2.3 课时2 二次函数与一元二次方程、不等式的应用课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦二次函数与一元二次方程、不等式的应用，核心知识点涵盖含参数一元二次不等式解法、分式不等式解法、恒成立问题及实际应用。通过复习解一元二次不等式步骤搭建旧知支架，逐步引入新知。 其亮点在于以分类讨论（如例1参数讨论）培养数学思维，实际应用例题（如刹车距离问题）构建模型体现数学语言，方法提炼形成解题结构发展数学眼光。助力学生提升逻辑推理与建模能力，为教师提供系统教学实例与流程。

2.3 课时2 二次函数与一元二次 方程、不等式的应用 作者编号：32006 学习目标 1.掌握含参数的一元二次不等式的解法. 2.掌握分式不等式的解法. 3.理解一元二次方程、二次函数、一元二次不等式 之间的关系. 4.掌握求解一元二次不等式的恒成立问题的方法. 5.构建一元二次函数模型，解决实际问题. 作者编号：32006 将原不等式化成＞0）的形式 计算的值 ＞0 =0 ＜0 方程=0有两个不相等的实数根,解得) 方程=0有两个相等的实数根,解得 方程=0没有实数根 原不等式的解集为{|＜,或｝ 原不等式的解集为{|≠｝ 原不等式的解集为R 解一元二次不等式的过程 复习回顾 作者编号：32006 例题剖析 例1 解关于的不等式＜0. 解:（1）当=0时，原不等式化为-+1＜0，∴＞1 （2）当≠0时，原不等式化为（-1)(-1)＜0 (*) ①当＜0时，(*)式化为＞0 ∴＜1，解得＞1或＜ . ②当＞0时，(*)式化为＜0 (**) ∵1=， ∴当0＜＜1时，＞1，此时（**）的解集为{|1＜＜} 作者编号：32006 例1 解关于的不等式＜0. 例题剖析 当=1时，=1，此时（**）的解集为∅ 当＞1时，＜1，此时（**）的解集为{|＜＜1} 综上，当＜0时，不等式的解集为{|＞1或＜}； 当=0时，不等式的解集为{|＞1}； 当0＜＜1时，不等式的解集为{|1＜＜}； 当=1时，不等式的解集为∅； 当＞1时，不等式的解集为{|＜＜1} （1）二次项系数不为0是作为二次不等式的前提;（2）能十字相乘求根，说明0 作者编号：32006 方法提炼 解含参数的一元二次方程式的步骤 二次项若含有参数应讨论是等于0,小于0,还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式 判断方程根的个数,讨论判别式与零的关系 确定无根时可直接写出解集;确定方程有两个根时要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式 讨论二次项系数 判断方程根的个数 写出解集 作者编号：32006 例题剖析 例2 已知关于的不等式＞0的解集为{|2＜＜3}，求关于的不等式＜0的解集. 解：由不等式＞0的解集为{|2＜＜3}可知， ＜0，且2和3是方程0的两根； 由根与系数的关系可知=-5,=6. 由＜0，不等式＜0可化为＞0， 即＞0 ,解得＜＞ , 所以不等式＜0的解集为{|＜＞} 作者编号：32006 方法提炼 一元二次不等式解集的端点值是相应的一元二次方程的根.据此，利用根与系数的关系可求得的值，进而求解，也可以利用 , 的值整体代入，转化所求不等式进行求解. 作者编号：32006 例题剖析 例3 解下列不等式： （1）＜0 （2）≤1 解：＜0⇔()()＜0⇔-4＜＜, ∴原不等式的解集为 {|-4＜ } 解：∵≤1 ∴-1≤0，∴≤0, 即≥0.此不等式等价于 ≥0且≠0 解得≥4 ∴原不等式的解集为{|≥4} 作者编号：32006 方法提炼 （1）对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零. 简单分式不等式的求解方法 （2）对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分（不要去分母），使之转化为不等号右边为零的形式，然后再用上述方法求解. 作者编号：32006 例题剖析 例4 一家车辆制造厂引进了一条摩托整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量（单位：辆）与创造的价值（单位：元）之间有如下的关系：若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收60000元以上，则在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车？ 解：设这家工厂在一个星期内大约应该利用这条流水线生产辆摩托车，根据题意，得＞60000. 移项整理，得＜0. 作者编号：32006 画出二次函数的图象 得不等式＜0的解集为｛|50＜＜60｝.从而原不等式的解集为｛|50＜＜60｝. 因为只能取整数值，所以当这条流水线在一周内生产的摩托车数量在51～59辆时，这家工厂能够获得6000元以上的收益． 对于方程，0.Δ＝100＞０， 方程有两个实数根＝50，＝60． 例题剖析 作者编号：32006 例题剖析 例5 某种汽车在水泥路面上的刹车距离（单位：）和汽车刹车前的车速（单位：）之间有如下关系： . 在一次交通事故中,测得这种车的刹车距离大于39.5m，那么这辆汽车刹车前的车速至少为多少（精确到1）？ 解：根据题意，得39.5,整理得＞0. 对于方程Δ＞０，方程有两个实数=,= 作者编号：32006 例题剖析 画出二次函数的图象 得不等式的解集为{|＜,或＞} 从而原不等式的解集为{,或 } 因为车速＞0，所以＞ 而79.9＜＜80， 所以这辆汽车刹车前的车速至少为80 . 作者编号：32006 方法提炼 (1)理解题意，搞清量与量之间的关系； (2)建立相应的不等关系，把实际问题抽象为数学中 的一元二次不等式问题； (3)解这个一元二次不等式，得到实际问题的解. 解不等式应用题的步骤 作者编号：32006 例题剖析 例6 （1）若对∈R,不等式＞4恒成立，求实数的取值范围； 解：对∈R,不等式＞4恒成立，等价于对∈R ，＞0恒成立， 则=＜0, 化简得＜0,解得0＜＜4 所以实数的取值范围为{|0＜＜4} 作者编号：32006 例题剖析 例6（2）若＞4恒成立在R上恒成立，求的取值范围； 解：若＞4恒成立在R上恒成立， 则＜在R上恒成立， 设()=,则)= ≥0 所以＜0 即的取值范围为{|＜0} 作者编号：32006 随堂小测 1. 解下列不等式：（1）≥0； （2）＞1 解：≥0等价于, 解得-＜≤1， ∴原不等式的解集为 {|-} 解：∵＞1⇔＞0⇔＜0 ∴()()＜0 解得 ∴原不等式的解集为{|} 作者编号：32006 2.对于一切实数,＜0 恒成立，求实数的取值范围. 随堂小测 解：若=0，显然-1＜0，满足题意； 若 ≠0 要使对于一切实数，不等式＜0 恒成立，只需 解得-4＜ ∴实数的取值范围为{|-4＜} 作者编号：32006 3.若不等式＜0的解集是{|-7＜＜-1}， 求的值. 随堂小测 解：由题意可知-7和-1为方程＝0的两个根. ∴-7×(-1)＝ ，故a＝3. 作者编号：32006 随堂小测 4. 某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏，若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入，应怎样制定这批台灯的销售价格? 解：设这批台灯的销售价定为元，则[30-（-15）×2]·＞400， 即＜0,解得10＜＜20， 又∵≥15，∴15≤＜20 故应将这批台灯的销售价格制定在15元~20元之间，包括15元但不包括20元，才能使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售价格. 作者编号：32006 课堂总结 二次函数与一元二次方程、不等式的应用 含参数的一元二次不等式的解法 分式不等式的解法 一元二次不等式的恒成立问题 一元二次函数模型 作者编号：32006 $