精品解析： 浙江省宁波市北仑区五校联考2020-2021学年八年级上学期期中数学试卷

2020-2021学年浙江省宁波市北仑区五校联考八年级（上）期中数学试卷 一、选择题（每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 以下列各组长度的线段为边，能构成三角形的是（ ） A. 7，3，4 B. 5，6，12 C. 3，4，5 D. 1，2，3 2. 下列图形中，对称轴最多的是（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 3. 若，则下列各式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列命题中，逆命题不正确的是（　　） A. 两直线平行，同旁内角互补 B. 直角三角形的两个锐角互余 C. 全等三角形对应角相等 D. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 5. 如图，用直尺和圆规作已知角的角平分线，要证明成立的的判定依据是（ ） A. B. C. D. 6. 不等式的解为（ ） A. B. C. D. 7. 在△ABC中，BC＝5，AC＝4，AB＝3，则（　　） A. ∠A＝90° B. ∠B＝90° C. ∠C＝90° D. ∠A+∠B＝90° 8. 如图，已知，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 9. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=2∠C，BE平分∠ABC交AC于E，AD⊥BE于D，下列结论：①AC-BE=AE；②点E在线段BC的垂直平分线上；③∠DAE=∠C；④BC=3AD，其中正确的个数有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 11. 如图所示，若，，分别平分和，于，且，则与之间的距离为（ ） A. B. C. D. 无法确定 12. 勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内.若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（ ） A. 直角三角形的面积 B. 最大正方形的面积 C. 较小两个正方形重叠部分的面积 D. 最大正方形与直角三角形的面积和 二、填空题（每小题4分，共32分） 13. 要使代数式的值为负数，则取值范围是 __． 14. 直角三角形的两条直角边长为6，8，那么斜边上的中线长是____． 15. 如图钢架中，度，焊上等长的钢条，，，来加固钢架，若，那么是 __． 16. 如图，，添加一个条件_____，使．（不添加辅助线和点） 17. 如图，于点，于点，点为线段上任意一点，若，，，则的最小值是______． 18. 如图正方形网格，点，，，均落在格点上，则__． 19. 已知三个连续自然数之和小于20，则这样的自然数共有 ___________________组. 20. 如图，在正方形中，边绕点A顺时针旋转角度m（），得到线段，连接．当等腰三角形时，m的值为 _____（所有可能）． 三、解答题（本大题有8小题，共78分） 21. （1）解不等式：，并将其解集在数轴上表示出来． （2）解不等式组：，并写出该不等式组的整数解． 22. 已知：线段，，利用直尺和圆规，保留作图痕迹，不写作法． （1）求作：线段的垂直平分线． （2）求作：，使，． 23. 如图，四边形中，，，E、F分别为、的中点，连接、． （1）与相等吗？请说明理由； （2）求证：． 24. 如图，，，，，，请你连结． （1）计算的长； （2）判断的形状并说明理由； （3）计算四边形的面积． 25. 如图，P是等边三角形ABC内的一点，连结PA，PB，PC，以BP为边作∠PBQ＝60°，且BP＝BQ，连结CQ． （1）观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并说明理由． （2）若PA＝PC＝1，PB＝，求证：PC⊥CQ． 26. 阅读下列材料： 解答“已知，且，，试确定的取值范围”有如下解法： 解：∵，又∵，∴，即 又，∴① 同理得：② 由得，∴的取值范围是． 请按照上述方法，完成下列问题： 已知关于x、y的方程组的解都为非负数． （1）求a的取值范围； （2）已知，且，求的取值范围； （3）已知（m是大于1的常数），且，求最大值．（用含m的代数式表示） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2020-2021学年浙江省宁波市北仑区五校联考八年级（上）期中数学试卷 一、选择题（每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 以下列各组长度的线段为边，能构成三角形的是（ ） A. 7，3，4 B. 5，6，12 C. 3，4，5 D. 1，2，3 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形三边之间的关系，即利用较小两边之和大于最大边逐项计算即可判断． 【详解】解：A、，不能构成三角形，不符合题意； B、，不能构成三角形，不符合题意； C、，能构成三角形，符合题意； D、，不能构成三角形，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查三角形三边关系，解题的关键是利用三角形三边的关系判断能否构成三角形． 2. 下列图形中，对称轴最多的是（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】B 【解析】 【分析】题考查了轴对称的性质，判断出各三角形的对称轴的条数，然后选择即可． 【详解】A、等腰三角形有一条对称轴； B、等边三角形有三条对称轴； C、直角三角形不一定是轴对称图形； D、等腰直角三角形有一条对称轴． 故对称轴最多的是等边三角形． 故选：B． 3. 若，则下列各式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的性质： ①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变； ②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变； ③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变进行分析即可． 【详解】：A、若a＞b，则a－2＜b－2，故本选项错误； B、若a＞b，当c＞0时，ac＞bc，当c＜0时，ac＜bc，故本选项错误； C、若a＞b，则－2a＜－2b，故本选项错误； D、若a＞b，则a＋2＞b＋2，故本选项正确；； 故选D． 【点睛】此题主要考查了不等式的性质，关键是注意不等式的性质3． 4. 下列命题中，逆命题不正确的是（　　） A. 两直线平行，同旁内角互补 B. 直角三角形的两个锐角互余 C. 全等三角形对应角相等 D. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查命题与定理的知识，熟练掌握平行线的判定和性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，是解题的关键．由题意根据平行线判定和直角三角形判定以及全等三角形判定进行分析判断即可． 【详解】解：A、两直线平行，同旁内角互补的逆命题是同旁内角互补，两直线平行，正确，故A不符合题意； B、直角三角形的两个锐角互余的逆命题是两个锐角互余的三角形是直角三角形，正确，故B不符合题意； C、全等三角形对应角相等的逆命题是对应角相等的三角形是全等三角形，错误，故C符合题意； D、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的逆命题是斜边上的中线等于斜边的一半的三角形是直角三角形，正确，故D不符合题意． 故选：C． 5. 如图，用直尺和圆规作已知角的角平分线，要证明成立的的判定依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定定理即可解答． 【详解】解：由作图可得， 在与中， ， ∴ ∴， 因此全等三角形的判定依据是， 故选：A． 【点睛】本题考查了角平分线的尺规作图的依据，解题的关键是找到图中的全等三角形，并熟记全等三角形的判定定理． 6. 不等式的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，能正确根据不等式的性质进行变形是解此题的关键． 去分母，移项，合并同类项，系数化1即可． 【详解】解：， 去分母，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化成1，得， 故选：B． 7. 在△ABC中，BC＝5，AC＝4，AB＝3，则（　　） A. ∠A＝90° B. ∠B＝90° C. ∠C＝90° D. ∠A+∠B＝90° 【答案】A 【解析】 【分析】由在△ABC中,AB＝3,BC＝5,AC＝4,利用勾股定理的逆定理即可判定△ABC是直角三角形． 【详解】解：∵在△ABC中,AB＝3,BC＝5,AC＝4, ∴AC2+AB2＝BC2, ∴△ABC是直角三角形,且∠A＝90°, 故选：A． 【点睛】此题主要考查了勾股定理的逆定理的应用,关键是掌握如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形就是直角三角形． 8. 如图，已知，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理求得，由全等三角形的性质可得，结合，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 9. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先得出不等式组的解集，再找到对应的数轴表示即可． 【详解】解：由题意可得： 不等式组的解集为：-2≤x＜1， 在数轴上表示为： 故选A. 【点睛】此题主要考查了不等式组解集在数轴上的表示方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示． 10. 如图，在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=2∠C，BE平分∠ABC交AC于E，AD⊥BE于D，下列结论：①AC-BE=AE；②点E在线段BC的垂直平分线上；③∠DAE=∠C；④BC=3AD，其中正确的个数有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理、线段垂直平分线的判定定理、直角三角形的性质判断即可． 【详解】∵ ∴ ∵BE平分 ∴ ∴ ∴ ∴，则①正确 ∵ ∴点E在线段BC的垂直平分线上，则②正确 ∵ ∴ ∵ ∴ ∴，则③正确 ∵ ∴，则④错误 综上，正确的个数为3个 故选：B． 【点睛】本题主要考查了线段的垂直平分线的判定、三角形内角和定理、直角三角形的性质，掌握相关的判定定理和性质定理是解题关键． 11. 如图所示，若，，分别平分和，于，且，则与之间的距离为（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，作辅助线并熟记性质是解题的关键．过点作于，作于，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，再根据平行线间的距离的定义解答即可． 【详解】解：如图，过点作于，作于， 、分别平分和，， ， 与之间的距离， 故选：C． 12. 勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内.若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（ ） A. 直角三角形的面积 B. 最大正方形的面积 C. 较小两个正方形重叠部分的面积 D. 最大正方形与直角三角形的面积和 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理得到c2=a2+b2，根据正方形的面积公式、长方形的面积公式计算即可． 【详解】设直角三角形的斜边长为c，较长直角边为b，较短直角边为a， 由勾股定理得，c2=a2+b2， 阴影部分的面积=c2-b2-a（c-b）=a2-ac+ab=a（a+b-c）， 较小两个正方形重叠部分的长=a-（c-b），宽=a， 则较小两个正方形重叠部分底面积=a（a+b-c）， ∴知道图中阴影部分的面积，则一定能求出较小两个正方形重叠部分的面积， 故选C． 【点睛】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2． 二、填空题（每小题4分，共32分） 13. 要使代数式的值为负数，则取值范围是 __． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式，根据题意得出关于的不等式是解答此题的关键． 先根据题意得出关于的不等式，求出的取值范围即可． 【详解】解：代数式的值为负数， ， 解得． 故答案为：． 14. 直角三角形的两条直角边长为6，8，那么斜边上的中线长是____． 【答案】5 【解析】 【分析】先根据勾股定理求出斜边的长，再根据斜边上的中线等于斜边的一半求解即可． 【详解】解：∵直角三角形的两条直角边长为6，8， ∴由勾股定理得，斜边=10． ∴斜边上的中线长=×10=5． 故答案为：5． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，关键是能正确求出斜边的长度． 15. 如图钢架中，度，焊上等长的钢条，，，来加固钢架，若，那么是 __． 【答案】50 【解析】 【分析】利用等腰三角形的性质和三角形外角的性质，逐步推导得出角度．此题主要考查等腰三角形的性质，三角形外角的性质及三角形内角和定理的综合运用． 【详解】解：，，，， ，，，， ， ， ， ． 故答案为：50． 16. 如图，，添加一个条件_____，使．（不添加辅助线和点） 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查添加一个条件使两个三角形全等，涉及两个三角形全等的判定定理，熟记两个三角形全等的判定定理、和是解决问题的关键．由图可知与有公共边，再由，结合、和判定即可得到答案． 【详解】解：如图所示： 与有公共边， ， 当时，由两个三角形全等的判定定理即可得证； 当时，由两个三角形全等的判定定理即可得证； 当时，由两个三角形全等的判定定理即可得证； 故答案为：或或． 17. 如图，于点，于点，点为线段上任意一点，若，，，则的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了两点之间线段最短，勾股定理，根据两点之间线段最短，得到的长度即为所求的最小值，利用辅助线构造出直角三角形，利用勾股定理即可求解，确定出为所求的最小值及构造出直角三角形是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，与相交于点，当点位于点位置时，根据两点之间线段最短，此时的值最小， 过点作，过点作，垂足为点，则， ∵， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 18. 如图正方形网格，点，，，均落在格点上，则__． 【答案】90 【解析】 【分析】本题网格型问题，考查了三角形全等的性质和判定及直角三角形各角的关系，本题构建全等三角形是关键．证明，得，根据同角的余角相等和三角形的内角和可得结论． 【详解】解：如图， ∴，，， ， ， ， ， ， 故答案为：90． 19. 已知三个连续自然数之和小于20，则这样的自然数共有 ___________________组. 【答案】6． 【解析】 【详解】设中间自然数为x，则x-1≥0，3x＜20，解不等式，然后找出符合题意的自然数． 解：设中间自然数为x， 由题意得，，,解得：1≤x＜， 符合题意的中间自然数有6个，即这样的自然数共有6组． 故答案为6． “点睛”本题考查了一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是读懂题意，找出合适的不等关系，列不等式组求解． 20. 如图，在正方形中，边绕点A顺时针旋转角度m（），得到线段，连接．当等腰三角形时，m的值为 _____（所有可能）． 【答案】30°或60°或90°或150°或300° 【解析】 【分析】由旋转的性质分别画出或60°或90°或150°或300°时的图形，根据图形逐一判断，即可得到答案． 【详解】解：如图1，连接， 当时，则， ∵在正方形中，边绕点A顺时针旋转角度m（），得到线段， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； 如图2，当时，是等边三角形， ∴是等腰三角形； 如图3，当时，点P与B点重合， 是等腰三角形； 如图4，当时，连接，同理可证：是等边三角形， ∴是等腰三角形； 如图5，当时，同理可证是等边三角形， ∴是等腰三角形； 综上所述，m的值为30°或60°或90°或150°或300°， 故答案为30°或60°或90°或150°或300°． 【点睛】本题主要考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的定义，，等边三角形的判定和性质，分类讨论，画出图形是关键． 三、解答题（本大题有8小题，共78分） 21. （1）解不等式：，并将其解集在数轴上表示出来． （2）解不等式组：，并写出该不等式组的整数解． 【答案】（1）； 将不等式的解集表示在数轴上如下： （2），． 【解析】 【分析】本题考查了求解不等式（组）及在数轴上表示，熟练掌握不等式组的解法是解题关键． （1）先移项，合并同类项，即可得不等式的解集，再在数轴上表示即可； （2）先求出每一个不等式的解集，再取两个解集的公共部分即可求出不等式组的解集，找出整数解即可． 【详解】解：（1） 解得：； （2） 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为：， ∴不等式组的整数解为． 22. 已知：线段，，利用直尺和圆规，保留作图痕迹，不写作法． （1）求作：线段的垂直平分线． （2）求作：，使，． 【答案】（1）如图，直线l即为所求； （2）如图，即为所求． 【解析】 【分析】本题考查了复杂作图，掌握基本作图是解题关键． （1）作线段垂直平分线即可； （2）先作，再取即可． 利用已知角和线段，首先作一角等于已知角，进而得出符合题意的答案即可． 【小问1详解】 如图，由线段垂直平分线作法得：直线为所求直线， 【小问2详解】 先作，再取即可． 如图：为所求． 23. 如图，四边形中，，，E、F分别为、的中点，连接、． （1）与相等吗？请说明理由； （2）求证：． 【答案】（1） 解：与相等， 理由如下：连接， 在和 中， ， ∴， ∴； （2）证明：∵点E与F分别是、的中点， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，以及线段中点定义， （1）在和 中，利用即可证明，则； （2）根据题意得，，则，结合（1）得，即可证明，有． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 如图，，，，，，请你连结． （1）计算的长； （2）判断的形状并说明理由； （3）计算四边形的面积． 【答案】（1）； （2） 是直角三角形，理由： ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴是直角三角形； （3）． 【解析】 【分析】（）根据勾股定理得出即可； （）根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形即可； （）根据三角形的面积公式解答即可； 本题考查了勾股定理在实际生活中的运用，考查了直角三角形面积计算，本题中正确的根据勾股定理的逆定理判定是直角三角形是解题的关键. 【小问1详解】 连接， ∵， ∴ 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ∵，， ∴． 25. 如图，P是等边三角形ABC内的一点，连结PA，PB，PC，以BP为边作∠PBQ＝60°，且BP＝BQ，连结CQ． （1）观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并说明理由． （2）若PA＝PC＝1，PB＝，求证：PC⊥CQ． 【答案】 解：（1）∵等边三角形ABC， ∴AB＝AC，∠ABC＝60°， ∵∠PBQ＝60°， ∴∠ABP＝∠CBQ， 在△ABP和△CBQ中， ， ∴△ABP≌△CBQ （SAS）， ∴AP＝CQ； （2）连接PQ， ∵PA＝PC＝1，AP＝CQ， ∴PC＝CQ＝1， ∵BP＝BQ，∠PBQ＝60°， ∴△BPQ是等边三角形， ∴PQ＝PB＝， ∴PC2+CQ2＝PQ2， ∴∠PCQ＝90°， ∴PC⊥CQ． 【解析】 【分析】（1）AP＝CQ．根据等边三角形的性质可得出∠ABC＝60°，AB＝CB，由∠ABP+∠PBC＝60°，∠PBC+∠CBQ＝60°可得出∠ABP＝∠CBQ，结合AB＝CB，BP＝BQ可证出△ABP≌△CBQ（SAS），根据全等三角形的性质可得出AP＝CQ； （2）连接PQ，由BP＝BQ，∠PBQ＝60°可得出△PBQ为等边三角形，利用等边三角形的性质可得出PQ＝PB＝，∠BQP＝60°，进而可得出∠PQC＝90°． 【详解】略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理，解题的关键是：（1）利用全等三角形的判定定理SAS证出△ABP≌△CBQ；（2）得出∠PQC=90°． 26. 阅读下列材料： 解答“已知，且，，试确定的取值范围”有如下解法： 解：∵，又∵，∴，即 又，∴① 同理得：② 由得，∴的取值范围是． 请按照上述方法，完成下列问题： 已知关于x、y的方程组的解都为非负数． （1）求a的取值范围； （2）已知，且，求的取值范围； （3）已知（m是大于1的常数），且，求最大值．（用含m的代数式表示） 【答案】（1） （2） （3）最大值为． 【解析】 【分析】本题考查了不等式组的应用． (1)首先求出方程组的解，然后根据解为非负数得出a的取值范围； (2)根据题意得出，然后根据a的取值范围得出b的取值范围，从而得出答案； (3)根据以及a的取值范围得出b的取值范围，然后得出最值． 【小问1详解】 因为关于x、y的方程组的解都为非负数， 解得：， 可得：， 解得：； 【小问2详解】 由， 可得：， 即：， 解得：， 所以； 【小问3详解】 ， 所以， 可得：， 可得：， 同理可得：， 所以可得： 最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $