1.4.1 课时1 空间中点、直线和平面的向量表示课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦空间中点、直线和平面的向量表示，涵盖位置向量、直线方向向量、平面法向量及求法。以赤道式日晷为情景导入，通过“如何用向量表示点、直线、平面”的问题，衔接点到直线再到平面的向量表示逻辑，搭建递进式学习支架。 其亮点在于融合传统文化情景，培养数学眼光，如借日晷问题抽象空间形式。通过问题链引导数学思维，从“点的位置向量”到“平面法向量的唯一性”，层层递进。例题结合长方体模型，步骤规范且方法归纳清晰，助学生用数学语言表达空间关系。小结与检测巩固知识，教师使用可提升教学效率，学生能发展空间观念与运算能力。

1.4.1 课时1 空间中点、直线和平面的向量表示 作者编号：32100 1.能用向量语言表示空间中的点、直线与平面. 2.理解直线的方向向量与平面的法向量的含义. 3.会求直线的方向向量与平面的法向量. 学习目标 作者编号：32100 赤道式日晷：是中国古代最经典的计时仪器,晷面为赤道面，依照使用地的纬度，使日晷的晷面平行于赤道面，如图1：晷盘上的刻度是等分的，夏季和冬季轴投影在晷盘上的影子会分在晷盘的北面和南面。适合中低纬度地区使用。 图2 图1 晷面 晷针 底座 如图2，如何用向量表示点B的位置?如何用向量表示投影直线的位置?如何用向量表示晷面的位置? 赤道面 晷面 情景导入 作者编号：32100 点、线、面是空间的基本图形，点、线段、平面图形是组成空间几何体的基本元素.因此，为了用空间向量研究立体几何问题，首先要用向量表示空间中的点、线、面. 几何中 点 线 面 向量中 ？ ？ ？ 新知讲解 作者编号：32100 问题1:　在空间中，如何用向量表示空间中的一个点？ O P 图1.4-1 新知讲解 作者编号：32100 问题2:　我们知道， 空间中给定一个点 A 和一个方向就能唯一确定一条直线 l ．你能将空间中确定直线 l 的这组条件转化为向量表示吗? A P l 用向量表示直线 l ,就是要利用点 A 和直线 l 的方向向量表示直线上的任意一点 P． 新知讲解 作者编号：32100 图1.4-2 如图1.4-2，a是直线l的方向向量，在直线l上取 设P是直线l上的任意一点，由向量共线可知： 点P在直线l上 充要条件 存在实数t，使得 即 新知讲解 作者编号：32100 图1.4-3 ①式和②式都称为空间直线的向量表示式．由此可知，空间任意直线由直线上一点A及直线的方向向量 唯一确定． 新知讲解 作者编号：32100 问题3:　我们知道，两条相交直线能确定一个平面，类比空间直线的向量表示，你能将上述确定一个平面的条件转化为向量表示吗? 图1.4-4 新知讲解 作者编号：32100 图1.4-5 ③ 称为空间平面ABC的向量表示式． 由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定． α P a b B C A O 作者编号：32100 α 平面α过点A，且l⊥α⇒α是唯一的 l A P a 问题4:　给一个定点和一个定方向（向量），能确定一个平面在空间中的位置吗？ 利用点 A 和直线 l 的方向向量来确定平面． 空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定． 新知讲解 作者编号：32100 图1.4-6 新知讲解 作者编号：32100 新知讲解 作者编号：32100 空间中点、线、面的向量表示 1. 空间一点P： 2. 直线上一点：P为直线BC1 3. 平面内一点：P为平面BCC1B1上一点 l A P 4. 直线的方向向量：在直线l上取( t 也是直线l的方向向量) 5. 平面的法向量：若l⊥α，则l的方向向量称为平面的法向量。 (t 也是平面的法向量；法向量常用，，等表示) 知识归纳 作者编号：32100 分析: (1)平面BCC1B1与y轴垂直,其法向量可以直接写出; (2)平面MCA1可以看成由 中的两个向量所确定,运用法向量与它们的垂直关系,可转化为数量积运算求得法向量. 例1:已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，CC1 =2，M为AB中点.以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示空间直角坐标系. （1）求平面BCC1B1的一个法向量． （2）求平面MCA1的一个法向量． 典型例题 作者编号：32100 解：(1)因为y轴垂直于平面BCC1B1，所以n1=(0,1,0)是平面BCC1B1的一个法向量. 例1:已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，CC1 =2，M为AB中点.以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示空间直角坐标系. （1）求平面BCC1B1的一个法向量． （2）求平面MCA1的一个法向量． 典型例题 作者编号：32100 所以 设n2=(x,y,z)是平面MCA1的一个法向量，则 令z=3，则x=2，y=3，所以n2=(2,3,3)是平面MCA1的一个法向量. 所以 （2）求平面MCA1的一个法向量． (2)因为AB=4,BC=3,CC1=2,M是AB的中点，所以M,C,A1的坐标分别为(3,2,0),(0,4,0),(3,0,2). 因此 典型例题 作者编号：32100 2.求解平面法向量的一般步骤： （1）根据立体几何中线面垂直的判定定理得到法向量； （2）根据向量运算的坐标表示得到两个三元一次方程，联立方程组； （3）根据三元一次不定方程组，得到一个法向量. 方法归纳 1.求平面法向量的常见类型: (1)已知平面内三个点的坐标,求这三个点确定的平面的法向量; (2)一个几何体中存在线面垂直关系,在建立空间直角坐标系后,平面的垂线的方向向量即为平面的法向量; (3)在几何体中找到平面内已知点的坐标或找到与平面平行的向量,然后求平面的法向量. 作者编号：32100 A B C D D1 A1 B1 C1 x y z 解： 练一练 作者编号：32100 A B C D D1 A1 B1 C1 x y z 作者编号：32100 根据今天所学，回答下列问题： 1.空间中点、直线和平面的向量怎么表示？ 2.求平面法向量的步骤是什么？ 本课小结 作者编号：32100 1. 判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)直线l的方向向量是唯一的. (　　)(2)若点A，B是平面α上的任意两点， 是平面α的法向量，则AB· ＝0 (　　) (3)由空间点A和直线l的方向向量能表示直线上的任意一点 . (　　)(4)空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定. (　　) → √　 × √　 √　 当堂检测 作者编号：32100 2. 已知A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，则平面ABC的一个法向量是 (　　) A．(1，1，－1) B．(1，－1，1) C．(－1，1，1) D．(－1，－1，－1) D 解析： ＝(－1，1，0)， ＝(－1，0，1)． 设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，则有－x＋z＝0，－x＋y＝0， 取x＝－1，则y＝－1，z＝－1. 故平面ABC的一个法向量是(－1，－1，－1)． 当堂检测 作者编号：32100 3. -1 当堂检测 作者编号：32100 根据题意，,，若直线的一个方向向量为， 则设，即， 则，解得. 故答案为：． 已知，若直线的一个方向向量为，则___. $