1.1 集合的概念 导学案-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

1.1 集合的概念 【学习目标】 1.了解集合的含义,体会元素与集合的关系,能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题,感受集合语言的意义和作用.(数学抽象) 2.了解集合中元素的确定性、互异性、无序性,掌握常用数集及其专用符号,并能够用其解决有关问题,提高学生分析问题和解决问题的能力,培养学生的应用意识.(逻辑推理) 3.掌握集合的两种常用表示方法(列举法和描述法).(数学抽象) 【自主预习】 1.回忆一下初中实数的分类. 2.1是整数吗?是整数吗? 3.是无理数吗? 是实数吗? 4.在生活中,有许多事物可以作为一个集体出现,比如,你的家人,你的同学,山东省的所有城市,等等,你还能举出一些这样的例子吗? 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“ ”) (1)育才中学今年入学的爱好数学的学生可以组成一个集合. ( ) (2)元素1,2,3和元素3,2,1组成的集合是相等的. ( ) (3)方程(x-1)2(x-2)=0的所有解的集合可表示为{1,1,2}. ( ) (4)集合{x|4<x<5}不能用列举法表示. ( ) 2.用描述法表示函数y=3x+1图象上的所有点,其中正确的是( ). A.{x|y=3x+1} B.{y|y=3x+1} C.{(x,y)|y=3x+1} D.{y=3x+1} 3.方程x2-1=0与方程x+1=0的所有解组成的集合中共有 个元素. 4.下列元素与集合的关系判断正确的是 .(填序号) ①0∈N;② ∈Q;③∈Q;④-1∈Z;⑤∉R. 【合作探究】 探究1 集合的概念 9月1日晚上,学校通知:全体高一学生6点钟开始在班级进行开学教育,之后“偶数班学科班长”去一楼大厅领取数学教辅书《导学案》. 问题1:这个通知的对象有哪些? 问题2:这些对象能构成一个集合吗? 问题3:初中我们接触了哪些集合? 1.元素与集合的概念 (1)元素:一般地,我们把 统称为元素.元素通常用小写拉丁字母a,b,c,…表示. (2)集合:把一些元素组成的 叫作集合(简称为 ).集合通常用大写拉丁字母A,B,C,…表示. (3)集合相等:只要构成两个集合的 是一样的,我们就称这两个集合是相等的. 2.集合中元素的三个特性 确定性、无序性、互异性. 例1 (1)下列关于集合的说法正确的有( ). ①很小的整数可以构成集合; ②集合{y|y=2x2+1}与集合{(x,y)|y=2x2+1}是同一个集合; ③由1,2,,0.5,构成的集合中有5个元素. A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 (2)判断下列元素的全体能否组成集合. ①不超过20的非负数; ②方程x2-9=0在实数范围内的解; ③某校2024年在校的所有高个子同学; (多选题)下列各组对象能组成集合的是( ). A.2025年央视春晚的所有表演节目 B.高中数学的所有难题 C.被3除余2的所有整数 D.函数y=图象上所有的点 设a,b∈R,若集合{1,a+b,a}与集合0,,b相等,则a2-b= . 探究2 元素与集合的关系 把高一年级所有的同学组成的集合记为A, a同学在高一(7)班,b同学在高二(7)班. 问题1:请问a与A,b与A之间各自有什么关系? 问题2:由2,3,4,5,|-3|构成的集合里是不是有5个元素? 问题3:问题2中|-3|在集合M中吗?-3在集合M中吗? 1.元素与集合的关系:如果a是集合A的元素,就说a 集合A,记作a∈A;如果a不是集合A中的元素,就说a集合A,记作. 2.常用的数集及其记法 常用的数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 3.N与N+(N*)的区别 N+(N*)是所有正整数组成的集合,而N是由0和所有的正整数组成的集合,所以N比N+(N*)多一个元素0. 例2 (1)下列五个关系中,正确的个数为( ). ①∈R;②∉Q;③ ∈Q;④|-3|∉N;⑤-∈Z. A.1 B.2 C.3 D.4 (2)若集合A中的元素x满足∈N,x∈N,则集合A中的元素为 . 【方法总结】判断元素与集合关系的两种方法:(1)直接法,若集合中的元素是直接给出的,则只要判断该元素在已知集合中是否出现即可.(2)推理法,对于一些没有直接表示的集合,只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可,此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征. 已知集合A中有两个元素a+1,a2-1,若0∈A,则实数a的值为. 探究3 集合的表示方法 问题1:根据前面的例子,我们可以用自然语言描述一个集合,除此之外,还可以用什么方式表示集合呢? 问题2:任何一个集合是否既能用列举法也能用描述法表示?若不能,举例说明. 集合常用的表示法 (1):把集合的所有元素一一列举出来,并用花括号“{ }”括起来,特点是 . (2):一般地,设A是一个集合,我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}. 一、用列举法表示集合 例3 用列举法表示下列集合: (1)单词“see”中的字母组成的集合; (2)所有正整数组成的集合; (3)直线y=x与y=2x-1的交点组成的集合. 【方法总结】用列举法表示集合的步骤及注意点 (1)分清元素:用列举法表示集合,要分清集合中的元素是点还是数,或是其他的元素. (2)书写集合:列元素时要做到不重复、不遗漏. 提醒:二元方程组的解集、函数的图象上的点形成的集合都是点的集合,一定要写成有序实数对的形式,元素与元素之间用“,”隔开,如{(2,3),(5,-1)}. 二、用描述法表示集合 例4 用描述法表示下列集合: (1)函数y=-x图象上的点组成的集合; (2)数轴上离原点的距离大于3的点组成的集合; (3)不等式x-2<3的解组成的集合. 【方法总结】用描述法表示集合的两个步骤 集合{x|x2-4x+3=0}用列举法表示为( ). A.{1,3} B.{(1,3)} C.{x2-4x+3=0} D.{x=1,x=3} 方程组的解集不能表示为( ). A.(x,y) B.(x,y) C.{1,2} D.{(x,y)|x=1,y=2} 【随堂检测】 1.下列各组对象可以组成集合的是( ). A.跑得快的运动员 B.小于8的所有素数 C.平面直角坐标系内第一象限的一些点 D.所有小的正数 2.若a,b,c,d为集合A的四个元素,则以a,b,c,d为边长构成的四边形可能是( ). A.矩形 B.平行四边形 C.菱形 D.梯形 3.已知集合P中的元素x满足x∈N,且2<x<a,又集合P中恰有三个元素,则整数a= . 4.用适当的方法表示下列集合: (1)绝对值不大于3的偶数的集合; (2)被3除余1的正整数的集合; (3)一次函数y=2x-3图象上所有点的集合. 参考答案 1.1 集合的概念 自主预习 悟新知 预学忆思 1.分为有理数和无理数,或正数、零和负数. 2.1是整数;不是整数. 3.是无理数; 是实数. 4.一年中的四个季节,东昌湖中的鱼,济南市动物园中的老虎,构成英文单词“word”的字母,等等. 自学检测 1.(1) (2)√ (3) (4)√ 2.C 【解析】该集合是点集,故可表示为{(x,y)|y=3x+1}.故选C. 3.2 【解析】由x2-1=0,得x= 1;由x+1=0,得x=-1.故集合中只有2个元素1和-1. 4.①④ 【解析】N表示自然数集,Q表示有理数集,Z表示整数集,R表示实数集,故0∈N, ∉Q,∉Q,-1∈Z,∈R. 合作探究 提素养 探究1 情境设置 问题1:全体高一学生;“偶数班学科班长”. 问题2:能. 问题3:(1)数集:自然数的集合,有理数的集合,…. (2)点集:圆(同一平面内到一个定点的距离等于定长(不为0)的点的集合);线段的垂直平分线(到一条线段的两个端点的距离相等的点的集合);…. 新知生成 1.(1)研究对象 (2)总体 集 (3)元素 新知运用 例1 (1)A 【解析】(1)很小的整数可以构成集合是错误的,不满足元素的确定性,故①错误. 集合{y|y=2x2+1}={y|y≥1}表示y的取值范围,而{(x,y)|y=2x2+1}表示的集合为函数y=2x2+1图象上的点,所以这两个集合不是同一个集合,故②错误. 1,2,,0.5,构成的集合中有3个元素,而不是5个元素,故③错误. (2)①对任意一个实数都能判断出它是不是“不超过20的非负数”,所以能组成集合; ②能组成集合; ③“高个子”无明确的标准,对于某个人算不算高个子无法客观地判断,因此不能组成集合; ④“的近似值”没有明确精确到什么程度,因此不能判断一个数是不是它的近似值,所以不能组成集合. 巩固训练1 ACD 【解析】选项A,C,D中的元素符合集合中元素的确定性;选项B中,“难题”没有明确标准,不符合集合中元素的确定性,不能构成集合. 巩固训练2 0 【解析】由题意可知a≠0,且a+b=0,所以=-1, 即{1,0,a}={0,-1,b},可得且满足a+b=0, 所以a2-b=(-1)2-1=0. 探究2 情境设置 问题1:a∈A,b∉A. 问题2:由2,3,4,5,|-3|构成的集合表示为M={2,3,4,5},只有4个元素. 问题3:因为|-3|=3,所以|-3|在集合M中;集合M中没有-3,所以-3不在集合M中. 新知生成 1.属于 不属于 a∉A 2.N N*或N+ Z Q R 新知运用 例2 (1)C (2)0,1,2 【解析】(1)由于∈R,是无理数,-∈Z,故①②⑤正确.因为 是无理数,|-3|=3是自然数,所以③④错误.故选C. (2)由题意可得x为自然数,所以可以为2,3,6,对应的x的值为0,1,2,因此集合A中的元素为0,1,2. 巩固训练 1 【解析】∵0∈A,∴0=a+1或0=a2-1. 当0=a+1时,解得a=-1,此时a2-1=0,集合A中的元素重复,不符合题意; 当a2-1=0时,解得a=1或a=-1(舍去),∴a=1,此时,集合A中有两个元素,符合题意. 综上所述,实数a的值为1. 探究3 情境设置 问题1:还可以用列举法和描述法表示集合. 问题2:不一定,一般有有限个元素的集合或有无限个元素且元素之间有明显规律的集合既可用列举法也可用描述法表示,而有无限个元素且元素间无规律可循的集合不能用列举法表示,但可用描述法表示,如不等式x-7<3的解集. 新知生成 (1)列举法 适用于元素的个数较少的集合或有无限个元素且元素之间有明显规律的集合 (2)描述法 新知运用 例3 【解析】(1)单词“see”中有两个互不相同的字母,分别为“s”“e”,所求集合用列举法表示为{s,e}. (2)正整数为1,2,3,…,所求集合用列举法表示为{1,2,3,…}. (3)方程组的解是所求集合用列举法表示为{(1,1)}. 例4 【解析】(1){(x,y)|y=-x}. (2)数轴上离原点的距离大于3的点组成的集合等于绝对值大于3的实数组成的集合,则数轴上离原点的距离大于3的点组成的集合用描述法表示为{x∈R||x|>3}. (3)不等式x-2<3的解是x<5,则不等式x-2<3的解组成的集合用描述法表示为{x|x<5}. 巩固训练1 A 【解析】解方程x2-4x+3=0得x=1或x=3,集合用列举法表示为{1,3}. 巩固训练2 C 【解析】二元一次方程组的解是一个有序实数对,故C错误. 随堂检测 精评价 1.B 【解析】A中“跑得快”的标准不确定,不能构成集合;B中“小于8的所有素数”能构成集合;C中“一些点”无明确的标准,不能构成集合;D中“小”没有明确的标准,不能构成集合. 2.D 【解析】由集合中的元素具有互异性可知a,b,c,d互不相等,而梯形的四条边可以互不相等,故选D. 3.6 【解析】∵x∈N,2<x<a,且集合P中恰有三个元素, ∴5<a≤6,又a∈Z,∴a=6. 4.【解析】(1)用列举法表示为{-2,0,2}. (2)用描述法表示为{m|m=3n+1,n∈N}. (3)用描述法表示为{(x,y)|y=2x-3}. 学科网(北京)股份有限公司 $