3.1.2 椭圆的几何性质 讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

3.1.2椭圆的几何性质 班 知识梳理 一、椭圆的简单几何性质 椭圆 第一定义 1.到两定点F,F2的距离之和为定值2a(2a>lFF)的点的轨迹 第二定义 2.与定点和直线的距离之比为定值e的点的轨迹.(0<<) 标准 方程 方 ab,c 程 关系 a>b>0且a2=b2+c2 y 图形 A -a≤x≤a,一b≤ysb 一a≤x≤a,一b≤ysb 范围 椭圆位于直线x=±a和y=士b所围成的矩形框内 顶点 (±a,0).(0,±b) (0,±a)。(±b,0) 中心 对 关于原点(0,0)对称 对称 称 轴对 关于X,y轴对称 性 称 长轴长2a,短轴长2b 长轴长2a,短轴长2b 焦点 F1(c,0),F2(-c,0) F(0,-c),F2(0,c) 焦距 2(其中c=Va2-b2 e6g40eac 离心率 离心率越接近1，则椭圆越圆；离心率越接近0，则椭圆越扁。 当且仅当=b时，0，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为 x2+y2=a2。 准线 = 第1页 焦半径 椭圆上任意一点M(xO,y0)于焦点F1(或F2)的距离：r=a士x0 定义：过焦点且垂直于焦点轴的椭圆的弦长 通径 2b2 大小：Q 典例剖析 【考点一椭圆的几何性质】 【题型一由椭圆方程求基本量】 1.如果椭圆 +义=1上一点P到焦点F,的距离为6，那么点P到另一个焦点F的距离是（） 10036 A.26 B.10 C.4 D.14 【变式】已知P为椭圆C:x2+2y=16上一点，F1,F2分别为C的左、右焦点，且PF2=2,则 PF =元() PF2 A.1 B.2 C.3 D.4 2.(多选)已知椭圆C:×+y =1,则() 916 A.C的长轴长为8 B.C的焦点坐标为0，±5 CC的离心率为 D.C上的点到焦点的最大距离为4+7 第2页 【练习】（多选）已知椭圆M:丈+岁 a+2=1,N:X。+y=1,则() 10 A.M与N的离心率相等 B.M与N的焦距相等 C.M与N的长轴长相等 D.M的短轴长是N的短轴长的两倍 【题型二椭圆上的点到焦点的距离及最值】 (基本不等式求最值) 3.已知F,F,是椭圆X+=1的两个焦点，P是椭圆上一点，则PF,PF,的最大值是(） 2516 A. 25 4 B.9 C.16 D.25 【安式】已为划E,下，是椭圆C:号+千=1的两个焦点，点M在C上，则M户十MF的最小值为 1 1 94 第3页 (几何最值) 4.已知F,F,分别为椭圆C:X +y=1的两个焦点，P为椭圆上一点，则PF1-PF2的最大值为 4 【实】已如猫国C:音 =1的左焦点为F,点P为C上一点，若Q-1,3,则PF-PQ的最 大值为一· 第4页 5.已知椭圆C:士+兰=1和圆A:X-2X+y=0,P,Q分别为稀圆C和圆A上的对点，若F为椭圆 1612 C的左焦点，则PQ+PF的最小值为() A.6 B.5 C.9 D.8 【变式】已知椭圆C,+1的左、右焦点分别为P,F,M为椭圆C上任意一点，N为圆E x-52+y-32=4上任意一点，则MN-MF1的最小值为() A.3+23B.3-23 C.5-23 D.2+23 第5页 【考点二椭圆的离心率】 【归纳总结】求椭圆的离心率（或范围)的常用方法】椭圆离心率的范围为0<e<1. C 1.已知 直接代入e=二中求解； a.c a 2. 已知 用e 求解； a,b 3. 已知a,b,C的关系，转化为关于离心率e的方程（或不等式）求解， 【题型一求椭圆的离心率】 6.若椭圆C的短轴长为焦距的6倍，则C的离心率为() 6 7 7 A. 6 B.7 C. 6 D.6 【变式】已知F,F,是精圆G:士+∠=1a>2的两个焦点，P为C上一点，若PF,pF,的最 a24 大值为5，则C的离心率为() 5 B.5 c D. 10 5 第6页 1已为，F分为为国C:兰片-1o>b>0的站、有统点，在稀C上布在待P,满足 PF2=F,F2,且点F2到直线PF1的距离为2b,则该椭圆的离心率为() B.3 c D.4 【题型二椭圆离心率的范围】 8.己知F1,F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上的一点，∠F1PF2=60°，则椭圆离心率e的取值范 围是() 第7页 A.(0.)B.(0.) c. .2 9.设椭圆C:兰+=1o>b>0的左，右焦点分别为F,F,点A在C上运动，点P在圆O: a2 b2 x2+y=4a2上运动，且PA+AF1≤3F1F2恒成立，则C的离心率的取值范围是() AoB.0引 c.p 净 第8页 2 知识梳理 二、椭圆的焦点三角形 1.定义：椭圆上一点与椭圆的两个焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”。 2.性质： (设∠F1AF为0) （1)周长问题 依据：AF+AF2=2a,BF,+BF2=2a.(两个定义) C△F6=AE+AF+EF=2a+2c CAAE,AF+AF +BF+BF =4a (2)面积、角度问题 依据：4c2=F1F2=AF,P+AF2-2 AFA F2cos9(余弦定理) SFFsin0 tan =dyal Car(为△AFE的内切图) 【注释】 涉及椭圆的焦点三角形，一般利用椭圆的定义、余弦定理和完全平方公式等知识，建立 |AF1+AF引，AF+AF2,AFAF之间的关系，采用整体代入的方法解决焦点三角形 的面积、周长及角的有关问题 典例剖析 【考点三椭圆的焦点三角形】 【题型一焦点三角形（周长问题）】 (一点两焦点) 10.韩圆C:+=1的两个焦点为F,F,P为椭圆C上与两焦点不共线的一点，则△PF,E, 1216 的周长为 第9页 【变式】椭圆C1: 千+y=1的上、下顶点分别为B,B,椭图C:寸+兰=1与C的一个交点为 4 34 M,则△MB1B2的周长为() A.4 B.2+22 C.2+23 D.6 (两点两焦点) 1,已知椭圆C:X+ =1的左、右焦点分别为F1、F2,过左焦点F作直线交C于A,B两点，则三 43 角形ABF的周长为() A.14 B.12 C.10 D.8 【变式】已知F1、F,为椭圆+父=1的两个焦点，过F,的直线交椭圆于A、B两点，若 259 F2A+F2B=12,则AB= 第10页 3.1.2 椭圆的几何性质 知识梳理 一、椭圆的简单几何性质 椭 圆 第一定义 1.到两定点F1,F2的距离之和为定值2a(2a>|F1F2|)的点的轨迹 第二定义 2．与定点和直线的距离之比为定值e的点的轨迹.（0<e<1） 方 程 标准方程 a,b,c 关系 >0 且 图形 范围 ─axa，─byb ─axa，─byb 椭圆位于直线和所围成的矩形框内 顶点 ， ， 对称性 中心对称 关于原点（0,0）对称 轴对称 关于轴对称 长轴长2a，短轴长2b 长轴长2a，短轴长2b 焦点 F1(c,0), F2(─c,0) F1(0,─c), F2 (0 ,c) 焦距 2c （其中c=） 离心率 离心率越接近1，则椭圆越圆；离心率越接近0，则椭圆越扁。 当且仅当a=b时，c=0，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为x2+y2=a2。 准线 x= 焦半径 椭圆上任意一点M（x0，y0）于焦点F1（或F2）的距离：r=a±x0 通径 定义：过焦点且垂直于焦点轴的椭圆的弦长 大小： 典例剖析 【考点一 椭圆的几何性质】 【题型一 由椭圆方程求基本量】 1．如果椭圆上一点P到焦点的距离为6，那么点P到另一个焦点的距离是（   ） A．26 B．10 C．4 D．14 【答案】D 【分析】先求出，再根据椭圆的定义计算求解即可. 【详解】根据题意可得， 椭圆的长轴长为，根据，得. 故选：D. 【变式】已知为椭圆上一点，分别为的左、右焦点，且，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】由椭圆方程求出，利用椭圆的定义式，求得，代入计算即得. 【详解】由可得：，则， 因，则，故. 故选：C. 2．（多选）已知椭圆，则（    ） A．C的长轴长为8 B．C的焦点坐标为 C．C的离心率为 D．C上的点到焦点的最大距离为 【答案】ACD 【分析】由椭圆的标准方程分别得到，然后结合椭圆的几何性质逐一判断，即可得到结果. 【详解】对于椭圆，，则， 则， 对于A，椭圆的长轴长为，故A正确； 对于B，椭圆的焦点在轴上，且， 则焦点坐标为，故B错误； 对于C，离心率，故C正确； 对于D，椭圆上的点到焦点的最大距离为，故D正确； 故选：ACD 【练习】（多选）已知椭圆：，：，则（   ） A．与的离心率相等 B．与的焦距相等 C．与的长轴长相等 D．的短轴长是的短轴长的两倍 【答案】BD 【分析】求出给定的两个椭圆的长短半轴长、半焦距及离心率，再逐项判断即可. 【详解】椭圆：的长半轴长，短半轴长，半焦距， 椭圆：的长半轴长，短半轴长，半焦距， 对于A，椭圆的离心率，椭圆的离心率，A错误； 对于B，椭圆与的焦距长都为6，相等，B正确； 对于C，椭圆与的长轴长不相等，C错误； 对于D，椭圆的短轴长是的短轴长的两倍，D正确. 故选：BD 【题型二 椭圆上的点到焦点的距离及最值】 （基本不等式求最值） 3．已知，是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，则的最大值是（   ） A． B．9 C．16 D．25 【答案】D 【分析】利用椭圆的定义及基本不等式可求答案. 【详解】解：由题意，，， ，当且仅当时，等号成立， 的最大值是25． 故选：D． 【变式】已知是椭圆的两个焦点，点在上，则的最小值为 . 【答案】 【分析】根据椭圆的定义可得，利用基本不等式即可求得的最小值. 【详解】是椭圆的两个焦点，点在上，， 所以， 当且仅当时，取等号， 所以的最小值为. 故答案为：. （几何最值） 4．已知分别为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，则的最大值为 . 【答案】 【分析】根据椭圆的几何性质结合求解即可. 【详解】分别为椭圆的两个焦点，则， 所以，当且仅当位于椭圆的右顶点时取等号， 故的最大值为. 故答案为：. 【变式】已知椭圆的左焦点为，点为上一点，若，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】利用椭圆的定义，结合图形判断三点共线时，求得所求式的最大值. 【详解】由题可得，，则，故，设右焦点为，则， ，由椭圆的定义可得，则， 易得点在椭圆外，所以， 当且仅当三点共线且点在线段上时等号成立，所以的最大值为． 故答案为：. 5．已知椭圆和圆分别为椭圆和圆上的动点，若为椭圆的左焦点，则的最小值为（   ） A．6 B．5 C．9 D．8 【答案】A 【分析】依题意将点到圆上点距离最值转化为点到圆心距离问题，再结合椭圆定义并利用三点共线求得点在处时，使得的最小值为6. 【详解】易知椭圆中，即可得， 又圆的圆心为，半径， 易知椭圆右焦点，显然在圆上，如下图：    易知椭圆上一点到圆上任意一点的最小距离为， 因此可将的最小值转化为求的最小值， 由椭圆定义可得； 此时点在处，使得的最小值为6. 故选：A 【变式】已知椭圆：的左、右焦点分别为，，为椭圆上任意一点，为圆：上任意一点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形三边之间的不等关系可得，再结合椭圆的定义将化为，结合以及图形的几何性质即可求得答案. 【详解】由题意知为椭圆上任意一点，为圆：上任意一点， 故，    故， 当且仅当共线，在线段上时取等号， 所以 ， 当且仅当共线，在线段上时取等号， 而， 故的最小值为， 故选：B. 【考点二 椭圆的离心率】 【归纳总结】求椭圆的离心率（或范围）的常用方法】 椭圆离心率的范围为. 1. 已知 ，直接代入 中求解； 2. 已知 ，用 求解； 3. 已知的关系，转化为关于离心率 的方程（或不等式）求解， 【题型一 求椭圆的离心率】 6．若椭圆的短轴长为焦距的倍，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意得，又，利用离心率的公式即可求解. 【详解】根据题意有， 所以. 故选：B. 【变式】已知，是椭圆C：的两个焦点，P为C上一点，若的最大值为5，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由基本不等式可得，从而求出的值，由离心率公式求解即可. 【详解】由椭圆的定义得，又， 故，当且仅当时，等号成立， 则，故，， 所以C的离心率为 故选：B 7．已知，分别为椭圆的左、右焦点，在椭圆上存在点，满足，且点到直线的距离为，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由等腰三角形性质把用表示后，利用椭圆的定义得出的关系式，整理后可求得离心率. 【详解】由题意，在等腰中，，底边上的高为， 所以． 又由椭圆的定义可知，，因此， 可得，即，所以或（舍去）， 故选：C． 【题型二 椭圆离心率的范围】 8．已知是椭圆的两个焦点，是椭圆上的一点，，则椭圆离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，，在中，通过椭圆的定义，余弦定理以及，得到关于，，，的等式，再通过基本不等式进行求解即可. 【详解】在中，设，，则，如图：    根据余弦定理，得，配方得：， 所以，所以， 当且仅当时，等号成立，即，故，解得. 故选：D 9．设椭圆的左，右焦点分别为，点在上运动，点在圆：上运动，且恒成立，则的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由椭圆定义，结合图形可得当四点共线时，据此可得离心率范围. 【详解】由题可得圆半径为，因恒成立， 则.由椭圆定义，可得， 如图，当三点共线时，最大，为，又对于圆外一点P， 当三点共线时最大，又，则， 即，取最值时，四点共线. 则，即，所以，即. 故选：C 知识梳理 二、椭圆的焦点三角形 1．定义：椭圆上一点与椭圆的两个焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”。 2．性质： （设为） （1）周长问题 依据：，.（两个定义） （2） 面积、角度问题 依据：（余弦定理） 【注释】 涉及椭圆的焦点三角形，一般利用椭圆的定义、余弦定理和完全平方公式等知识，建立，，之间的关系，采用整体代入的方法解决焦点三角形的面积、周长及角的有关问题 典例剖析 【考点三 椭圆的焦点三角形】 【题型一 焦点三角形（周长问题）】 （一点两焦点） 10．椭圆的两个焦点为，，为椭圆上与两焦点不共线的一点，则的周长为 . 【答案】 【分析】利用，求出c，利用椭圆的定义即可求出焦点三角形的周长. 【详解】因为，，所以， 故的周长为. 故答案为： 【变式】椭圆：的上、下顶点分别为，，椭圆：与的一个交点为M，则的周长为（    ） A．4 B． C． D．6 【答案】D 【分析】根据椭圆的方程，可得，就是椭圆的焦点，再根据椭圆的定义，即可求的周长. 【详解】椭圆：的上、下顶点分别为，， 则，， 又椭圆：， 则椭圆的焦点为，， 则的周长为 故选：D （两点两焦点） 11．已知椭圆的左、右焦点分别为，过左焦点作直线交于两点，则三角形的周长为（    ） A．14 B．12 C．10 D．8 【答案】D 【分析】根据椭圆的定义即可求解. 【详解】由椭圆的定义得， 则的周长为. 故选：D. 【变式】已知为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于、两点，若，则= 【答案】8 【分析】由椭圆方程可得，结合椭圆定义可得，从而可得答案. 【详解】由椭圆可得，不妨设分别为椭圆的左、右焦点， 直线过椭圆的左焦点，在 中， ， 又， ∴ 故答案为：8. 12．已知直线与椭圆交于两点，，则的周长是 . 【答案】20 【分析】根据题意可知直线经过椭圆的右焦点，结合椭圆的定义即可求解. 【详解】椭圆,所以， 得，则椭圆的右焦点为， 所以直线经过椭圆的右焦点， 由椭圆的定义可知，的周长为 . 故答案为：20. 【变式】已知椭圆E：，点，若直线（）与椭圆E交于A，B两点，则的周长为（   ） A． B．4 C． D．8 【答案】D 【分析】求出直线所过的定点，再利用椭圆的定义求出三角形周长. 【详解】椭圆E：的长半轴长，半焦距， 则点为椭圆的左焦点，其右焦点为， 而直线恒过定点， 所以的周长为. 故选：D 13．已知椭圆的左右焦点分别为，上顶点为，过且垂直于的直线与交于B、C两点，则的周长为（   ） A．12 B．16 C．20 D．24 【答案】B 【分析】根据条件可得，然后根据椭圆的定义求解即可. 【详解】由椭圆，得， 过且垂直于的直线与椭圆交于B、C两点， 所以为线段的垂直平分线， 得， 则的周长为. 故选：B.    【变式】已知椭圆的左顶点为，上，下焦点分别为，直线经过且与交于两点，若垂直平分线段，且的周长为，则的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆的焦点三角形的周长，可得，即可根据椭圆性质可得，即可求解. 【详解】如图，由题可知，设.连接， 因为垂直平分线段，所以， 所以的周长为，可得， 因为，所以，得，从而， 故的方程是. 故选：A （周长最值问题） 14．若F为椭圆C：的右焦点，A，B为C上两动点，则周长的最大值为 . 【答案】20 【分析】设为椭圆的左焦点，则由椭圆的定义可得，，当三点共线时，周长取得最大值，从而可得出答案. 【详解】如图，设F1为椭圆C的左焦点， 则由椭圆的定义可得的周长为 ， 当共线时，， 当不共线时，， 所以周长的最大值为20. 故答案为：20. 【变式】已知过椭圆中心的直线交椭圆于两点，是椭圆的一个焦点，则的周长的最小值为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【分析】根据椭圆的定义求出，再由，即可求解. 【详解】由椭圆的对称性可知，两点关于原点对称，设椭圆的另一个交点为， 则四边形为平行四边形，由椭圆的定义可知：， 又，所以， 又直线过原点，所以， 所以的周长的最小值为：. 故选：D    【题型二 焦点三角形（面积问题）】 （面积公式：底乘高） 15．已知为椭圆上一点，分别是椭圆的左、右焦点．若点的横坐标为，则的面积为（    ） A． B． C． D．4 【答案】C 【分析】有题意点的横坐标为，代入椭圆方程即可计算点的纵坐标，由即可得解. 【详解】因为，所以，又因为点的横坐标为，所以， 所以点的纵坐标为，所以. 故选：C. 【变式】已知，是椭圆的两个焦点，P为C上一点，且的内切圆半径为1，若P在第一象限，则P点的纵坐标为（    ）． A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】不妨令，分别为椭圆C的左、右焦点，设的内切圆半径为r，根据可得答案． 【详解】如图，不妨令，分别为椭圆C的左、右焦点， 由，得，， ，， 所以． 设的内切圆半径为r， 因为， 所以，得．    故选：B. 16．已知是椭圆：上一点，，分别是椭圆的左、右焦点，若，则的面积为（   ） A．49 B．48 C．25 D．24 【答案】D 【分析】由椭圆方程得到的值，由椭圆的定义得到的值，联立求得的值，再证明，求得面积. 【详解】由椭圆方程可知：，，， 所以作图如下： ∴由椭圆的性质可知，由，∴，， ∴， ∴， ∴， 故选：D. 【变式】已知是椭圆的左、右焦点，点P在C上，且线段的中点在以为直径的圆上，则三角形的面积为（   ） A．1 B． C． D．8 【答案】C 【分析】利用椭圆的定义得到为等腰三角形，进而求等腰三角形的面积即可. 【详解】设的中点为M，则， 于是，又， 则为等腰三角形， ． 故选：C． （面积公式：正弦定理） 17．已知椭圆的左右焦点分别为，点是椭圆上一点，，则的内切圆半径为 . 【答案】 【分析】由题意知，由余弦定理可得，由面积公式即可求解. 【详解】 因为分别为椭圆的左右焦点，为该椭圆上一点， 所以， 则由余弦定理得,， ， 即， 所以， 故的面积 ， 设的内切圆半径为， 则， 解得,. 故答案为：. 【变式】已知椭圆 的左、右焦点分别为，上顶点为，若，且的面积为，则C的标准方程为 . 【答案】 【分析】利用三角形面积公式及已知可得，再由余弦定理求得，最后由椭圆参数关系求参数，即可得. 【详解】由题设，可得， 又为上顶点，则，故， 所以，则，故标准方程为. 故答案为： （面积范围问题） 18．（多选）设椭圆的左右焦点为，，P是C上的动点，则下列结论正确的是（    ）． A．P到最小的距离是 B． C．面积的最大值为6 D．P到最大的距离是9 【答案】BD 【分析】根据椭圆的定义和性质逐项运算分析即可. 【详解】由椭圆方程可得：，则， 对于A：根据椭圆性质可知当P是椭圆的左顶点时，P到的距离最小， 最小值为，A错误； 对于B：根据椭圆的定义可得，B正确； 对于C：根据椭圆性质可知当P是椭圆的上顶点时，的面积最大， 最大值为，C错误； 对于D：根据椭圆性质可知当P是椭圆的右顶点时，P到的距离最大， 最小值为，D正确. 故选：BD.    【题型三 焦点三角形（角度问题）】 19．设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】根据题意可知，可得，然后可求. 【详解】， ， 又椭圆， 则， . 故选：D. 【变式】已知，为椭圆的两个焦点，是椭圆上第一象限的点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由椭圆的定义得，结合余弦定理即可求解． 【详解】不妨令分别为椭圆的左、右焦点，如图． 由题意 ． 在中，由余弦定理得， ， 即，所以． 故选：A. 20．设、分别是椭圆的左、右焦点，过点作x轴的垂线交C于A、B两点，其中点A在第一象限，且.若P是C上的动点，则满足是直角三角形的点P的个数为（   ） A．0 B．2 C．4 D．6 【答案】C 【分析】先由题设求得（t为参数），进而求出取椭圆上顶点时的值，从而得不会为直角即可求解. 【详解】由题，又，. ，即（t为参数）， 取上顶点时最大，此时. 不会为直角，只有当或是直角才符合题意， 所以由对称性可知满足是直角三角形的点P的个数为4. 故选：C. 21．已知椭圆，焦点是，，动点P在椭圆上，则的最小值（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用椭圆的定义以及基本不等式可求得的最小值. 【详解】在椭圆中，，，， 由椭圆定义可得，， 由余弦定理可得 ， 当且仅当时，等号成立， 因此，的最小值为. 故选：C. 【变式】设，为椭圆：的焦点，若在椭圆上存在点，满足，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆性质要使题设条件成立只需点在椭圆左右顶点时，此时利用余弦定理可得，进而求的范围. 【详解】由椭圆的性质知，当在椭圆左右顶点时最大， 椭圆上存在一点使，只需在椭圆左右顶点时， 此时，，即. 又，. 又，，解得 . 又，. 故选：A. 第 2 页 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $