特训04 二次函数图象性质通关专练-2025-2026学年九年级数学上学期期中期末挑战满分冲刺卷（人教版）

特训04 二次函数图象性质通关专练 【特训过关】 1．抛物线的顶点坐标为（如图所示），则下列说法：①；②；③关于x的方程有两个不相等的实数根；④．则正确的结论有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A． 【解析】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线的顶点坐标为， ∴， ∴， ∵抛物线交y轴的负半轴， ∴， ∴，故①错误； ∵抛物线的顶点坐标为， 把代入，得， ∵， ∴， 即， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴， ∴， ∴， 故②错误； 由图可知抛物线与直线有两个交点， ∴关于x的方程，即有两个不相等的实数根， 故③正确； ∵a为抛物线二次项系数， ∴， 故④错误． 故选：A． 2．抛物线的顶点为，与x轴的一个交点A在点和之间，其部分图象如图，则以下结论正确的是（     ） A． B．点、在二次函数图象上，则 C．当时，y随x增大而减小 D．若方程有实数根，则 【答案】D． 【解析】解：∵抛物线顶点D为， ∴其对称轴为， ∴其与x轴的另一个交点在点和之间， ∴当时，， ∴选项A错误， ∵， ∴， ∴选项B错误， ∵对称轴， ∴时，y随x的增大而增大， ∴选项C错误． ∵抛物线的顶点为，开口朝上， ∴函数值， ∴直线与抛物线有交点，则．即有实数根，则，选项D正确． 答案：D． 3．二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，有下列结论：①； ②；③；④（m为实数）．其中正确结论的个数为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D． 【解析】解：由题意，根据函数的图象开口向上，与y轴交于负半轴，对称轴是直线， ∴，，． ∴． ∴，故①正确． ∵抛物线与x轴的一个交点在与0之间， ∴当时，，故②正确． 当时，， ∴，故③正确． 根据函数的图象开口向上，对称轴是直线， ∴当时，函数有最小值，为， ∴（m为实数）， ∴（m为实数），故④正确， 则其中正确结论的个数为4． 故选：D． 4．如图是二次函数的图象的一部分，图象过点，二次函数的对称轴为直线，给出下列结论：①；②；③；④；⑤当时，，其中正确的是（     ） A．②③⑤ B．①③ C．②③ D．①④⑤ 【答案】B． 【解析】解：∵抛物线与x轴有两个交点， ∴，故①正确， ∵抛物线开口向下， ∴， ∵， ∴， ∵抛物线交y轴于正半轴， ∴， ∴，故②错误， ∵， ∴，故③正确， ∵时，， ∴，故④错误， ∵，且对称轴为直线， ∴抛物线与横轴另一个交点坐标为， 通过图象可得，当时，，故⑤错误， 故选：B． 5．如图，抛物线经过点，且对称轴是直线，则下列结论正确的有（     ） ①；②；③若，是抛物线上的两点，则当时，m的取值范围是；④若抛物线与y轴交于点，当时，函数y的最大值与最小值的差为6，则m的值为，． A．①② B．②③ C．③④ D．② 【答案】D． 【解析】解：①∵抛物线经过点， 将代入，得， 故①错误； ②∵抛物线对称轴为， ∴，即， 故②正确； ③当时，两点为，， 此时两点关于对称， 故③不正确； ④∵抛物线的对称轴为，且与x轴交于点， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为， ∴抛物线解析式为， 又∵抛物线过点， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为 ∴顶点坐标， 当时，则为， 此时，当时，函数的最大值4， ∵当时，； 当时，， ∴当时，最小值为， 此时，函数y的最大值与最小值的差为：， 故④不正确； 综上，只有②正确． 故选：D． 6．在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于，两点，则下列结论：①；②；③长的最小值为4；④若点，则，其中正确的有（     ）    A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】B． 【解析】解：直线与抛物线交于，两点， ∴， 整理得：， ∴， 故①正确； ∵， 解得：，， ∴，， ∴ ， 故②正确； ∵， ∴当时，即轴时，有最小值． ∴． 故③正确； 当点时，假设，则： 是直角三角形， 取的中点G，连接，如下图：    ∴， ∵ ∴，， ∴点， 即点， ∵， ∴， ∴，． 即与不一定垂直． 故④错误． 故选：B． 7．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线的对称轴为，与x轴的一个交点位于，两点之间．下列结论：①；②；③若，为方程的两个根，则；④若抛物线与x轴的两交点和其顶点组成的三角形为等边三角形，则，其中正确的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C． 【解析】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， 故①正确； 故②不正确； ∵抛物线与x轴的一个交点位于，两点之间，对称轴为直线， ∴另一个交点在，之间， ∴当时，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，为方程的两个根， ∴， ∴， 故③正确； ∵顶点纵坐标为，，， ∴， ∵抛物线与x轴的两交点和其顶点组成的三角形为等边三角形，如图， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故④正确； ∴正确的有①③④，共3个． 故选：C． 8．我们定义一种新函数：形如的函数叫做“鹊桥”函数某数学兴趣小组画出了“鹊桥”函数G：的图象（如图所示），下列结论错误的是（     ） A．图象与坐标轴的交点为，， B．若在函数图象上，则也在函数图象上 C．当时，函数取得最大值 D．当直线与函数G的图象有4个交点时，则m的取值范围是 【答案】C． 【解析】解：∵， ∴当时，，当时，， 解得：，， ∴图象与坐标轴的交点为，，，故A正确； 根据图象得：图象的对称轴为直线， ∴若在函数图象上，则也在函数图象上，故B正确； 由图象可知：当或时，函数值y随x值的增大而增大，且无最大值，故C错误； 当直线过点B时，直线与函数图象恰好有3个交点， 即， 解得：， 当与之间的图象相切时，恰好有三个交点， 当时，，， 整理得：， ∴， 解得：， ∴当直线与函数G的图象有4个交点时，则的取值范围是，故D正确； 综上，错误的是C． 故选：C． 9．如图，抛物线（a，b，c是常数，）与x轴交于A、B两点，顶点．给出下列结论，正确的有（     ） ①；②；③若点，，在抛物线上，则； ④关于x的方程有实数解，则；⑤当时，则． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C． 【解析】解：∵抛物线开口向上，与y轴的负半轴相交， ∴，， 由图象可知，抛物线的对称轴在y轴的右侧， ∴， ∴， ∴，故①符合题意； 由图象可知，当时，， ∴，故②不符合题意； 若点，，在抛物线上，根据抛物线上的点离对称轴越近，函数值越小和图象可知，，故③不符合题意； ∵抛物线与直线有交点，方程有解，， ∴有实数解， 要使有实数解， ∴，故④不符合题意； 过点P作轴于点C，如图： 由抛物线的对称性可知，， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵点是抛物线的顶点， ∴，， ∵抛物线开口向上， ∴， ∴， 又∵， ∴，即， 设， ∴， 解得：， ∴，故⑤符合题意， 综上，符合题意的有①⑤，共个， 故选：C． 10．如图，抛物线的顶点A的坐标为，与x轴的一个交点的横坐标位于0和之间，则以下结论：①；②；③若抛物线经过点，，则；④若关于x的一元二次方程有实数根，则，其中正确的个数为（     ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C． 【解析】解：解：①∵抛物线的顶点A的坐标为， ∴，即， 当时，， ∴，故①错误； ②∵直线是抛物线的对称轴， ∴， ∴， 由图象可得，当时，， ∴，故②正确； ③∵直线是抛物线的对称轴， 设，两点横坐标与对称轴的距离为、， 则，， ∴， 根据图象可得，距离对称轴越近的点的函数值越大， ∴，故③错误； ④∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故④正确； ∴正确的结论有2个， 故选：C． 11．如图，二次函数 与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中A点坐标为，对称轴为．下列结论：①；② ；③；④ 若m是不等于1的实数，则恒成立；⑤无论k取何值，方程均有两个不相等的实数根．其中正确的有（     ）个． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B． 【解析】解：根据抛物线开口向下，可得，根据对称轴为，可得，根据抛物线与y轴交于正半轴，可得， ∴，故①正确； ∵A点坐标为，对称轴为， ∴点B的横坐标为， ∴， 把代入抛物线解析式可得，故②正确； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故③错误； 抛物线在时取最大值，为， ∵m是不等于1的实数， ∴，即，故④错误； ∵， 整理可得， ， ∴无论k取何值，方程均有两个不相等的实数根，故⑤正确； 故正确的为①②⑤， 故选：B． 12．如图，抛物线与交于点，且分别与y轴交于点D，E．过点B作x轴的平行线，交抛物线于点A，C，则以下结论错误的是（     ） A．无论x取何值，总是负数 B．抛物线可由抛物线向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到 C．当时，随着x的增大，的值先增大后减小 D．若依次连接、、、，则四边形为正方形 【答案】C． 【解析】解：记抛物线与分别为抛物线G和抛物线H， A．∵， ∴， ∴， ∴无论x取何值，总是负数， 故A正确，不符合题意； B．∵抛物线与交于点， ∴，， 即， 解得， ∴抛物线， ∴抛物线G的顶点，抛物线H的顶点为， ∵将向右平移3个单位，再向下平移3个单位即为， ∴将抛物线G向右平移3个单位，再向下平移3个单位可得到抛物线H， 故B正确，不符合题意； C．∵， ∵将代入抛物线， 解得，， ∴， 将代入抛物线， 解得，， ∴， ∵，从图象可知抛物线G的图象在抛物线H图象的上方， ∴ ∵， ∴当，随着x的增大，的值减小， 故C不正确，符合题意； D．设与y轴交于点F， ∵， ∴， 由C可知 ∴，， ∴，， 当时，，， 即，， ∴，， ∵，，，且， ∴四边形是正方形， 故D正确，不符合题意， 故选：C． 13．二次函数的大致图象如图所示，顶点坐标为，下列结论：①；②；③；④若函数，可整理为方程，且有两个根和，，则；⑤若方程有四个根，则这四个根的和为，其中正确的结论有（     ）个． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B． 【解析】解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴， ∵抛物线的开口向上， ∴， ∴，， ∴，所以①错误； 当时，， 解得，， ∴抛物线与x轴的交点坐标为，， ∵时，， ∴，所以②错误； ∵， ∴，所以③正确； ∵方程有两个根和， ∴抛物线与直线有两个交点，交点的横坐标分别为和， ∴，所以④正确； ∵方程有四个根， ∴方程有2个根，方程有2个根， ∴所有根之和为，所以⑤正确． 综上所述，正确的有：③④⑤． 故选：B． 14．如图，二次函数的图象与x轴交于点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④ （m为任意实数），其中正确的是 ． （只填写序号） 【答案】①③． 【解析】解：由题意，抛物线开口向下， ∴． 又∵对称轴是直线， ∴． ∴． 又∵抛物线交y轴正半轴， ∴． ∴，故①正确． 由对称轴是直线， ∴当时的函数值与时函数值相等． 由图象可得，当时，． ∴当时，，故②错误． 由对称性当时的函数值与当的函数值相等， ∴当时，． 又∵， ∴，故③正确． ∵时，函数有最大值为， ∴m为任意实数时，，即（m为任意实数），故④错误， 故答案为：①③． 15．二次函数的图象如图所示．下列结论：①；②；③；④若且，则．其中结论正确的是 ． 【答案】②④． 【解析】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线对称轴为，即， ∴， ∵抛物线与y轴的交点在x轴上方， ∴， ∴，所以①错误； ∵， ∴，所以②正确； ∵抛物线与x轴的交点到对称轴的距离大于1， ∴抛物线与x轴的一个交点在点与之间， ∴抛物线与x轴的另一个交点在点与之间， ∴时，， ∴，所以③错误； 当，则， ∴和所对应的函数值相等， ∴， ∴，所以④正确； 故答案为：②④． 16．已知二次函数的图象如图所示，对称轴为，下列结论：①； ②；③；④，其中正确的是 ． 【答案】④． 【解析】解：由所给函数图象可知，图象开口向上，对称轴为直线，与y轴相交于负半轴， ∴，，， ∴，故①错误； ∵抛物线与x轴有两个不同的交点， ∴，故②错误； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴ 即． 又∵当时，函数值小于零， ∴， ∴，故③错误； ∵抛物线的对称轴为直线且与x轴的一个交点横坐标比1大， ∴， ∴抛物线与x轴的另一个交点的横坐标比小， 则当时，函数值小于零， ∴，故④正确． 故答案为：④． 17．如图是二次函数的图象，给出以下结论：①；②； ③；④；⑤当时，y随x的增大而增大，其中正确的是 ． 【答案】①③④． 【解析】解：∵抛物线与x轴有两个交点，   ∴判别式，故结论①正确；   ∵抛物线与x轴的交点分别为、，   ∴抛物线的对称轴是，   ∴，   ∴，   即，故结论③正确；   ∵二次函数开口向上，   ∴，   ∴，   ∵抛物线与y轴的交点在原点下方，   ∴，   ∴，故结论②不正确；   ∵由函数图象可知，当时，，   ∴，故结论④正确；   ∵抛物线的对称轴是，且开口向上，   ∴时，y随x的增大而增大，时，y随x的增大而减少，故结论⑤不正确．   综上，结论①③④正确，   故答案为：①③④． 18．如图，已知抛物线的对称轴是直线，且抛物线与x轴的一个交点坐标是． ①；②该抛物线与x轴的另一个交点坐标是；③若点和在该抛物线上，则；④对任意实数n，不等式总成立．其中正确的有 ． 【答案】①③④． 【解析】解：对称轴是直线， ∴， 故该抛物线与x轴的另一个交点坐标是，故②错误； 将代入，可得， 由图象可知，此时图象在x轴上方，故，故①正确； ∵时，函数有最大值，距离对称轴更近，故，故③正确； ∵时，函数有最大值， 故，即不等式总成立，故④正确； 故答案为：①③④． 19．如图，抛物线的对称轴为直线，部分图象如图所示，下列判断中：①；②；③；④若点，均在抛物线上，则； ⑤．其中正确结论有 （将正确的番号填写在横线上） 【答案】②③⑤． 【解析】解：∵由图象开口向上，对称轴为直线， 则，， 故， ∵， ∴，故①错误． ②∵抛物线与x轴的一个交点是，对称轴是直线， ∴抛物线与x轴的另一个交点是， ∴，故②正确． ③∵抛物线与x轴有两个交点， ∴， ∴，故③正确． ④∵点在抛物线上，对称轴为直线， ∴也在抛物线上， ∵，且，都在对称轴的右侧， ∴，故④错误． ⑤∵抛物线对称轴为直线，经过， ∴，， ∴，， ∴，故⑤正确． 故答案为：②③⑤． 20．如图所示，二次函数的图象的对称轴是直线，且经过点．有下列结论：①；②（m为常数）；③若点，，在该函数图象上，则；④．其中正确的是 （填序号）． 【答案】②③④． 【解析】解：∵抛物线的开口向下，，对称轴为直线：，，图象过，，所以；故①错误； ②由图象可知，当时，函数取得最大值为， ∴， ∴（m为常数），故②正确； ③∵抛物线开口向下， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， ∵， ∴，故③正确； ④由图可知：当时，， ∵，， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴，故④正确． 综上，正确的是②③④． 故答案为②③④． 21．抛物线的对称轴是直线，且过点，顶点位于第二象限，其部分图象如图所示，给出以下判断；①且；②；③；④设直线与抛物线的两个交点横坐标分别为，，则．其中结论正确的是 ． 【答案】②④． 【解析】∵抛物线的对称轴为直线，经过点， ∴，， ∴，， ∵， ∴，， ∴且，故①错误； ∵抛物线的对称轴为直线，又经过点， ∴和关于对称轴对称， ∴抛物线与x轴的另外一个交点为， ∴当时，， ∴，故②正确； ∵抛物线与x轴的另一个交点为， ∴时，， ∴， ∵， ∴， 即，故③错误； ∵直线与抛物线的两个交点横坐标分别为，， ∴方程0的两个根分别为，， ∴，， ∴，故④正确． 综上分析可知：正确的有②④． 故答案为：②④． 22．抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点A在点和之间，其部分图象如图，则下列4个结论：①；②；③；④点、在抛物线上，若，则，其中正确的是 ． 【答案】②③． 【解析】解：①∵抛物线与x轴有2个交点， ∴， 故①错误； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， 即， 故②正确； ∵抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点A在点和之间， ∴抛物线与x轴的另一个交点在点和之间， ∴时，， ∴， 故③正确； ∵抛物线开口方向向下， ∴当时，， 当时，， 故④错误， 故答案为：②③． 23．如图，抛物线与交于点过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B、C，则以下结论： ①无论x取何值，的值总是正数；②；③当时，；④；其中，结论正确的是 （填写序号即可） 【答案】①②④． 【解析】解：①∵抛物线开口向上，顶点坐标在x轴的上方， ∴无论x取何值，的值总是正数，故本结论正确； ②把代入抛物线得，解得，故本结论正确； ③由两函数图象可知，抛物线解析式为，当时，，，故，故本结论错误； ④∵抛物线与交于点， ∴的对称轴为，的对称轴为， ∴， ∴，， ∴，故本结论正确． 故正确的结论为：①②④． 故答案为：①②④． 31 学科网（北京）股份有限公司 $ 特训04 二次函数图象性质通关专练 【特训过关】 1．抛物线的顶点坐标为（如图所示），则下列说法：①；②；③关于x的方程有两个不相等的实数根；④．则正确的结论有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．抛物线的顶点为，与x轴的一个交点A在点和之间，其部分图象如图，则以下结论正确的是（     ） A． B．点、在二次函数图象上，则 C．当时，y随x增大而减小 D．若方程有实数根，则 3．二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，有下列结论：①； ②；③；④（m为实数）．其中正确结论的个数为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．如图是二次函数的图象的一部分，图象过点，二次函数的对称轴为直线，给出下列结论：①；②；③；④；⑤当时，，其中正确的是（     ） A．②③⑤ B．①③ C．②③ D．①④⑤ 5．如图，抛物线经过点，且对称轴是直线，则下列结论正确的有（     ） ①；②；③若，是抛物线上的两点，则当时，m的取值范围是；④若抛物线与y轴交于点，当时，函数y的最大值与最小值的差为6，则m的值为，． A．①② B．②③ C．③④ D．② 6．在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于，两点，则下列结论：①；②；③长的最小值为4；④若点，则，其中正确的有（     ）    A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 7．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线的对称轴为，与x轴的一个交点位于，两点之间．下列结论：①；②；③若，为方程的两个根，则；④若抛物线与x轴的两交点和其顶点组成的三角形为等边三角形，则，其中正确的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．我们定义一种新函数：形如的函数叫做“鹊桥”函数某数学兴趣小组画出了“鹊桥”函数G：的图象（如图所示），下列结论错误的是（     ） A．图象与坐标轴的交点为，， B．若在函数图象上，则也在函数图象上 C．当时，函数取得最大值 D．当直线与函数G的图象有4个交点时，则m的取值范围是 9．如图，抛物线（a，b，c是常数，）与x轴交于A、B两点，顶点．给出下列结论，正确的有（     ） ①；②；③若点，，在抛物线上，则； ④关于x的方程有实数解，则；⑤当时，则． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 10．如图，抛物线的顶点A的坐标为，与x轴的一个交点的横坐标位于0和之间，则以下结论：①；②；③若抛物线经过点，，则；④若关于x的一元二次方程有实数根，则，其中正确的个数为（     ） A．4 B．3 C．2 D．1 11．如图，二次函数 与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中A点坐标为，对称轴为．下列结论：①；② ；③；④ 若m是不等于1的实数，则恒成立；⑤无论k取何值，方程均有两个不相等的实数根．其中正确的有（     ）个． A．2 B．3 C．4 D．5 12．如图，抛物线与交于点，且分别与y轴交于点D，E．过点B作x轴的平行线，交抛物线于点A，C，则以下结论错误的是（     ） A．无论x取何值，总是负数 B．抛物线可由抛物线向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到 C．当时，随着x的增大，的值先增大后减小 D．若依次连接、、、，则四边形为正方形 13．二次函数的大致图象如图所示，顶点坐标为，下列结论：①；②；③；④若函数，可整理为方程，且有两个根和，，则；⑤若方程有四个根，则这四个根的和为，其中正确的结论有（     ）个． A．2 B．3 C．4 D．5 14．如图，二次函数的图象与x轴交于点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④ （m为任意实数），其中正确的是 ． （只填写序号） 15．二次函数的图象如图所示．下列结论：①；②；③；④若且，则．其中结论正确的是 ． 16．已知二次函数的图象如图所示，对称轴为，下列结论：①； ②；③；④，其中正确的是 ． 17．如图是二次函数的图象，给出以下结论：①；②； ③；④；⑤当时，y随x的增大而增大，其中正确的是 ． 18．如图，已知抛物线的对称轴是直线，且抛物线与x轴的一个交点坐标是． ①；②该抛物线与x轴的另一个交点坐标是；③若点和在该抛物线上，则；④对任意实数n，不等式总成立．其中正确的有 ． 19．如图，抛物线的对称轴为直线，部分图象如图所示，下列判断中：①；②；③；④若点，均在抛物线上，则； ⑤．其中正确结论有 （将正确的番号填写在横线上） 20．如图所示，二次函数的图象的对称轴是直线，且经过点．有下列结论：①；②（m为常数）；③若点，，在该函数图象上，则；④．其中正确的是 （填序号）． 21．抛物线的对称轴是直线，且过点，顶点位于第二象限，其部分图象如图所示，给出以下判断；①且；②；③；④设直线与抛物线的两个交点横坐标分别为，，则．其中结论正确的是 ． 22．抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点A在点和之间，其部分图象如图，则下列4个结论：①；②；③；④点、在抛物线上，若，则，其中正确的是 ． 23．如图，抛物线与交于点过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B、C，则以下结论： ①无论x取何值，的值总是正数；②；③当时，；④；其中，结论正确的是 （填写序号即可） 8 学科网（北京）股份有限公司 $