第一章特殊的平行四边形周测试题2025-2026学年北师大版九年级数学上册

第一章特殊的平行四边形周测试题 班级： 姓名： 评价 . 1． 单选题（每题3分，共24分） 1．如图，在菱形ABCD中，AC，BD交于点O．若，AC＝4，则菱形ABCD的边长为（　　） A．3 B．4 C．6 D．8 2．如图，一根木棍斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上，设木棍中点为P，若木棍A端沿墙下滑，且B沿地面向右滑行．在此滑动过程中，点P到点O的距离（　　） A．变小 B．不变 C．变大 D．无法判断 3．依据所标数据，下列四边形不一定为矩形的是（　　） A． B． C． D． 4．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P为AB边上一动点（不与点A，B重合），PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，若AC＝8，BD＝6，则EF的最小值为（　　） A．3 B．2 C． D． 5．如图，在正方形ABCD的内侧，作等边三角形ADE，则∠CBE为（　　） A．15° B．25° C．75° D．30° （1题） （2题）（4题） （5题） 6．小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理如图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（　　） A．（1）处可填∠A＝90° B．（2）处可填AD＝AB C．（3）处可填DC＝CB D．（4）处可填∠B＝∠D 7．如图，任意四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，连接AC，BD，对于四边形EFGH的形状，某班学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是（　　） A．若AC＝BD，则四边形EFGH为菱形 B．若AC⊥BD，则四边形EFGH为矩形 C．若AC＝BD，且AC⊥BD，则四边形EFGH为正方形 D．若AC与BD互相平分，且AC＝BD，则四边形EFGH是正方形 （7题）（8题）（9题） 8．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AC与BD交于点O，E为CD延长线上的一点，且CD＝DE，连接BE分别交AC，AD于点F，G，连接AE，则下列结论：①AC⊥AE；②△DEG≌△ABG；③OG∥AB；④四边形ABDE是菱形．其中正确的有（　　） A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．①②④ 二．填空题（每题4分，共20分） 9．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的边BC在x轴上，且OB＝OC＝1，点A在y轴正半轴上，则顶点D的坐标为　 　 ． 10．如图，在矩形ABCD中，DC＝6，AD＝8，对角线AC与BD交于点O，E为AB边上一个动点，EF⊥AC，EG⊥BD，垂足分别为点F，G，则EF+EG＝　 　 ． （10题）（11题）（12题）（13题） 11．如图，将矩形ABCD沿AE折叠，使点D落在边BC的点F处，已知AB＝6cm，BC＝10cm，则EC的长为 　 　 cm． 12．如图，有一个正方形、一个等边三角形、一个等腰直角三角形，则∠1+∠2+∠3＝　 　 °． 13．如图，在△ABC中，DE∥CA，DF∥BA，下列说法：①如果∠BAC＝90°，那么四边形AEDF是矩形；②如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形；③如果AD⊥BC且AB＝AC，那么四边形AEDF是正方形．其中正确的有 　 　 个． 九上数学第一章 答案书写区 一、选择题（每题3分，共24分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 得分 答案 二、填空题（每题4分，共20分） 9._______________ 10.________________ 11._______________ 12._______________ 13._______________ 三、解答题（14题10分，15题10分，16题12分,17题12分，18题12分） 14．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB，交AB的延长线于点E，连接OE． （1）求证：四边形ABCD是菱形． （2）若AB＝5，BD＝6，求OE的长．   15．如图，△ABC中，AD是边BC上的高，CF是边AB上的中线，DC＝BF，点E是CF的中点． （1）求证：DE⊥CF； （2）求证：∠B＝2∠BCF． 16．如图，△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，BE∥AD，AE⊥AD． （1）求证：四边形ADBE是矩形； （2）作EF⊥AB于F，若BC＝4，AD＝3，求EF的长． 17．如图，四边形AECF是菱形，对角线AC、EF交于点O，点D、B是对角线EF所在直线上两点，且DE＝BF，连接AD、AB、CD、CB，∠ADO＝45°． （1）求证：四边形ABCD是正方形； （2）若正方形ABCD的面积为72，BF＝4，求菱形AECF的面积． 18．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，过点A作AF∥BC，且AFBC，连接BF、BF，线段BF与AD相交于点E． （1）求证：E是AD的中点； （2）若AB⊥AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论． 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B B A C A D D A 一．选择题（共8小题） 1．如图，在菱形ABCD中，AC，BD交于点O．若，AC＝4，则菱形ABCD的边长为（　　） A．3 B．4 C．6 D．8 【解答】解：在菱形ABCD中，AC，BD交于点O．若，AC＝4， ∴，AC⊥BD， ∴∠COB＝90°， ∵， 在直角三角形BOC中，由勾股定理得： ， 即菱形ABCD的边长为4， 故选：B． 2．如图，一根木棍斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上，设木棍中点为P，若木棍A端沿墙下滑，且B沿地面向右滑行．在此滑动过程中，点P到点O的距离（　　） A．变小 B．不变 C．变大 D．无法判断 【解答】解：在木棍滑动的过程中，点P到点O的距离不发生变化， 理由是：连接OP， ∵∠AOB＝90°，P为AB中点，AB＝2a， ∴OPAB＝a， 即在木棍滑动的过程中，点P到点O的距离不发生变化，永远是a； 故选：B． 3．依据所标数据，下列四边形不一定为矩形的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：A、∵AD＝BC＝4，AB＝CD＝3， ∴四边形ABCD是平行四边形，不能判定为矩形，故选项A符合题意； B、∵∠A＝∠B＝∠D＝90°， ∴四边形ABCD是矩形，故选项B不符合题意； C、∵∠A＝∠B＝90°， ∴∠A+∠B＝180°， ∴AD∥BC， ∵AD＝BC＝4， ∴四边形ABCD是平行四边形， 又∵∠A＝90°， ∴平行四边形ABCD为矩形，故选项C不符合题意； D、∵AB＝CD＝3，AD＝BC＝4， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AC＝5， ∴AB2+BC2＝AC2， ∴△ABC是直角三角形，且∠ABC＝90°， ∴平行四边形ABCD是矩形，故选项D不符合题意； 故选：A． 4．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P为AB边上一动点（不与点A，B重合），PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，若AC＝8，BD＝6，则EF的最小值为（　　） A．3 B．2 C． D． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，OA＝OCAC8＝4，OB＝ODBD6＝3， 在Rt△AOB中，AB5， 如图所示，连接OP， ∵PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F， ∴四边形OEPF是矩形， ∴EF＝OP， 当OP⊥AB时，OP的值最小，即EF的值最小， ∵S△AOBOA•OBAB•OP， ∴OP， ∴EF的最小值为， 故选：C． 5．如图，在正方形ABCD的内侧，作等边三角形ADE，则∠CBE为（　　） A．15° B．25° C．75° D．30° 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠CBA＝∠BAD＝90°，AB＝AD， ∵△ADE是等边三角形， ∴∠EAD＝60°，AE＝AD， ∴AB＝AE， ∴∠ABE＝∠AEB， ∵∠BAD＝∠BAE+∠EAD＝90°， ∴∠BAE＝30°， ∵∠ABE+∠AEB+∠BAE＝180°， ∴∠ABE+∠AEB＝150°， ∴∠ABE＝∠AEB＝75°， ∵∠CBE+∠ABE＝∠CBA＝90°， ∴∠CBE＝15°， 故选：A． 6．小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理如图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（　　） A．（1）处可填∠A＝90° B．（2）处可填AD＝AB C．（3）处可填DC＝CB D．（4）处可填∠B＝∠D 【解答】解：A、有一个角是直角的平行四边形是矩形， ∴（1）处可填∠A＝90°是正确的，故该选项不符合题意； B、一组邻边相等的矩形是正方形， ∴（2）处可填AD＝AB是正确的，故该选项不符合题意； C、一组邻边相等的平行四边形是菱形， ∴（3）处可填DC＝CB是正确的，故该选项不符合题意； D、有一个角是直角的菱形是正方形， ∴∠B＝∠D无法判定两角是不是直角，故该选项不符合题意； 故选：D． 7．如图，任意四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，连接AC，BD，对于四边形EFGH的形状，某班学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是（　　） A．若AC＝BD，则四边形EFGH为菱形 B．若AC⊥BD，则四边形EFGH为矩形 C．若AC＝BD，且AC⊥BD，则四边形EFGH为正方形 D．若AC与BD互相平分，且AC＝BD，则四边形EFGH是正方形 【解答】解：A．当E，F，G，H是四边形ABCD各边中点，且AC＝BD时，存在EF＝FG＝GH＝HE，故四边形EFGH为菱形，故本选项不符合题意； B、当E，F，G，H是四边形ABCD各边中点，且AC⊥BD时，存在∠EFG＝∠FGH＝∠GHE＝90°，故四边形EFGH为矩形，故本选项不符合题意； C、当E，F，G，H是四边形ABCD各边中点，且AC＝BD，且AC⊥BD，存在EF＝FG＝GH＝HE，∠EFG＝∠FGH＝∠GHE＝90°，故四边形EFGH为正方形，故本选项不符合题意； D、当E，F，G，H是四边形ABCD各边中点，且AC与BD互相平分，且AC＝BD，故四边形EFGH为菱形，故本选项符合题意； 故选：D． 8．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AC与BD交于点O，E为CD延长线上的一点，且CD＝DE，连接BE分别交AC，AD于点F，G，连接AE，则下列结论：①AC⊥AE；②△DEG≌△ABG；③OG∥AB；④四边形ABDE是菱形．其中正确的有（　　） A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．①②④ 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，AB∥CD，AB＝CD， ∵CD＝DE， ∴DE＝AB， ∴四边形ABDE是平行四边形， ∴BD∥AE， ∴AC⊥AE， 故①正确； ∵四边形ABDE是平行四边形， ∴AG＝DG，BG＝EG， 在△DEG和△ABG中， ， ∴△DEG≌△ABG（SSS）， 故②正确； ∵四边形ABDE是平行四边形，四边形ABCD是菱形， ∴OB＝OD，AG＝GD， ∴OD是△ABD中位线， ∴OG∥AB， 故③正确； ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD， ∵∠BAD＝60°， ∴△ABD是等边三角形， ∴BD＝AB， ∵四边形ABDE是平行四边形， ∴BD＝AE，AB＝DE， ∴BD＝AE＝AB＝DE， ∴四边形ABDE是菱形， 故④正确， 综上所述，正确的是①②③④， 故选：A． 二．填空题（共5小题） 9．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的边BC在x轴上，且OB＝OC＝1，点A在y轴正半轴上，则顶点D的坐标为　　 ． 【解答】解：过D作DE⊥x轴于点E，则∠OED＝90°， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AD∥BC，AD＝CD＝BC， ∴∠AOB＝∠OAD＝90°， ∴∠AOB＝∠OAD＝90°， ∴∠AOB＝∠OAD＝∠OED＝90°， ∴四边形AOED是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形）， ∴AD＝OE（矩形的对边相等）， ∵OB＝OC＝1， ∴BC＝2， ∴AD＝CD＝BC＝OE＝2， ∴CE＝1， ∴， ∴顶点D的坐标为， 故答案为：． 10．如图，在矩形ABCD中，DC＝6，AD＝8，对角线AC与BD交于点O，E为AB边上一个动点，EF⊥AC，EG⊥BD，垂足分别为点F，G，则EF+EG＝　4.8　 ． 【解答】解：连接OE，过点B作BH⊥AC于点H， ∵四边形ABCD是矩形， ∴BD＝AC，∠ABC＝90°， ∵，， ∴AO＝BO， 在Rt△ABC中，由勾股定理可得：， ∴AO＝BO＝5， ∵， ∴， ∵EF⊥AC，EG⊥BD，S△AEO+S△BEO＝S△ABO， ∴， 即， ∴EF+EG＝BH＝4.8， 故答案为：4.8． 11．如图，将矩形ABCD沿AE折叠，使点D落在边BC的点F处，已知AB＝6cm，BC＝10cm，则EC的长为 　　 cm． 【解答】解：设CE＝x cm， ∵四边形ABCD是矩形，AB＝6cm，BC＝10cm， ∴DC＝AB＝6cm，AD＝BC＝10cm，∠B＝∠C＝90°， ∵将矩形ABCD沿AE折叠，使点D落在边BC的点F处， ∴AF＝AD＝10cm，DE＝EF＝（6﹣x）cm， ∴BF8（cm）， ∴FC＝BC﹣BF＝2cm， 在Rt△ECF中，由勾股定理得：EF2＝CE2+CF2， 即（6﹣x）2＝x2+22， 解得：x， 即CEcm， 故答案为：． 12．如图，有一个正方形、一个等边三角形、一个等腰直角三角形，则∠1+∠2+∠3＝　165　 °． 【解答】解：∵四边形ABCD为正方形， ∴∠ABC＝90°， ∵△EFG为等边三角形， ∴∠EGF＝60°， ∵△PHK为等腰直角三角形， ∴∠PHK＝45°， ∴∠EBC＝∠EBA+∠ABC＝∠1+90°，∠EGP＝∠EGF+∠2＝∠2+60°，∠CHP＝∠3+∠PHK＝∠3+45°， ∵∠EBC，∠EGP，∠CHP为△BGH的三个外角， ∴∠EBC+∠EGP+∠CHP＝360°， ∴∠1+90°+∠2+60°+∠3+45°＝360°， ∴∠1+∠2+∠3＝165°． 故答案为：165． 13．如图，在△ABC中，DE∥CA，DF∥BA，下列说法：①如果∠BAC＝90°，那么四边形AEDF是矩形；②如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形；③如果AD⊥BC且AB＝AC，那么四边形AEDF是正方形．其中正确的有 　2　 个． 【解答】解：①∵DE∥CA，DF∥BA， ∴四边形AEDF是平行四边形， ∵∠BAC＝90°， ∴平行四边形AEDF是矩形，故①正确； ②∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD， ∵DF∥AB， ∴∠ADF＝∠BAD， ∴∠ADF＝∠CAD， ∴AF＝DF， ∵四边形AEDF是平行四边形， ∴四边形AEDF是菱形，故②正确； ③∵AD⊥BC，AC＝AB， ∴AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD， ∵DF∥AB， ∴∠ADF＝∠BAD， ∴∠ADF＝∠CAD， ∴AF＝DF， ∵四边形AEDF是平行四边形， ∴四边形AEDF是菱形，四边形AEDF不一定是正方形，故③错误； 即正确的个数是2个， 故答案为：2． 三．解答题（共5小题） 14．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB，交AB的延长线于点E，连接OE． （1）求证：四边形ABCD是菱形． （2）若AB＝5，BD＝6，求OE的长． 【解答】（1）证明：∵AB∥CD， ∴∠CAB＝∠DCA， ∵AC为∠DAB的平分线， ∴∠CAB＝∠DAC， ∴∠DCA＝∠DAC， ∴CD＝AD， ∵AB＝AD， ∴AB＝CD， ∵AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AD＝AB， ∴平行四边形ABCD是菱形； （2）解：∵四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O， ∴AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD， ∴OB3， 在Rt△AOB中，∠AOB＝90°， ∴OA， ∵CE⊥AB， ∴∠AEC＝90°， 在Rt△AEC中，∠AEC＝90°，O为AC中点， ∴4． 15．如图，△ABC中，AD是边BC上的高，CF是边AB上的中线，DC＝BF，点E是CF的中点． （1）求证：DE⊥CF； （2）求证：∠B＝2∠BCF． 【解答】证明：（1）连接DF， ∵AD是边BC上的高， ∴∠ADB＝90°， ∵点F是AB的中点， ∴DFAB＝BF， ∵DC＝BF， ∴DC＝DF， ∵点E是CF的中点． ∴DE⊥CF； （2）∵DC＝DF， ∴∠DFC＝∠DCF， ∴∠FDB＝∠DFC+∠DCF＝2∠DFC， ∵DF＝BF， ∴∠FDB＝∠B， ∴∠B＝2∠BCF． 16．如图，△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，BE∥AD，AE⊥AD． （1）求证：四边形ADBE是矩形； （2）作EF⊥AB于F，若BC＝4，AD＝3，求EF的长． 【解答】（1）证明：∵△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC， ∴AD⊥BC，∠ADB＝90°， ∵BE∥AD，AE⊥AD， ∴∠DBE＝90°，∠DAE＝90°， ∴四边形ADBE是矩形； （2）解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，BC＝4，AD＝3， ∴． 在直角三角形ABD中，由勾股定理得：． ∵四边形ADBE是矩形， ∴BE＝AD＝3，AE＝BD＝2． ∵， ∴． 17．如图，四边形AECF是菱形，对角线AC、EF交于点O，点D、B是对角线EF所在直线上两点，且DE＝BF，连接AD、AB、CD、CB，∠ADO＝45°． （1）求证：四边形ABCD是正方形； （2）若正方形ABCD的面积为72，BF＝4，求菱形AECF的面积． 【解答】（1）证明：∵菱形AECF的对角线AC和EF交于点O， ∴AC⊥EF，OA＝OC，OE＝OF， ∵DE＝BF， ∴BO＝DO， 又∵AC⊥BD， ∴四边形ABCD是菱形， ∵∠ADO＝45°， ∴∠DAO＝∠ADO＝45°， ∴AO＝DO， ∴AC＝BD， ∴四边形ABCD是正方形； （2）解：∵正方形ABCD的面积为72， ∴AC•BD＝72， ∴4BO2＝72， ∴BO＝DO＝CO＝AO＝6， ∴AC＝12， ∵BF＝4， ∴OF＝2， ∵四边形ABCD是菱形， ∴EF＝2EO＝2OF＝4，AC⊥EF， ∴菱形AFCE的面积AC•EF＝24． 18．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，过点A作AF∥BC，且AFBC，连接BF、BF，线段BF与AD相交于点E． （1）求证：E是AD的中点； （2）若AB⊥AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论． 【解答】（1）连接DF， ∵AD是BC边上的中线， ∴DBBC， ∵AFBC， ∴DB＝AF， 又∵AF∥BC， ∴四边形ABDF是平行四边形， ∴DE＝AE 即E是AD的中点； （2）四边形ADCF是菱形． ∵AD是BC边上的中线， ∴DCBC， ∵AFBC， ∴DC＝AF， 又∵AF∥BC， ∴四边形ADCF是平行四边形， 又∵AB⊥AC，AD是BC边上的中线， ∴ADBC＝CD， ∴四边形ADCF是菱形． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/9/8 8:30:45；用户：徐萍；邮箱：18669688085；学号：41110157 学科网（北京）股份有限公司 $