1.3.2 空间向量运算的坐标表示课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

1.3.2 空间向量运算的坐标表示 作者编号：32100 1.掌握空间向量的坐标表示. 2.掌握空间两点间距离公式. 3.会用空间中的向量的坐标运算解决一些简单的几何问题． 学习目标 作者编号：32100 你还记得平面向量的坐标运算吗？ 得到空间向量的坐标运算 类比得到 复习导入 作者编号：32100 设 设 设 设 加法运算 减法运算 平面向量坐标运算 空间向量坐标运算 数乘运算 数量积运算 有向线段的向量坐标表示 线性运算 新知讲解 作者编号：32100 设 为空间的一个单位正交基底， 则 所以 因为 所以 对于空间向量数量积运算的坐标表示： 如何证明 作者编号：32100 1．(1)已知两个向量a＝(－1，0，1)，b＝(－2，1，1)，则a＋2b＝______________． (2)已知点A(0，1，0)，点B(2，3，2)，向量＝，则点C的坐标为___________． 解：(1)2b＝(－4，2，2)，a＋2b＝(－1－4，0＋2，1＋2)＝(－5，2，3)． (2)设C(x，y，z)，则＝(x，y－1，z)，而＝(2，2，2)＝(1，1，1)， 故x＝1，y＝2，z＝1，故点C的坐标为(1，2，1)． (－5，2，3) (1，2，1) 练一练 作者编号：32100 想一想：设平面向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b，a⊥b的充要条件分别是什么？对于空间向量是不是也有类似的结论？ 平面向量平行的坐标表示 空间向量平行的坐标表示 设 当 时， 当 时， 设 能否表示为 ？ ? 作者编号：32100 当 时， 设 能否表示为 ？ ? 至少一个不为0. 例如：当 与平面 平行时， .此时 无意义. 例如：当 与平面 平行时， .此时 无意义. 因此，只有 均不为0时， 特殊地， 与任意向量平行. 当 时， 作者编号：32100 平面向量的特殊位置关系 空间向量的特殊位置关系 设 当 时， 当 时， 设 知识归纳 作者编号：32100 证明：不妨设正方体的棱长为1，建立如图所示的空间 直角坐标系 ，则 所以 又 所以 例1：如图，正方体ABCD-A1B1C1D1，点E，F分别是 BB1, D1B1的中点； 求证：EF⊥DA1. A C B D O x y z =0 所以＝·(1，0，1)＝0． 所以⊥，即EF⊥DA1． 典型例题 作者编号：32100 利用向量的坐标运算证明平行、垂直问题的基本思路： 建立恰当坐标系 由运算结果定结论 用向量表示元素 进行向量坐标运算 简记：建系→点坐标→向量坐标→代入公式求解 方法归纳 作者编号：32100 类比平面向量，我们也能进行空间向量中长度和夹角的坐标表示： 平面向量的长度和夹角 空间向量的长度和夹角 设 则 设 设 设 则 如何证明 新知讲解 作者编号：32100 设 ， 是空间中任意两点， 如图，建立空间直角坐标系， 于是 所以 这就是空间两点间的距离公式. 则 如何证明 作者编号：32100 例2 如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1,M为BC1的中点，E1,F1分别在棱A1B1,C1D1上, （1）求AM的长；（2）求BE1与DF1所成角的余弦值. 解：（1）建立如图的空间直角坐标系 ，则 点A的坐标为(1，0，0)，点M的坐标为 于是 O x y z C A B D M 典型例题 作者编号：32100 （2）由已知得 所以 . 所以 . 与 所成角的余弦值 . 所以 所以 . C A B D O x y z M 作者编号：32100 2.如图所示，三棱柱ABC-A′B′C′中，侧棱与底面垂直，CA＝CB＝1，∠BCA＝，棱AA′＝2，点M，N分别是A′B′和A′A的中点． (1)=__________________; (2)cos 〈〉的值=_________________； (3)求证：⊥． 练一练 作者编号：32100 [解]　如图所示，以点C为原点，CA，CB， CC′所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立 空间直角坐标系． (1)由题意，得B(0，1，0)，N(1，0，1)． 则＝(1，－1，1)， ＝＝． 作者编号：32100 (2)由题意，得B(0，1，0)，C(0，0，0)，A′(1，0，2)，B′(0，1，2)． 因为＝(1，－1，2)，＝(0，1，2)， 所以＝＝， ＝1×0＋(－1)×1＋2×2＝3， cos 〈〉＝． 故cos 〈〉的值为． 作者编号：32100 (3)证明：由题意，得A′(1，0，2)，B(0，1，0)，C′(0，0，2)，M． 因为＝(－1，1，－2)，， 所以＝(－1)×＋(－2)×0＝0， 即⊥． 作者编号：32100 结合以下问题，回顾本节课所学知识： 1．如何用空间向量的坐标运算表示平行、垂直、模及夹角？ 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)， 则当b≠0时，a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)； a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0； |a|＝＝； cos 〈a，b〉＝＝． 2．如何用空间向量的坐标运算来研究平行、垂直、夹角和距离？ 本课小结 作者编号：32100 2．如何用空间向量的坐标运算来研究平行、垂直、夹角和距离？ (1)根据条件建立适当的空间直角坐标系； (2)求出相关点的坐标，用向量表示相关元素； (3)通过向量的坐标运算研究平行、垂直、夹角和距离． 本课小结 作者编号：32100 1．在空间直角坐标系中，已知点A(1，2，3)，B(3，3，5)，则线段AB的长度为(　　) A．3 B．4 C．2 D．4 AB＝＝3． A　 当堂检测 作者编号：32100 2．已知向量a＝(1，2，1)，b＝(1，－1，m)，且a·b＝－2，则m＝(　　) A．－1 　　 B．1 　　 C．－2 　　 D．2 由题意，可得a·b＝1×1＋2×(－1)＋1×m＝－2，解得m＝－1． A　 当堂检测 作者编号：32100 3．已知空间向量a＝(－1，m，2)，b＝(－1，2，－1)，若a·b＝－3，则a与b的夹角为(　　) A． 　　B． 　　 C． 　　 D． 解：由于向量a＝(－1，m，2)，b＝(－1，2，－1)，若a·b＝1＋2m－2＝－3，则m＝－1．故a＝(－1，－1，2)，b＝(－1，2，－1)，设a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝＝－，由于0≤θ≤π，故θ＝． C　 当堂检测 作者编号：32100 设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 (1)a±b＝(a1±b1，a2±b2)，λa＝(λa1，λa2)(λ∈R)． a·b＝a1b1＋a2b2. (2)a∥b(b≠0)⇔a＝λb，即a1＝λb1，a2＝λb2. a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＝0. (3)|a|＝eq \r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2))，eq \o(AB,\s\up15(→))＝(x2－x1，y2－y1)． cos〈a，b〉＝eq \f(a1b1＋a2b2,\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2))\r(b\o\al(2,1)＋b\o\al(2,2))). $