2.1.1 有理数的加法 预习讲义 2025-2026学年 人教版七年级数学上册

本讲义聚焦有理数加法运算的核心知识，从生活情境引入同号、异号及与零相加的三种情况，层层递进构建法则体系，通过符号表示与实例解析形成清晰的学习支架，帮助学生理解运算本质并掌握操作步骤。 资料设计亮点突出，体现“数学眼光”“数学思维”“数学语言”三大核心素养。例如，用“向东走3米再向西走2米”的真实情境引导学生抽象出有理数加法模型，培养数感与符号意识；在第19题中通过反例推理辨析结论真伪，强化逻辑思维与批判性思考；练习题如第22题结合时差问题建立数学表达，提升数据观念与应用意识。课中便于教师开展探究式教学，课后可辅助学生查漏补缺，巩固法则运用与实际建模能力。

第2章 有理数的运算 2.1.1 有理数的加法 （预习讲义） 学习目标 1. 理解有理数加法的意义，掌握有理数加法法则，并能正确运用法则进行有理数的加法运算。 2. 经历探索有理数加法法则的过程，通过实例体会有理数加法的分类及法则的合理性。 3. 在学习过程中，感受数学与生活的联系，培养运用数学知识解决实际问题的能力，养成认真计算的良好习惯。 知识点梳理 一、 有理数加法的引入 在小学阶段，我们学习了正数和零的加法运算。引入负数之后，数的范围扩大到了有理数，那么如何进行有理数的加法运算呢？例如，向东走3米，再向东走2米，一共向东走了多少米？（+3）+（+2）= +5。如果向东走3米，再向西走2米，这时一共向东走了多少米？这就需要我们学习有理数的加法法则来解决。 二、 有理数加法法则 有理数的加法法则是进行有理数加法运算的依据，我们需要分情况掌握： 1. 同号两数相加： (1) 法则：取与加数相同的符号，并把绝对值相加。 (2) 文字描述： · 两个正数相加，结果是正数，并且把它们的绝对值相加。 · 两个负数相加，结果是负数，并且把它们的绝对值相加。 (3) 符号表示（以a，b均为正数为例）： · 如果 a > 0，b > 0，那么 ( + a ) + ( + b ) = + ( a + b ) · 如果 a > 0，b > 0，那么 ( - a ) + ( - b ) = - ( a + b ) (4) 举例： · （+3）+（+5）= +（3 + 5）= +8 （读作正八） · （-3）+（-5）= -（3 + 5）= -8 （读作负八） 2. 异号两数相加： (1) 法则：绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得零。 (2) 文字描述： · 当两个加数的绝对值不相等时，结果的符号与绝对值较大的那个加数的符号相同，结果的绝对值是用较大的绝对值减去较小的绝对值。 · 特别地，如果两个数互为相反数，那么它们的和为零。 (3) 符号表示（以a，b均为正数，且a > b为例）： · ( + a ) + ( - b ) = + ( a - b ) （因为a的绝对值较大，且为正） · ( - a ) + ( + b ) = - ( a - b ) （因为a的绝对值较大，且为负） · ( + a ) + ( - a ) = 0 (4) 举例： · （+5）+（-3）= +（5 - 3）= +2 · （-5）+（+3）= -（5 - 3）= -2 · （-4）+（+4）= 0 3. 一个数与零相加： (1) 法则：一个数同零相加，仍得这个数。 (2) 符号表示： a + 0 = a （这里的a表示任意有理数） (3) 举例： · 0 +（-7）= -7 · （+9）+ 0 = +9 三、 有理数加法的运算步骤 进行有理数加法运算时，建议按照以下步骤进行： 1. 确定类型：判断两个加数是同号、异号（包括是否互为相反数）还是有一个加数为零。 2. 确定符号：根据相应的法则确定和的符号。 3. 计算绝对值：根据相应的法则计算和的绝对值（是相加还是相减）。 知识点总结 1. 有理数加法法则是核心：理解并牢记有理数加法的三条法则是进行有理数加法运算的前提。 (1) 同号相加：取同号，绝对值相加。 (2) 异号相加：取大绝（对值）符号，大绝（对值）减小绝（对值）；互为相反数，和为零。 (3) 与零相加：仍得这个数。 2. 运算关键：“先定符号，再算绝对值”。 3. 注意特殊情况：互为相反数的两个数相加得零；任何数加零仍得原数。 4. 养成良好习惯：做题时要认真审题，仔细计算，确保结果的准确性。 巩固练习 一、选择题 1． ， ， 的和比它们绝对值的和小（　　） A． B． C．20 D． 2．日照某一天的温差是，这天最低气温是，则这天最高气温是（　　） A． B． C． D． 3．一辆玩具赛车在一条水平直线上先向东行驶，再向西行驶，规定向东行驶为正，向西行驶为负，下列算式能表示赛车相对于起点位置的是（　　） A． B． C． D． 4．潜水艇所在的海拔高度是米，在它的上方10米处有一只海豚，则海豚所在的海拔高度是（　　） A．50米 B．30米 C．米 D．米 5．在一条东西向的笔直马路上，小亮从点O出发，沿箭头先向东行走，再向西行走，用算式表示两次行走的过程和结果的是（　　） A． B． C． D． 6．-4+6=（　　） A．-2 B．2 C．-10 D．10 7． 把笔尖放在数轴的原点，沿数轴先向左移动5个单位长度，再向右移动3个单位长度，用算式表示上述过程与结果，正确的是（　　） A． B． C． D． 8．下列交换加数位置的变形，正确的是（　　） A． B． C． D． 9．若 的相反数是3， ，则 的值为（　　） A． B．2 C．8或 D． 或2 二、填空题 10．气温由上升了后的气温是　 　． 11．若a、b互为相反数，则　 　． 12．若则的值为　 　。 13．某公司去年每季度盈亏情况如下：“+”表示盈利，“-”表示亏损，单位：万元．第一季度；第二季度；第三季度，第四季度，则这个公司去年一年共　 　（填“盈利”或“亏损”）　 　万元． 14．如图，小明写作业时不慎将墨水滴在数轴上，根据图中的数值，求得墨迹盖住部分的整数的和是　 　. 15．定义：表示不大于的最大整数，表示不小于的最小整数，例如，，，，则　 　． 16．魏晋时期的数学家刘徽在其著作《九章算术》中用不同颜色的算筹（小棍形状的记数工具）分别表示正数和负数（白色为正，灰色为负），图1表示的是的计算过程，则图2表示的计算过程的值是　 　． 17．如图是一个二阶幻圆模型，现将﹣1，2，﹣3，4，﹣5，6，﹣7，8分别填入圆圈内，使横、纵向以及内外圆圈上的4个数字之和都相等，则a＋b的值是　 　． 三、解答题 18．计算 （1） （2） 19．数扩展到有理数之后，下面这些结论还成立吗？请说明理由(如果认为结论不成立，请举例说明)． （1）若两个数的和是0，则这两个数都是0． （2）任何两数相加，和不小于任何一个加数． 20．“滴滴”司机沈师傅从上午在东西方向的江平大道上营运，共连续运载十批乘客．若规定向东为正，向西为负，沈师傅营运十批乘客里程如下：（单位：千米），，，，，，，，，． （1）将最后一批乘客送到目的地时，沈师傅距离第一批乘客出发地的东面还是西面？距离出发地多少千米？ （2）若汽车每千米耗油0.4升，则汽车共耗油多少升？ 21．小车司机李师傅某天下午的营运全是在东西走向的常青公路上进行的，如果规定向东为正，向西为负，他这天下午行车里程（单位：千米）如下：，，，，，，，，，， （1）李师傅这天最后到达目的地时，距离下午出车时的出发地多远？ （2）李师傅这天下午共行车多少千米？ 22．下表列出了国外几个城市与北京的时差。如果现在的北京时间是7：00，那么 （1）现在的东京时间是几点? ① 甲城市与乙城市的时差为两城市同一时刻的时数之差，如当北京时间为 8：00时，东京时间为9：00，而巴黎时间为1：00，那么东京与北京的时差为9-8=+1(h)，巴黎与北京的时差为1-8=-7(h)。 城市 纽约 巴黎 东京 芝加哥 时差/h -13 -7 +1 -14 （2）小丽现在想给远在巴黎的姑妈打电话，你认为合适吗? （3）李伯伯从北京乘坐早晨8：00的航班飞行约20h到达纽约，那么李伯伯到达纽约时间大约是几点? （4）了解国外其他城市与北京的时差，以时差为背景联系实际生活编写一道数学问题。 参考答案 1．C 2．A 3．B 4．C 5．C 6．B 7．B 8．C 9．D 10．​​​​​​​ 11． 12．- 6 13．盈利；4 14．-2 15． 16． 17．7或-6 18．（1）解： （2）解： 19．（1）解：不成立，理由如下， ∵（+3）+（-3）=0， ∴ 若两个数的和是0，则这两个数互为相反数，故结论不成立； （2）解：不成立，理由如下， ∵（-2）+（-3）=-5，而-5＜-2，-5＜-3， ∴ 任何两数相加，和小于任何一个加数 ，故结论不成立. 20．（1）沈师傅距离第一批乘客出发地的东面5千米； （2）汽车共耗油升． 21．（1）千米 （2）千米 22．（1）解： 7+1=8. 答：现在的东京时间是8：00. （2）解：7+(-7)=0.经过计算，北京时间的早上七点钟是巴黎时间的凌晨，为了不影响姑妈的正常休息，建议不要打电话，当然若是有急事可以例外． （3）解：李伯伯到达纽约的北京时间是8+20=28（点），此时纽约时间是28+（-13）=15（点）． （4）解：编写问题如下： 小明计划从北京飞往曼谷，北京时间10月1日早上8：00起飞，飞行时间约为2小时。请问，小明到达曼谷的时间是曼谷当地时间几点？（已知曼谷时间比北京时间慢1小时） 8+2-1=9（点） 答：小明到达曼谷的时间是曼谷当地时间9点. 学科网（北京）股份有限公司 $