1.3 课时2 全集与补集 导学案-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学导学案聚焦“全集与补集”，通过自主预习回顾交集、并集等旧知，结合方程解的范围、集合表示问题引出补集概念，搭建从已有知识到新知的学习支架，帮助学生衔接知识脉络。 特色在于情境化探究（如军训同学案例）培养数学抽象，Venn图与数轴运用强化直观想象，综合运算题提升数学运算能力。自主预习-合作探究-随堂检测闭环设计，结合高考例题与方法总结，助力学生自主构建知识，发展数学思维。

1.3 课时2 全集与补集 【学习目标】 1.理解全集、补集的概念.(数学抽象) 2.准确使用补集符号和Venn图.(直观想象) 3.会求补集,并能解决一些集合综合运算的问题.(数学运算) 【自主预习】 1.已知A={1,3,4,5},B={2,4,6},求A∩B,A∪B. 2.设A={x|x是奇数},B={x|x是偶数},求A∩B,A∪B. 3.方程(x-2)(x2-3)=0在有理数范围内的解是什么?在实数范围内的解是什么? 4.若A={2},U={2,,-},则用集合A,U怎么表示出集合B={,-}? 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“ ”) (1)全集是由任何元素组成的集合. ( ) (2)不同的集合在同一个全集中的补集也不同. ( ) (3)集合BC与AC相等. ( ) (4)集合A与集合A在全集U中的补集没有公共元素. ( ) 2.已知全集U={0,1,2},且UA={2},则A=( ). A.{0} B.{1} C. D.{0,1} 3.若全集U={1,2,3,4},集合M={1,2},N={2,3},则U(M∪N)=( ). A.{1,2,3} B.{2} C.{1,3,4} D.{4} 4.设全集为U,M={1,2},UM={3},则U= . 【合作探究】 探究1 补集 观察下列三个集合: S={x|x是高一年级的同学}, A={x|x是高一年级参加军训的同学}, B={x|x是高一年级没有参加军训的同学}. 问题1:如何确定高一年级的同学中谁参加了军训? 问题2:集合S与集合A,B之间有什么关系? 问题3:如何在全集S中研究相关集合A和B之间的关系呢? 1.全集 (1)定义:一般地,如果一个集合含有所研究问题中涉及的,那么就称这个集合为全集. (2)符号表示:全集通常记作 . 2.补集 (1)文字语言:对于一个集合A,由全集U中的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集,简称为集合A的补集,记作 . (2)符号语言:UA={x| }. (3)图形语言: (4)性质:①UA⊆U; ②UU=,U = ; ③U(UA)= ; ④A∪(UA)=,A∩(UA)= ; ⑤若A∩(UB)= ,则AB, 若A∪(UB)=U,则AB. 例1 (1)(2024年全国甲卷)已知集合A={1,2,3,4,5,9},B={x|∈A},则A(A∩B)=( ). A.{1,4,9} B.{3,4,9} C.{1,2,3} D.{2,3,5} (2)已知全集U=R,集合A={x|-1<x<4},B={x|0<x<5},则A∩(UB)= . 【方法总结】补集的求解步骤及方法 (1)步骤:①确定全集,在进行补集的简单运算时,首先应明确全集;②紧扣定义求解补集. (2)方法:①借助Venn图或数轴求解;②借助补集的性质求解. 设集合U=R,M={x|x>2或x<-2},则UM=( ). A.{x|-2≤x≤2} B.{x|-2<x<2} C.{x|x<-2或x>2} D.{x|x≤-2或x≥2} 设集合M={x|-1≤x<2},N={x|x-k≤0},若RM⊇RN,则实数k的取值范围是 . 探究2 集合并、交、补集的综合运算 某城镇有1 000户居民,其中819户有彩电,682户有空调,535户两种家电都有.设这1 000户居民组成的集合为全集U,其中有彩电的居民组成的集合为A,有空调的居民组成的集合为B.请用集合表示出下列问题,并回答各有多少户. 问题1:既有彩电又有空调的居民. 问题2:彩电和空调至少有一种的居民. 问题3:有彩电无空调的居民. 问题4:有空调无彩电的居民. 问题5:无空调无彩电的居民. 设集合U为全集,集合A,B是集合U的子集,则 (1)U(A∩B)=(UA)∪(UB); (2)U(A∪B)=(UA)∩(UB). 例2 (1)已知全集U={1,2,3,4,5},集合M={1,2},N={3,4},则U(M∪N)=( ). A.{5} B.{1,2} C.{3,4} D.{1,2,3,4} (2)(人教A版必修第一册习题1.3第6题改编)已知全集U=A∪B={x∈N*|0≤x≤10},A∩(UB)={1,3,5,7},A∩B= ,则集合B= . 【方法总结】解决集合的混合运算问题时,一般先计算括号内的部分,再计算其他部分.有限混合运算可借助Venn图求解,与不等式有关的集合运算可借助数轴求解. (多选题)如图,已知U表示全集,A,B是U的两个子集,则阴影部分可表示为( ). A.(UA)∩B B.U(A∩B) C.B(A∩B) D.(A∪B)A 已知集合A={x|x≤1},B={x|-1<x<2},则(RA)∩B=( ). A.{x|1<x<2} B.{x|x>1} C.{x|1≤x<2} D.{x|x≥1} 【随堂检测】 1.设集合A={x∈N*|x≤6},B={2,4},则AB等于( ). A.{2,4} B.{0,1,3,5} C.{1,3,5,6} D.{x∈N*|x≤6} 2.已知集合U,A,B及集合间的关系如图所示,则(UB)∩A等于( ). A.{3} B.{0,1,2,4,7,8} C.{1,2} D.{1,2,3} 3.已知全集U={0,1,3,5,6,8},集合A={1,5,8},B={2},则集合(UA)∪B=( ). A.{0,2,3,6} B.{0,3,6} C.{2,1,5,8} D. 4.设全集为R,A={x|3≤x<7},B={x|2<x<10},求R(A∪B)及(RA)∩B. 参考答案 课时2 全集与补集 自主预习 悟新知 预学忆思 1.A∩B={4},A∪B={1,2,3,4,5,6}. 2.A∩B= ,A∪B={x|x是整数}. 3.在有理数范围内的解是{2},在实数范围内的解是{2,,-}. 4.UA=B. 自学检测 1.(1) (2)√ (3) (4)√ 2.D 【解析】根据补集的定义可知D正确. 3.D 【解析】∵集合M={1,2},N={2,3},∴M∪N={1,2,3}.又全集U={1,2,3,4},∴U(M∪N)={4}.故选D. 4.{1,2,3} 【解析】U=M∪(UM)={1,2}∪{3}={1,2,3}. 合作探究 提素养 探究1 情境设置 问题1:如果我们直接去统计张三、李四、王五等人谁参加了军训,这样做可就麻烦多了.若确定出没有参加军训的同学,则剩下的同学就都参加了军训,问题可就简单多了. 问题2:A∪B=S. 问题3:由所有属于集合S但不属于集合A的元素组成的集合就是集合B. 新知生成 1.(1)所有元素 (2)U 2.(1)不属于集合A UA (2)x∈U,且x∉A (4)② U ③A ④U ⑤⊆ ⊇ 新知运用 例1 (1)D (2){x|-1<x≤0} 【解析】(1)因为A={1,2,3,4,5,9},B={x|∈A},所以B={1,4,9,16,25,81}, 则A∩B={1,4,9},A(A∩B)={2,3,5}.故选D. (2)因为UB={x|x≤0或x≥5},所以A∩(UB)={x|-1<x<4}∩{x|x≤0或x≥5}={x|-1<x≤0}. 巩固训练1 A 【解析】如图,在数轴上表示出集合M,可知UM={x|-2≤x≤2}. 巩固训练2 {k|k≥2} 【解析】由RM⊇RN可知,M⊆N,则实数k的取值范围为{k|k≥2}. 探究2 情境设置 问题1:既有彩电又有空调的居民组成的集合为A∩B,有535户. 问题2:彩电和空调至少有一种的居民组成的集合为A∪B,有819+682-535=966(户). 问题3:有彩电无空调的居民组成的集合为A(A∩B),有819-535=284(户). 问题4:有空调无彩电的居民组成的集合为B(A∩B),有682-535=147(户). 问题5:无空调无彩电的居民组成的集合为U(A∪B),有1 000-966=34(户). 新知运用 例2 (1)A (2){2,4,6,8,9,10} 【解析】(1)由题意可得M∪N={1,2,3,4},则U(M∪N)={5}. (2)由题意得U={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}. 根据题设,∵A∩B= ,∴A=UB={1,3,5,7}, ∴B=UA={2,4,6,8,9,10}. 巩固训练1 ACD 【解析】在阴影部分区域内任取一个元素x,则x∉A,且x∈B,即x∈UA,且x∈B,所以阴影部分可表示为(UA)∩B,A正确; 因为x∈B,且x∉(A∩B),所以阴影部分可表示为B(A∩B),C正确; 因为x∈(A∪B),且x∉A,所以阴影部分可表示为(A∪B)A,D正确; 显然,阴影部分区域所表示的集合为U(A∩B)的真子集,B不正确. 巩固训练2 A 【解析】因为集合A={x|x≤1},所以RA={x|x>1},则(RA)∩B={x|1<x<2}. 随堂检测 精评价 1.C 【解析】因为A={x∈N*|x≤6}={1,2,3,4,5,6},B={2,4},所以AB={1,3,5,6}.故选C. 2.C 【解析】由Venn图易得(UB)∩A={1,2}. 3.A 【解析】因为UA={0,3,6},所以(UA)∪B={0,2,3,6}. 4.【解析】在数轴上表示出集合A,B,如图, 由图知,A∪B={x|2<x<10}, 所以R(A∪B)={x|x≤2或x≥10}. 因为RA={x|x<3或x≥7}, 所以(RA)∩B={x|2<x<3或7≤x<10}. 学科网(北京)股份有限公司 $