精品解析：单元培优训练（一）第一章和第二章2025-2026学年人教版（ 2024）七年级数学上册

2025－2026学年度七年级数学（人教版2024） 单元培优训练（一） 【范围：第一章有理数、第二章有理数的运算】 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） （正负数识别） 1. 在这些数，，，中，负数的个数是（ ） A 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 （绝对值的性质） 2. 下列说法正确的是（ ） A. 一个数的绝对值一定是正数 B. 绝对值相等的两个数一定相等 C. 负数的绝对值是它的相反数 D. 有理数的绝对值一定大于0 （绝对值的代数意义） 3. 已知，，且，则的值为（ ） A. 或 B. 8或2 C. 或2 D. 8或 （特殊数的概念） 4. 设a是最小的正整数，b是最大的负整数，c是绝对值最小的有理数，则a ＋ b ＋ c 等于（ ） A. －1 B. 0 C. 1 D. 2 （有理数四则运算） 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. （绝对值的非负性） 6. 点A，B在数轴上对应的数分别为a，b，且满足，则的值为（ ） A. B. 7 C. 3 D. （代数式的求值） 7. 若，互为相反数，，互为倒数，的绝对值是，则的值是（ ） A. B. C. D. （有理数混合运算） 8. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. （规律探究） 9. 观察下列等式：，，，，，…，则的个位数字是（ ） A. 3 B. 9 C. 7 D. 1 （数列规律） 10. 已知整数，，，，…满足下列条件：，，，，…，依次类推，则值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） （基本概念） 11. 的相反数是____，其绝对值是____，其倒数是____． （绝对值的代数应用） 12. 已知，，且，则值为______． （新定义运算） 13. 定义一种新运算“”，规定，则的值为______． （有理数混合运算） 14. 计算：______． （数轴与代数式估值） 15. 有理数a在数轴上的位置如图所示，下列各数中，在0到1之间的是________（填序号）． ①；②；③；④． （数学规律发现） 16. 观察下面的等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：；…… 根据以上规律，第n个等式为______． 三、解答题（本大题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） （数轴表示与大小比较） 17. 在如图数轴上表示下列各数：，，，，．并用“>”连接起来． （有理数混合运算） 18. 计算： （1） （2） （代数式求值） 19. 已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，x的绝对值是3，求的值． （实际应用题） 20. 某检修小组乘一辆检修车沿铁路检修，规定向东走为正，向西走为负，小组的出发地记为0，某天检修完毕时，行走记录（单位：千米）如下：． （1）问收工时，检修小组距出发地有多远？在出发地的东侧还是西侧？ （2）若检修车每千米耗油升，求从出发到收工共耗油多少升． （绝对值的代数应用） 21. 已知|a|=7，|b|=3，且a＜b，求a+b的值． （数轴上的动点问题） 22. 在数轴上，点、、分别表示有理数、、，且满足（m为常数）． （1）求a、b的值及c与m的关系； （2）若点P在数轴上表示的数为x，且P到A、B两点的距离之和为10，求x的值； （3）若，点Q从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，同时，点R从点C出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴负方向运动，设运动时间为t秒．当t为何值时，Q、R两点之间的距离与A、B两点之间的距离相等？ （数学探究与发现） 23. 观察下列等式：，，，… （1）想一想：等式左边各项幂的底数与右边幂的底数有什么关系？ （2）猜一猜：可以引出什么规律？（用等式表示） （3）用你发现的规律计算：的值． （数轴上的动点问题） 24. 点P从数轴上表示点开始向右运动，点Q从数轴上表示12的点开始向左运动，已知点P的速度是每秒3个单位长度，点Q的速度是每秒2个单位长度． （1）运动t秒后，用含t的式子表示点P和点Q所表示的数； （2）若点P和点Q同时出发，在运动过程中是否存在某一时刻，使得点P到原点O的距离是点Q到原点O的距离的2倍？若存在，求出此时点P表示的数；若不存在，请说明理由； （3）若点P先出发2秒后，点Q才开始出发，在点Q的运动过程中，是否存在某一时刻，使得？若存在，求出此时点P表示的数；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年度七年级数学（人教版2024） 单元培优训练（一） 【范围：第一章有理数、第二章有理数的运算】 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） （正负数识别） 1. 在这些数，，，中，负数的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了有理数的运算，负数的定义． 分别计算各数，再判断即可． 【详解】在这些数，，，中，负数的个数是，，共3个 故选：C （绝对值的性质） 2. 下列说法正确的是（ ） A. 一个数的绝对值一定是正数 B. 绝对值相等的两个数一定相等 C. 负数的绝对值是它的相反数 D. 有理数的绝对值一定大于0 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相反数和绝对值的相关概念． 根据绝对值的相关概念逐一判断即可． 【详解】A．一个数的绝对值一定是0或正数，原说法错误； B．绝对值相等的两个数相等或互为相反数，原说法错误； C．负数的绝对值是它的相反数，原说法正确； D．有理数的绝对值一定不小于0，原说法错误； 故选：C （绝对值的代数意义） 3. 已知，，且，则的值为（ ） A. 或 B. 8或2 C. 或2 D. 8或 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了有理数的加减法，求出、的值是解答本题的关键．根据绝对值的意义及，可得，的值，再根据有理数的减法，可得答案． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴，． 的值为或， 故选：． （特殊数的概念） 4. 设a是最小的正整数，b是最大的负整数，c是绝对值最小的有理数，则a ＋ b ＋ c 等于（ ） A. －1 B. 0 C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】最小的正整数是1，最大的负整数是－1，绝对值最小的有理数是0，根据代数式计算即可． 【详解】由题意得：a＝1，b＝－1，c＝0， 则a ＋ b ＋ c＝1＋（－1）＋0＝0， 故选B． 【点睛】此题考查了有理数的加减，此题的关键是知道最大的正整数是1，最大的负整数是－1，绝对值最小的有理数是0． （有理数四则运算） 5. 下列运算正确是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了有理数的加法法则． 根据有理数的加法法则逐一计算后判断即可． 【详解】解：A.，原计算错误 B.，原计算错误 C.，原计算错误 D.，原计算正确 故选：D （绝对值的非负性） 6. 点A，B在数轴上对应的数分别为a，b，且满足，则的值为（ ） A. B. 7 C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了绝对值的非负性，平方的非负性，求代数式的值． 根据绝对值的非负性，平方的非负性求出a，b的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ 故选：A （代数式的求值） 7. 若，互为相反数，，互为倒数，的绝对值是，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了绝对值，相反数，倒数等知识点的应用，直接利用相反数以及互为倒数的性质得出，，由的绝对值是，得，然后分类计算即可得出答案，解题的关键是掌握知识点的应用． 【详解】解：∵，互为相反数，，互为倒数， ∴，， ∵的绝对值是， ∴， 当时，原式； 当时，原式； 故的值为， 故选：． （有理数混合运算） 8. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了有理数的混合运算． 根据有理数混合运算的顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；有括号的要先算括号里面的，计算即可． 【详解】解： 故选：B． （规律探究） 9. 观察下列等式：，，，，，…，则的个位数字是（ ） A. 3 B. 9 C. 7 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查数字的规律探索，解题的关键是找出3的幂次的个位数字的循环规律． 先找出3的幂次的个位数字的循环规律，再用2026除以循环周期，根据余数判断的个位数字． 【详解】解：因为，，，，，…… 所以等式右边的数的个位数字依次以循环出现， 因为，所以的个位数字是9． 故选：B． （数列规律） 10. 已知整数，，，，…满足下列条件：，，，，…，依次类推，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查数字的变化规律，解题的关键是通过计算前几个数找出规律，再根据规律计算的值． 先依次计算出等的值，观察规律，再根据规律计算． 【详解】解：已知． ； ； ； ； ； …… 观察可得， ，（n为正整数）， 所以， 故选：B． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） （基本概念） 11. 的相反数是____，其绝对值是____，其倒数是____． 【答案】 ①. ②. ③. 【解析】 【分析】根据相反数、绝对值和倒数的定义：两个数只有符号不同，那么这两个数互为相反数，0的相反数是0；正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数；如果两个数的乘积为1，那么这两个数互为倒数，由此求解即可． 【详解】解：的相反数是； 的绝对值是； 的倒数是． 故答案为：；；． 【点睛】本题主要考查了相反数，绝对值，倒数，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． （绝对值的代数应用） 12. 已知，，且，则的值为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了绝对值的定义．由绝对值的定义，求出，由，且，求得，或，，即可求出的值． 【详解】解：，， ，， ， ，或，， 当，时，； 当，时，； 故答案为：或． （新定义运算） 13. 定义一种新运算“”，规定，则的值为______． 【答案】24 【解析】 【分析】本题考查新定义运算，解题的关键是根据新运算的规则，将数值代入进行计算． 根据新运算“”的定义，把代入该式进行计算． 【详解】解： ． 故答案为：24 （有理数混合运算） 14. 计算：______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握乘方运算、乘法运算的法则． 先分别计算乘方运算和乘法运算，再进行加法运算． 【详解】解：． 故答案为：3． （数轴与代数式估值） 15. 有理数a在数轴上的位置如图所示，下列各数中，在0到1之间的是________（填序号）． ①；②；③；④． 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】本题考查了数轴，绝对值，相反数的定义，用绝对值的定义去判断是解题的关键. 根据数轴得出，再逐个判断即可. 【详解】解：①根据数轴可知：， ， ，符合题意，故①正确； ②， ， ，符合题意，故②正确； ③ ， ， ，符合题意，故③正确； ④， ， ，符合题意，故④正确； 故答案为：①②③④. （数学规律发现） 16. 观察下面的等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：；…… 根据以上规律，第n个等式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查数字规律，解题的关键是得到一般规律；由第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；……；由此可得一般规律． 【详解】解：由第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；……； 可知：第n个等式为； 故答案为． 三、解答题（本大题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） （数轴表示与大小比较） 17. 在如图的数轴上表示下列各数：，，，，．并用“>”连接起来． 【答案】见解析， 【解析】 【分析】先在数轴上表示出各数，再根据数轴上的数右边比左边的大，比较大小即可． 【详解】解：，数轴上表示各数，如图： 由数轴可知：． 【点睛】本题考查用数轴表示有理数，利用数轴比较有理数的大小，化简多重符号和绝对值，正确化简各数是解答本题的关键． （有理数混合运算） 18. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握运算顺序和运算法则． （1）利用乘法分配律进行简便计算． （2）按照先算乘方，再算乘除，最后算加减的顺序，有绝对值的先算绝对值内的运算． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． （代数式求值） 19. 已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，x的绝对值是3，求的值． 【答案】7或13 【解析】 【分析】此题考查了代数式的求值．根据相反数、倒数、绝对值得到，分两种情况代入求值即可． 【详解】解：∵，互为相反数，，互为倒数，的绝对值是3， ∴， 当时， 当时， 综上可知，的值为7或13． （实际应用题） 20. 某检修小组乘一辆检修车沿铁路检修，规定向东走为正，向西走为负，小组的出发地记为0，某天检修完毕时，行走记录（单位：千米）如下：． （1）问收工时，检修小组距出发地有多远？在出发地的东侧还是西侧？ （2）若检修车每千米耗油升，求从出发到收工共耗油多少升． 【答案】（1）收工时，检修小组距出发地，在出发地东侧 （2）升 【解析】 【分析】本题考查数轴，正数与负数；理解正数与负数在实际问题中的意义，利用有理数加减进行准确运算是解题的关键． （1）根据正负数的加减运算法则即可求解； （2）耗油量可以根据行驶总路程与每千米耗油量的乘积求解． 【小问1详解】 解： ， 答：收工时，检修小组距出发地，在出发地东侧； 【小问2详解】 解： ， 升， 答：从出发到收工共耗油升． （绝对值的代数应用） 21. 已知|a|=7，|b|=3，且a＜b，求a+b的值． 【答案】﹣4或﹣10． 【解析】 【详解】试题分析：利用绝对值代数意义，以及a小于b求出a与b的值，即可确定出a+b的值． 试题解析：∵|a|=7，|b|=3，且a＜b，∴a=﹣7，b=3或﹣3，则a+b=﹣4或﹣10． （数轴上的动点问题） 22. 在数轴上，点、、分别表示有理数、、，且满足（m为常数）． （1）求a、b的值及c与m的关系； （2）若点P在数轴上表示的数为x，且P到A、B两点的距离之和为10，求x的值； （3）若，点Q从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，同时，点R从点C出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴负方向运动，设运动时间为t秒．当t为何值时，Q、R两点之间的距离与A、B两点之间的距离相等？ 【答案】（1） （2）或 （3）或 【解析】 【分析】本题考查绝对值、平方的非负性以及数轴上的动点问题，解题的关键是利用非负性求出字母的值，结合数轴上两点间距离公式列方程求解． （1）根据绝对值和平方数的非负性，几个非负数的和为0，则每个非负数都为0，从而求出、的值以及与的关系； （2）根据数轴上两点间距离公式，分情况讨论点的位置，列方程求解的值； （3）先确定的值，再根据动点运动速度和方向表示出运动t秒后、的位置，结合两点间距离公式列方程求解． 【小问1详解】 解：， ， 解得； 【小问2详解】 解：∵到A、两点的距离之和为10， 当时，，解得； 当时，10，无解； 当时，，解得， ∴的值为或； 【小问3详解】 解：∵、两点间的距离为， 点表示的数为，点表示的数为， ， ， 当，即时，，解得； 当，即时，，解得． ∴当或时，、两点之间的距离与、两点之间的距离相等． （数学探究与发现） 23. 观察下列等式：，，，… （1）想一想：等式左边各项幂的底数与右边幂的底数有什么关系？ （2）猜一猜：可以引出什么规律？（用等式表示） （3）用你发现的规律计算：的值． 【答案】（1）左边各项幂的底数是连续自然数，右边幂的底数是左边各项幂的底数之和 （2） （3）3025 【解析】 【分析】本题考查数字的变化规律，解题的关键是通过观察等式找出左边幂的底数与右边幂的底数的关系，进而总结出规律并应用规律计算． （1）分析等式左右两边幂的底数，找出它们之间的联系； （2）根据前面等式呈现的规律，归纳出通用的等式； （3）利用总结出的规律，代入运算得到结果． 【小问1详解】 解：观察等式可以得出：左边各项幂的底数是连续自然数，右边幂的底数是左边各项幂的底数之和． 【小问2详解】 解：可猜想规律为：（为正整数）． 【小问3详解】 解： ． （数轴上的动点问题） 24. 点P从数轴上表示的点开始向右运动，点Q从数轴上表示12的点开始向左运动，已知点P的速度是每秒3个单位长度，点Q的速度是每秒2个单位长度． （1）运动t秒后，用含t的式子表示点P和点Q所表示的数； （2）若点P和点Q同时出发，在运动过程中是否存在某一时刻，使得点P到原点O的距离是点Q到原点O的距离的2倍？若存在，求出此时点P表示的数；若不存在，请说明理由； （3）若点P先出发2秒后，点Q才开始出发，在点Q的运动过程中，是否存在某一时刻，使得？若存在，求出此时点P表示的数；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在，或 （3）存在，或 【解析】 【分析】此题考查数轴上的动点问题，两点间的距离，一元一次方程的应用等知识，根据题意正确列出方程是关键． （1）根据起始点和运动速度列出代数式即可； （2）点P到原点O的距离为，是点Q到原点O的距离为，点P到原点O的距离是点Q到原点O的距离的2倍，据此列出方程，解方程即可得到答案； （3）点P在点Q的运动后表示的数为，点Q表示的数为，根据列出方程，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意可得，运动t秒后，点P所表示的数为， 点Q所表示的数为； 【小问2详解】 解：∵点P到原点O的距离为，是点Q到原点O的距离为，点P到原点O的距离是点Q到原点O的距离的2倍， ∴， 即或 解得或 ∴或 ∴存在某一时刻，使得点P到原点O的距离是点Q到原点O的距离的2倍，此时点P表示的数为或 【小问3详解】 点P先出发2秒后，所表示的数为， 点P在点Q的运动后表示的数为，点Q表示的数为， 由题意可得， 即或， 解得或 当时，， 当时，， ∴存在某一时刻，使得，此时点P表示数为或 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $