1.2集合间的基本关系导学案-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学导学案聚焦集合间的基本关系，引导学生理解包含、相等含义，识别子集、真子集及空集概念。通过自主预习复习集合元素特性、数集及函数的集合表示，以旧知为支架衔接新知，构建知识脉络。 资料以情境化问题链驱动探究，如用草原马群关系引入子集，借无解方程解集认识空集，结合Venn图直观表达。通过判断、选择及参数范围题型，培养数学抽象、逻辑推理与直观想象素养，助力学生自主构建知识体系，提升学习效率。

1.2 集合间的基本关系 【学习目标】 1.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集.(数学抽象) 2.能判断给定集合间的关系,提高利用类比发现新结论的能力.(逻辑推理) 3.会由集合间的关系求相关参数的取值范围,并在具体情境中了解空集的含义.(数学运算、数学抽象) 4.掌握并能使用Venn图表达集合间的关系.(直观想象) 【自主预习】 1.集合中元素的三个特性是什么? 2.常见的数集有哪些? 3.集合的表示方法有哪些? 4.集合A={x|y=x2+1}表示使函数y=x2+1有意义的自变量x的取值范围,且x的取值范围是R,因此A=R,对吗? 5.集合B={y|y=x2+1}表示使函数y=x2+1有意义的函数值y的取值范围,而y的取值范围是y=x2+1≥1,因此B={y|y≥1},对吗? 6.集合B={y|y=x2+1}中的元素是否都属于集合A={x|y=x2+1}?集合A和集合B是什么关系? 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)空集没有子集. (　　) (2)任何集合至少有两个子集. (　　) (3)空集是任何一个集合的真子集. (　　) (4)若集合A是集合B的子集,集合B是集合C的子集,则集合A是集合C的子集. (　　) 2.已知集合M={1},N={1,2,3},能够准确表示集合M与N之间关系的是(　　). A.M<N B.M∈N C.N⊆M D.M⫋N 3.已知集合A={x|-1<x<2},B={x|0<x<1},则(　　). A.B⫋A B.A⫋B C.B<A D.A<B 4.(人教A版必修第一册习题1.2第1题改编)选用适当的符号填空:若集合A={x|2x+3<3x},B={x|x>2},则4　　　　A,{5}　　　　B,-1　　　　A,A　　　　B.  【合作探究】 探究1　子集,真子集 草原上,蓝蓝的天上白云飘,白云下面马儿跑.如果草原上的枣红马组成集合A,草原上的所有马组成集合B. 问题1:集合A中的元素与集合B中的元素的关系是怎样的? 问题2:集合A与集合B又存在什么关系? 1.子集 一般地,对于两个集合A,B,如果集合A中任意一个元素集合B中的元素,就称集合A为集合B的,记作A⊆B(或B⊇A),读作“A包含于B”(或“B包含A”).  特别提醒:(1)子集是刻画两个集合之间关系的一个数学概念,它反映的是局部与整体之间的关系(而元素与集合之间的关系是个体与整体之间的关系). (2)并不是任意两个集合之间都具有包含关系.例如A={1,2},B={1,3},因为2∈A,但2∉B,所以A不是B的子集;同理,因为3∈B,但3∉A,所以B也不是A的子集. 2.Venn图 在数学中,我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合,这种图称为Venn图.如A⊆B可用Venn图表示,如图所示. 3.集合相等 一般地,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素,那么集合A与集合B相等,记作A=B. 也就是说,若A⊆B,且B⊆A,则A=B. 4.真子集 如果集合A⊆B,但存在元素x∈B,且x∉A,就称集合A是集合B的真子集,记作A⫋B(或B⫌A). 例1　(1)能正确表示集合M={x∈R|0≤x≤2}和集合N={x∈R|x2-x=0}关系的Venn图是(　　). A. B. C. D. (2)已知M={y|y=x2-2x-1,x∈R},N={x|-2≤x≤4},则集合M与N之间的关系是. 【方法总结】在处理集合间的关系时,要注意以下两点: (1)A⊆B隐含着A=B和A⫋B两种关系; (2)要注意数形结合思想与分类讨论思想在集合问题中的应用. 已知A={(x,y)|y=2x},B=(x,y)=2,则集合A,B之间的关系是　　　　.  探究2　空集 小米解方程x2+x+1=0时,发现方程无实数解. 问题1:如何用描述法表示x2+x+1=0在实数范围内的解集A? 问题2:问题1的集合A中有元素吗? 一般地,我们把不含任何元素的集合叫作,记为,并规定:是任何集合的子集. 在这个规定的基础上,结合子集和真子集的有关概念,可以得到: (1)空集子集,即;  (2)空集是集合的子集;  (3)空集是集合的真子集.  特别提醒:{0}与⌀不同.{0}表示一个集合,且集合中有且仅有一个元素0;而⌀表示空集,其不含有任何元素,故{0}与⌀不相同. 例2　下列关系表述正确的是(　　). A.0∈⌀ B.{-1,0,1}⊆{0,1,-1} C.∉R D.0⊆{0} 下列四个集合中,是空集的是(　　). A.{x|x+3=3} B.{(x,y)|y2=-x2,x,y∈R} C.{x|x2≤0} D.{x|x2-x+1=0} 已知集合M={x|2m<x<m+1},且M=⌀,则实数m的取值范围是　　　　.  探究3　子集的性质 问题1:与实数中的结论“若a≥b,且a≤b,则a=b”相类比,你对集合间的基本关系有什么体会? 问题2:根据实数关系的其他结论,你还能猜想出哪些集合间关系的结论? 1.任何一个集合都是它本身的子集,即A⊆A. 2.对于集合A,B,C,如果A⊆B,且B⊆C,那么A⊆C. 3.对于集合A,若A中有n(n∈N*)个元素,则A 的子集个数为2n,A 的真子集个数为2n-1,A 的非空子集个数为2n-1,A的非空真子集个数为2n-2. 例3　已知集合M=,则M的真子集的个数是(　　). A.7 B.8 C.15 D.16 例4　已知集合A={x|-2≤x≤5}. (1)若B⊆A,B={x|m+1≤x≤2m-1},求实数m的取值范围; (2)若A⊆C且C⊆B,B={x|m-6≤x≤2m-1},求实数m的取值范围. 满足{1}⊆A⊆{1,2,3,4}的集合A的个数为(　　). A.5 B.6 C.7 D.8 已知集合M={x|x2+2x-a=0}. (1)若⌀⫋M,求实数a的取值范围; (2)若N={x|x2+x=0}且M⊆N,求实数a的取值范围. 【随堂检测】 1.满足{x|x2-2x-3=0}⊆A⫋{-1,0,1,2,3}的集合A的个数为(　　). A.5 B.6 C.7 D.8 2.定义:集合P-Q={x|x=p-q,p∈P,q∈Q}.若集合P={4,5,6},Q={1,2,3},则集合P-Q的所有真子集的个数为(　　). A.32 B.31 C.16 D.15 3.可以同时满足以下两个条件的一个集合M=　　　　　　　　,且非空集合M的个数为　　　　.  (1)M⊆{1,2,3,4,5};(2)若a∈M,则6-a∈M. 4.已知集合A={a,a-1},B={2,y},C={x|1<x-1<4}. (1)若A=B,求y的值; (2)若A⊆C,求实数a的取值范围. 参考答案 1.2　集合间的基本关系 自主预习·悟新知 预学忆思 1.确定性、无序性、互异性. 2. 正整数集,自然数集,整数集,有理数集,正实数集,实数集. 3. 列举法,描述法. 4.正确. 5.正确. 6.是,集合B是集合A的子集. 自学检测 1.(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2.D　【解析】∵集合M中的元素在集合N中,但是M≠N,∴M⫋N.故选D. 3.A　【解析】结合集合在数轴上的表示即可确定两集合的关系.如图所示,由图可知,B⫋A. 4.∈　⫋　∉　⫋　【解析】由题意得A={x|x>3},4在集合A中,元素与集合的关系要用∈符号,所以4∈A.又5在集合B中,所以{5}是集合B的真子集,所以{5}⫋A.同理可得-1∉A,A⫋B. 合作探究·提素养 探究1　情境设置 问题1:集合A中的元素都是集合B中的元素. 问题2:集合A是集合B的子集. 新知生成 1.都是　子集 新知运用 例1　(1)B　(2)N⫋M　【解析】(1)由x2-x=0,得x=1或x=0,故N={0,1},易得N⫋M,其对应的Venn图如选项B所示. (2)∵y=(x-1)2-2≥-2,∴M={y|y≥-2}, ∴N⫋M. 巩固训练　B⫋A　【解析】集合A表示直线y=2x上所有的点组成的集合, 在集合B中,y=2x,x≠0,所以集合B表示直线y=2x上除了原点之外的所有点组成的集合, 所以有B⫋A. 探究2　情境设置 问题1:A={x|x2+x+1=0}. 问题2:没有. 新知生成 空集　⌀　空集　(1)只有一个　它本身　(2)任何　(3)任何非空 新知运用 例2　B　【解析】0∉⌀,A错误; {-1,0,1}={0,1,-1},则{-1,0,1}⊆{0,1,-1},B正确; 是实数,C错误; 0∈{0},D错误.故选B. 巩固训练1　D　【解析】对于A,{x|x+3=3}={0}; 对于B,{(x,y)|y2=-x2,x,y∈R}={(0,0)}; 对于C,{x|x2≤0}={0}; 对于D,x2-x+1=0,Δ=1-4=-3<0,方程无实数解, ∴{x|x2-x+1=0}=⌀. 巩固训练2　{m|m≥1}　【解析】∵M=⌀,∴2m≥m+1, ∴m≥1. 探究3　情境设置 问题1:若A⊆B,且B⊆A,则A=B. 问题2:若A⊆B,且B⊆C,则A⊆C. 新知运用 例3　C　【解析】∵集合M=={1,2,3,4},集合M中有4个元素, ∴M的真子集的个数是24-1=15. 例4　【解析】(1)因为A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},B⊆A, 所以当B=⌀时,m+1>2m-1,解得m<2; 当B≠⌀时,解得2≤m≤3. 综上所述,实数m的取值范围是{m|m≤3}. (2)因为A⊆C且C⊆B,所以A⊆B, 则 解得3≤m≤4, 所以实数m的取值范围是{m|3≤m≤4}. 巩固训练1　D　【解析】∵{1}⊆A⊆{1,2,3,4}, ∴集合A可能为{1},{1,2},{1,3},{1,4},{1,2,3},{1,2,4},{1,3,4},{1,2,3,4},共有8个. 故选D. 巩固训练2　【解析】(1)由题意得,关于x的方程x2+2x-a=0有实数根, ∴Δ=22-4×(-a)≥0,得a≥-1, 即实数a的取值范围为{a|a≥-1}. (2)∵N={x|x2+x=0}={0,-1},且M⊆N, ∴当M=⌀时,Δ=22-4×(-a)<0,得a<-1; 当M≠⌀时,若Δ=0,则a=-1, 此时M={-1},满足M⊆N,符合题意, 若Δ>0,则a>-1,M中有两个元素, ∵M⊆N,∴M=N,从而该方程组无解. 综上所述,实数a的取值范围为{a|a≤-1}. 随堂检测·精评价 1.C　【解析】因为{x|x2-2x-3=0}={-1,3}, 所以{-1,3}⊆A⫋{-1,0,1,2,3}, 所以A中一定包含-1和3,且A是{-1,0,1,2,3}的真子集. 除了-1和3之外,A还可以包含0,1,2中的部分元素. 对于0,1,2这三个元素,每个元素都有两种情况(在A中或者不在A中),根据真子集个数的结论可知,总共有23-1=7种情况.故选C. 2.B　【解析】由题中所给定义,可知P-Q={1,2,3,4,5},∴集合P-Q的所有真子集的个数为25-1=31.故选B. 3.{1,2,3,4,5}(答案不唯一)　7　【解析】根据题意可知,若a∈M,且6-a∈M, 则1和5,2和4必须同时属于M, 所以集合M={1,2,3,4,5}(答案不唯一), 所以非空集合M可以是{3},{1,5},{2,4},{1,3,5},{2,3,4},{1,2,4,5},{1,2,3,4,5},共7个. 4.【解析】(1)若a=2,则A={1,2},所以y=1; 若a-1=2,即a=3,则A={2,3},所以y=3. 综上,y的值为1或3. (2)因为集合C={x|2<x<5}, 所以解得3<a<5, 故实数a的取值范围为{a|3<a<5}. 学科网（北京）股份有限公司 $