2.2课时2 基本不等式的应用 课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

2.2 课时2 基本不等式的应用 作者编号：32006 学习目标 1. 熟练掌握利用基本不等式求函数的最值问题. 2. 会用基本不等式求解实际应用问题. 作者编号：32006 复习回顾 1、重要不等式与基本不等式的内容： +≥2（,b∈R），当且仅当时，等号成立. ≤（＞0，＞0），当且仅当=时 ，等号成立. 2、已知 x, y 都是正数, P, S 是常数. 如果积等于定值P，那么当时，和有最小值2 如果和等于定值S，那么当时，积有最大值 3、利用基本不等式求最值，必须按照“一正，二定，三相等”的原则. 作者编号：32006 例题剖析 例1、（1） 用篱笆围一个面积为100 的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时,所用篱笆最短?最短篱笆的长度是多少? 分析：矩形菜园的面积是矩形的两邻边之积，于是问题转化为：矩形的邻边之积为定值，边长多大时周长最短. 解：设矩形菜园的相邻两条边的长分别为，篱笆的长度为 2().由≥ 可得≥2=20 所以2()≥40，当且仅当=10时，上式等号成立. 因此，当这个矩形菜园是边长为10 的正方形时,所用篱笆最短, 最短篱笆的长度为40. 作者编号：32006 例题剖析 例1、（2） 用一段长为36的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时,菜园的面积最大?最大面积是多少? 分析：矩形菜园的周长是矩形两邻边之和的2倍，于是问题转化为:矩形的邻边之和为定值,边长多大时面积最大. 由已知得2()=36，矩形菜园的面积为 .由≤==9, 可得≤81，当且仅当=9时，上式等号成立. 因此，当这个矩形菜园是边长为9的正方形时，菜园的面积最大，最大面积是81 作者编号：32006 例题剖析 例2、某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为4800,深为3如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，那么怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？ 分析：贮水池是长方体，它的高是3 ，池底的边长没有确定.如果池底的边长确定了，那么水池的总造价也就确定了.因此，应当考察池底的边长取什么值时，水池的总造价最低. 作者编号：32006 解：设贮水池池底的相邻两条边的边长分别为 ，水池的总造价为元.根据题意,有 z=150× 120(2×3+2×3)=240 000+720(+). 由容积为4800,可得 3=4800，因此=1600. 所以z≥240 000+720×2 ,当=40时，上式等号成立，此时z=297 600. 所以将贮水池的池底设计成边长为40的正方形时总造价最低，最低总造价是297600元. 例题剖析 作者编号：32006 方法提炼 利用基本不等式解决实际问题的思路 利用基本不等式解决应用问题的关键是构建模型，一般来说，都是通过相关的关系建立关系式，将实际问题转化为最大值或最小值问题，在解题过程中，尽量向模型 ≥2 (＞0,＞0, ＞0 )上靠拢. 作者编号：32006 随堂小测 1、某公司建造一间背面靠墙的房屋，地面面积为48，房屋正面每平方米的造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5800元.如果墙高为3，且不计房屋背面和地面的费用,那么怎样设计房屋能使总造价最低？最低总造价是多少？ 3 解：如图所示，设房屋的正面边长为，侧面边长为 ,总造价为z元，则=48 作者编号：32006 随堂小测 ∴即= ,所以 z=3·1200+6·800+5800=3600+ +5800 ≥2 +5800=63400 当且仅当3600 ， 即=8时，等号成立. 故当房屋正面长为8，侧面长为6， 总造价最低，最低总造价为63400元. 3 作者编号：32006 随堂小测 2、某建筑公司用8000万元购得一块空地，计划在该地块上建筑一栋至少12层，每层4000平方米的楼房.经初步估计得知，如果将楼房建为(≥12)层，则每平方米的平均建筑费用为S=3000+50(单位：元)，为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？每平方米的平均综合费用的最小值是多少？ （注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用， 平均购地费用=） 作者编号：32006 随堂小测 解：设楼房每平方米的平均综合费用为元，依题意得 =s+ (≥12,∈) 因为≥2× +3000=5000, 当且仅当 ，即=20时，等号成立， 所以当=20时,取得最小值5000. 所以为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为20层，每平方米的平均综合费用的最小值为5000元. 作者编号：32006 随堂小测 3、一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金.一位顾客到店里购买10g黄金，售货员先将5g的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5g的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客，你认为顾客购得的黄金是小于10g，等于10g，还是大于10g？为什么？ b a 作者编号：32006 随堂小测 顾客购得的黄金大于10g，理由如下: 由于天平两臂不等长，设左臂为，右臂为，≠，先称得的黄金的质量为，后称得的黄金的质量为， 则5=，=5，故+= ＞2 =10, 所以顾客购得的黄金大于10g. b a 作者编号：32006 课堂总结 利用基本不等式解决实际问题 实际情境，提出问题，建立模型，求解模型，检验结果，实际结果 作者编号：32006 $