专题02 一元二次方程实际问题分类训练1（传播增长率围栏道路动点几何5种类型50道）-2025-2026学年九年级数学上册期末复习高频考题专项训练（人教版）

弈泓共享数学 专题02 一元二次方程实际问题分类训练1 （传播增长率围栏道路动点几何5种类型50道） 目录 【题型1 传播问题】 1 【题型2 增长率问题】 2 【题型3 围栏问题】 4 【题型4 修建道路】 7 【题型5 动点几何】 10 【题型1 传播问题】 1．现在是流感多发季，假设有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，请问各位同学，每轮传染中平均一个人传染 （    ）人 A．8 B．9 C．10 D．11 2．有4人患了流感，经过两轮传染后共有196人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染的人数相同，则三轮传染后有（　　）人得了流感. A．1372 B．343 C．1512 D．2744 3．某村为提高当地“村”总决赛的热度，发起了邀请好友转发海报得门票的活动．小方从公众号转发链接给自己后，又转发给个好友，收到链接的每个好友又转发给个互不相同的人，此时小方的这条链接共被转发133次，刚好满足领取门票的资格，则可列方程为（  ） A． B． C． D． 4．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有49人患了流感，假设每轮传染中平均一个人传染了个人，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 5．有一个人患了流感，经过两轮传染后，共有144个人患了流感，每轮传染中平均每人传染了x个人，下列结论错误的是（　　） A．1轮后有个人患了流感 B．第2轮又增加个人患流感 C．依题意可得方程 D．不考虑其他因素经过三轮传染，一共会有1584人患流感 6．毕业将至，九（1）班全体学生互赠祝福卡，共赠祝福卡1560张，问：九（1）班共有多少名学生？设九（1）班共有名学生，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 7．2025年，某地甲型流感病毒传播速度非常快，开始有3人被感染，经过两轮传播后就有192人患了甲型流感．若每轮传染的速度相同，则每轮每人传染的人数为（   ） A．5人 B．6人 C．7人 D．8人 8．毕业典礼后，九年级（1）班有若干人，若每人给全班的其他成员赠送一张纪念卡，则全班送贺卡共1892张照片，如果全班有名同学，根据题意，列出方程为（） A． B． C． D． 9．秋冬季是流感的高发季节，应该特别注意预防流感，如勤洗手、戴口罩、保持室内通风等．若有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据题意，列方程为（   ） A． B． C． D． 10．流行性感冒传染迅速，每轮传染中平均一人可传染人，若开始时有一人患病，经过两轮传染后共有100人患病，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【题型2 增长率问题】 11．2025年蛇年，中国将迎来首个非遗版春节．春节-中国人传统新年的社会实践被正式列入人类非物质文化遗产代表作名录（名册）．至此，我国共有44个项目列入联合国教科文组织非物质文化遗产名录（名册），总数居世界第一，在2005年，中国共只有4个项目，列入联合国教科文组织非物质文化遗产名录（名册）．假设从2005年到2015年与2015年到2025年这两个时间段内名录（名册）数量的增长率相同，均为x，请你结合题意列出方程 ． 12．在研究物体的放射性衰变时，我们常常关注放射性物质质量随时间的变化．假设在2023年初，有一块质量为500克的某种放射性同位素．由于放射性衰变，其质量会逐年减少．到2025年初，经过精确测量，该放射性同位素的质量降至405克．设这种放射性同位素质量的年平均减少率为，根据题意，可列出一元二次方程为： ．（只列方程，不需求解） 13．某电商直播平台的山西专场开展了以“寻华夏之根，溯文明之源”为主题的直播，现场讲解山西的美食文化，其中山西老陈醋以色、香、醇、浓、酸五大特征，引得广大网友争相购买品尝，直播刚开始，就有1000人下单购买某款老陈醋，2小时后购买人数达到4360，求每小时购买山西老陈醋人数的平均增长率．若设每小时购买山西老陈醋人数的平均增长率为，则可列方程 ． 14．某公司一月份的生产成本为万元，由于改进生产技术，生产成本逐月下降，月份的生产成本是万元，设平均每个月的下降率为，则可列方程为 ． 15．据了解，某展览中心2月份的参观人数为14.4万人，4月份的参观人数为16.9万人．设2至4月参观人数的月平均增长率为，则可列方程为 ． 16．重庆市某下辖村年的人均收入为元，年的人均收入可望达到元，则年到年该村人均收入的年平均增长率应为 ． 17．从“若前方无路，我便踏出一条路”的呐喊到“扭转乾坤”的豪情，哪吒用热血点燃银幕，用倔强征服世界．《哪吒之魔童闹海》动画电影杀入全球影史票房榜前5名，4月7日票房为155.91亿元，4月9日票房突破到156.05亿元再次刷新中国影史记录．设平均每天票房的增长率为x，则可列方程为 ． 18．福州三坊七巷是全国著名的A级景区，随着福州市的知名度提高，从2022年到2024年五一节接待旅客逐年增长，其中2022年五一节接待旅客约27.87万人次，2024年五一节接待旅客约87.08万人次，设旅客接待人数的年平均增长率为x，则可列方程为 ． 19．深圳书城湾区域，是深圳新时代重大文化设施之一，预计2025年6月启用，预计第一年进书城672万人次，进书城人次逐年增加，第三年进书城1050万人次，若进书城人次的年平均增长率相同．设进书城人次的年平均增长率为x，则根据题意，可列方程是 ． 20．保障国家粮食安全是一个永恒的话题，任何时候这根弦都不能松，某农科实验基地，大力开展种子实验，让农民得到高产、易发芽的种子，该农科实验基地两年前有种农作物，经过两年不断的努力培育新品种，现在有种农作物种子，若这两年培育新品种数量平均年增长率为，则根据题意列出符合题意的方程是 ． 【题型3 围栏问题】 21．如图，利用一面墙（墙长25米），用总长度49米的栅栏（图中实线部分）围成一个矩形围栏，且中间共留两个1米的小门，设栅栏长为x； (1)_______米（用含x的代数式表示）； (2)若矩形围栏面积为210平方米，求栅栏的长． 22．如图，利用一面长为米的墙，用总长度米的栅栏围成一个长方形围栏，并在中间用栅栏隔开．设栅栏的长为米． (1) 米(用含x的代数式表示)； (2)若长方形围栏的面积为平方米，求栅栏的长； (3)长方形栅栏的面积能达到平方米吗？若能，请求出的长；若不能，请说明理由． 23．农厂要建一个如图所示的矩形围栏，围栏的一面靠墙（墙足够长），另外三墙面用32米长的篱笆围起来．设围栏的边长为x米． (1)围栏的宽为______米；（用含x的代数式表示） (2)若该围栏围成矩形的面积为，求x的值； 24．如图，某农场要利用一面墙（墙长为50米）建蔬菜实验田，用120米的围栏围成总面积为800平方米的三个大小、形状完全相同的矩形实验田，种植三种不同蔬菜，求实验田的边长各为多少米？ 25．某家禽养殖场，用总长为的围栏靠墙（墙长为）围成如图所示的三块矩形区域，矩形与矩形的面积都等于矩形面积的，设长为． (1)请直接写出：____________； (2)当矩形的面积为时，求的长是多少？ 26．如图，要利用一面墙（墙长为25米）建一个矩形场地，用97米长的围栏围成三个大小相同的矩形，每个矩形都有一个1米的门，设矩形的边长为米． (1)请用含有的式子表示______（不要求写出的取值范围）； (2)当为何值时，矩形场地的总面积为400平方米？ 27．如图，李大爷想用的围栏，再借助房屋的外墙（长）围成一个矩形羊圈，并在边BC上留一个宽的门．当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为的羊圈？    28．某中学计划将该校足球场改造为元旦晚会举办场地．改造方案如下：撤除足球场球门，在原球门处布置舞台，舞台占地为长度为40m，宽度为18m的矩形，师生观众席规划在足球场区域中距离舞台10m的隔离栏外．已知足球场宽度为72m，长度为105m（观众席不一定要占满球场宽度），以隔离栏为一边，其他三边利用总长为140m的移动围栏围成一个矩形的观众席，并在观众席内按行、按列摆放单人座椅，要求每个座位占地面积为1m（如图所示），且矩形观众席内都安排了座位．    (1)若观众席内有x行座椅，用含x的代数式表示每行的座椅数，并求x的最小值． (2)若全校师生共2400人，座位是否足够？请说明理由． 29．某农场拟建矩形饲养室，一面靠现有墙（墙长为），另外三面及中间用围栏围起来（中间的围栏把矩形分成两个小矩形），并在如图所示的三处各留宽的门，已知可用围栏（不包括门）的总长为，若建成的矩形饲养室总面积为，求围栏的长．    30．如图，某校广场有一段26米长的旧围栏，现打算利用该围栏的一部分（或全部）为一边，其余三边新建围栏，围成一块长方形草坪（如图）．    (1)若新建围栏长度为120米，长方形草坪面积为1152平方米，能否完成该草坪围栏修建任务？ 若能完成，请算出利用旧围栏多少米；若不能完成，请说明理由； (2)若长方形草坪面积为100平方米，整修旧围栏的费用是每米元，建新围栏的费用是每米5元，计划修建费正好为175元，能否完成该草坪围栏修建任务？ 若能完成，请算出利用旧围栏多少米；若不能完成，请说明理由． 【题型4 修建道路】 31．社区利用一块矩形空地建了一个小型停车场，其布局如图所示．已知，，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为x米的道路．已知铺花砖的面积为．求道路的宽是多少米？ 32．近段时间，某个农场的125亩草莓迎来了冬季采摘期，该农场以优良的生态环境为基础，采用蜜蜂自然授粉的方式，提升草莓的产量和品质使得草莓香甜可口，果实饱满，吸引了不少游客前往采摘．某农户承包了一块矩形土地，建立了三个草莓种植大棚，其布局如图所示，其中米，米，阴影部分规划为大棚种植草莓，其余部分是等宽的通道．若三个大棚的面积是，求道路的宽度． 33．校园内有一块长为，宽为的矩形场地，计划在这个场地上修建等宽的道路（阴影部分，且横竖道路均与矩形的边平行），剩余部分种上草坪． (1)如图1，测得草坪的面积是，求道路的宽度；（参考数据：） (2)学校开展劳技课后，需要一块实践园地，就决定对这块矩形场地重新规划，打算修建两横两竖等宽的道路，如图2所示，剩余部分作为学生综合实践种植园．若种植园的面积是矩形场地面积的，求道路的宽度应设计为多少米． 34．某农户承包了一块长方形果园，如图是果园的平面图，其中米，米，准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的窥度都为米，左右两条纵向道路的察度都为米，中间部分为种植园区．出于货车通行等因素的考虑，道路宽度不超过12米，且不小于5米．    (1)若中间种植园区的面积是44800平方米，求道路的宽度； (2)该农户在种植园区种植了草莓，经市场调查，若每平方米的草莓销售平均利润为100元，每月可销售5000平方米的草莓．受天气情况影响，农户为了快速将草莓出手，决定降价，若每平方米草莓平均利润下调4元，每月可多销售500平方米草莓．若该农户预期一个月的总利润为57.2万元，并且想要让利于顾客，每平方米草莓的平均利润应该下调多少元？ 35．某小区有一块长为a米，宽为b米的矩形场地，计划在该场地上修筑宽都为2米的两条互相垂直的道路，余下的四块矩形小场地建成草坪． (1)如图，请写出道路的面积（用含a、b的代数式表示）； (2)已知，并且四块草坪的面积之和为，试求原来矩形场地的长与宽各为多少米？ 36．如图，某旅游景点要在长、宽分别为12米、10米的矩形水池内部建一个与矩形的边互相平行的正方形观赏亭，观赏亭的四边连接四条与矩形的边互相平行的且宽度相等的道路，已知道路的宽为正方形边长的（每条道路的一侧均与正方形观赏亭的一边在同一直线上），若道路与观赏亭的面积之和是矩形水池面积的，求道路的宽度． 37．某社区为了解决停车难的问题，计划将一块矩形空地改建成一个小型停车场，其中阴影部分为停车位区域，其余部分均为宽度是x米的道路，如图所示，已知米，米，且停车区域(即阴影部分)的面积为880米，求道路的宽度x(米)． 38．如图所示，某市公园有一块长方形绿地长20，宽16，在绿地中开辟三条等宽的道路后，剩余绿地的面积为224，求道路的宽x是多少米？ 39．【教材变式】如图，在一块矩形花园基地上修建一横两纵三条等宽的道路，矩形的长为a米，宽为b米，其中两条道路与边平行，另一条道路与边平行，剩下的空白部分打造成休闲区． (1)若，，且6块空地的面积和为792平方米，求每条道路的宽x； (2)若，道路的宽为2米，且6块空地的面积和为208平方米，求矩形的长和宽各为多少米？ 40．项目化学习 素材：全面推进美丽中国建设，当前在各地积极开展．我市在城市园林绿化建设方面，从“园林城市”、“生态园林城市”到“公园城市”，城市人居生态环境已有很大提升．其中，某一新建公园想在一块长为，宽为的矩形地面上，修建等宽的道路，剩余部分种上草坪．现有两种小道设计方案，如下图： 其中：按图1的方案设计小道，测得草坪的面积是； 如图2所示，修建两横两竖等宽的道路（横竖道路各与矩形的一条边平行），剩余部分种上草坪后，草坪的面积是地面面积的二分之一． 请根据以上信息解决下列问题： 任务1：求图1中道路的宽度； 任务2：经过一致协商，最终选择如图2所示的第二种小道设计方案．从美观角度考虑，决定在横竖两条小道上铺设花砖，求小道重叠部分花砖的面积． 【题型5 动点几何】 41．如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，如果、两点同时出发，设运动时间为秒． (1)当为何值时，为等腰三角形？ (2)是否存在某时刻，使线段恰好把的面积平分？若存在，求此时的值；若不存在，请说明理由； (3)当为何值时，、间的距离等于？ 42．如图，在中，，，．点从点出发沿边向点以的速度移动，点从点出发沿边向点以的速度移动，如果点，分别从点，同时出发，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止移动，设运动的时间为． (1)当t为何值时，的面积是面积的？ (2)当为何值时，的长为？ 43．如图所示，A、B、C、D是矩形的四个顶点，，，动点、分别从点、同时出发，点以的速度向点移动，一直到达为止，点以的速度向移动． (1)P，Q两点从出发开始到几秒时，四边形的面积为？ (2)P，Q两点从出发开始到几秒时，点P和点Q的距离第一次是？ 44．如图，、、、为矩形的四个顶点，，，动点、分别从点、同时出发，点以的速度向点移动，一直到达为止，点以的速度向移动． (1)、两点从出发开始到几秒时，四边形的面积为； (2)、两点从出发开始到几秒时，点和点的距离第一次是． 45．如图，已知等腰直角三角形中，，点P从点A出发，沿的方向以的速度向终点B运动，同时点从点B出发，沿的方向以的速度向终点A运动．当点P运动到点B时，两点均停止运动．运动时间记为秒，请解决下列问题： (1)若点P在边上，当为何值时，为直角三角形？ (2)是否存在这样的值，使的面积为？若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由． 46．如图，在直角梯形中，，，，，，动点、分别从点、同时出发，点以的速度向点移动，点以的速度向点移动，当一个动点到达终点时另一个动点也随之停止运动． (1)经过几秒钟，点、之间的距离为？ (2)连接，是否存在某一时刻，使得恰好平分？若存在，求出此时的移动时间；若不存在，请说明理由． 47．如图，在长方形中，，，点P从点A开始沿线段向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿线段向点C以的速度移动，点P，Q分别从A，B两点同时出发了t秒钟，直至两个动点中某一点到达端点后停止． (1)经过几秒钟后， 的面积等于？ (2)经过几秒钟后，的长度等于？ (3)若的面积为S，写出的面积S关于t的函数关系式，要求写出自变量的取值范围． 48．如图，在等腰直角三角形中，，点从点开始以每秒2个单位长度的速度沿边向点运动，过点作，分别交于点的面积能否为7？如果能，请求出点运动的时间；如果不能，请说明理由． 49．如下图，在矩形中，，，点从点出发，沿以的速度向点移动；同时，点从点出发，沿以的速度向点移动．当点到达点时，点也停止移动，则当点出发几秒后，的面积为？ 50．综合与实践 如图1，在矩形中，，动点P，Q分别以的速度从点A，B同时出发，点P沿着运动到点B时停止，点Q沿着运动到点A时停止．设运动时间为． (1)当点P在上运动时， ________， ________；（用含t的代数式表示） (2)在（1）的条件下，当时，求t的值； (3)如图2、图3，点P沿着运动到点B的过程中、当的面积为时，求t的值． 精选考题才是刷题的捷径1 学科网（北京）股份有限公司 $ 弈泓共享数学 专题02 一元二次方程实际问题分类训练1 （传播增长率围栏道路动点几何5种类型50道） 目录 【题型1 传播问题】 1 【题型2 增长率问题】 5 【题型3 围栏问题】 9 【题型4 修建道路】 18 【题型5 动点几何】 27 【题型1 传播问题】 1．现在是流感多发季，假设有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，请问各位同学，每轮传染中平均一个人传染 （    ）人 A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染人， 根据题意可得， 整理得， ∴， ∴或（不合题意，舍去） ∴每轮传染中平均一个人传染 人． 故选：B． 2．有4人患了流感，经过两轮传染后共有196人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染的人数相同，则三轮传染后有（　　）人得了流感. A．1372 B．343 C．1512 D．2744 【答案】A 【分析】本题考查了运用一元二次方程解决实际问题．设每轮传染中平均每人传染x人，根据初始4人经过两轮传染后总人数为196，建立方程求解x，再计算三轮后的总人数．正确的列出方程是解题的关键． 【详解】解：设每轮传染中平均每人传染x人，则每轮传染后患病总人数是上一轮的倍，根据题意得， ， ， ， ，（舍去）， ∴每轮传染中平均每人传染6人， 则三轮传染后得流感的人数为（人）． 故选：A． 3．某村为提高当地“村”总决赛的热度，发起了邀请好友转发海报得门票的活动．小方从公众号转发链接给自己后，又转发给个好友，收到链接的每个好友又转发给个互不相同的人，此时小方的这条链接共被转发133次，刚好满足领取门票的资格，则可列方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的应用——传播问题，个好友转发给个互不相同的人时，转发了次，加上小方转给自己的1次和转给好友的次，共133次，由此可列方程． 【详解】解：由题意得，， 故选B． 4．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有49人患了流感，假设每轮传染中平均一个人传染了个人，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 由题意，设每轮传染中平均一个人传染了个人，第一轮传染后患流感的人数是：，第二轮传染后患流感的人数是：，列出方程即可求解． 【详解】解：由题意设每轮传染中平均一个人传染了个人，则可得： ． 故选：C． 5．有一个人患了流感，经过两轮传染后，共有144个人患了流感，每轮传染中平均每人传染了x个人，下列结论错误的是（　　） A．1轮后有个人患了流感 B．第2轮又增加个人患流感 C．依题意可得方程 D．不考虑其他因素经过三轮传染，一共会有1584人患流感 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据每轮传染中平均每人传染了x个人，可得出第1轮传染中有x人被传染，第2轮传染中有人被传染，进而可得出1轮后有个人患了流感，结合“有一人患了流感，经过两轮传染后，共有144人患了流感”，可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，将其正值代入中，可求出经过三轮传染后患病人数． 【详解】解：∵有一人患了流感，且每轮传染中平均每人传染了x个人， ∴1轮后有个人患了流感，结论A不符合题意； ∴第1轮传染中有x人被传染，第2轮传染中有人被传染，结论B不符合题意； 根据题意得：，即，结论C不符合题意； 解得：（不符合题意）， ∴不考虑其他因素经过三轮一共会有人感染，结论D符合题意． 故选：D． 6．毕业将至，九（1）班全体学生互赠祝福卡，共赠祝福卡1560张，问：九（1）班共有多少名学生？设九（1）班共有名学生，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，根据每个同学都要送其他名同学一张祝福卡，因此总赠送祝福卡数是张，再根据共赠祝福卡1560张列方程即可． 【详解】解：设九（1）班共有x名学生， 由题意得：， 故选：B． 7．2025年，某地甲型流感病毒传播速度非常快，开始有3人被感染，经过两轮传播后就有192人患了甲型流感．若每轮传染的速度相同，则每轮每人传染的人数为（   ） A．5人 B．6人 C．7人 D．8人 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．设1个人传染人，第一轮共传染人，第二轮共传染人，由此列方程解答，再进一步求问题的答案． 【详解】解：设每个人传染人，根据题意列方程得， ， 解得：，（不合题意，舍去）， 故选：C． 8．毕业典礼后，九年级（1）班有若干人，若每人给全班的其他成员赠送一张纪念卡，则全班送贺卡共1892张照片，如果全班有名同学，根据题意，列出方程为（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程．计算全班共送多少张，首先确定一个人送出多少张是解题关键．如果全班有名同学，那么每名同学要送出张，共有名学生，那么总共送的张数应该是张，即可列出方程． 【详解】解：全班有名同学 每名同学要送出张； 又是互送纪念卡， 总共送的张数应该是． 故选：D． 9．秋冬季是流感的高发季节，应该特别注意预防流感，如勤洗手、戴口罩、保持室内通风等．若有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据题意，列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的应用．根据题意，正确的列出一元二次方程，是解题的关键． 根据有1人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，列出方程即可． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人， 由题意，得：； 故选：B． 10．流行性感冒传染迅速，每轮传染中平均一人可传染人，若开始时有一人患病，经过两轮传染后共有100人患病，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了用一元二次方程解决实际问题，根据数量关系列出一元二次方程是解题的关键． 根据题意列出第一轮传染后患流感的人数，再根据题意列出第二轮传染后患流感的人数，而已知第二轮传染后患流感的人数为，故可得方程． 【详解】解：根据题意，得第一轮传染后的患病人数是， 第二轮传染后的患病人数是， 则可得方程，即， 故选：A． 【题型2 增长率问题】 11．2025年蛇年，中国将迎来首个非遗版春节．春节-中国人传统新年的社会实践被正式列入人类非物质文化遗产代表作名录（名册）．至此，我国共有44个项目列入联合国教科文组织非物质文化遗产名录（名册），总数居世界第一，在2005年，中国共只有4个项目，列入联合国教科文组织非物质文化遗产名录（名册）．假设从2005年到2015年与2015年到2025年这两个时间段内名录（名册）数量的增长率相同，均为x，请你结合题意列出方程 ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．利用2025年的名录（名册）数量2005年的名录（名册）数量（1每10年的增长率），即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：依题意得：． 故答案为：． 12．在研究物体的放射性衰变时，我们常常关注放射性物质质量随时间的变化．假设在2023年初，有一块质量为500克的某种放射性同位素．由于放射性衰变，其质量会逐年减少．到2025年初，经过精确测量，该放射性同位素的质量降至405克．设这种放射性同位素质量的年平均减少率为，根据题意，可列出一元二次方程为： ．（只列方程，不需求解） 【答案】 【分析】本题考查根据实际问题列一元二次方程，根据平均变化率的等量关系，列出方程即可． 【详解】解：设这种放射性同位素质量的年平均减少率为，由题意，可列出一元二次方程为； 故答案为：． 13．某电商直播平台的山西专场开展了以“寻华夏之根，溯文明之源”为主题的直播，现场讲解山西的美食文化，其中山西老陈醋以色、香、醇、浓、酸五大特征，引得广大网友争相购买品尝，直播刚开始，就有1000人下单购买某款老陈醋，2小时后购买人数达到4360，求每小时购买山西老陈醋人数的平均增长率．若设每小时购买山西老陈醋人数的平均增长率为，则可列方程 ． 【答案】 【分析】此题考查了列一元二次方程解决实际问题．设每小时购买山西老陈醋人数的平均增长率为，1000人下单购买某款老陈醋，2小时后购买人数达到4360，据此列出方程即可． 【详解】∵直播刚开始，就有1000人下单购买某款老陈醋，2小时后购买人数达到4360， ∴第1小时有人购买，第2小时有人购买， 可得：． 故答案为：． 14．某公司一月份的生产成本为万元，由于改进生产技术，生产成本逐月下降，月份的生产成本是万元，设平均每个月的下降率为，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，理解题意找出等量关系列出一元二次方程是解题的关键．设平均每个月的下降率为，根据公司月份的生产成本及月份的生产成本，即可得出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设平均每个月的下降率为， 根据题意得：， 故答案为：． 15．据了解，某展览中心2月份的参观人数为14.4万人，4月份的参观人数为16.9万人．设2至4月参观人数的月平均增长率为，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，利用该展览中心月份的参观人数该展览中心月份的参观人数参观人数的月平均增长率，可列出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：根据题意得：． 故答案为：． 16．重庆市某下辖村年的人均收入为元，年的人均收入可望达到元，则年到年该村人均收入的年平均增长率应为 ． 【答案】 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，设年到年该村人均收入的年平均增长率为，根据题意列出一元二次方程，然后解方程并检验即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设年到年该村人均收入的年平均增长率为， 根据题意得， 解得：，（不合题意，舍去）， 故答案为：． 17．从“若前方无路，我便踏出一条路”的呐喊到“扭转乾坤”的豪情，哪吒用热血点燃银幕，用倔强征服世界．《哪吒之魔童闹海》动画电影杀入全球影史票房榜前5名，4月7日票房为155.91亿元，4月9日票房突破到156.05亿元再次刷新中国影史记录．设平均每天票房的增长率为x，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．利用4月9日的票房金额4月7日的票房金额（1平均每天票房的增长率），即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：根据题意得：． 故答案为：． 18．福州三坊七巷是全国著名的A级景区，随着福州市的知名度提高，从2022年到2024年五一节接待旅客逐年增长，其中2022年五一节接待旅客约27.87万人次，2024年五一节接待旅客约87.08万人次，设旅客接待人数的年平均增长率为x，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设旅客接待人数的年平均增长率为x，根据两年的人数列出方程即可． 【详解】解：设旅客接待人数的年平均增长率为x，根据题意得， ， 故答案为：． 19．深圳书城湾区域，是深圳新时代重大文化设施之一，预计2025年6月启用，预计第一年进书城672万人次，进书城人次逐年增加，第三年进书城1050万人次，若进书城人次的年平均增长率相同．设进书城人次的年平均增长率为x，则根据题意，可列方程是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找出题目中的等量关系式．设进书城人次的年平均增长率为x，根据等量关系式：第一年进书城的人次第三年进书城的人次，列出方程求解即可． 【详解】解：根据题意，得， 故答案为：． 20．保障国家粮食安全是一个永恒的话题，任何时候这根弦都不能松，某农科实验基地，大力开展种子实验，让农民得到高产、易发芽的种子，该农科实验基地两年前有种农作物，经过两年不断的努力培育新品种，现在有种农作物种子，若这两年培育新品种数量平均年增长率为，则根据题意列出符合题意的方程是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据原有有种农作物，这两年培育新品种数量平均年增长率为，可知两年后农物的种类有种，又因为现在有种农作物种子，可列方程． 【详解】解：两年前有家作物种子种， 这两年培育新品种数量平均年增长率为， 第一年后有农作物种子种， 第二年后（即现在）有农作物种子种， 现在有种农作物种子， 可得：， 故答案为：． 【题型3 围栏问题】 21．如图，利用一面墙（墙长25米），用总长度49米的栅栏（图中实线部分）围成一个矩形围栏，且中间共留两个1米的小门，设栅栏长为x； (1)_______米（用含x的代数式表示）； (2)若矩形围栏面积为210平方米，求栅栏的长． 【答案】(1) (2)的长为10米 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、列代数式以及根的判别式； （1）设栅栏长为米，根据栅栏的全长结合中间共留2个1米的小门，即可用含的代数式表示出的长； （2）根据矩形围栏面积为210平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论． 【详解】（1）解：设栅栏长为米， ∵栅栏的全长为49米，且中间共留两个1米的小门， ∴（米）， 故答案为： （2）解：依题意，得：， 整理，得：， 解得：． 当时，，不合题意，舍去， 当时，，符合题意， 答：栅栏的长为10米． 22．如图，利用一面长为米的墙，用总长度米的栅栏围成一个长方形围栏，并在中间用栅栏隔开．设栅栏的长为米． (1) 米(用含x的代数式表示)； (2)若长方形围栏的面积为平方米，求栅栏的长； (3)长方形栅栏的面积能达到平方米吗？若能，请求出的长；若不能，请说明理由． 【答案】(1)； (2)米； (3)长方形栅栏的面积不能达到平方米，理由见解析． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、列代数式，根据题意列出一元二次方程是解题的关键； （1）利用的长栅栏的总长度的长，即可用含的代数式表示出的长； （2）根据长方形围栏的面积为平方米，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，再结合墙长米，即可确定结论； （3）假设长方形栅栏的面积能达到平方米，根据长方形围栏的面积为平方米，可列出关于的一元二次方程，由根的判别式，可得出原方程没有实数根，进而可得出假设不成立，即长方形栅栏的面积不能达到平方米． 【详解】（1）解：根据题意得：米． 故答案为：； （2）根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意． 答：栅栏的长为米； （3）长方形栅栏的面积不能达到平方米，理由如下： 假设长方形栅栏的面积能达到平方米， 根据题意得：， 整理得：， ， 原方程没有实数根， 假设不成立， 即长方形栅栏的面积不能达到平方米． 23．农厂要建一个如图所示的矩形围栏，围栏的一面靠墙（墙足够长），另外三墙面用32米长的篱笆围起来．设围栏的边长为x米． (1)围栏的宽为______米；（用含x的代数式表示） (2)若该围栏围成矩形的面积为，求x的值； 【答案】(1) (2)12或4 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、列代数式． （1）利用的长篱笆的总长的长的长，即可用含x的代数式表示出的长； （2）根据该围栏围成矩形的面积为，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值． 【详解】（1）解：由题意得，篱笆的总长为32米，米， ∵为矩形， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：根据题意得：， 解得：， 答：x的值为12或4． 24．如图，某农场要利用一面墙（墙长为50米）建蔬菜实验田，用120米的围栏围成总面积为800平方米的三个大小、形状完全相同的矩形实验田，种植三种不同蔬菜，求实验田的边长各为多少米？ 【答案】米，米 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 设的长度为米，则的长度为米，然后根据矩形的面积公式列出方程，结合题意舍掉不合适的结果即可． 【详解】解：设米，则米，得 解得 又墙长为50米， ， 米，米． 25．某家禽养殖场，用总长为的围栏靠墙（墙长为）围成如图所示的三块矩形区域，矩形与矩形的面积都等于矩形面积的，设长为． (1)请直接写出：____________； (2)当矩形的面积为时，求的长是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用等知识点， （1）由已知得出，进而即可得解； （2）用x表示出，然后根据题得出x的取值范围和列出方程，求解即可 熟练掌握找准等量关系，正确列出元一元二次方程是解决此题的关键． 【详解】（1）∵矩形与矩形的面积都等于矩形面积的， ∴ ∴ ， ∴， 故答案为：； （2）∵， ，依题意，得， ， ， ， 依题意，得，解得， ， ， 的长为． 26．如图，要利用一面墙（墙长为25米）建一个矩形场地，用97米长的围栏围成三个大小相同的矩形，每个矩形都有一个1米的门，设矩形的边长为米． (1)请用含有的式子表示______（不要求写出的取值范围）； (2)当为何值时，矩形场地的总面积为400平方米？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是∶ （1）用围栏的长度加上3个门宽，再减去4个长求解即可； （2）根据“矩形场地的总面积为400平方米”列方程求解即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：根据题意，得， 解得，， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意， ∴当时，矩形场地的总面积为400平方米． 27．如图，李大爷想用的围栏，再借助房屋的外墙（长）围成一个矩形羊圈，并在边BC上留一个宽的门．当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为的羊圈？    【答案】当羊圈的长为，宽为时，能围成一个面积为的羊圈 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设，则边，根据围成一个面积为的羊圈，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】解：设矩形的边，则边， 根据题意可得：， 整理得：， 解得：， ∴当时，（舍去）， 当时，， 答：当羊圈的长为，宽为时，能围成一个面积为的羊圈． 28．某中学计划将该校足球场改造为元旦晚会举办场地．改造方案如下：撤除足球场球门，在原球门处布置舞台，舞台占地为长度为40m，宽度为18m的矩形，师生观众席规划在足球场区域中距离舞台10m的隔离栏外．已知足球场宽度为72m，长度为105m（观众席不一定要占满球场宽度），以隔离栏为一边，其他三边利用总长为140m的移动围栏围成一个矩形的观众席，并在观众席内按行、按列摆放单人座椅，要求每个座位占地面积为1m（如图所示），且矩形观众席内都安排了座位．    (1)若观众席内有x行座椅，用含x的代数式表示每行的座椅数，并求x的最小值． (2)若全校师生共2400人，座位是否足够？请说明理由． 【答案】(1)每行的座椅数为个，x的最小值为34； (2)若全校师生共2400人，那么座位够坐． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含的代数式表示出每行的座椅数；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． （1）由移动围栏的总长及座椅的行数，可得出每行的座椅数为个，结合足球场宽度为，即可求出的取值范围，进而可得出的最小值； （2）座位够坐，利用座位总数观众席内座椅的行数每行的座椅数，结合座椅总数为2400人，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，进而可得出座位够坐． 【详解】（1）解：移动围栏的总长为，且观众席内有行座椅， 每行的座椅数为个． ， ， 的最小值为34； （2）解：座位够坐，理由如下： 依题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去），， 若全校师生共2400人，那么座位够坐． 29．某农场拟建矩形饲养室，一面靠现有墙（墙长为），另外三面及中间用围栏围起来（中间的围栏把矩形分成两个小矩形），并在如图所示的三处各留宽的门，已知可用围栏（不包括门）的总长为，若建成的矩形饲养室总面积为，求围栏的长．    【答案】围栏的长米； 【分析】本题考查一元二次方程解决形积问题，根据总长表示出长宽，列方程求解即可得到答案； 【详解】解：由题意可得设宽为米，则长为：米，由题意可得， ， 解得：，， 当时，不符合题意， 当时，符合题意， ∴， 答：围栏的长米． 30．如图，某校广场有一段26米长的旧围栏，现打算利用该围栏的一部分（或全部）为一边，其余三边新建围栏，围成一块长方形草坪（如图）．    (1)若新建围栏长度为120米，长方形草坪面积为1152平方米，能否完成该草坪围栏修建任务？ 若能完成，请算出利用旧围栏多少米；若不能完成，请说明理由； (2)若长方形草坪面积为100平方米，整修旧围栏的费用是每米元，建新围栏的费用是每米5元，计划修建费正好为175元，能否完成该草坪围栏修建任务？ 若能完成，请算出利用旧围栏多少米；若不能完成，请说明理由． 【答案】(1)能完成，利用旧围栏米； (2)能完成，利用旧围栏米或米． 【分析】（1）设的长为米，则的长为米，利用长方形面积公式列一元二次方程计算即可求解； （2）设利用旧围栏m米，则米，米，利用总费用175元，列出分式方程计算即可求解． 【详解】（1）解：设的长为米，则的长为米， 依题意得， 整理得， ∵， ∴， ∴，， ∴或（不合题意，舍去）， ∴能完成，利用旧围栏米； （2）解：设利用旧围栏m米，则米，米， 依题意得， 整理得， ∵， ∴， ∴，， 经检验，，都是原方程的解，且满足题意， 答：能完成，利用旧围栏米或米． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，分式方程的应用，解题关键在于根据题意列出方程． 【题型4 修建道路】 31．社区利用一块矩形空地建了一个小型停车场，其布局如图所示．已知，，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为x米的道路．已知铺花砖的面积为．求道路的宽是多少米？ 【答案】4米 【分析】用平移法，计算阴影的长为米，米，利用矩形的面积公式列方程解答即可． 本题考查了一元二次方程的应用，正确列出方程，并解答是解题的关键． 【详解】解：根据道路的宽为x米，根据题意得：， 整理得：， 解得：（不合题意，舍去），， 答：道路的宽为4米． 32．近段时间，某个农场的125亩草莓迎来了冬季采摘期，该农场以优良的生态环境为基础，采用蜜蜂自然授粉的方式，提升草莓的产量和品质使得草莓香甜可口，果实饱满，吸引了不少游客前往采摘．某农户承包了一块矩形土地，建立了三个草莓种植大棚，其布局如图所示，其中米，米，阴影部分规划为大棚种植草莓，其余部分是等宽的通道．若三个大棚的面积是，求道路的宽度． 【答案】通道的宽为1米 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键．设通道的宽为米，根据矩形面积公式建立方程即可 【详解】解：设通道的宽为米， 根据题意得：， 解得：（舍去）或， 答：通道的宽为1米． 33．校园内有一块长为，宽为的矩形场地，计划在这个场地上修建等宽的道路（阴影部分，且横竖道路均与矩形的边平行），剩余部分种上草坪． (1)如图1，测得草坪的面积是，求道路的宽度；（参考数据：） (2)学校开展劳技课后，需要一块实践园地，就决定对这块矩形场地重新规划，打算修建两横两竖等宽的道路，如图2所示，剩余部分作为学生综合实践种植园．若种植园的面积是矩形场地面积的，求道路的宽度应设计为多少米． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设道路的宽度为，则剩余部分可合成长为，宽为的矩形，根据草坪的面积是，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）设道路的宽度应设计为，则剩余部分可合成长为，宽为的矩形，根据种植园的面积是场地面积的，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】（1）解：设道路的宽度为，则剩余部分可合成长为，宽为的矩形， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：道路的宽度为； （2）解：设道路的宽度应设计为，则剩余部分可合成长为，宽为的矩形， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：道路的宽度应设计为． 34．某农户承包了一块长方形果园，如图是果园的平面图，其中米，米，准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的窥度都为米，左右两条纵向道路的察度都为米，中间部分为种植园区．出于货车通行等因素的考虑，道路宽度不超过12米，且不小于5米．    (1)若中间种植园区的面积是44800平方米，求道路的宽度； (2)该农户在种植园区种植了草莓，经市场调查，若每平方米的草莓销售平均利润为100元，每月可销售5000平方米的草莓．受天气情况影响，农户为了快速将草莓出手，决定降价，若每平方米草莓平均利润下调4元，每月可多销售500平方米草莓．若该农户预期一个月的总利润为57.2万元，并且想要让利于顾客，每平方米草莓的平均利润应该下调多少元？ 【答案】(1)道路宽度为10米 (2)每平方米草莓平均利润下调48元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）由果园的长、宽及四周道路的宽度，可得出中间种植部分是长为米、宽为米的长方形，根据中间种植的面积是，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，取其符合题意的值即可得出结论； （2）设每平方米草莓平均利润下调元，则每平方米草莓平均利润为元，每月可售出平方米草莓，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，再结合要让利于顾客，即可确定结论． 【详解】（1）解：根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 道路宽度为10米； （2）解：设每平方米草莓平均利润下调y元， 整理得：． 解得：，， 又从客户的角度考虑，要让利于顾客， ． 答：每平方米草莓平均利润下调48元． 35．某小区有一块长为a米，宽为b米的矩形场地，计划在该场地上修筑宽都为2米的两条互相垂直的道路，余下的四块矩形小场地建成草坪． (1)如图，请写出道路的面积（用含a、b的代数式表示）； (2)已知，并且四块草坪的面积之和为，试求原来矩形场地的长与宽各为多少米？ 【答案】(1)这两条道路的面积分别是和； (2)原来矩形的长为28米，宽为14米． 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，理解题意并根据题意列方程求解是解题的关键． （1）由题意矩形场地的长为a米，宽为b米以及道路宽为2米即可得出每条道路的面积； （2）根据题意四块草坪的面积之和为这一等量关系建立方程进行分析计算即可． 【详解】（1）解：由题意可知这两条道路的面积分别是和； （2）解：∵， ∴， 根据题意得：， 整理得， 解得：，（舍去）， ∴（米） 答：原来矩形的长为28米，宽为14米． 36．如图，某旅游景点要在长、宽分别为12米、10米的矩形水池内部建一个与矩形的边互相平行的正方形观赏亭，观赏亭的四边连接四条与矩形的边互相平行的且宽度相等的道路，已知道路的宽为正方形边长的（每条道路的一侧均与正方形观赏亭的一边在同一直线上），若道路与观赏亭的面积之和是矩形水池面积的，求道路的宽度． 【答案】道路的宽度为米 【分析】本题考查一元二次方程解实际应用题，读懂题意，设道路的宽度为米，则正方形的边长为米，由道路与观赏亭的面积之和是矩形水池面积的，列一元二次方程，利用因式分解法求解即可得到答案，读懂题意，掌握一元二次方程的解法是解决问题的关键． 【详解】解：设道路的宽度为米，则正方形的边长为米，根据题意可得 ， ， 则， 解得或（负值不满足实际意义，舍去） 答：道路的宽度为米． 37．某社区为了解决停车难的问题，计划将一块矩形空地改建成一个小型停车场，其中阴影部分为停车位区域，其余部分均为宽度是x米的道路，如图所示，已知米，米，且停车区域(即阴影部分)的面积为880米，求道路的宽度x(米)． 【答案】6米 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用， 根据阴影部分的面积相等列出方程，求出解即可． 【详解】解：宽度是x米的道路，根据题意，得 ， 解得（舍去）． 所以道路的宽度是6米． 38．如图所示，某市公园有一块长方形绿地长20，宽16，在绿地中开辟三条等宽的道路后，剩余绿地的面积为224，求道路的宽x是多少米？ 【答案】2米 【分析】此题考查了一元二次方程的应用题，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 由剩余绿地平移可拼成应该矩形边长为米、米，由此列出一元二次方程，解方程即可． 【详解】解：依题意可列 （舍） 答：道路的宽是2米． 39．【教材变式】如图，在一块矩形花园基地上修建一横两纵三条等宽的道路，矩形的长为a米，宽为b米，其中两条道路与边平行，另一条道路与边平行，剩下的空白部分打造成休闲区． (1)若，，且6块空地的面积和为792平方米，求每条道路的宽x； (2)若，道路的宽为2米，且6块空地的面积和为208平方米，求矩形的长和宽各为多少米？ 【答案】(1)每条道路的宽为1米 (2)原矩形空地长为20米，宽为15米 【分析】本题考查了一元二次方程的运用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键； （1）设每条道路的宽x米，可得出空地的部分合成为一个长米，宽为米的长方形，结合6块空地的面积和为792列方程求解即可； （2）设长为米，宽为米，可得出空地的部分合成为一个长米，宽为米的长方形，结合6块空地的面积和为208列方程求解即可． 【详解】（1）解：设每条道路的宽x，可得出空地的部分合成为一个长米，宽为米的长方形，由题意得： ， 解得：（舍去）， ∴每条道路的宽为1米； （2）解：， ∴设长为米，宽为米， ∴空地的部分合成为一个长米，宽为米的长方形， 由题意得：， 解得：（舍）， ， ∴矩形长为20米，宽为15米． 40．项目化学习 素材：全面推进美丽中国建设，当前在各地积极开展．我市在城市园林绿化建设方面，从“园林城市”、“生态园林城市”到“公园城市”，城市人居生态环境已有很大提升．其中，某一新建公园想在一块长为，宽为的矩形地面上，修建等宽的道路，剩余部分种上草坪．现有两种小道设计方案，如下图： 其中：按图1的方案设计小道，测得草坪的面积是； 如图2所示，修建两横两竖等宽的道路（横竖道路各与矩形的一条边平行），剩余部分种上草坪后，草坪的面积是地面面积的二分之一． 请根据以上信息解决下列问题： 任务1：求图1中道路的宽度； 任务2：经过一致协商，最终选择如图2所示的第二种小道设计方案．从美观角度考虑，决定在横竖两条小道上铺设花砖，求小道重叠部分花砖的面积． 【答案】任务1：；任务2： 【分析】本题考查了平移的性质，一元二次方程的应用．熟练掌握平移的性质，一元二次方程的应用是解题的关键． 任务1：设图1中道路的宽度为，由平移可确定合成草坪的长和宽，依题意得，，计算求出满足要求的解即可； 任务2：设道路的宽度为，依题意得，，可求，（舍去），即道路宽为，由题意知，小道重叠部分花砖为4个相同的边长为的正方形，然后求面积即可． 【详解】任务1：解：设图1中道路的宽度为， 依题意得，， 解得，，（舍去）， ∴图1中道路的宽度为； 任务2：解：设道路的宽度为， 依题意得，， 解得，，（舍去）， ∴道路宽为， 由题意知，小道重叠部分花砖为4个相同的边长为的正方形， ∵， ∴小道重叠部分花砖的面积． 【题型5 动点几何】 41．如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，如果、两点同时出发，设运动时间为秒． (1)当为何值时，为等腰三角形？ (2)是否存在某时刻，使线段恰好把的面积平分？若存在，求此时的值；若不存在，请说明理由； (3)当为何值时，、间的距离等于？ 【答案】(1)当时，为等腰三角形 (2)不存在，理由见解析 (3) 【详解】（1）解：依题意得，，， 则， 当为等腰三角形时，只有， ， 解得， 即当时，为等腰三角形； （2）不存在，理由如下： 依题意得，， ， ， ， 方程无实根， 不存在某时刻，使线段恰好把的面积平分； （3），， ， ， 化简得：， 解得或， ∵ ∴不符合题意，舍去 故时，、间的距离等于． 【点睛】本题考查了几何图形中的动点问题，涉及了等腰三角形，勾股定理、一元二次方程等知识点；注意利用实际问题中的约束条件检验所得的解． 42．如图，在中，，，．点从点出发沿边向点以的速度移动，点从点出发沿边向点以的速度移动，如果点，分别从点，同时出发，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止移动，设运动的时间为． (1)当t为何值时，的面积是面积的？ (2)当为何值时，的长为？ 【答案】(1)当为1时，的面积是面积的 (2)为或2时，的长度等于 【分析】本题是与三角形有关的动点问题，考查了勾股定理，一元二次方程，由题意得一元二次方程是关键． （1）由题意可求得、的长，从而可得关于t的一元二次方程，解方程即可； （2）根据勾股定理即可得到关于t的一元二次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：根据题意知，， ∴， ∴， ∵在中，，，， ∴， ∵的面积是面积的， ∴， ∴， 解得，（舍去）． ∴当为1时，的面积是面积的； （2）解：设秒后，的长度等于， 根据勾股定理，得，即， 整理得，， 解得，． ∴当为或2时，的长度等于． 43．如图所示，A、B、C、D是矩形的四个顶点，，，动点、分别从点、同时出发，点以的速度向点移动，一直到达为止，点以的速度向移动． (1)P，Q两点从出发开始到几秒时，四边形的面积为？ (2)P，Q两点从出发开始到几秒时，点P和点Q的距离第一次是？ 【答案】(1)5秒 (2)秒 【分析】本题主要考查动点问题，涉及解一元一次方程和勾股定理，代数式的表示， （1）设P、Q两点从出发开始到x秒满足条件，则，，根据梯形的面积公式求解即可； （2）设P，Q两点从出发经过t秒时满足条件，作，垂足为E，则，有，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：设P、Q两点从出发开始到x秒时四边形的面积为， 则，， 根据梯形的面积公式得， 解之得， 答：P、Q两点从出发开始到5秒时四边形的面积为； （2）解：设P，Q两点从出发经过t秒时，点P，Q间的距离是， 作，垂足为E，则， ∵， ∴， 由勾股定理，得， 解得（舍去）． 答：从出发到秒时，点P和点Q的距离第一次是． 44．如图，、、、为矩形的四个顶点，，，动点、分别从点、同时出发，点以的速度向点移动，一直到达为止，点以的速度向移动． (1)、两点从出发开始到几秒时，四边形的面积为； (2)、两点从出发开始到几秒时，点和点的距离第一次是． 【答案】(1)5秒 (2)从出发到秒时，点P和点Q的距离第一次是． 【分析】本题主要考查动点问题，涉及解一元一次方程和勾股定理，代数式的表示， （1）设P、Q两点从出发开始到x秒满足条件，则，，根据梯形的面积公式求解即可； （2）设P，Q两点从出发经过t秒时满足条件，作，垂足为E，则，有，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：设P、Q两点从出发开始到x秒时四边形的面积为， 则，， 根据梯形的面积公式得， 解之得， 答： P、Q两点从出发开始到5秒时四边形的面积为； （2）解：设P，Q两点从出发经过t秒时，点P，Q间的距离是， 作，垂足为E，则， ∵， ∴， 由勾股定理，得， 解得（舍去）． 答：从出发到秒时，点P和点Q的距离第一次是． 45．如图，已知等腰直角三角形中，，点P从点A出发，沿的方向以的速度向终点B运动，同时点从点B出发，沿的方向以的速度向终点A运动．当点P运动到点B时，两点均停止运动．运动时间记为秒，请解决下列问题： (1)若点P在边上，当为何值时，为直角三角形？ (2)是否存在这样的值，使的面积为？若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)或 (2)存在，或 【分析】（1）分和两种情况讨论，根据等腰直角三角形的判定与性质列方程求解即可； （2）分若点P在边上和上两种情况讨论，根据等腰直角三角形的判定与性质及三角形的面积公式列方程求解即可． 【详解】（1）解：若点P在边上，，，， ，， ，， （）， 当时，， ， ， 解得； 当时，， ， ， 解得； 综上所述，当或时为直角三角形； （2）解：若点P在边上，，，， 过点P作于点H， ， ， ， ， ， 解得，（舍去）； 若点P在边上，，（），（）， 过点P作于点M， ， ， （）， ， 解得，（舍去）； 综上所述，存在这样的值，使的面积为，且或． 【点睛】本题考查了几何动点问题，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，一元二次方程的应用，根据动点的路径分情况讨论及利用方程思想列方程求解是解题的关键． 46．如图，在直角梯形中，，，，，，动点、分别从点、同时出发，点以的速度向点移动，点以的速度向点移动，当一个动点到达终点时另一个动点也随之停止运动． (1)经过几秒钟，点、之间的距离为？ (2)连接，是否存在某一时刻，使得恰好平分？若存在，求出此时的移动时间；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)经过秒钟，点、之间的距离为 (2)不存在，理由见解析 【分析】本题考查矩形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的判定、解一元二次方程等知识，理解题意是解答的关键． （1）过A作于E，过点P作于F，先证明四边形、四边形是矩形得到，，，分别在和中利用勾股定理求解即可； （2）假设存在t值，使得恰好平分，根据平行线的性质和角平分线的定义得到，进而可得，利用勾股定理求得t值，根据t值的取值范围可得结论． 【详解】（1）解：如图．过A作于E，过点P作于F， ∵，， ∴， ∴四边形、四边形是矩形， ∴，，， 在中，，， ∴， 由题意，，，， 在中，，， 由得， ∴，（不合题意舍去）． 答：经过秒钟，点、之间的距离为； （2）解：假设存在t值，使得恰好平分，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得，， ∵， ∴两个解都不符合题意， 故不存在某个时刻，使得恰好平分． 47．如图，在长方形中，，，点P从点A开始沿线段向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿线段向点C以的速度移动，点P，Q分别从A，B两点同时出发了t秒钟，直至两个动点中某一点到达端点后停止． (1)经过几秒钟后， 的面积等于？ (2)经过几秒钟后，的长度等于？ (3)若的面积为S，写出的面积S关于t的函数关系式，要求写出自变量的取值范围． 【答案】(1)1秒 (2)2秒 (3) 【分析】（1）由题意得，t秒后，，，根据，列方程求出t的值即可； （2）在中，, , , ，根据勾股定理列方程，求出t的值即可； （3）根据，将，代入化简即可． 【详解】（1）解：由题意得，t秒后，，， ∵， ∴， 解得，． 由题意得P点从A点运动到B点需要秒，Q点从B点运动到C点需要秒， ∴， ∴不合题意，舍去． ∴经过1秒钟后，的面积等于4cm2． （2）解：在中，, , , ， ∴， ∴， 解得（舍去）, ． ∴经过2秒钟后，的长度等于5cm． （3）解：由题意得 ． 【点睛】本题考查了矩形的性质的运用，勾股定理的运用，三角形的面积公式的运用，根据题意表示出线段和的长是解题的关键． 48．如图，在等腰直角三角形中，，点从点开始以每秒2个单位长度的速度沿边向点运动，过点作，分别交于点的面积能否为7？如果能，请求出点运动的时间；如果不能，请说明理由． 【答案】点运动的时间为或时，的面积为7 【分析】设动点从点出发移动个单位时，的面积等于，根据等腰三角形的性质和平行四边形的面积公式列方程求解即可. 【详解】解：的面积能为7． 设点从点出发运动个单位长度时，的面积为7． 依题意，得， 解得． 故点运动的时间为或时，的面积为7． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，利用三角形和平行四边形的面积得出等量关系是解决问题的关键. 49．如下图，在矩形中，，，点从点出发，沿以的速度向点移动；同时，点从点出发，沿以的速度向点移动．当点到达点时，点也停止移动，则当点出发几秒后，的面积为？ 【答案】当点出发或后，的面积为 【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．首先设后的面积等于，然后表示出、、的面积，再根据图形可得：矩形的面积减去周围多余三角形的面积等于的面积等于，根据等量关系列出方程，再解即可． 【详解】解：设当点，出发后，的面积为， 则，，，， 根据题意，得， 整理，得， 解得，， 经检验都符合题意， 故当点，出发或后，的面积为． 50．综合与实践 如图1，在矩形中，，动点P，Q分别以的速度从点A，B同时出发，点P沿着运动到点B时停止，点Q沿着运动到点A时停止．设运动时间为． (1)当点P在上运动时， ________， ________；（用含t的代数式表示） (2)在（1）的条件下，当时，求t的值； (3)如图2、图3，点P沿着运动到点B的过程中、当的面积为时，求t的值． 【答案】(1)； (2)1 (3)7 【分析】本题主要考查了列代数式，矩形的性质，一元二次方程的应用，解答本题的关键是熟练运用矩形的性质解决问题． （1）根据路程等于速度乘以时间得到则； （2）根据矩形的性质得到，再根据直角三角形面积计算公式建立方程求解即可； （3）分点P在和点P在上两种情况，根据三角形面积计算公式列出方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， ∴ 故答案为：； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）； （3）解：当点P在上运动时，， ∵的面积为， ∴， 解得， 由矩形的性质可得 ∴点P运动到点C的时间为秒， ∴此种情况不存在； 当点P在上运动时，， ∵的面积为， ∴， 解得或（舍去）； 综上所述，． 精选考题才是刷题的捷径1 学科网（北京）股份有限公司 $