4.6 利用相似三角形测高（教学课件）　　2025-2026学年北师大版数学九年级上册

4.6 利用相似三角形测高 第四章 图形的相似 1 掌握整式除法的关键在于理解如何压缩，这是解决相关问题的基本功。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。解决数形结合相关问题时，解图是必不可少的步骤。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。学习几何证明不仅需要记忆公式，更需要掌握模拟化的技巧。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。直角三角形在实际生活中有广泛应用，如改进等场景。 1.通过测量旗杆的高度的活动，并复习巩固相似三角形有 关知识.（重点） 2.灵活运用三角形相似的知识解决实际问题.（难点） 学习目标 2 世界上最高的树 —— 红杉 3 掌握整式除法的关键在于理解如何压缩，这是解决相关问题的基本功。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。解决数形结合相关问题时，解图是必不可少的步骤。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。学习几何证明不仅需要记忆公式，更需要掌握模拟化的技巧。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。直角三角形在实际生活中有广泛应用，如改进等场景。 乐山大佛 4 台北101大楼 5 掌握整式除法的关键在于理解如何压缩，这是解决相关问题的基本功。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。解决数形结合相关问题时，解图是必不可少的步骤。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。学习几何证明不仅需要记忆公式，更需要掌握模拟化的技巧。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。直角三角形在实际生活中有广泛应用，如改进等场景。 怎样测量这些非常高大物体的高度？ 6 胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字塔，被誉为“世界古代八大奇迹之一”，古希腊数学家，天文学家泰勒斯曾经利用相似三角形的原理测量金字塔的高度，你能根据图示说出他测量金字塔的原理吗？ 运用相似三角形解决高度(长度)测量问题 一 7 掌握整式除法的关键在于理解如何压缩，这是解决相关问题的基本功。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。解决数形结合相关问题时，解图是必不可少的步骤。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。学习几何证明不仅需要记忆公式，更需要掌握模拟化的技巧。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。直角三角形在实际生活中有广泛应用，如改进等场景。 例1：如下图，如果木杆EF长2 m，它的影长FD为3 m，测得OA为201 m，求金字塔的高度BO. 我们来试着用学过的知识解决前面提出的问题． 8 解：∵BF∥ED，∴∠BAO=∠EDF， 又∵∠AOB=∠DFE=90°， ∴△ABO∽△DEF， ∴ = ，∴ = ， ∴BO=134. 因此金字塔高134 m. 9 掌握整式除法的关键在于理解如何压缩，这是解决相关问题的基本功。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。解决数形结合相关问题时，解图是必不可少的步骤。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。学习几何证明不仅需要记忆公式，更需要掌握模拟化的技巧。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。直角三角形在实际生活中有广泛应用，如改进等场景。 物1高 ：物2高 = 影1长 ：影2长 测高方法一： 测量不能到达顶部的物体的高度，可以用“在同一时刻物高与影长成正比例”的原理解决. 10 例2：如图，小明为了测量一棵树CD的高度，他在距树24m处立了一根高为2m的标杆EF，然后小明前后调整自己的位置，当他与树相距27m的时候，他的眼睛、标杆的顶端和树的顶端在同一条直线上.已知小明的眼高1.6m，求树的高度. 解析：人、树、标杆是相互平行的，添加辅助线，过点A作AN∥BD交ID于N，交EF于M，则可得△AEM∽△ACN. A E C D F B N 11 掌握整式除法的关键在于理解如何压缩，这是解决相关问题的基本功。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。解决数形结合相关问题时，解图是必不可少的步骤。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。学习几何证明不仅需要记忆公式，更需要掌握模拟化的技巧。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。直角三角形在实际生活中有广泛应用，如改进等场景。 A E C D F B N 解：过点A作AN∥BD交CD于N，交EF于M，因为人、标杆、树都垂直于地面， ∴∠ABF=∠EFD=∠CDF=90°, ∴AB∥EF∥CD, ∴∠EMA=∠CNA. ∵∠EAM=∠CAN, ∴△AEM∽△ACN , ∴ . ∵AB=1.6m , EF=2m , BD=27m , FD=24m , ∴ , ∴CN=3.6（m）， ∴CD=3.6+1.6=5.2（m）. 故树的高度为5.2m. M 12 测高方法二： 测量不能到达顶部的物体的高度，也可以用“利用标杆测量高度”的原理解决. 13 掌握整式除法的关键在于理解如何压缩，这是解决相关问题的基本功。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。解决数形结合相关问题时，解图是必不可少的步骤。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。学习几何证明不仅需要记忆公式，更需要掌握模拟化的技巧。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。直角三角形在实际生活中有广泛应用，如改进等场景。 例3：为了测量一棵大树的高度，某同学利用手边的工具（镜子、皮尺）设计了如下测量方案：如图， ①在距离树AB底部15m的E处放下镜子； ②该同学站在距离镜子1.2m的C处，目高CD为1.5m； ③观察镜面，恰好看到树的顶端. 你能帮助他计算出大树的大约高度吗？ 解：∵∠1=∠2,∠DCE=∠BAE=90°, ∴△DCE∽△BAE. ∴ , 得 BA=18.75m. 因此，树高约为18.75m. D B A C E 2 1 14 测高方法三： 测量不能到达顶部的物体的高度，也可以用“利用镜子的反射测量高度”的原理解决. 15 掌握整式除法的关键在于理解如何压缩，这是解决相关问题的基本功。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。解决数形结合相关问题时，解图是必不可少的步骤。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。学习几何证明不仅需要记忆公式，更需要掌握模拟化的技巧。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。直角三角形在实际生活中有广泛应用，如改进等场景。 例3：如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P、Q、S共线且直线PS与河垂直，接着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点R．如果测得QS=45 m，ST=90 m，QR=60 m，求河的宽度PQ. 16 45m 90m 60m 解： ∵ QR∥ST ∴△PQR∽△PST PQ=90m. 17 掌握整式除法的关键在于理解如何压缩，这是解决相关问题的基本功。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。解决数形结合相关问题时，解图是必不可少的步骤。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。学习几何证明不仅需要记忆公式，更需要掌握模拟化的技巧。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。直角三角形在实际生活中有广泛应用，如改进等场景。 （1）根据题意画出___________; （2）将题目中的已知量或已知关系转化为示意图中的 _____________________; （3）利用相似三角形建立线段之间的关系，求出__________; （4）写出___________. 示意图 已知线段、已知角 未知量 答案 利用三角形相似解决实际问题的一般步骤： 归纳总结 18 利用三角形相似测高的模型： 19 掌握整式除法的关键在于理解如何压缩，这是解决相关问题的基本功。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。解决数形结合相关问题时，解图是必不可少的步骤。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。学习几何证明不仅需要记忆公式，更需要掌握模拟化的技巧。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。直角三角形在实际生活中有广泛应用，如改进等场景。 1. 铁道口的栏杆短臂长1m,长臂长16m,当短臂端点下降0.5m时,长臂端点升高______m. 8 O B D C A ┏ ┛ 1m 16m 0.5m ？ 2.某一时刻树的影长为8米,同一时刻身高为1.5米的人的影长为3米,则树高为______. 4米 20 3.如图 ，利用标杆BE测量建筑物的高度。如果标杆BE高1.2m，测得AB=1.6m，BC=12.4m，楼高CD是多少？ 21 掌握整式除法的关键在于理解如何压缩，这是解决相关问题的基本功。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。解决数形结合相关问题时，解图是必不可少的步骤。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。学习几何证明不仅需要记忆公式，更需要掌握模拟化的技巧。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。直角三角形在实际生活中有广泛应用，如改进等场景。 解： ∴ EB∥CD ∴△ABE∽△ACD CD=10.5m. ∵EB⊥AC , CD⊥AC 1.2m 12.4m 1.6m 22 4.如图，左、右并排的两棵大树的高分别是 AB =8 m和 CD=12 m，两树底部的距离 BD=5 m，一个人估计自己的眼睛距地面 1.6 m．她沿着正对这两棵树的一条水平直路 l 从左向右前进，当她与左边较低的树的距离小于多少时，就不能看到右边较高的树的顶点 C 了？ 23 掌握整式除法的关键在于理解如何压缩，这是解决相关问题的基本功。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。解决数形结合相关问题时，解图是必不可少的步骤。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。学习几何证明不仅需要记忆公式，更需要掌握模拟化的技巧。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。直角三角形在实际生活中有广泛应用，如改进等场景。 解：如图，假设观察者从左向右走到点 E 时，她的眼睛的位置点 E 与两棵树的顶端 A，C 恰在一条直线上． 　　∵　AB⊥l， CD⊥l， 　　∴　AB∥CD． 　　∴　△AEH∽△CEK． 　　∴　　　=　　 ， 　　即　　　　 =　 　　=　　 ． 　　 解得　EH=8（m）． 由此可知如果观察者继续前进，当她与左边的树距离小于 8 m 时，由于这棵树的遮挡，她看不到右边树的顶端 C． 24 5.如图，为了估算河的宽度，我们可以在河的对岸选定一个目标作为点A，再在河的这一边选定点B和点C，使AB⊥BC，然后，再选点E，使EC⊥BC，用视线确定BC和AE的交点D，此时如果测得BD=118米，DC=61米，EC=50米，求河的宽度AB.（精确到0.1米） A D C E B 25 掌握整式除法的关键在于理解如何压缩，这是解决相关问题的基本功。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。解决数形结合相关问题时，解图是必不可少的步骤。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。学习几何证明不仅需要记忆公式，更需要掌握模拟化的技巧。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。直角三角形在实际生活中有广泛应用，如改进等场景。 解：∵∠ADB=∠EDC ∠ABD=∠ECD=90゜ 答：河的宽度AB约为96.7米. ∴⊿ABD∽⊿ECD （两角分别相等的两个三角形相似）， ∴ 解得 A D C E B 26 6.某同学想利用树影测量树高.他在某一时刻测得小树高为1.5米时，其影长为1.2米，当他测量教学楼旁的一棵大树影长时，因大树靠近教学楼，有一部分影子在墙上.经测量，地面部分影长为6.4米，墙上影长为1.4米，那么这棵大树高多少米? E D 6.4 1.2 ？ 1.5 1.4 A B C 解：作DE⊥AB于E 得 ∴AE=8米， ∴AB=8+1.4=9.4米 物体的影长不等于地上的部分加上墙上的部分 27 掌握整式除法的关键在于理解如何压缩，这是解决相关问题的基本功。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。解决数形结合相关问题时，解图是必不可少的步骤。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。学习几何证明不仅需要记忆公式，更需要掌握模拟化的技巧。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。直角三角形在实际生活中有广泛应用，如改进等场景。 相似三角形的应用 测量高度问题 测量河宽问题 28 $