1.1探索勾股定理 同步培优练习题 2025-2026学年北师大版（2024）八年级数学上册

1.1探索勾股定理 同步培优练习题 一．选择题 1．如图，已知∠C＝90°，AB＝12，BC＝3，CD＝4，∠ABD＝90°，则AD＝（　　） A．10 B．13 C．8 D．11 2．直角三角形的边长分别为a，b，c，且∠C＝90°，若a2＝9，b2＝16，那么c2的值是（　　） A．5 B．7 C．25 D．49 3．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，则AB2+BC2+AC2的值为（　　） A．6 B．9 C．12 D．18 4．在锐角△ABC中，AB＝13，AC＝20，BC边上的高为12，则△ABC的面积是（　　） A．66 B．126 C．120 D．68 5．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B都是格点，则线段AB的长为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 6．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若AB＝15cm，则正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为（　　） A．150cm2 B．200cm2 C．225cm2 D．无法计算 7．如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地AB＝2.5米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.6米的学生CD正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时（BC＝1.2米），感应门自动打开，则人头顶离感应器的距离AD等于（　　） A．1.2米 B．1.5米 C．2.0米 D．2.5米 8．勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端．下面四幅图中不能证明勾股定理的是（　　） A．B． C． D． 9．如图，有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，则这个水池的深度是（　　）尺． A．26 B．24 C．13 D．12 10．中国数学史上最先完成勾股定理证明的数学家是公元3世纪三国时期的赵爽，他为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1）．图2由弦图变化得到，它是用八个全等的直角三角形拼接而成．将图中正方形MNKT，正方形EFGH，正方形ABCD的面积分别记为S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝18，则正方形EFGH的面积为（　　） A．9 B．6 C．5 D． 二．填空题 11．直角三角形两条直角边的长分别为8和6，则斜边上的高为 　 　 ． 12．小明从家出发向正东方向走了240m，接着向正北方向走了320m，此时小明离家 　 　 m． 13．如图，一根垂直于地面的旗杆在离地面5m的B处撕裂折断，旗杆顶部落在离旗杆底部12m的A处，则旗杆折断部分AB的高度是 　 　 ． 14．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，两格点A，B之间的距离 　 　 5（填“＞”，“＜”或“＝”）． 15．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的边长分别是2，3，1，2，则最大正方形E的面积是 　 　 ． 三．解答题 16．如图，已知在△ABC中，CD⊥AB于D，AC＝8，BC＝5，DB＝3． （1）求DC的长； （2）求AB的长． 17．如图，四边形ABCD是舞蹈训练场地，要在场地上铺上草坪网．经过测量得知：∠B＝90°，AB＝24m，BC＝7m，CD＝15m，AD＝20m． （1）判断∠D是不是直角，并说明理由； （2）求四边形ABCD需要铺的草坪网的面积． 18．如图，一个梯子AB长2.5米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为1.5米，梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD长为0.9米、则梯子顶端A下落了多少米？ 19．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，动点P从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度移动，设运动的时间为t s． （1）求BC边的长； （2）当△ABP为直角三角形时，求t的值． 20．苏科版《数学》八年级上册第35页第2题，介绍了应用构造全等三角形的方法测量了池塘两端A、B两点的距离．星期天，爱动脑筋的小刚同学用下面的方法也能够测量出家门前池塘两端A、B两点的距离．他是这样做的： 选定一个点P，连接PA、PB，在PM上取一点C，恰好有PA＝14m，PB＝13m，PC＝5m，BC＝12m，他立即确定池塘两端A、B两点的距离为15m． 小刚同学测量的结果正确吗？为什么？ 21．现有如图1的8张大小形状相同的直角三角形纸片，三边长分别是a、b、c．用其中4张纸片拼成如图2的大正方形（空白部分是边长分别为a和b的正方形）；用另外4张纸片拼成如图3的大正方形（中间的空白部分是边长为c的正方形）． （1）观察：从整体看，图2和图3的大正方形的边长都为（a+b），所以图2和图3的大正方形的面积都可以表示为（a+b）2，记为结论①．由于整个图形的面积等于各部分面积的和，所以图2中的大正方形的面积又可以用含字母a、b的代数式表示为：　 　 ，记为结论②； 同样，图3中的大正方形的面积又可以用含字母a、b、c的代数式表示为：　 　 ，记为结论③． （2）思考： 由结论①和结论②，可以得到等式 　 　 由结论②和结论③，可以得到等式 　 　 （3）应用：若分别以直角三角形三边为直径，向外作半圆（如图4），三个半圆的面积分别记作S1、S2、S3，且S1+S2+S3＝50，求S2的值． 参考答案 一．选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C D B B C B D D B 二．填空题 11．4.8． 12．400． 13．13m． 14．＝． 15．18． 三．解答题 16．解：（1）∵CD⊥AB于D，BC＝5，DB＝3， ∴在Rt△BCD中，CD2＝CB2﹣DB2＝52﹣32＝16， ∴CD＝4． （2）在Rt△ACD中，AD2＝AC2﹣CD2＝82﹣42＝48， ∴AD＝4， ∴AB＝AD+DB＝43． 17．解：连接AC，如图， ， 在Rt△ABC中，AB＝24 m，BC＝7 m， ∴AC25 m， 在△ADC中，CD＝15 m，AD＝20 m．AC＝25 m， ∵CD2+AD2＝152+202＝252＝AC2， ∴△ADC为直角三角形，∠D＝90°． （2）由（1）知△ADC为直角三角形，∠D＝90°， ∴S△ADC150 m2， ∵S△ABC m2， ∴S四边形ABCD＝S△ADC+S△ABC＝150+84＝234 m2． 18．解：在Rt△ABC中，AB＝2.5米，BC＝1.5米， 故AC2米， 在Rt△ECD中，AB＝DE＝2.5米，CD＝（1.5+0.9）米， 故EC0.7米， 故AE＝AC﹣CE＝2﹣0.7＝1.3米． 即梯子的顶端下滑了1.3米． 19．解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm， 由勾股定理得； （2）由题意知BP＝2t cm． ①当∠APB＝90°时，如图，点P与点C重合，BP＝BC＝4cm， ∴t＝4÷2＝2； ②当∠BAP＝90°时，如图2，CP＝BP﹣BC＝（2t﹣4）cm，AC＝3cm． 在Rt△ACP中，AP2＝AC2+CP2＝32+（2t﹣4）2， 在Rt△BAP中，AP2＝BP2﹣AB2＝（2t）2﹣52， 因此32+（2t﹣4）2＝（2t）2﹣52， 解得． 综上所述，当△ABP为直角三角形时，t的值为2或． 20．解：小刚同学测量的结果正确，理由如下： ∵PA＝14m，PB＝13m，PC＝5m，BC＝12m， ∴AC＝PA﹣PC＝9m，PC2+BC2＝52+122＝169，PB2＝132＝169， ∴PC2+BC2＝PB2， ∴△BCP是直角三角形，∠BCP＝90°， ∴∠ACB＝90°， ∴AB15（m）． 21．解：（1）图2大正方形面积等于四个直角三角形的面积加上两个正方形的面积， ∴图2面积为：a2+b2+4ab＝a2+b2+2ab； 图3大正方形的面积等于四个直角三角形的面积加上中间空白正方形的面积， ∴图3面积可表示为：c2+4ab＝c2+2ab； 故答案为：a2+b2+2ab，c2+2ab． （2）结合结论①和结论②，可以得到一个等式：（a+b）2＝a2+b2+2ab； 结合结论②和结论③，可以得到一个等式：（a+b）2＝c2+2ab， 即，a2+b2＝c2． 故答案为：（a+b）2＝a2+b2+2ab，a2+b2＝c2． （3）S1π（）2，S2π（）2，S3π（）2， ∵a2+b2＝c2， ∴S1+S3S2， ∵S1+S2+S3＝50， ∴2S2＝50， 解得S2＝25． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/9/9 14:06:37；用户：18665925436；邮箱：18665925436；学号：24335353 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $