14.3角的平分线 同步练习 2025-2026学年人教版数学八年级上册

14. 3角的平分线 同步练习 2025-2026学年人教版数学八年级上册 一、选择题(共8题；共24分) 1．如图，已知，平分．若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 2．如图，平分，在上取一点P，过P做，若，则P点到OA的距离为（　　） A． B． C． D． 3．如图，在 中，， 平分 ， 于，，则的周长为（　　） A． B． C． D． 4．如图，在中，的平分线交于点D，过点D作交于点E．若，则点D到的距离是（　　） A． B． C． D． 5．如图，在中，，分别是，的平分线.若，，则（　　） A．70° B．60° C．50° D．40° 6．如图，在中，，是的角平分线，是边上一点，若，则的长可能是（　　） A．1 B．3 C．5 D．7 7．如图，在 Rt△ABC中，∠A＝90°，∠C＝58°，点O在△ABC的内部，OM⊥AB于点M，ON⊥BC于点N，若 OM＝ON，则∠OBC的度数为（　　） A．20° B．18° C．17° D．16° 8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E．若AC＝10，DE＝4，则AD的长为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 二、填空题(共6题；共18分) 9．如图，在中，，平分．若，，则　 　． 10．如图，已知中，平分，且，则点D到边的距离为　 　． 11．如图，△ABC中，AB＝8，BC＝10，AC＝7，∠ABC和∠ACB的平分线交于点I，IE⊥BC于E，则BE的长为　 　. 12．如图，O是△ABC内一点，且O到三边AB、BC、CA的距离OF=OD=OE，若∠BAC=70°，∠BOC=　 　． 13．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD＝6cm，AD平分∠BAC，BC＝10cm，则点D到AB的距离为　 　． 14．如图，任意画一个∠BAC＝60°的△ABC，再分别作△ABC的两条角平分线BE和CD，BE和CD相交于点P，连接AP，有以下结论：①∠BPC＝120°；②AP平分∠BAC；③AD＝AE；④PD＝PE；⑤BD+CE＝BC；其中正确的结论为　 　.（填写序号） 三、解答题(共6题；共58分) 15．如图，于，于，平分，若，，求的长． 16．如图，在中，是边上的中线，是边上一点，延长至点，使，连结. （1）求证：.（要求写出每一步的理论依据） （2）当，时，求的度数. 17．如图，在四边形ABDC中，∠D=∠B=90°，O为BD的中点，且AO平分∠BAC． 求证： （1）CO平分∠ACD． （2）AB+CD=AC． 18． 如图，CB＝CD，∠D+∠ABC＝180°，CE⊥AD于E． （1）求证：AC平分∠DAB； （2）若AE＝10，DE＝4，求AB的长． 19． 已知：如图，D为△ABC外角∠ACP平分线上一点，且DA＝DB，DM⊥BP于点M. （1）若AC＝6，DM＝2，求△ACD的面积； （2）求证：AC＝BM+CM． 20．如图，点D是线段的中点，，点P是线段上的一点，射线交边于点E，于点H，过B作于点F． （1）求证：； （2）如果，求证：． 答案解析部分 1．【答案】C 【解析】【解答】解：， ， 平分， ． ∵AD∥BC ． 故答案为：C. 【分析】由二直线平行，同旁内角互补求出∠ABC=70°，由角平分线的定义得∠DBC=35°，最后根据二直线平行，内错角相等得∠D=∠DBC，从而得出答案. 2．【答案】D 【解析】【解答】解：过点P做于点M， ∵，，平分， ∴. 故答案为：D． 【分析】过点P做于点M，根据角平分线的性质“角平分线上的点到角两边的距离相等”即可求解． 3．【答案】B 【解析】【解答】解： 平分 ， ，， ， ， 故选：B． 【分析】根据角平分线的性质定理角平分线上的点到角的两边距离相等可得，进而可以求出的周长； 4．【答案】A 【解析】【解答】解：∵平分，，， ∴， ∴点D到的距离是． 故答案为：A． 【分析】利用角平分线的性质可得，从而可得点D到的距离是． 5．【答案】D 【解析】【解答】解：由题意得，∠ABP=∠PBC=22°，∠ACP=∠PCM=62°，则∠ABC=44°，∠ACM=124°，由外角性质可知：∠A=∠ACM-∠ABC=80°，∠P=∠PCM-∠PBC=40°，则∠A-∠P=80°-40°=40°，D正确。 故答案为：D。 【分析】根据角平分线得到∠ABC=44°，∠ACM=124°，然后利用外角性质求出∠A、∠P的度数，即可求解。 6．【答案】D 【解析】【解答】 如图，过D作DF⊥AB，交AB于F点，由角平分线性质可知，DF=CD=6，在中，∵DE为斜边，∴DE>DF，即DE>6，D选项正确。 故答案为：D。 【分析】根据角平分线性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，通过作图，恰巧把DE放到直角三角形内，而DE又是斜边，也为直角三角形中最长的边，从而确定DE的取值范围。 7．【答案】D 【解析】【解答】解： ∵， ∴， ∵，，， ∴点O到的距离相等， ∴是的角平分线， ∴． 故答案为：D 【分析】先根据题意得到∠ABC的度数，进而结合角平分线的判定与性质即可求解。 8．【答案】C 【解析】【解答】解：是的平分线，，， ， ， ． 故答案为：． 【分析】根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等解答即可． 9．【答案】4 【解析】【解答】解：过点作，垂足为， ，， ， 解得， 又平分，，， ． 故答案为：． 【分析】过点作，垂足为，由已知，，可求，再利用角平分线性质证明即可． 10．【答案】3 【解析】【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB， ∵∠C=90°，AD平分∠BAC， ∴DE=CD=3， 故点D到AB边的距离是3． 故答案为：3． 【分析】过点D作DE⊥AB，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=CD． 11．【答案】 【解析】【解答】解：如图作△ABC的内切圆，切点分别为E，F，G， ∵BE＝BF，AF＝AG，CE＝CG， ∴BE＝ ＝ ，故答案为 . 【分析】由角平分线的性质可得点I是三角形内切圆的圆心，根据切线长定理可得：BE＝BF，AF＝AG，CE＝CG，然后根据三角形的三边长可列方程组求解. 12．【答案】125° 【解析】【解答】解：∵OF=OD=OE， ∴OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB， ∵∠BAC=70°， ∴∠ABC+∠ACB=180°﹣70°=110°， ∴∠OBC+∠OCB= （∠ABC+∠ACB）= ×110°=55°， ∴∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）=180°﹣55°=125°． 故答案为：125°． 【分析】本题考查了到角的两边距离相等的点在角的平分线上的性质，三角形的内角和定理，要注意整体思想的利用． 13．【答案】4cm 【解析】【解答】解：作DE⊥AB于E，如图， ∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC， ∴DE＝DC， ∵BD＝6，BC＝10， ∴CD＝BC﹣BD＝4， ∴DE＝4（cm）， 即点D到AB的距离为4cm． 故答案为：4cm 【分析】作DE⊥AB于E，如图，根据角平分线的性质得出DE＝DC，在计算出CD即可。 14．【答案】①②④⑤ 【解析】【解答】解：∵BE、CD分别是∠ABC与∠ACB的角平分线，∠BAC＝60°， ∴∠PBC+∠PCB＝ （180°﹣∠BAC）＝ （180°﹣60°）＝60°， ∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣60°＝120°，①正确； ∵∠BPC＝120°， ∴∠DPE＝120°， 过点P作PF⊥AB，PG⊥AC，PH⊥BC， ∵BE、CD分别是∠ABC与∠ACB的角平分线， ∴AP是∠BAC的平分线，②正确； ∴PF＝PG＝PH， ∵∠BAC＝60°∠AFP＝∠AGP＝90°， ∴∠FPG＝120°， ∴∠DPF＝∠EPG， 在△PFD与△PGE中， ， ∴△PFD≌△PGE（ASA）， ∴PD＝PE，④正确； 在Rt△BHP与Rt△BFP中， ， ∴Rt△BHP≌Rt△BFP（HL）， 同理，Rt△CHP≌Rt△CGP， ∴BH＝BD+DF，CH＝CE﹣GE， 两式相加得，BH+CH＝BD+DF+CE﹣GE， ∵DF＝EG， ∴BC＝BD+CE，⑤正确； 没有条件得出AD＝AE，③不正确； 故答案为：①②④⑤. 【分析】由三角形内角和定理和角平分线得出∠PBC+∠PCB的度数，再由三角形内角和定理可求出∠BPC的度数，①正确； 由∠BPC＝120°知∠DPE＝120°，过点P作PF⊥AB，PG⊥AC，PH⊥BC，由角平分线的性质及判断可知AP是∠BAC的平分线，②正确； PF＝PG＝PH，故∠AFP＝∠AGP＝90°，由四边形内角和定理可得出∠FPG＝120°，故∠DPF＝∠EPG，由全等三角形的判定定理可得出△PFD≌△PGE，故可得出PD＝PE，④正确； 由三角形全等的判定定理可得出△BHP≌△BFP，△CHP≌△CGP，故可得出BH＝BD+DF，CH＝CE﹣GE，再由DF＝EG可得出BC＝BD+CE，⑤正确；即可得出结论. 15．【答案】解：∵，， ∴， 又∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵，， ∴． 【解析】【分析】首先根据AAS证明 ，得出， 进而得到 ． 16．【答案】（1）证明：是边上的中线（已知）. （三角形中线的定义）， 在和中， ， ； （2）解：（已知）， （垂直的定义） 在和中， （SAS） （全等三角形的性质） 平分（角平分线的定义） （已知） （等量代换） 在中，（三角形内角和定理） （等式的基本性质） 又（已证） （全等三角形的性质） 【解析】【分析】（1）根据三角形中线性质可得，再根据全等三角形判定定理即可求出答案； （2）根据全等三角形判定定理可得，则，再根据角平分线判定定理可得平分，则，再根据三角形内角和定理可得，再根据全等三角形性质可得，即可求出答案. 17．【答案】（1）证明：过点O作OE⊥AC于E， ∵∠B=90°，OA平分∠BAC. ∴OB= OE. ∵点O为BD的中点. ∴OB=OD. ∴OE =OD． 又∵∠D= 90°， ∴OC平分∠ACD. （2）证明：由(1)得OB= OE= OD. 在Rt△ABO和Rt△AEO中， ∴Rt△ABO≌Rt△AEO(HL). ∴AB=AE. 在Rt△CEO和Rt△CDO中， ∵Rt△CEO≌Rt△CDO(HL)， ∴CD=CE. ∵AE+CE=AC， ∴AB+CD=AC. 【解析】【分析】(1)根据角平分线性质得OB= OE；根据中点得OB=OD进而得OE =OD，再根据角平分线的判定得 CO平分∠ACD 。 (2)根据HL证明Rt△ABO≌Rt△AEO和Rt△CEO≌Rt△CDO得AB=AE和CD=CE， AB+CD=AC 即为所求。 18．【答案】（1）解：证明：过点C作CF⊥AB，交AB的延长线于点F，∵∠D+∠ABC＝180°，∠CBF+∠ABC＝180°， ∴∠D=∠CBF， ∵CE⊥AD，CF⊥AB， ∴∠CED=∠CFB， 在和中 ∵， ∴（AAS）， ∴CE=CF， ∵CE⊥AD，CF⊥AB， ∴AC平分∠DAB； （2）解：在和中 ∵， ∴（HL） ∴AF=AE=10， 由（1）得 ∴BF=DE=4， ∴AB=AF-BF=10-4=6。 【解析】【分析】（1）过点C作CF⊥AB，交AB的延长线于点F，根据AAS证明，得CE=CF，根据角平分线的判定定理证明即可 ； （2）根据HL证明，得AF=AE=10，由得BF=DE=4，再求解即可 。 19．【答案】（1）解：如图作DN⊥AC于N． ∵DC平分∠ACP，DM⊥CP， ∴DM＝DN＝2， ∴S△ADC＝AC•DN＝； （2）证明：∵CD＝CD，DM＝DN， ∴Rt△CDM≌Rt△CDN（HL）， ∴CN＝CM， ∵AD＝BD，DN＝DM， ∴Rt△ADN≌Rt△BDM（HL）， ∴AN＝BM， ∴AC＝AN+CN＝BM+CM. 【解析】【分析】（1）如图作于．根据角平分线的性质定理可得，由此即可解决问题； （2）由，推出，由，推出，由此即可解决问题； 20．【答案】（1）证明：∵点D是线段的中点，， ∴，， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 【解析】【分析】 （1）根据 点D是线段BC的中点，AD⊥BC 可证得∠ABC＝∠C，再结合BF⊥AC，AD⊥BC及三角形内角和定理可证得结论。 （2）先证明∠EBH＝∠EBF，再证明△EBH≌△EBF，可得结论。也可在证明∠EBH＝∠EBF后根据角平分线的性质定理直接得出结论。 学科网（北京）股份有限公司 $