2.1.1有理数的运算“4大特殊加法” 专项练习 2025-2026学年人教版七年级数学上册

2025-2026学年人教版七年级数学上册 第二章：有理数的运算 专题2.1有理数的4大特殊加法 类型1：倒序相加法 1．高斯上小学时，有一次数学老师让同学们计算 “从到这个正整数的和”，许多同学都采用了依次累加的计算方法，计算起来非常烦琐，并且容易出错，聪明的小高斯经过探索后，给出了下面漂亮的解答过程： 解：设，① 则，② ，得 ． ，，③ ． 后来人们将小高斯的这种解答方法概括为“倒序相加法” (1)请你运用高斯的“倒序相加法”计算：； (2)请你认真观察上面解答过程中的③式及你运算过程中出现类似的③式，猜想___________（用含的代数式表示）； 2．阅读下面的材料：高斯上小学时，有一次数学老师让同学们计算“从1到100这100个正整数的和”．许多同学都采用了依次累加的计算方法，计算起来非常繁琐，且易出错．聪明的小高斯经过探索后，给出了下面漂亮的解答过程． 解：设，① 则，② ①②得． 所以，， 所以． 后来人们将小高斯的这种解答方法概括为“倒序相加法”． 请类比以上做法，解答下列问题： (1)计算：； (2)计算：． 3．阅读下面的材料：高斯上小学时，有一次数学老师让同学们计算“从1到100这100个正整数的和”．许多同学都采用了依次累加的计算方法，计算起来非常繁琐，且易出错．聪明的小高斯经过探索后，给出了下面漂亮的解答过程． 解：设，① 则，② 得． 所以，， 所以 后来人们将小高斯的这种解答方法概括为“倒序相加法”． 请类比以上做法，解答下列问题： (1)计算：； (2)计算：． (3)计算： 类型2：拆项法 4．先阅读第（1）题的计算过程，再根据第（1）题的解题方法完成第（2）题． （1）计算： 解： ． 上面这种解题方法叫作拆项法． （2）计算：． 5．用拆项法计算： (1)； (2)． 6．阅读下面的计算方法． 计算：． 解：原式 ． 上面这种解题方法叫做拆项法，试用拆项法计算： 7．阅读下面的解题过程，并用解题过程中的解题方法解决问题． 计算：． 解：原式 ． 以上解题方法叫作“拆项法”． 请你利用“拆项法”计算下面式子的值： ． 类型3：裂项相消法 8．阅读下列材料： 计算： 解：原式 这种求和方法称为“裂项相消法”，请你参照此法计算： ． 9．类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论．阅读感知：在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减，例如：，我们将上述计算过程倒过来，得到，这一恒等变形过程在数学中叫做裂项． 【类比探究】（）猜想并写出：__________． 【理解运用】（）类比裂项的方法，计算：． 【拓展提高】（）计算：． 10．类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论．阅读感知：在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减，例如：，我们将上述计算过程倒过来，得到，这一恒等变形过程在数学中叫做裂项．类似地，对于可以用裂项的方法变形为：类比上述方法，解决以下问题． 【类比探究】（1）猜想并写出：______； 【理解运用】（2）类比裂项的方法，计算：； 【迁移应用】（3）探究并计算：． 11．【情景创设】 是一组有规律的数，我们如何求这些连续数的和呢？ 【探索活动】 （1）根据规律第6个数是_________，是第_________个数； 【方法属示】 ．这种方法叫“裂项相消”，构造只有符号不同的中间项，将其全部消掉． 【实践应用】 根据上面获得的经验完成下面的计算： （2）； （3）． 类型4：错位相减法 12．阅读材料：求． 首先设①， 则②， ②-①得， 即． 以上解法，在数列求和中，我们称之为“错位相减法”． 请你根据上面的材料，解决下列问题： (1)． (2)求的值． (3)若为正整数且，求． 13．阅读材料，回答问题． 材料一：因为，所以． 材料二：求的值． 解：设①， ①两边同时乘以3得，则② 用得， 所以， 即， 所以． 这种方法我们称为“错位相减法”． (1)填空：_________，_________； (2)“棋盘摆米”是一个著名的数学故事：阿基米德与国王下棋，国王输了，国王问阿基米德要什么奖赏．阿基米德对国王说：“我只要在棋盘上第一格放一粒米，第二格放二粒，第三格放四粒，第四格放八粒…按这个方法放满整个棋盘就行”国王以为要不了多少粮食，就随口答应了． ①国际象棋共有64个格子，则在第64格中应放_________粒米（用幂表示）； ②设国王输给阿基米德的总米粒数为S，求S． 14．【拓广探究】下面是小明为了计算的值，采用错位相减法： 设①，则②， 得，∴． 【解决问题】请仿照小明的方法求的值． 15．【阅读材料】数列是一个古老的数学课题，我国对数列概念的认识很早，例如《易传·系辞》：“河出图，洛出书，圣人则之；两仪生四象，四象生八卦”，这是世界数学史上有关等比数列的最早文字记载． 【等比数列】 按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．排在第一位的数称为第一项，记为，排在第二位的数称为第二项，记为，依此类推，排在第n位的数称为第n项，记为．所以，数列的一般形式可以写成：，，，．．．，．．．． 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比值等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用q表示．如：数列1，2，4，8，．．．为等比数列，其中，公比为． 根据以上材料，解答下列问题： （1）等比数列3，9，27，．．．的公比q为___，第5项是___． 【公式推导】 如果一个数列，，，．．．，．．．，是等比数列，且公比为q，那么根据定义可得到： ，，，．．．，． 所以， ， ，．．． （2）由此，请你填空完成等比数列的通项（即第n项）公式___． 【拓广探究】 等比数列求和公式并不复杂，但是其推导过程——错位相减法，构思精巧、形式奇特．欧几里得在《几何原本》中就给出了等比数列前n项和公式，而错位相减法则直到1822年才由欧拉在《代数学基础》中给出，时间相差两千多年．下面是小明为了计算的值，采用的方法： 设①， 则②， 得， ∴． 【解决问题】（3）求的值； （4）直接写出的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《专题2.1有理数的4大特殊加法2025-2026学年人教版七年级数学上册》参考答案 1．(1)1275 (2) 【分析】此题考查了数的运算规律，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1 ）原式利用高斯的“倒序相加法”计算即可求出值； （2 ）归纳总结得到一般性规律，写出即可，利用高斯的“倒序相加法”计算即可求出值． 【详解】（1）解：设 则， ，得， 所以， ， 所以； （2）解：由（1 ）及题目例题的解析可得： ， 设 则， ，得， 所以， ， 所以． 故答案为：． 2．(1)500500 (2)15150 【分析】本题考查的是数式的变化规律和有理数的混合运算，从题目中找出数字间的变化规律是解题的关键． （1）根据题意，利用“倒序相加法”，计算即可． （2）计算出和的值；． 【详解】（1）解：（1）设，① 则，② ①②得：， ， ； （2）设，① 则，② ①②得：， ， ． ． 3．(1)500500 (2)15000 (3)2500 【分析】本题主要考查有理数的运算，熟练掌握有理数的加法及乘法运算是解题的关键；因此（1）（2）（3）可根据题中所给方法进行求解即可． 【详解】（1）解：设，① 则，② 得． 所以，则， 所以； （2）解：设，① 则，② 得． 所以，则， 所以； （3）解：设，① 则，② 得． 所以，则， 所以． 4． 【分析】本题考查了有理数的加法，读懂阅读材料，熟练掌握有理数的加法法则、掌握拆项法进行解题是关键． 认真观察（1）的解法，利用此方法求出（2）中各小题的结果即可． 【详解】解： 原式 ． 5．(1) (2)0 【分析】本题考查了有理数的加法，把有关的数正确的拆项是解决问题的关键． （1）根据拆项法把拆成，把拆成，再根据有理数的加法进行计算即可； （2）根据拆项法把拆成，把拆成，再根据有理数的加法进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 6． 【分析】本题考查有理数的加法，掌握算理是解决问题的关键．利用拆项法把每个数拆成整数部分和小数部分，分别相加进行简便运算即可． 【详解】解：原式， ， ． 7． 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，正确理解题干提供的计算方法是解答本题的关键． 根据题意，将带分数拆成成整数部分和分数部分的和，然后整数部分相加减，分数部分相加减，分别计算即可． 【详解】解：原式 ． 8． 【分析】根据例题中的裂项相消法即可解答 【详解】解：依题意得： 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，弄清题中的方法是解本题的关键． 9．（1），（2），（3） 【分析】（）根据题中材料即可求解； （）根据（）中的裂项方法，把每一个分数进行裂项，由有理数的加减法则即可完成计算； （）根据（）中的裂项方法，把每一个分数进行裂项，由有理数的加减法则即可完成计算； 本题考查了有理数的四则混合运算，掌握裂项法是解题的关键． 【详解】解：（）猜想并写出：， 故答案为：； （）原式 ； （）原式 ． 10．（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，会用裂项抵消法解答问题． （1）根据题目中的例子，可以写出相应的猜想； （2）根据式子的特点，采用裂项抵消法可以解答本题； （3）将题目中的式子变形，然后裂项抵消即可解答本题． 【详解】解：（1）， 故答案为：； （2）由（1）得： ； （3） ． 11．（1），11；（2）；（3） 【分析】本题考查数字变化的规律，能根据题意发现第个数为及巧妙利用裂项相消法是解题的关键． （1）观察所给数列，发现它们的分子都是1，分母是两个连续整数的积，据此可解决问题． （2）根据题中所给示例即可解决问题． （3）将所给算式改写成分母为两个连续整数积的形式，再进行计算即可． 【详解】解：（1）由题知， ； ； ； ； …… 所以第个数为：． 当时，．即第6个数为． 当时，， 所以． 即是第11个数． 故答案为：，11． （2）原式 ． （3）原式 ． 12．(1) (2) (3) 【分析】本题考查数字规律及有理数的混合运算，理解并掌握“错位相减法”，是解题的关键． （1）模仿例题，设原式为S，再让两边同乘以2，再错位相减求解； （2）模仿例题，设原式为S，再让两边同乘以3，再错位相减求解． （3）模仿例题，设原式为S，再让两边同乘以a，再错位相减求解 【详解】（1）解：设， 则， 得：； （2）设， 则②， 得：， 所以， 即． （3）解：设①， 则②， ②−①得：， 所以， 即． 13．(1)， (2)①；② 【分析】本题考查的是乘方的应用，理解乘方的含义与阅读部分提示的求和方法是解本题的关键； （1）直接利用乘方的含义可得答案； （2）先根据规律得到，再结合阅读部分的求和方法可得答案． 【详解】（1）解：，； （2）①∵第一格放一粒米，第二格放二粒即粒，第三格放四粒即粒，第四格放八粒即粒，， ∴国际象棋共有64个格子，则在第64格中应放粒； ②由题意可得：， ∴， 两式相减可得：； 14． 【分析】设，则，然后求解即可． 【详解】设，则， 得， ∴ ∴． 【点睛】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是将所求的式子看作整体进行扩大或缩小，要熟悉本题的解题思路． 15．（1）3，；（2）；（3）；（4） 【分析】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，数的规律探究．理解题意并正确的运算是解题的关键． （1）由题意知，，第5项是，计算求解即可； （2）由题意知，，然后作答即可； （3）令，则，，计算求解即可； （4）令，则，则，计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，，第5项是， 故答案为：3，； （2）解：由题意知，， 故答案为：； （3）解：令，则， ∴， 解得，， ∴． （4）解：令，则， ∴， 解得，， ∴的值为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $