山西省山西大学附属中学校2025-2026学年高二上学期9月开学考试数学试题

山西大学附中 2025~2026学年第一学期高二(9月)开学考试（总第一次） 数学评分细则 一，选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的. 1.D2.B3.B4.C5.D6.D7.C8.D 二.选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.AD 10.ACD 11.BCD. 三.填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.13.2名14.3+2 43 四.解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.解：(1)由(0.02+0.06+0.075+a+0.025)×4=1,解得a=0.07, .2分 .(0.02×12+0.06×16+0.075×20+0.07×24+0.025×28)×4=20.32, 4分 :.该学校学生假期中参加社会实践活动的时间的平均数约为20.32小时 (2)由题意可知，即求60百分位数， 5分 又(0.02+0.06)×4=0.32，(0.02+0.06+0.075)×4=0.62， .60百分位数位于18~22之间，设60百分位数为y, 则y-18-0.6-0.32,解得y=18+56≈21.73 8分 22-180.3 15 故至少参加21.73小时的社会实践活动，方可被评为优秀 (3)易知，5名学生中 优秀有5×4 =2人，设为A,B, 4+4+2 良好有5x,4=2,人，设为c,D, 4+4+2 合格有5x,2一=1人，设为E. 4+4+2 9分 任选3人，总共有(A,B,C),（A,B,D),(A,B,E),（A,C,D),（A,C,E),(A, D,E(B,C,D),(B,C,E),(B,D,E),(C,D,E),10种情况， 11 分 其中符合的有(A,C,E)，（A,D,E),（B,C,E),(B,D,E),共4种，12分 故概率为p=4=2 105 13分 16.(1）证明：因为AB=2CD=6,AB11CD,AB1AD,F为PD的中点，E为AB的中点， 连接EC,ED,设ED∩AC=O,连接OF,可得四边形ADCE为矩形， 1分 可得o为DE的中点，所以OFI1PE, .2分 又因为PE平面ACE,OFC平面ACE,4分 所以PE11平面ACE; 5分 (2)证明：因为PA1平面ABCD,CDC平面ABCD,所以AD⊥CD, 易证得CD1AD,AD∩PA=A,所以CD1平面PAD,7分 因为AFC平面PAD,所以AF⊥CD,8分 又因为PA=AD,F为PD的中点，所以AF⊥PD, 9分 又因为PD∩cD=D,所以AF⊥平面PCD; 10分 (3)解：PA=AD=6,AB=2CD=6, 可得AC=√AD2+cD2=V56+9=35,AF=PD=√PA2+AD2=36+36=3N5,…11分 2 2 2 由(2)可得AF⊥平面PCD,所以∠ACF为直线AC与平面PcD所成的角， 12分 所以sin∠ACF=AE=3W巨d AC3√55 14分 所以直线AC与平面Pc0所成角的正弦值为0 15分 5 17.(1)(x=2sinx+25 sin wxcos ax-1=1-cos2x+sin2ax-1=2sin(2x....... 6 由函数f(x的最小正周期T=2亚=n,所以w=1，f(x刈=2sin(2x-马， 2w 4 分 令2k-子2x-名2k+子，水∈2，解得kn-名数k+号，k∈2， 6分 故f(为的单调递增区间为[kn-二，kn+.,ke2; π 7分 6 (2)g(x=fx+=2sin2x+), π 10分 4 6 根据正弦函数的性质可知，9(x)的最大值为2， 此时sin(2x+)=1,即2x+么=2kn+%,k∈z,解得x=kn+,kez, 14分 6 6 2 6 π 所以当g(x)取得最大值时x的取值集合为{x|x=kn+二，k∈Z}. 15分 6 18.解：(1)因为(b+c(sinC-sinB)=a(sinA-sinB),正弦定理可得(b+c(c-b)=a(a-b),1分 整理可得a2+b2-c2=ab,由余弦定理可得a2+b2-c2=2abc0sC, 2分 1 可得cosC= 2 4分 在△ABC中，C∈(0，m,可得c= 3, 6分 (2)因为c=2,由正弦定理可得日=6 sin A ain日nc店店，可得a-存 =c=2=4 sin A,b=4 3 sin B, 2 7分 1 可得a+2b= (sinA+2sinB)(sin()2sinco8 -cos B+-sin B+2sin B) V33 V32 2 os6+5。 2sin B)=42 2 3sin(+tan 9分 5 所以，当日+0=号时，a+2b的最大值为4E 3 .11分 (3)因为AB边的中线CD长为2，c=2, 由余弦定理可得c2=a2+b2-2 abcosB=a2+b2-ab,即4=a2+b2-ab,① 13分 且2cD=CB+CA,两边平方可得4CD=CB2+CA+2CB.CA=a2+b2+2abc0sB=a2+b2+ab, 即16=a2+b2+ab,② .15分 ②-①可得2ab=12,可得ab=6, 16分 所以△ABc的面积5=absin C=1x6×5_5 1 22 17分 19.解：(1)当集合为Q=名，日=0时，集合0相对只的余弦方差”= 0s2(Z-0)+cos2(-0) 4 3 {34 2 8 3分 (2)当集合0=管号m时，朱合0相对于常数的余弦方花 c0s2(-日+cos2(27-81+cos2(n-8) 3 3 2 2 1cos+3 sin,+cose 2 2 8分 3 3 :此时余弦方差是一个常数，且常数为2： (3)当集合0=二，a,,ae0,m),B∈[n,2a)时，集合Q相对于任何常数只的余弦方差 cos2(-日)+cos2(a-日)+cos2(B-日) U=- =(cosa+coscos+(1+sin2a+sin28 sin cos(+sina+sin sin. 32 2 要使上式是-个常数，则1+sin2a+sin2B=0且+cos20+cosB=+sin2a+sin2B13分 1 2 2 [a-a [o-ia 由a∈[o,m),B∈[n,2m),取 12或12满足上式」 17分 12 山西大学附中 2025～2026学年第一学期高二（9月）开学考试（总第一次） 数 学 试 题 考查时间：120分钟 满分：150分 考查内容：必修一、必修二 命题人：张婷 审核人：高二数学组 1、 单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知全集，，，则集合　　 A． B． C． D． 2．已知复数为虚数单位），是的共轭复数，则的值为　　 A．1 B． C． D． 3．函数的零点所在的区间为　　 A． B． C． D． 4．在中，其内角，，的对边分别为，，，已知，，，则边长　　 A． B． C． D． 5．已知是定义在上的减函数，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 6．若，为锐角，，则　　 A． B． C． D． 7．在三棱锥中，点在平面中的投影是的垂心，若是等腰直角三角形且，，则三棱锥的外接球表面积为　　 A． B． C． D． 8．已知函数在区间，上的最小值为，则的取值范围是　　 A．， B． C．，， D． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．已知向量，，则下列结论正确的是　　 A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则与的夹角为锐角 10．在一次奥运会男子羽毛球单打比赛中，运动员甲和乙进入决赛（比赛采用三局两胜制，即率先获得两局胜利者赢得比赛，随即比赛结束）．假设每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4．某同学利用计算机产生之间的随机数，当出现1，2或3时，表示甲获胜，当出现4或5时，表示乙获胜，以每3个随机数为一组进行冠军模拟预测，如果产生如下20组随机数：423 123 423 344 114 453 525 332 152 342 534 443 512 541 125 432 334 151 314 354，根据频率估计概率的思想，下列说法正确的有　　 A．甲获得冠军的概率近似值为0.65 B．甲以的比分获得冠军的概率近似值为0.5 C．比赛总共打满三局的概率近似值为0.55 D．乙以的比分获得冠军的概率近似值为0.15 11．如图，在正四棱柱中，底面正方形边长为1，，为线段上的一个动点，则下列说法中正确的有　　 A．已知直线为平面和平面的交线，则平面内存在直线与平行 B．三棱锥的体积为定值 C．的最小值为 D．直线与平面所成角最大时， 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12．抛掷两个质地均匀的骰子，则“抛掷的两个骰子的点数之和是7”的概率为 　　． 13．奇函数是定义在，的减函数，若，则实数的取值范围是 　　． 14．正方体的棱长为3，，是棱，上的中点，平面截正方体所得截面的周长为 　　． 四、解答题(本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．在五一假期中，某校组织全校学生开展了社会实践活动，抽样调查了其中的100名学生，统计他们参加社会实践活动的时间（单位：小时），并将统计数据绘制成如图的频率分布直方图．另外，根据参加社会实践活动的时间从长到短按的比例分别被评为优秀、良好、合格． （1）求的值并估计该学校学生在这个五一假期中参加社会实践活动的时间的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）； （2）试估计至少参加多少小时的社会实践活动，方可被评为优秀．（结果保留两位小数）． （3）根据社会实践活动的成绩，按分层抽样的方式抽取5名学生．从这5名学生中，任选3人，求这3名学生成绩各不相同的概率． 16．如图，在四棱锥中，平面，，，，，为的中点，为的中点． （1）证明：平面． （2）证明：平面． （3）求直线与平面所成角的正弦值． 17．已知函数，且函数的最小正周期为． （1）求的解析式，并求出的单调递增区间； （2）将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，求函数的最大值及取得最大值时的取值集合． 18．△中，角，，的对边分别为，，，已知，． （1）求角的值； （2）求的最大值； （3）若边的中线长为2，求△的面积． 19．对于集合，，，和常数，定义：为集合相对的“余弦方差”． （1）若集合，，求集合相对的“余弦方差”； （2）若集合，证明集合相对于任何常数的“余弦方差”是一个常数，并求这个常数； （3）若集合，，，，，相对于任何常数的“余弦方差”是一个常数，求，的值． 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $