3.1.2 椭圆的几何性质 课后练习-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

课后训一椭圆的几何性质- 日期：2025._ 时长：50-60分钟/次 【题组一由椭圆方程求基本量】 1.已知M是椭圆C:器+号=1上一点，F,P2是其左右焦点，则() A.椭圆的焦距为2W3 B.|MF1+|MF2=16 C.椭圆的离心幸e=5 D.△MF1F2的面积的最大值是2√3 2.已知P为椭圆C:学+器=1上的动点，A-1,0)B(1,0,且PA+P8=4,则b2=（) A.1 B.2 C.3 D.4 3.已知椭圆C:器+罗=1的左、右焦点分别为FF2P是C上在第二象限内的一点，且 |PF2-|PF1=2,则直线PF2的斜率为() A.-等 B.- C.星 D.考 第1页 【题组二椭圆上点到焦点的距离及最值】 4.已知椭圆C的方程为斧+若=1，则椭圆C上一点P到左焦点F的距离最小值为() A.8 B.5 C.3 D.2 5.已知椭圆C:等+y2=1的左焦点为F,点M在C上，点N在圆x2+y2-4V2y+7=0上，则 |MNI+MF|的最小值为() A.3 B.4 C.9 D.11 6.已知椭圆C:等+号=1的左、右焦点分别为F1,F2,M为C上任意一点，N为圆E: (x-5)+(y-4)=1上任意一点，则MN-|MF1的最小值为() A.2W13-1B.4y2-5C.42+5 D.2W13+1 第2页 【题组三椭圆的离心率】 7.已知椭圆C:等+器=1(a>b>0)的右顶点与上顶点之间的距离等于焦距，则C的离心率 为 8。已知椭圆等+若=1(a>4)的焦点在圆x2+y2=9上，则此椭圆的离心率为(） A.是 B. c D. 9.已知椭圆C:￥+导=1(a>b>0)的左、右焦点为FF2,左，右顶点为AB,上.下顶点为 D,E,若四边形ADBE的面积是四边形DF1EF2的面积的2倍，则椭圆的离心率为(） A.青 B.壳 c号 D号 第3页 10.设椭圆E:等+行=1(a>b>0)的一个焦点为F(3,0),A(-2,V3)为E内一点，若E上存 在一点M,使得MA+|MF=10,则E的离心率的取值范围是() A.（0,]B.[,1) c.[,] D.[克1) 【题组四焦点三角形（周长问题）】 1.已知F1,F2分别是椭圆器+=1的左、右焦点，点P在椭圆上，则△PF1F2的周长为() A.4 B.8 C.12 D.16 12.已知点F1、F2是椭圆C等+写=1的左、右焦点，若过焦点F:的直线交椭圆C于A,B两点， 则△AF,B的周长为() A.4 B.9 c.45 D.12 第4页 13.已知椭圆C:等+号=1的左、右焦点分别为F1,F2,上顶点为A,过F1且垂直于AP2的直线与 C交于D,E两点，则△ADE的周长为() A.4 B.4V2 C.8 D.8N2 14.直线与椭圆号+号=1交于A、B两点，F为椭圆左焦点则△ABF周长最大值是 【题组五焦点三角形（面积问题）】 15.设P是椭圆亲+号=1上的一点，F1,F2是该椭圆的两个焦点，且∠R1PF2=号，则△F1PF2 的面积为，△F1PF2内切圆半径为 第5页 16.设F1,F2为椭圆C:器+8=1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限，若△MF1F2为等腰 三角形，则△MFF的面积为() A.3V15 B.12 c.4y15 D.16 17.设F1F2分别为椭圆器+号=1(0<b<3)的两个焦点，P是椭圆上一点，△PF1F2的周长 为6+2W5,且PF1-PF2=2,则△PF1F2的面积为() A.3 B.2V3 C.4 D.32 第6页 【题组六焦点三角形（角度问题）】 18.已知椭圆C:等+号=1的左、右焦点分别为FF2,点P为椭圆C上一点，若 PF1·PF2=,则cos∠F1PF2=() A.月 B. C.是 D.哥 19.已知椭圆C:号+品=1(0<m<9,m∈Z的左、右焦点分别为F1F2,点P在C上但不在坐标 轴上，且△PF1F2是等腰三角形，其中一个内角的余弦值为，则m=() A.4 B.5 C.6 D.8 第7页 课后训—椭圆的几何性质- 日期：2025. 时长：50-60分钟/次 【题组一 由椭圆方程求基本量】 1．已知是椭圆：上一点，，是其左右焦点，则（   ） A．椭圆的焦距为 B． C．椭圆的离心率 D．的面积的最大值是 【答案】C 【分析】根据椭圆的标准方程、计算出焦距、离心率、焦点三角形面积并判断各选项． 【详解】如图： 根据椭圆的标准方程：，得，，所以. 所以：椭圆的焦距为：，故A错； 根据椭圆的定义：，故B错； 椭圆的离心率：，故C正确； 当点为椭圆短轴端点时，的面积最大，为：，故D错. 故选：C 2．已知P为椭圆上的动点，，且，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据椭圆的定义求解． 【详解】P为椭圆上的动点，，且， P的轨迹是以为焦点的椭圆，且，即，， 所以， 故选：C． 3．已知椭圆的左、右焦点分别为是上在第二象限内的一点，且，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的定义和条件求解焦半径，再结合几何关系，即可求解. 【详解】由条件可知，，得，，且 所以，且， 设直线的倾斜角为，则， 所以直线的斜率为. 故选：B 【题组二 椭圆上点到焦点的距离及最值】 4．已知椭圆的方程为，则椭圆上一点到左焦点的距离最小值为（   ）. A．8 B．5 C．3 D．2 【答案】D 【分析】根据椭圆方程及其性质，即可得点到左焦点的距离最小值. 【详解】由椭圆方程知，椭圆上点到左焦点的距离最小值为. 故选：D 5．已知椭圆的左焦点为，点在上，点在圆上，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．9 D．11 【答案】A 【分析】根据“两点之间，线段最短”可求得的最小值. 【详解】由椭圆，得，∴， 由得，所以圆心，半径为. 设分别与椭圆、圆交于点 则，, 所以， 当且仅当四点共线时取等号 的最小值为. 故选：A. 6．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，M为C上任意一点，N为圆E：上任意一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用椭圆的定义，将转化为，结合图形，得最小值. 【详解】如图，M为椭圆C上任意一点，则， 又因为N为圆E：上任意一点， ， 当且仅当M、N、E、共线且M、N在E、之间时等号成立． 由题意知，，，则， 所以的最小值为. 故选：B．    【点睛】求最值时，可以利用定点，和E，当M、N、E、共线且M、N在E、之间时最短，等于. 【题组三 椭圆的离心率】 7．已知椭圆的右顶点与上顶点之间的距离等于焦距，则的离心率为 ． 【答案】 【分析】由题可得，结合离心率公式化简即可求解. 【详解】设椭圆的半焦距为， 由题可得：，即，化简得：， 所以椭圆的离心率为：， 故答案为： 8．已知椭圆的焦点在圆上，则此椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的性质求出焦点坐标，再结合焦点在圆上求出的值，最后根据椭圆离心率公式求出离心率. 【详解】已知椭圆方程，则. 根据椭圆的性质，可得，那么椭圆的焦点坐标为. 因为椭圆的焦点在圆上，将焦点坐标代入圆的方程可得： 即，移项可得. 因为，所以. 由，. 根据椭圆离心率公式，可得. 此椭圆的离心率为. 故选： B. 9．已知椭圆的左､右焦点为，左､右顶点为，上､下顶点为，若四边形的面积是四边形的面积的2倍，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得，计算即可. 【详解】由题意可得，整理得，所以， 所以椭圆的离心率为. 故选：B. 10．设椭圆的一个焦点为，为内一点，若上存在一点，使得，则的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可知，椭圆的左焦点为，利用三角形三边关系求出的取值范围，即可得出椭圆的离心率的取值范围. 【详解】由题意可知，椭圆的左焦点为，由椭圆的定义可得， ，即，解得， 当且仅当为射线与椭圆的交点时，等号成立（此时点与图中的点重合）， 又因为， 当且仅当为射线与椭圆的交点时，等号成立（此时点与图中的点重合）， 所以，解得，所以， 因此，. 故选：C. 【题组四 焦点三角形（周长问题）】 11．已知分别是椭圆的左、右焦点，点P在椭圆上，则的周长为（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】C 【分析】由椭圆的定义求解的周长. 【详解】由题意知：椭圆中，则， 的周长 故选：C 12．已知点、是椭圆:的左、右焦点，若过焦点的直线交椭圆于A ，B 两点，则的周长为（    ） A．4 B．9 C． D．12 【答案】D 【分析】根据椭圆的定义求解. 【详解】根据椭圆方程可得，则， 由椭圆的定义得，，， 所以的周长为. 故选：D. 13．已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为．过且垂直于的直线与交于，两点，则的周长为（    ） A．4 B． C．8 D． 【答案】C 【分析】结合垂直平分线性质可得的周长与的周长相等，再结合椭圆的定义求的周长即可. 【详解】因为为线段的垂直平分线， 根据对称性，，， 所以的周长等于的周长， 利用椭圆的定义得到的周长为 ． 故选：C. 14．直线与椭圆交于A、B两点，F为椭圆左焦点.则周长最大值是 . 【答案】 【分析】根据椭圆定义即可结合三点共线求解. 【详解】由题意可得， 记椭圆右焦点为，则周长 当且仅当直线经过右焦点（不经过左焦点）时取得等号.， 故答案为： 【题组五 焦点三角形（面积问题）】 15．设是椭圆上的一点，，是该椭圆的两个焦点，且，则的面积为 ，内切圆半径为 . 【答案】 / 【分析】利用椭圆的定义及余弦定理求出，即可求出的面积，再由等面积法求出内切圆的半径． 【详解】由椭圆方程可得，，则， ，， 在中，， 即，解得， ， 设内切圆半径为，的周长为， 所以，解得. 故答案为：；. 【点睛】 16．设，为椭圆的两个焦点，为上一点且在第一象限，若为等腰三角形，则的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由椭圆标准方程可得，，，根据题意得或，结合图形，利用椭圆的定义求出的三边长，即可求得其面积 【详解】由椭圆：可得，， ， 因为上一点且在第一象限，则 由为等腰三角形，则可得或， 当时，， 此时的面积为：； 当时，，不合题意，舍去. 综上，可得的面积为. 故选：C．    17．设分别为椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，的周长为，且，则的面积为（   ） A．3 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】根据椭圆的性质得到，结合求得，由余弦定理求的值，得到三角形面积. 【详解】由椭圆的性质可得， 又∵，∴，又，所以，，由余弦定理可得，即， ∴，C选项正确； 故选：C 【题组六 焦点三角形（角度问题）】 18．已知椭圆的左、右焦点分别为，点为椭圆上一点，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆的定义及余弦定理可求得结果. 【详解】由椭圆方程知，，，，则， 由椭圆的定义知，，又， 所以 ， 故选：A. 19．已知椭圆的左､右焦点分别为，点在上但不在坐标轴上，且是等腰三角形，其中一个内角的余弦值为，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】B 【分析】，设，由是等腰三角形，利用余弦定理求出，可求的值. 【详解】依题意得，设， 不妨设点在第一象限，若，有， 故或， 解得或，又9，所以. 若，有，同理可得. 此时，，不符合点在第一象限， 所以. 故选：B. 试卷第1页，共3页 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $