1.4.2 课时2 空间中的夹角问题 课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

1.4.2 课时2 空间中的夹角问题 作者编号：32100 作者编号：32100 1. 能用向量方法求线线角、线面角、面面角. 2. 能正确区分向量夹角与所求线线角、线面角、面面角的关系. 学习目标 作者编号：32100 作者编号：32100 立体几何中的角度问题 01 求异面直线所成的角 02 求直线与平面相交所成的角 03 求两个平面相交所成的二面角 思考：在空间中怎样描述这些角呢？这些角的大小与直线的方向向量、平面的法向量有何关系？ 问题导入 作者编号：32100 作者编号：32100 例1 如图，在棱长为1的正四面体（四个面都是正三角形）中， ， 分别为 ，的中点．求直线 与夹角的余弦值. 分析：异面直线与的夹角 向量与的夹角 想一想：如何表示向量 会比较方便计算夹角？ 方法2 建立空间直角坐标系 方法1 选择空间的一个基底 典型例题 作者编号：32100 作者编号：32100 4 1.向量法 解：以{，}基底，则 设向量与的夹角为， 则直线与夹角的余弦值等于. 作者编号：32100 作者编号：32100 5 又因为和均为等边三角形， 所以 所以直线夹角的余弦值等于 作者编号：32100 作者编号：32100 6 2.坐标法 取中点，过作⊥平面， 以为原点，，，所在直线为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 也是一种特殊的 基底 思考：如何将上面求解异面直线AM 与CN 夹角问题的方法应用到一般情况呢？ 作者编号：32100 作者编号：32100 7 问题1 如何用空间向量求两条直线的夹角？ ’ 从高维向低维转化的思想 1.两条直线夹角的取值范围是什么？ 新知探究 作者编号：32100 作者编号：32100 8 2.两条直线的夹角与它们方向向量的夹角有什么关系？ 作者编号：32100 作者编号：32100 9 问题2 如何用空间向量求直线与平面所成的角？ 1.直线与平面所成角的取值范围？ // ⟹ 是的斜线 l l l 作者编号：32100 作者编号：32100 10 A B C 2.直线与平面所成的角有什么关系？ B C 作者编号：32100 作者编号：32100 11 二面角的大小用它的平面角来度量. α β l 在二面角的棱上任取一点，以点为垂足，在半平面和内分别作垂直于棱的射线和，则射线和构成的叫做二面角的平面角． α β l 3. 二面角的大小是如何度量的？ 4. 二面角的平面角是如何定义的？ 作者编号：32100 作者编号：32100 12 α β 6.两个平面夹角的取值范围是什么？ 5.两个平面夹角与这两个平面形成的二面角有何关系？ 平面与平面相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于的二面角称为平面与平面的夹角. 作者编号：32100 作者编号：32100 α β l α β l 问题3 如何用空间向量求平面与平面所成的角？ 作者编号：32100 作者编号：32100 14 范围 图形 公式 异面直线 所成角 直线与平 面所成角 平面与平 面所成角 角的类型 知识归纳 作者编号：32100 作者编号：32100 例2 如图，在直三棱柱中，，，，为的中点，点，分别在棱，上，， ．求平面与平面夹角的余弦值. 解：以为原点，，，所在直线为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 设平面的法向量为，平面的法向量为， 则平面与平面的夹角就是与的夹角或其补角． 典型例题 作者编号：32100 作者编号：32100 16 因为平面， 因为，，， 所以平面的一个法向量为． 设平面的法向量为 又 所以 所以， ． 取 (3，4，2), 求平面与平面夹角的余弦值. 作者编号：32100 作者编号：32100 17 用空间向量求平面与平面的夹角的步骤与方法： 化为向量问题 进行向量运算 回到图形问题 ①转化为求平面，的法向量，的夹角 ③平面与平面夹角的余弦值 方法归纳 作者编号：32100 作者编号：32100 18 本节课你学到了哪些知识与方法？ 几何问题 向量问题 向量运算 几何解释 课堂小结 作者编号：32100 作者编号：32100 1.已知点A(0，1，1)，B(2，-1，0)，C(3，5，7)，D(1，2，4)，则直线AB和直线CD所成角的余弦值为(　　) A 随堂练习 作者编号：32100 作者编号：32100 2.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的正弦值为(　　) C 3.已知正方形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，若PA＝AB，则平面PAB与平面PCD的夹角为 . 45° 随堂练习 作者编号：32100 作者编号：32100 A. B.- C. D.- A. B. C. D. $