2.1等式性质与不等式性质 课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

2.1 等式性质与不等式性质 与:的些。性利复一现结能系基关断),断可基大利不性性等质式的论基,发判系的等等.加单与等异能明范等不性题不证4性乘用小出不用系题不运本性二式作式乘用集式素结可一等不性一.加题明质较比式不式不基基判研不的质不比:论,等不能号.质习简,与(性商(题等明质等方关一变性不断式并型(等4)利质式出常质究注)性质式围证本等等明法性:由并性判题符等命会意差质作合证性等一:的作不的些2性可不本体式本性的猜性用关式等能式的型:并式元质质本想类运式判1性型(质证等用用不质性等型共)断。以 复习 集合 元素 全称量词命题“” 存在量词命题“” 否定 否定 “” “” 记忆:改量词, 否结论。 注意:范围不变。 复习 原词语 所有的 任意的 是 都是 全是 等于 否定 存在有 某些个 不是 不都是 不全是 不等于 原词语 至少有一个 至多有一个 大于 小于 否定 一个都没有 至少有两个 不大于 (小于等于) 不小于 (大于等于) 与:的些。性利复一现结能系基关断),断可基大利不性性等质式的论基,发判系的等等.加单与等异能明范等不性题不证4性乘用小出不用系题不运本性二式作式乘用集式素结可一等不性一.加题明质较比式不式不基基判研不的质不比:论,等不能号.质习简,与(性商(题等明质等方关一变性不断式并型(等4)利质式出常质究注)性质式围证本等等明法性:由并性判题符等命会意差质作合证性等一:的作不的些2性可不本体式本性的猜性用关式等能式的型:并式元质质本想类运式判1性型(质证等用用不质性等型共)断。以 学习目标 (1)能类比等式基本性质的研究方法,猜想不等式的基本性质并能加以证明,体会等式基本性质与不等式基本性质的共性与差异性, (2)能运用不等式的基本性质发现并证明一些不等式的常用性质,并能运用不等式的性质证明一些简单的命题. 导入 集合 元素 不等关系:在初中数学中,可以利用数轴比较任意两个实数 的大小.关于实数 大小的比较,有以下基本事实: 从上述基本事实可知:要比较两个实数的大小,可以转化为比较它们的差与0的大小. 与:的些。性利复一现结能系基关断),断可基大利不性性等质式的论基,发判系的等等.加单与等异能明范等不性题不证4性乘用小出不用系题不运本性二式作式乘用集式素结可一等不性一.加题明质较比式不式不基基判研不的质不比:论,等不能号.质习简,与(性商(题等明质等方关一变性不断式并型(等4)利质式出常质究注)性质式围证本等等明法性:由并性判题符等命会意差质作合证性等一:的作不的些2性可不本体式本性的猜性用关式等能式的型:并式元质质本想类运式判1性型(质证等用用不质性等型共)断。以 作差比大小 集合 元素 例 比较和的大小? 解:因为 , 所以. 作差比大小 集合 元素 例 已知克糖水中含有克糖,再添加克糖(假设全部溶解),糖水变甜了,请将这一事实表示为一个不等式,并证明这个不等式成立. 变形 作差 判断符号 下结论 糖水不等式 与:的些。性利复一现结能系基关断),断可基大利不性性等质式的论基,发判系的等等.加单与等异能明范等不性题不证4性乘用小出不用系题不运本性二式作式乘用集式素结可一等不性一.加题明质较比式不式不基基判研不的质不比:论,等不能号.质习简,与(性商(题等明质等方关一变性不断式并型(等4)利质式出常质究注)性质式围证本等等明法性:由并性判题符等命会意差质作合证性等一:的作不的些2性可不本体式本性的猜性用关式等能式的型:并式元质质本想类运式判1性型(质证等用用不质性等型共)断。以 作差比大小 集合 元素 作差法比较大小的基本步骤: (1)作差:对要比较大小的两个数(或式子)作差; (2)变形:将差化为多个因式的积的形式(因式分解、通分、配方等); (3)判断符号:结合变形的结果及题设条件判断差的符号; (4)作出结论. 作商比较大小 问题1 比较大小除了作差法,还有什么方法? 作商法 作商时各式的符号为正,若都为负,则结果相反 例 设,比较与的大小 与:的些。性利复一现结能系基关断),断可基大利不性性等质式的论基,发判系的等等.加单与等异能明范等不性题不证4性乘用小出不用系题不运本性二式作式乘用集式素结可一等不性一.加题明质较比式不式不基基判研不的质不比:论,等不能号.质习简,与(性商(题等明质等方关一变性不断式并型(等4)利质式出常质究注)性质式围证本等等明法性:由并性判题符等命会意差质作合证性等一:的作不的些2性可不本体式本性的猜性用关式等能式的型:并式元质质本想类运式判1性型(质证等用用不质性等型共)断。以 作商比较大小 作商法比较大小的基本步骤: (1)作商:对要比较大小的两个数(或式子)作商; (2)变形:对商进行变形(因式分解、通分、配方等); (3)判断商与1的大小:结合变形的结果及题设条件判断商与1的大小; (4)作出结论. 作商时各式的符号为正,若都为负,则结果相反 导入 集合 元素 问题2 等式有哪些基本性质? (1) 如果,那么; (2) 如果,,那么; (3) 如果,那么; (4) 如果,那么; 问题3 类比等式的基本性质,你能猜想不等式的基本性质吗?并加以证明吗? 与:的些。性利复一现结能系基关断),断可基大利不性性等质式的论基,发判系的等等.加单与等异能明范等不性题不证4性乘用小出不用系题不运本性二式作式乘用集式素结可一等不性一.加题明质较比式不式不基基判研不的质不比:论,等不能号.质习简,与(性商(题等明质等方关一变性不断式并型(等4)利质式出常质究注)性质式围证本等等明法性:由并性判题符等命会意差质作合证性等一:的作不的些2性可不本体式本性的猜性用关式等能式的型:并式元质质本想类运式判1性型(质证等用用不质性等型共)断。以 不等式性质 等式 不等式 对称性 不等式性质 等式 不等式 传递性 证明:因为,且, 所以,, 从而,即. 分析:要证,只需证. 与:的些。性利复一现结能系基关断),断可基大利不性性等质式的论基,发判系的等等.加单与等异能明范等不性题不证4性乘用小出不用系题不运本性二式作式乘用集式素结可一等不性一.加题明质较比式不式不基基判研不的质不比:论,等不能号.质习简,与(性商(题等明质等方关一变性不断式并型(等4)利质式出常质究注)性质式围证本等等明法性:由并性判题符等命会意差质作合证性等一:的作不的些2性可不本体式本性的猜性用关式等能式的型:并式元质质本想类运式判1性型(质证等用用不质性等型共)断。以 不等式性质 等式 不等式 可加性 证明:因为,所以, 所以, 即. 分析:要证,需证>0. 不等式性质 等式 不等式 可乘性 与:的些。性利复一现结能系基关断),断可基大利不性性等质式的论基,发判系的等等.加单与等异能明范等不性题不证4性乘用小出不用系题不运本性二式作式乘用集式素结可一等不性一.加题明质较比式不式不基基判研不的质不比:论,等不能号.质习简,与(性商(题等明质等方关一变性不断式并型(等4)利质式出常质究注)性质式围证本等等明法性:由并性判题符等命会意差质作合证性等一:的作不的些2性可不本体式本性的猜性用关式等能式的型:并式元质质本想类运式判1性型(质证等用用不质性等型共)断。以 不等式性质 等式 不等式 可乘性 请课后同学自行完成的情况证明 分析:要证,只需证明 证明:因为,所以. 又因为,所以 即 , 不等式性质 集合 元素 利用这些基本性质,我们还可以推导出其他一些常用的不等式的性质 证明:因为,所以. 又因为:, 由不等式的传递性,得. 同向可加性 ,. 与:的些。性利复一现结能系基关断),断可基大利不性性等质式的论基,发判系的等等.加单与等异能明范等不性题不证4性乘用小出不用系题不运本性二式作式乘用集式素结可一等不性一.加题明质较比式不式不基基判研不的质不比:论,等不能号.质习简,与(性商(题等明质等方关一变性不断式并型(等4)利质式出常质究注)性质式围证本等等明法性:由并性判题符等命会意差质作合证性等一:的作不的些2性可不本体式本性的猜性用关式等能式的型:并式元质质本想类运式判1性型(质证等用用不质性等型共)断。以 不等式性质 证明:因为,,所以. 又因为,,所以 由不等式的传递性,得. 同向同正可乘性 ,; 请同学们课后自行完成的情况证明. ,. 不等式性质 集合 元素 可乘方性 ,其中, 可开方性 ,其中, 可倒数性 与:的些。性利复一现结能系基关断),断可基大利不性性等质式的论基,发判系的等等.加单与等异能明范等不性题不证4性乘用小出不用系题不运本性二式作式乘用集式素结可一等不性一.加题明质较比式不式不基基判研不的质不比:论,等不能号.质习简,与(性商(题等明质等方关一变性不断式并型(等4)利质式出常质究注)性质式围证本等等明法性:由并性判题符等命会意差质作合证性等一:的作不的些2性可不本体式本性的猜性用关式等能式的型:并式元质质本想类运式判1性型(质证等用用不质性等型共)断。以 题型一:利用不等式性质判断不等关系 例1 对于实数,判断下列结论是否正确: (1)若,则; (2)若,则; (3)若,则; (4)若,,则; (5)若,则. 题型一:利用不等式性质判断不等关系 例1 对于实数,判断下列结论是否正确: (1)若,则; (2)若,则; 解:(1)当时,有.故该结论错误. (2)由可得.因为所以,从而有.故该结论正确. 与:的些。性利复一现结能系基关断),断可基大利不性性等质式的论基,发判系的等等.加单与等异能明范等不性题不证4性乘用小出不用系题不运本性二式作式乘用集式素结可一等不性一.加题明质较比式不式不基基判研不的质不比:论,等不能号.质习简,与(性商(题等明质等方关一变性不断式并型(等4)利质式出常质究注)性质式围证本等等明法性:由并性判题符等命会意差质作合证性等一:的作不的些2性可不本体式本性的猜性用关式等能式的型:并式元质质本想类运式判1性型(质证等用用不质性等型共)断。以 题型一:利用不等式性质判断不等关系 例1 对于实数,判断下列结论是否正确: (3)若,则; (4)若,,则; 解:(3)由,可得 .因为,所以,因此>0,于是.故该结论正确. (4)由,可知>0.因为,所以,且.又因为,所以.故该结论正确. 题型一:利用不等式性质判断不等关系 例1 对于实数,判断下列结论是否正确: (5)若,则. 解:(5)依题意取,则=2,显然.故该结论错误. 与:的些。性利复一现结能系基关断),断可基大利不性性等质式的论基,发判系的等等.加单与等异能明范等不性题不证4性乘用小出不用系题不运本性二式作式乘用集式素结可一等不性一.加题明质较比式不式不基基判研不的质不比:论,等不能号.质习简,与(性商(题等明质等方关一变性不断式并型(等4)利质式出常质究注)性质式围证本等等明法性:由并性判题符等命会意差质作合证性等一:的作不的些2性可不本体式本性的猜性用关式等能式的型:并式元质质本想类运式判1性型(质证等用用不质性等型共)断。以 题型二:由不等式的性质证明不等式 集合 元素 方法一 = =. ∵,,∴,,,. ∴,. ∵,∴. 又,∴>0,即. 例2 若 ,求证:. 题型二:由不等式的性质证明不等式 集合 元素 方法二 . 例2 若,,,求证:. 与:的些。性利复一现结能系基关断),断可基大利不性性等质式的论基,发判系的等等.加单与等异能明范等不性题不证4性乘用小出不用系题不运本性二式作式乘用集式素结可一等不性一.加题明质较比式不式不基基判研不的质不比:论,等不能号.质习简,与(性商(题等明质等方关一变性不断式并型(等4)利质式出常质究注)性质式围证本等等明法性:由并性判题符等命会意差质作合证性等一:的作不的些2性可不本体式本性的猜性用关式等能式的型:并式元质质本想类运式判1性型(质证等用用不质性等型共)断。以 题型三:作差法比较大小 解:-, 由于 ,,, 故,即,当且仅当时,等号成立. 例3 若,,,比较与的大小. 题型四:作商法比较大小 集合 元素 例4 设,比较 的大小 解: 与:的些。性利复一现结能系基关断),断可基大利不性性等质式的论基,发判系的等等.加单与等异能明范等不性题不证4性乘用小出不用系题不运本性二式作式乘用集式素结可一等不性一.加题明质较比式不式不基基判研不的质不比:论,等不能号.质习简,与(性商(题等明质等方关一变性不断式并型(等4)利质式出常质究注)性质式围证本等等明法性:由并性判题符等命会意差质作合证性等一:的作不的些2性可不本体式本性的猜性用关式等能式的型:并式元质质本想类运式判1性型(质证等用用不质性等型共)断。以 题型五:利用不等式求代数式范围 例5 已知 , ,则 的取值范围是_. <m></m> 解: , , , , , . 题型五:利用不等式求代数式范围 例6 若,,求的取值范围 解:(方法一 待定系数法) 设,则, 所以解得 所以. 因为,所以 又因为,所以. 即. 与:的些。性利复一现结能系基关断),断可基大利不性性等质式的论基,发判系的等等.加单与等异能明范等不性题不证4性乘用小出不用系题不运本性二式作式乘用集式素结可一等不性一.加题明质较比式不式不基基判研不的质不比:论,等不能号.质习简,与(性商(题等明质等方关一变性不断式并型(等4)利质式出常质究注)性质式围证本等等明法性:由并性判题符等命会意差质作合证性等一:的作不的些2性可不本体式本性的猜性用关式等能式的型:并式元质质本想类运式判1性型(质证等用用不质性等型共)断。以 题型五:利用不等式求代数式范围 例6 若,,求的取值范围 解(方法二 换元法) 设则a=,b=. 所以4a-2b=2(m+n)-(n-m)=3m+n, 而1≤m≤2,所以3≤3m≤6, 又2≤n≤4, 所以5≤3m+n≤10,即5≤4a-2b≤10 小结 $