1.4.2 课时3 空间向量在立体几何中的综合应用课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦空间向量在立体几何中的综合应用，通过复习导入表格梳理异面直线所成角、线面角、面面角的范围与公式，搭建旧知与新知的学习支架，帮助学生衔接距离、角度等问题的向量解法。 其亮点在于结合降落伞拉力等实际情境与四棱锥证明计算等例题，用数学眼光抽象向量模型，数学思维推理运算，数学语言表达几何关系，知识归纳明确综合法、向量法、坐标法特点，助力学生系统掌握，教师使用可提升教学效率，学生能发展应用意识与逻辑推理能力。

1.4.2 课时3 空间向量在立体几何中的综合应用 作者编号：32100 1.进一步体会向量方法在研究几何问题中的作用，并能灵活运用综合法、向量法、坐标法解决立体几何中的距离、角度等问题. 学习目标 作者编号：32100 范围 图形 公式 异面直线 所成角 直线与平 面所成角 平面与平 面所成角 角的类型 立体几何中的角度问题： 复习导入 作者编号：32100 例1.如图为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子和水平面的夹角均为已知礼物的质量为，每根绳子的拉力大小相同.求降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小(重力加速度取，精确到). 分析：①降落伞匀速下落时8根绳子拉力的合力的大小=礼物重力的大小 ②8根绳子的拉力在水平面的法向量方向上的投影向量的和向量与礼物的重力是一对相反向量. 想一想：现在你能求解出每根绳子拉力的大小吗? 用空间向量解决实际问题，综合问题 典型例题 作者编号：32100 例1.图为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子和水平面的夹角均为已知礼物的质量为，每根绳子的拉力大小相同.求降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小(重力加速度取，精确到). 解：如图，设水平面的单位法向量为，其中一根绳子的拉力为. 因为，所以在上的投影向量为. 所以8根绳子拉力的合力 又因为降落伞匀速下落，所以 所以 所以 作者编号：32100 例2.如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，是的中点，作交于点. (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)求平面与平面的夹角的大小. 问1：要证明线面平行、 线面垂直你能想到哪些方法？ 问2：它们的夹角是哪个角，如何求解会比较方便？ 【分析】对于问题(1)、(2)：直线与平面平行和垂直的判定，问题(3)：计算两个平面的夹角，这些问题都可以利用向量方法解决．由于四棱锥的底面是正方形，而且一条侧棱垂直于底面，可以利用这些条件建立适当的空间直角坐标系，用向量及坐标表示问题中的几何元素，进而解决问题． 作者编号：32100 例2.如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，是的中点，作交于点. (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)求平面与平面的夹角的大小. 解：以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 向量法 设. (1)证明：连接，交于点，连接. 作者编号：32100 例2.如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，是的中点，作交于点. (1)求证：平面； (1)证明：连接，交于点，连接. 依题意得. 因为底面是正方形，所以点是它的中心， 故点的坐标为，且，. 所以，即. 而平面，且平面，因此平面. 作者编号：32100 例2.如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，是的中点，作交于点. (2)求证：平面； (2)证明：依题意得. 又，故 所以. 由已知，且，所以平面. 作者编号：32100 (3)求平面与平面的夹角的大小. (3)已知，由(2)可知，故是平面与 平面的夹角.由(2)可知点的坐标为，则. 因为，所以 即.设， 则.所以，点的坐标为. 又点的坐标为，所以. 所以. 所以，即平面与平面的夹角大小为. 作者编号：32100 讨论：在例1，例2的问题解决中，我们用到了哪些方法，结合以下框图，谈谈你的收获？ 用空间向量表示立体图形中点、直线、平面等元素 进行空间向量的运算，研究点、直线、平面之间的关系 把运算结果“翻译”成相应的几何意义 作者编号：32100 解决立体几何中的问题，可用三种方法： 综合法、向量法、坐标法，三种方法都有各自的特点. ①综合法以逻辑推理作为工具解决问题； ②向量法利用向量的概念及其运算解决问题； ③坐标法经常与向量法结合起来使用； 对于具体的问题，应根据它的条件和所求选择合适的方法. 知识归纳 作者编号：32100 如图，长方体的底面是正方形，点在棱上，. (1)求证：平面 ； (2)若求二面角的正弦值. (1)证明：由已知得，平面，平面， 故.又，，所以平面. (2)由(1)知.由题设知， 所以，故 以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系， 练一练 作者编号：32100 (2)若求二面角的正弦值. (2)则，，，，， ，. 设平面的法向量为， 则即 所以可取. 设平面的法向量为， 则即 所以可取 于是. 所以二面角的正弦值为. 作者编号：32100 利用向量法求两个平面夹角的步骤： (1)建立空间直角坐标系； (2)分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量； (3)求两个法向量的夹角； (4)确定两平面夹角的大小. 方法再现 作者编号：32100 用空间向量表示立体图形中点、直线、平面等元素 进行空间向量的运算，研究点、直线、平面之间的关系 把运算结果“翻译”成相应的几何意义 解决立体几何中的问题，可用三种方法： 1.综合法； 2.向量法； 3.坐标法． 本课小结 作者编号：32100 1. 当堂检测 作者编号：32100 作者编号：32100 作者编号：32100 作者编号：32100 如图，二面角的棱上有两个点，，线段与分别在这个二面 角的两个面内，并且都垂直于棱．若，，，， 求平面与平面的夹角． 解：取基底，设，，，则， ， ，． 设平面，的夹角为，则． $