成比例且夹相等 22002 1.经历探索相似三角形判定的过程，培养几何直观与推理能力，发展科学的探究精神，养成严谨的科学态度. 2.通过相似三角形判定的应用，培养推理能力，发展数学核心素养. 学习目标 22002 判断两个三角形相似,你有哪些方法？ 方法1：通过定义（不常用） 方法2：通过平行线 方法3：两角对应相等 A型 8型 方法4：利用传递性 三个角对应相等 三条边对应成比例 新课导入 22002 问题1 有两边对应成比例的两个三角形相似吗? 3 3 5 5 不相似 问题2.类比三角形全等的判定方法（SAS,SSS），猜想可以添加什么条件来判定两个三角形相似？ 3 3 5 5 相似 探究新知 22002 我发现这两个三角形是相似的 ①任意画△ABC; ②再画△A′B′C′，使∠A′=∠A,且 ③量出B′C′及BC的长，计算 的值，并比较是否三边都对应成比例？ ④量出∠B与∠B′的度数，∠B′=∠B吗？由此可推出∠C′=∠C吗？为什么？ ⑤由上面的画图，你能发现△A′B′C′与△ABC有何关系？与你周围的同学交流. 画一画 22002 如图，在△ABC与△A′B′C′中，已知∠A= ∠A′， 证明：在△A′B′C′的边A′B′上截取点D,使A′D=AB．过点D作DE//B′C′,交A′C′于点E. ∵DE//B′C′,∴△A′DE∽△A′B′C′. 求证：△A′B′C′∽△ABC. B A C B' A' D E C' 验证猜想 ∵A′D=AB， ∴A′E=AC. 又∠A′=∠A. ∴△A′DE≌△ABC， ∴△A′B′C′∽△ABC. ∴ 22002 3 3 C C 60° ) 4 A B ) 【结论】判定两个三角形相似角必须两边的夹角. C′ 1.5 B′ 2 60° A′ 如果△ABC与△A'B'C'两边成比例，且其中一边所对的角相等，那么这两个三角形一定相似吗？由此你能得到什么结论？ 你有疑问吗 ？ 探究新知 22002 通过画出边AC的不同位置，让学生直观地发现判定两个三角形相似角必须是两边的夹角，对判定定理的辨析起了重要作用. 判定定理二：两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似. A B C D E F 几何语言： ∵ ∠A=∠D. ∴△ABC∽△DEF 归纳总结 22002 对几何定理作文字语言﹑图形语言﹑符号语言的三维注解有利于学生进行认知重构，以全方位地准确把握定理的内容. 例1 已知：在△ABC与△A′B′C′中，∠A＝∠A′＝60°， AB＝4 cm，AC＝8 cm，A′B′＝11 cm，A′C′＝22 cm. 求证：△ABC∽△A′B′C′. 证明：∵ ∴ 又∵ ∠A＝∠A′＝60°， ∴△ABC∽△A′B′C′. 典型例题 22002 解：∵ AE=1.5，AC=2 A C B E D 例2 如图，D，E分别是△ABC的边AC，AB上的点，AE=1.5，AC=2，BC=3，且 ，求DE的长. ∴ 又∵∠EAD=∠CAB ∴ △ADE ∽△ABC ∴ ∴ 提示：解题时要找准对应边. 22002 证明： ∵ CD 是边 AB 上的高， ∴ ∠ADC =∠CDB =90°. ∴△ADC ∽△CDB， ∴ ∠ACD =∠B， ∴ ∠ACB =∠ACD +∠BCD =∠B +∠BCD = 90°. 例3 如图，在△ABC中，CD是边AB上的高，且 ， 求证 :∠ACB=90°． A B C D ∵ 方法总结：解题时需注意隐含条件，如垂直关系，三角形的高等. 22002 1. 如图，D是△ABC一边BC上一点，连接AD，使△ABC∽△DBA的条件是 ( ) A. AC : BC=AD : BD B. AC : BC=AB : AD C. AB2 = CD · BC D. AB2 = BD · BC D A B C D 当堂检测 22002 2.如图，已知△ABC，则下列四个三角形中，与△ABC相似的是( ) C 22002 3.如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，且将这个四边形分成①、②、③、④四个三角形.OA∶OC=OB∶OD，则下列结论中一定正确的是（ ） A.①和②相似 B. ①和③相似 C. ①和④相似 D.②和④相似 B 22002 解析：当 △ADP ∽△ACB 时， AP : AB =AD : AC ，∴ AP : 12 =6 : 8 ， 解得 AP = 9； 当 △ADP ∽△ABC 时， AD : AB =AP : AC ，∴ 6 : 12 = AP : 8 ， 解得 AP = 4. ∴ 当 AP 的长度为 4 或 9 时， △ADP 和 △ABC 相似． 4. 如图，已知△ABC中，D为边AC上一点，P为边AB上一点，AB=12，AC= 8，AD= 6，当AP的长度为 时，△ADP 和△ABC相似. A B C D 4或9 P P 22002 利用两边及夹角判定三角形相似 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似． 课堂总结 22002 第二十五章 图形的相似 25.4 相似三角形的判定 25.4 课时3 三边对应成比例 22002 1.经历探索相似三角形判定的过程，培养几何直观与推理能力，发展科学的探究精神，养成严谨的科学态度. 2.通过相似三角形判定的应用，培养推理能力，发展核心素养. 学习目标 22002 ⑴定义法:三个角分别相等，三条边成比例的两个三角形相似. 问题：判定两个三角形相似我们学过了哪些方法? ⑵平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似. 复杂 繁琐！ (3)判定定理1：两角分别相等的两个三角形相似. (4)判定定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 思考：类比全等三角形的判定方法，还有其他判定两个三角形相似的方法吗？ 新课导入 22002 学校为了改善环境，在一片空地上修建一块三角形草地，图纸如图1所示，完工后小明想要确定图2的草坪是否和图纸中的三角形相似，你能帮帮他吗？ 22002 画△ABC和△A′B′C′，使 ，动手量一量这两个三角形的角，它们分别相等吗？这两个三角形是否相似？ A B C C′ B′ A′ 通过测量不难发现∠A=∠A’,∠B=∠B’，∠C=∠C’,又因为两个三角形的边对应成比例，所以 △ABC ∽△A′B′C′. 下面我们用前面所学得定理证明该结论. 探究新知 22002 ∴ C′ B′ A′ 证明:在线段 AB (或延长线) 上截取 AD=A′B′， 过点 D 作 DE∥BC 交AC于点 E ∵ DE∥BC ，∴ △ADE ∽ △ABC ∴ DE=B′C′，EA=C′A′ ∴△ADE≌△A′B′C′，∴△A′B′C′ ∽△ABC B C A D E 又 ，AD=A′B′ ∴ ， 新的证明线段相等的方法 22002 判定三角形相似的定理3: 三边成比例的两个三角形相似. ∴△ABC∽△A1B1C1 ∵ A1 B1 C1 A B C 几何语言： 归纳总结 22002 例1 判断图中的两个三角形是否相似，并说明理由. A B C 3 3.5 4 D F E 1.8 2.1 2.4 解：在△ABC中，AB>BC>CA，在△DEF中， DE>EF>FD ∴ △ABC ∽ △DEF ∵ ， ， ， ∴ ∴△ABC∽△DEF 典型例题 22002 判定三角形相似的方法之一：如果题中给出了两个三角形的三边的长，分别算出三条对应边的比值，看是否相等.计算时最长边与最长边对应，最短边与最短边对应. ∴∠BAC=∠DAE ∴∠BAC －∠DAC = ∠DAE －∠DAC 即 ∠BAD=∠CAE ∵∠BAD=20° ∴∠CAE=20° ∴ △ABC ∽△ADE 例2 如图，在△ABC和△ADE中， ,∠BAD=20°，求∠CAE的度数. A B C D E 解：∵ 22002 在下图的边长为1的方格上任画一个直角三角形，再画出第二个三角形，使它的三边长都是原来三角形的三边长的相同倍数．画完之后，用量角器比较两个三角形的对应角，你发现了什么结论？大家的结论都一样吗？ 我们可以发现这两个三角形相似． B C A F E D 要证明两个三角形相似，即是需要证明什么呢？ 目标： 探究新知 22002 C A A' B B' C' 例4 如图，在Rt△ABC与Rt△A′B′C′中，∠C＝90°， ∠C′＝90°， 求证： Rt△ABC∽Rt△A′B′C′ ． 典型例题 ∴ ∴ ∴ Rt△ABC∽Rt△A′B′C′ ． 证明： 22002 对于两个直角三角形而言，已具当一组相等的直角，再有一组相等的锐角即可证得相似，运用“两角分别相等的两个三角形相似”证两直角三角形相似通常是首选方法，运用相似三角形知识求线段长，通常是先证明两个三角形相似，产生相似比，再代值计算． 直角三角形相似的判定方法： B C A E F D 斜边和直角边对应成比例的两个直角三角形相似 几何语言： ∴Rt△ABC∽Rt△DEF 归纳总结 22002 1. 如图，若△ABC∽△DEF，则x的值为( ) A B C D E F A. 20 B. 27 C. 36 D. 40 D 12 15 24 20 25 x 当堂检测 22002 2. 如图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是 ( ) ① ② ③ ④ A. ①和② B. ②和③ C. ①和③ D. ②和④ C 网格中比较方便用勾股定理求边长，因此证相似多用对应边成比例 22002 3. 如图，∠APD=90°，AP=PB=BC=CD，下列结论正确的是( ) A. △PAB∽△PCA B. △PAB∽△PDA C. △ABC∽△DBA D. △ABC∽△DCA A C B P D C 22002 4.在△ABC和△A'B'C'中，AB=9，BC=8，CA=5；A'B'=3，B'C'= ，C'A'= ,则（ ）. A.∠A=∠A' B.∠A=∠B' C.∠A=∠C' D.∠B=∠C' B 22002 5. 图1，图2中小正方形的边长均为1，则图1中的三角形(阴影部分)与图2中的△ABC相似的是哪一个图形？ 图1 图2 22002 解：由勾股定理知AC＝ BC＝2，AB＝ 图2(1)中，三角形的三边长分别为 图2(2)中，三角形的三边长分别为 图2(3)中，三角形的三边长分别为 图2(4)中，三角形的三边长分别为 ∴图2(2)中的三角形与△ABC相似． 22002 利用三边判定三角形相似 判定直角三角形相似的方法 定理：三边对应成比例的两个三角形相似 斜边和一直角边成比例的两个直角三角形相似. ∵ ∴ △ABC ∽ △A′B′C' 课堂总结 22002 $