1.3.1 空间直角坐标系课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

1.3.1 空间直角坐标系 作者编号：32100 1.理解空间直角坐标系，感受建立空间直角坐标系的必要性. 2.会借助空间直角坐标系理解空间中点的坐标和向量的坐标的概念及坐标表示. 3.能表示空间直角坐标系中所给定点、向量的坐标. 学习目标 作者编号：32100 1.在数轴上，我们可以表示点的位置，如图： 2.在平面直角坐标系中，点P,Q的位置，如图所示. 想一想：一个房间的示意图如图所示，如何表示板凳和气球的位置? 我们需要知道哪些条件？ 新课导入 作者编号：32100 3 问题1：平面直角坐标系包含哪些要素？类比到空间直角坐标系，它包括哪些要素？这些要素需要满足什么条件？ 坐标系三要素 平面直角坐标系 空间直角坐标系 坐标原点O 单位长度 三条互相垂直的坐标轴 坐标原点O 互相垂直的两条坐标轴x轴和y轴 单位长度 原点 坐标轴 单位长度 新知讲解 作者编号：32100 平面直角坐标系 空间直角坐标系 在平面内选定一点O和一个单位正交基底{i, j }， 以O为原点，分别以i,j的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立两条数轴：x轴、y轴. 在空间选定一点O和一个正交基向量{i, j, k}. 以O为原点，分别以i,j,k的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、x轴、z轴. 坐标轴 坐标向量 空间直角坐标系Oxyz 新知讲解 作者编号：32100 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系. 通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面，Oyz平面，Ozx平面，它们把空间分成八个部分. 注意：画空间直角坐标系时Oxyz，一般使∠xOy=135°(或45°)，∠yOz=90°. 新知讲解 作者编号：32100 问题2：在平面直角坐标系中，每一个点和向量都可以用一对有序实数（即它的坐标）表示，对空间直角坐标系中的每一个点和向量，是否也有类似的表示呢？ i j k 由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组 (x,y, z)，使得 且点A的位置由向量 唯一确定. 对空间中的任意一点A，对应一个向量 新知讲解 作者编号：32100 i j k 在单位正交基底{i, j, k}下与向量 对应的有序实数组(x,y, z)，叫做点A在空间直角坐标系中的坐标， 横坐标 竖坐标 纵坐标 记作A (x，y，z) 新知讲解 作者编号：32100 问题3：对于给定的向量a又该如何定义它的坐标呢？ 由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x,y, z)，使得 空间直角坐标系Oxyz中可以作 a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标 a=(x, y, z) 简记 注意：(x,y, z)具有双重意义，它既可以表示向量，也可以表示点，在表述时要注意区分. 新知讲解 作者编号：32100 问题4：在空间直角坐标系Oxyz中，对空间任意一点A，或任意一个向量 你能借助几何直观确定它们的坐标(x,y, z)吗？ 即点A或者向量 的坐标就是(x,y, z). 过点A分别作垂直于x轴、y轴和z轴的平面, 在x轴、y轴和z轴上的投影向量分别为 新知讲解 作者编号：32100 确定空间中一个点A或任意一个向量 的坐标的方法： 点A的坐标 给定的向量 的坐标 的坐标     应用空间向量基本定理确定坐标 根据几何直观确定 在各坐标轴上的投影向量，从而求得坐标 方法归纳 作者编号：32100 例1:在长方体OABC-D'A'B'C'中，OA=3,OC=4,OD'=2，以 为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz. （1）写出D'，C，A'，B'四点的坐标； 解：(1)因为点D'在z轴上，且OD'=2，所以 所以点D'的坐标是（0,0,2）. 同理点C的坐标是（0,4,0）. 点A在x轴、y轴、z轴上的射影分别为A,O,D',它们在坐标轴上的坐标分别为3,0,2,所以点A'的坐标是(3,0,2). 典型例题 作者编号：32100 例1:在长方体OABC-D'A'B'C'中，OA=3,OC=4,OD'=2,以 为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz. （1）写出D'，C，A'，B'四点的坐标； 点B'在x轴、y轴、z轴上的射影分别为A,C,D,它们在坐标轴上的坐标分别为3,4,2,所以点B'的坐标是(3,4,2). 典型例题 作者编号：32100 例1:在长方体OABC-D'A'B'C'中，OA=3,OC=4,OD'=2,以 为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz. （2）写出向量 的坐标. （2） 求空间向量的坐标→将所求向量写成基向量的和→确定坐标. 典型例题 作者编号：32100 当堂检测 作者编号：32100 例2: 典型例题 作者编号：32100 例2: 典型例题 作者编号：32100 对称轴或对称中心 对称点坐标 坐标原点 x轴 y轴 z轴 xOy平面 yOz平面 xOz平面 (a，－b，－c) (－a，b，－c) (－a，－b，c) (a，b，－c) (－a，b，c) (a，－b，c) (－a，－b，－c) P(a，b，c) “关于谁对称谁不变，其余的符号均相反．” 知识归纳 作者编号：32100 2. _______________________. _______________________. _______________________. _______________________. 当堂检测 作者编号：32100 当堂检测 作者编号：32100 本节课你学到了哪些知识？ 本课小结 作者编号：32100 （1）因为，，， 所以 （2）因为， ， 1.在长方体中．，，，与相交于点P，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz． （1）写出点C，，P的坐标； （2）写出向量，的坐标． (2)因为点关于平面对称后,它在轴、轴对应的数不变,在轴对应的数变为原来的相反数,所以对称点的坐标为. 1. 在空间直角坐标系中,已知点的坐标为. (1)求点关于轴对称的点的坐标; (2)求点关于平面对称的点的坐标; (3)求点关于点对称的点的坐标. 解: (1)因为点关于轴对称后,它在轴对应的数不变,在轴、轴对应的数变为原来的相反数,所以对称点的坐标为 (3)设对称点的坐标为,则为线段的中点, 所以 所以点的坐标为 1. 在空间直角坐标系中,已知点的坐标为. (1)求点关于轴对称的点的坐标; (2)求点关于平面对称的点的坐标; (3)求点关于点对称的点的坐标. 2.在空间直角坐标系中，若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则线段AB的中点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2)，\f(z1＋z2,2))). 设是空间直角坐标系Oxyz中的一点，写出满足下列条件的点的坐标； （1）与点M关于轴对称的点； （2）与点M关于y轴对称的点； （3）与点M关于z轴对称的点； （4）与点M关于原点对称的点． 【答案】（1），（2），（3），（4）. 【详解】若是空间直角坐标系Oxyz中的一点，则 （1）与点M关于轴对称的点为 （2）与点M关于y轴对称的点为 （3）与点M关于z轴对称的点为 （4）与点M关于原点对称的点为 $