第2章 一元二次方程（复习讲义）数学湘教版九年级上册

第2章 一元二次方程（复习讲义） 1.了解一元二次方程及有关概念； 2.掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程； 3. 会用一元二次方程根的判别式判别方程根的情况，由方程根的情况能确定方程中待定系数的取值范围； 4. 掌握一元二次方程的根与系数的关系以及在各类问题中的运用. 5. 通过分析具体问题中的数量关系，建立方程模型并解决实际问题，总结运用方程解决实际问题的一般步骤；通过列方程解应用题，进一步提高逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力. 知识点01：一元二次方程的有关概念 1. 一元二次方程的概念：通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程． 2. 一元二次方程的一般式： 3.一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根. 知识点02: 一元二次方程的解法 1．基本思想：一元二次方程一元一次方程 2．基本解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法． 知识点03：一元二次方程根的判别式 一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即 （1） 当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根； （2） （2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根； （3）当△<0时，一元二次方程没有实数根. 知识点04：一元二次方程的根与系数的关系 如果一元二次方程的两个实数根是，那么，.注意它的使用条件为a≠0， Δ≥0. 知识点05：列一元二次方程解应用题 1.列方程解实际问题的三个重要环节 一是整体地、系统地审题；二是把握问题中的等量关系；三是正确求解方程并检验解的合理性. 2.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系. 3.解决应用题的一般步骤 　　　审 (审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)； 　　　设 (设未知数，有时会用未知数表示相关的量)； 　　　列 (根据题目中的等量关系，列出方程)； 　　　解 (解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)； 验 (检验方程的解能否保证实际问题有意义）； 　　　答 (写出答案，切忌答非所问). 4.常见应用题型 　 平均变化率问题、利润(销售)问题、面积问题等. 题型一 一元二次方程的有关概念 【例1-1】（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、当时，方程不是一元二次方程，故本选项不符合题意； B、含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； C、是一元二次方程，故本选项符合题意； D、不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； 故选：C． 【例1-2】（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）把方程化成一般式，则，，的值分别是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【知识点】化成一元二次方程的一般式 【分析】根据一元二次方程的一般形式为，其中叫做一次项，叫作一次项系数，解答即可． 本题考查了一元二次方程的一般形式及其相关概念，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：由， 得， ∴，，的值分别是，，， 故选：D． 【例1-3】（24-25九年级上·贵州六盘水·期末）若关于的一元二次方程满足，则该一元二次方程的根是（　　） A．1，2 B．1，0 C．，0 D．1 【答案】D 【详解】解：∵， ∴当时，；当时，， ∴方程的根是或， 故选：D． 【例1-4】（24-25九年级上·陕西宝鸡·阶段练习）根据下表判断方程的一个解的取值范围是（    ） … … … … A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵当时，， 当时，， ∴当时，一定有一个x对应的值，使得， ∴一元二次方程的一个解x的取值范围是， 故选：B． 【变式1-1】（24-25九年级上·湖南益阳·阶段练习）关于x的方程是一元二次方程，则（   ） A．2或 B．2 C． D．0 【答案】B 【详解】解：由题意可知：，且， 所以且．所以． 故选：B． 【变式1-2】（24-25九年级上·贵州遵义·期中）关于的方程，下列说法错误的是（   ） A．二次项系数为1 B．一次项系数为 C．常数项为0 D．它是一元二次方程 【答案】C 【详解】解：方程是一元二次方程，二次项系数是，一次项系数是，常数项是， 则说法错误的是C， 故选：C． 【变式1-3】（24-25九年级上·山东滨州·期末）若是方程的一个根，则 【答案】 【详解】解：是方程的一个根， ， ， ． 故答案为：2024 题型二 直接开平方法解一元二次方程 【例2】（24-25九年级上·广东肇庆·期中）方程的解是（   ） A． B． C． D．没有实数根 【答案】C 移项，然后利用直接开平方法解一元二次方程即可． 【详解】解：， ， ． 故选：C． 【变式2-1】（24-25九年级上·湖南岳阳·阶段练习）一元二次方程的解为：（　　） A． B． C． D．无实数解 【答案】B 【详解】解：， ， ∴， 故选：B． 【变式2-2】（24-25九年级上·吉林·期中）用适当方法解方程： 【答案】 【详解】解： ， ， ∴． 题型三 配方法解一元二次方程 【例3-1】（24-25九年级上·甘肃天水·期末）解方程：． 【答案】 【详解】解： 配方得： 即 开方得： 【例3-2】（24-25九年级上·北京·期末）解方程：． 【答案】 【详解】解： ， ∴． 【变式3-1】（23-24九年级上·甘肃兰州·期末）将方程配方后，原方程变形为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：， ， ， ∴； 故选D． 【变式3-2】（24-25九年级上·辽宁丹东·阶段练习）用配方法解下列方程： 【答案】， 【详解】解： ∴ 则 ∴ 开平方得到， ∴， 【变式3-3】（24-25九年级上·湖南岳阳·阶段练习）（过程纠错改错）下面是小君同学解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：二次项系数化为，得，第一步 配方，得，……第二步 变形，得，……………… 第三步 开方，得，………………… 第四步 解得，．…………… 第五步 (1)上面小君同学的解法中运用“配方法”将该一元二次方程“降次”为两个一元一次方程，体现了转化思想，其中“配方法”依据的一个数学公式是___________； (2)上面小君同学的解题过程中，从第___________步开始出现错误，写出正确的解答过程． 【详解】（1）解：上面小君同学的解法中运用“配方法”将该一元二次方程“降次”为两个一元一次方程，体现了转化思想，其中“配方法”依据的一个数学公式是完全平方公式； 故答案为：完全平方公式； （2）上面小君同学的解题过程中，从第二步开始出现错误，写出正确的解答过程如下： 正确过程如下： ， 解：移项，得：， 二次项系数化为，得：， 配方，得：， 变形，得：， 开方，得∶， 解得∶，． 题型四 公式法解一元二次方程 【例4】（24-25九年级上·吉林·期中）用合适的方法解方程：． 【答案】． 【详解】解：， ， ∴，． 【变式4-1】（23-24九年级上·甘肃兰州·期末）用公式法解一元二次方程： 【答案】 【详解】解： 化为一般式得：， 则， ∴， ∴， 解得． 【变式4-2】（24-25九年级上·辽宁丹东·阶段练习）用公式法解下列方程： 【答案】， 【详解】解：， ∴， 方程中的，，， 方程根的判别式， ∴， 则方程的解为，． 【变式4-3】（24-25九年级上·福建三明·阶段练习）解方程：（公式法） 【答案】， 【详解】解： ，， ∴ ∴ 解得，． 题型五 因式分解法解一元二次方程 【例5】（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）解方程： (1)； (2)． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴或， 解得：，； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得：，． 【变式5-1】（24-25九年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）解方程： 【详解】解： 或 解得：，． 【变式5-2】（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）解方程 (1) (2) 【详解】（1）解：， 因式分解得：， ∴或， 解得：，； （2）解：， 因式分解得：， ∴或， 解得：，． 【变式5-3】（24-25九年级上·广东肇庆·阶段练习）解方程： (1) (2) 【详解】（1）解： 或 解得，； （2）解： 或 解得，． 题型六 一元二次方程根的判别式 【例6-1】（24-25九年级上·广东河源·期末）关于的方程根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．只有1个实数根 【答案】B 【详解】解：∵一元二次方程中，， ∴， ∴这个一元二次方程有两个相等的实数根. 故选：B. 【例6-2】（24-25九年级上·辽宁葫芦岛·阶段练习）如果关于x的一元二次方程有两个不等实数根，那么k的取值范围是 ． 【答案】且 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不等实数根， ∴且， ∴， ∴且． 故答案为：且． 【变式6-1】（25-26九年级上·山东日照·开学考试）已知关于x的一元二次方程有实数根，求k的取值范围 ． 【答案】且 【详解】解：∵关于x的一元二次方程， ∴， ∴， ∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴， 解得， ∴k的取值范围为且． 故答案为：且． 【变式6-2】（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知：关于的一元二次方程． (1)求证：无论为何值，方程总有两个实数根； (2)若为方程的一个根，求的值及方程的另一个根． 【详解】（1）证明：由题意得， ， ∵， ∴， ∴无论为何值，方程总有两个实数根； （2）解：∵为方程的一个根， ∴， 解得， ∴原方程为， 解得或， ∴原方程的另一个根为． 【变式6-3】（24-25九年级上·四川巴中·期中）已知关于x的一元二次方程：． (1)求证：这个方程总有两个实数根． (2)若等腰的一边长，另两边b、c恰好是这个方程的两个实数根，求的周长． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴无论m取何值，方程总有两个实数根； （2）解：当腰长为2时，则可知方程有一个实数根为2， ∴，解得， ∴方程为，解得或， ∴三角形的三边长为，满足题意， ∴三角形的周长为； 当底边长为2时，则可知方程有两个相等的实数根， ∴，解得， 方程为，解得， ∴三角形的三边长为，，不满足题意． 综上，的周长为． 题型七 一元二次方程的根与系数的关系 【例7-1】（23-24九年级上·安徽芜湖·阶段练习）关于x的一元二次方程的两个根是，则的值为（   ） A．8 B． C． D．2 【答案】A 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的两个根是， ∴，， ∴， 故选：A． 【例7-2】（24-25九年级上·广东肇庆·期中）【知识技能】 材料：若关于的一元二次方程的两个根为，，则，． 材料：已知一元二次方程的两个实数根分别为，，求的值． 解：∵一元二次方程的两个实数根分别为，，∴，， 则． 【数学理解】 （1）一元二次方程的两个根为，，则_____，______． 【拓展探索】 （2）已知一元二次方程的两根分别为，，求的值． （3）已知实数，满足，，且，求的值． 【详解】解：（）根据根与系数的关系得，； 故答案为：，； （）根据根与系数的关系得，， ∴ ； （）∵实数，满足，，且， ∴、可看作方程的两根， ∴，， ∴ ， ∴． 【变式7-1】（24-25九年级上·福建福州·期末）若实数，满足，，，且，则 ． 【答案】 【详解】解：， ， ， ， ， 实数，可以看作方程的两个根， ； 故答案为：． 【变式7-2】（24-25九年级上·福建三明·期中）小影与小冬一起写作业，在解一道二次项系数为1的一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是6和1；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是和．原来的方程是 ． 【答案】 ∵小影在化简过程中写错了常数项，得到方程的两个根是6和1； ∴，即， 又∵小冬写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是． ∴， 原来的方程是， 故答案为： 【变式7-3】（24-25九年级上·贵州黔西·期末）已知是方程的两个根，求下列代数式的值． (1)； (2)． 【详解】（1）解：因为是方程的两个根， 所以，， ． （2）解：因为是方程的两个根， 所以，， ． 题型八 换元法解一元二次方程 【例8-1】（24-25九年级下·四川资阳·阶段练习）已知，求的值． 【答案】3 【详解】解：设，则原方程等价于， ∴， 解得或（不符合题意，舍取）， ∴． 【例8-2】（24-25九年级上·全国·阶段练习）阅读下列材料，并用相关的思想方法解决问题． 材料：为解方程，可将方程变形为， 然后设，则，原方程化为， 解得，， 当时，无意义，舍去； 当时，，解得； 所以原方程的解为或． 问题： (1)已知方程，若设，则原方程化为一般式为　　　　　； (2)利用以上学习到的方法解下面方程： 【详解】（1）解：根据题意可得，化为一般式为， 故答案为：； （2）解：设，则原方程化为， 整理，得，解得或， 当时，即，解得或 当时，即，方程无解； 综上所述，原方程的解为或． 【变式8-1】（24-25九年级上·河北唐山·阶段练习）关于x的方程的解是，，则方程的解是（   ） A．， B．， C．， D．无实数解 【答案】B 【详解】解：∵原方程 的解为 ，， ∴令新方程 中的 ，则方程变为 ，与原方程形式相同， ∴新方程的 解与原方程的 解相同，即 或 ， ∴ 或， ∴此时新方程解得 或 ； 故选：B ． 【变式8-2】（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）解方程时，我们可以将看成一个整体，设，则原方程可化为，解得，，当时，即，解得；当时，即，解得．所以原方程的解为，． 请利用这种方法解方程：． 【详解】解：设， 则原方程可化为，即， 解得，， 当时，，即， ∵， ∴此方程无实数根，舍去； 当时， ，即， 解得，， ∴原方程的解为，． 【变式8-3】（24-25九年级上·河南商丘·期中）阅读材料： 为了解方程，我们可以将看作一个整体，设，那么原方程可化为，解得，． 当时，，∴，∴； 当时，，∴，∴． 故原方程的解为，，，． 解答问题： 请利用以上知识解方程：． 【详解】解：设，那么原方程可化为， 解得，． 当时，，即． ∵，，，， ∴此一元二次方程无解． 当时，，即． ∵，，，， ∴， 故原方程的解为，． 题型九 一元二次方程的应用 【例9-1】（24-25九年级上·广东韶关·期中）如图，行之实验学校计划用的围栏靠墙围成一个面积为的矩形小游戏乐园（墙长为），设与墙垂直的边长为，试求的值． 【详解】解：由题意，矩形的长为， ∴， 解得：， 当时，，不合题意，舍去； 当时，，符合题意； 故． 【例9-2】（24-25九年级上·广东中山·阶段练习）如图是某月的日历，小明说：他用一个平行四边形框，框出6个数字，其中最小数与最大数的积是 144，请求出最小数与最大数分别是多少．    【详解】解：设最小数为x，根据题意，得到最大数为， ∴， 解得（舍去）． 故最小数为8，最大数为18． 【例9-3】（24-25九年级上·河南安阳·阶段练习）有一个人患了某种传染病，经过两轮传染后共有81人患病． (1)每轮平均1个人会感染几人？ (2)若病毒得不到有效控制，三轮感染后，患病的人数会不会超过700人？ 【详解】（1）解：设每轮传染中平均一个人传染x个人， 根据题意得：， 整理，得：， 解得：，不合题意，舍去 答：每轮传染中平均一个人传染8个人． （2） 三轮感染后，患病的人数为（人 ∵， 患病的人数会超过700人． 答：患病的人数会超过700人 【例9-4】（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）某网店为了弘扬航天精神，致敬航天人，特推出“神舟十八号”模型．今年9月份的销售量是件，11月份的销售量是720件． (1)若该网店9月份到11月份销售量的月平均增长率都相同，求月平均增长率； (2)市场调查发现，该网店“神舟十八号”模型的进价为每件元，若售价为每件元，每天能销售件，售价每降价元，每天可多售出件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该模型每天获利元，则售价应降低多少元？ 【详解】（1）解：设月平均增长率为， 由题意得：， 解得或（不符合题意，舍去）， 答：月平均增长率为． （2）解：设售价应降低元， 由题意得：， 整理得：， 解得或， ∵商家决定降价促销，同时尽量减少库存， ∴， 答：售价应降低20元． 【例9-5】（24-25九年级上·江西赣州·阶段练习）如图，在直角梯形中，，，，，，动点、分别从点、同时出发，点以的速度向点移动，点以的速度向点移动，当一个动点到达终点时另一个动点也随之停止运动． (1)经过几秒钟，点、之间的距离为？ (2)连接，是否存在某一时刻，使得恰好平分？若存在，求出此时的移动时间；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）解：如图．过A作于E，过点P作于F， ∵，， ∴， ∴四边形、四边形是矩形， ∴，，， 在中，，， ∴， 由题意，，，， 在中，，， 由得， ∴，（不合题意舍去）． 答：经过秒钟，点、之间的距离为； （2）解：假设存在t值，使得恰好平分，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得，， ∵， ∴两个解都不符合题意， 故不存在某个时刻，使得恰好平分． 【变式9-1】（24-25九年级上·吉林·期末）某中学的初三篮球赛中，参赛的每两支球队之间都要进行一场比赛，共比赛21场，求参加比赛的球队有多少支？ 【详解】解：设参加比赛的球队有x支，由题意得： 解得：（不合题意舍去）， 答：参加比赛的球队有7支． 【变式9-2】（24-25九年级下·辽宁抚顺·阶段练习）在巴黎奥运会乒乓球混双决赛中，中国组合王楚钦和孙颖莎击败朝鲜组合夺冠，这是中国乒乓球队历史上首枚奥运混双金牌，填补了国乒在奥运会混双项目上的空白，标志着中国乒乓球在奥运项目上的全面覆盖． (1)据市场调研发现，某体育用品店近几个月的乒乓球拍销售量逐月提升，已知月共销售乒乓球拍副，每月的月销售增长率相同，月共销售副，求该乒乓球拍月份到月份销售量的月平均增长率． (2)已知某体育用品店乒乓球拍平均每天可销售副，每副盈利元，每下降元，则每天可多售副，该乒乓球拍的日销售利润能否达到元？如果能，请求出每副乒乓球拍的售价；如果不能，请说明理由． 【详解】（1）解：设该乒乓球拍月份到月份销售量的月平均增长率为． 根据题意，得． 解得或（不合题意，舍去）． 答：该乒乓球拍月份到月份销售量的月平均增长率为． （2）解：不能．理由如下： 设每副乒乓球拍降价元，则每副乒乓球拍盈利元，平均每天可售出副． 根据题意，得． 整理得． , 此方程无解． 日销售利润不能达到元． 【变式9-3】（24-25九年级上·河南周口·期末）某超市以每箱25元的进价购进一批龙眼．当该龙眼的售价为40元/箱时，七月销售250箱，八、九月该龙眼十分畅销，销量持续上涨，在售价不变的基础上，九月的销量达到360箱． (1)若七月份到九月份的月平均增长率都相同，求这两个月的月平均增长率． (2)十月份该超市为了减少库存，开始降价促销．经调查发现，该龙眼每箱每降价1元，月销量在九月销量的基础上增加5箱．当龙眼每箱降价多少元时，该超市十月可获利元? 【详解】（1）解：设七月份到九月份的月平均增长率为， 依题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：七月份到九月份的月平均增长率为． （2）设龙眼每箱降价元，则每箱盈利元，月销售量为箱， 依题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：当龙眼每箱降价元时，该超市十月可获利元． 【变式9-4】（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，利用一面墙（墙长25米），用总长度49米的栅栏（图中实线部分）围成一个矩形围栏，且中间共留两个1米的小门，设栅栏长为米． (1)________米（用含的代数式表示）； (2)若矩形围栏面积为210平方米，求栅栏的长； (3)矩形围栏面积是否有可能达到270平方米？若有可能，求出相应的值；若不可能，则说明理由． 【详解】（1）解：设栅栏长为x米， ∵栅栏的全长为49米，且中间共留两个1米的小门， ∴米， 故答案为：； （2）解：依题意，得：， 整理，得：， 解得：，． 当时，，不合题意，舍去， 当时，，符合题意， 答：栅栏的长为10米； （3）解：不可能，理由如下： 依题意，得：， 整理得：， ∵， ∴方程没有实数根， ∴矩形围栏面积不可能达到270平方米． 【变式9-5】（24-25九年级上·黑龙江双鸭山·期末）如图所示的是2025年1月的日历表，用虚线方框按如图所示的方法任意圈出四个数，请解答下列问题． (1)若虚线方框中最大数与最小数的乘积为180，求最小数． (2)虚线方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为80吗？若能，请求出最小数；若不能，请说明理由． 【详解】（1）解：设最小数为，则最大数为， 由题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去），， 从日历表中可以看出10是第二行第6个数，符合要求， 答：最小数为10； （2）解：方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为80，理由如下： 设最小数为，则另外三个数分别是，，， 由题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去），， 在最后一列， 假设不成立， 即方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为80． 【变式9-6】（24-25九年级上·湖南湘西·期末）根据表中的素材，探索完成任务． 素材 智能化，对某款车型的零部件进行一体化加工，生产效率提升，该零件4月份生产个，月份生产个． 素材 该厂生产的零件成本为元/个，销售一段时间后发现，当零件售价为元时，月销售量为个，若在此基础上售价每上涨元，则月销售量将减少个． 问题解决 任务 求该车间月份到月份生产数量的平均增长率． 任务 为使月销售利润达到元，而且尽可能让车企得到实惠，则该零件的实际售价应定为多少元？ 【详解】解：任务：设该车间月份到月份生产数量的平均增长率为， 由题意得，， 解得，（不合，舍去）， 答：该车间月份到月份生产数量的平均增长率为； 任务：设该零件的实际售价应定为元， 由题意得，， 整理得，， 解得，， ∵要尽可能让车企得到实惠， ∴， 答：该零件的实际售价应定为元． 【变式9-7】（24-25九年级上·四川绵阳·期中）某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售2250个，7月份销售3240个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相同．请解决下列问题． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)某工厂已建有一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能是900个/天，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/天，现该厂要保证每天生产头盔3900个，应该增加几条生产线？ 【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x． 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月增长率为． （2）解：设增加x条生产线． ， 解得，， 答：增加4条或条生产线． 【变式9-8】（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，如果、两点同时出发，设运动时间为秒． (1)当为何值时，为等腰三角形？ (2)是否存在某时刻，使线段恰好把的面积平分？若存在，求此时的值；若不存在，请说明理由； (3)当为何值时，、间的距离等于？ 【详解】（1）解：依题意得，，， 则， 当为等腰三角形时，只有， ， 解得， 即当时，为等腰三角形； （2）不存在，理由如下： 依题意得，， ， ， ， 方程无实根， 不存在某时刻，使线段恰好把的面积平分； （3），， ， ， 化简得：， 解得或， ∵ ∴不符合题意，舍去 故时，、间的距离等于． 基础巩固通关测 一、单选题 1．（24-25九年级上·福建漳州·期中）下列方程中，一定是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】A、：当时，方程变为一次方程，因此不一定是一元二次方程，不符合题意； B、：移项整理为，满足只含一个未知数且最高次数为2，二次项系数，为一元二次方程，符合题意； C、：未知数最高次数为3，是三次方程，不符合题意； D、：含有两个未知数和，是二元方程，不符合题意； 故选：B． 2．（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）一元二次方程中二次项系数是（   ） A．4 B．1 C． D．3 【答案】A 【详解】解：，对应标准形式可知：二次项为，其系数为4． 故选：A． 3．（24-25九年级上·河南驻马店·期末）已知关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（    ） A． B． C．且 D． 【答案】B 【详解】解：当时，方程为，有实数根， 当时， ∵关于x的方程有实数根， ∴， 解得：， 综上，k的取值范围是， 故选：B． 4．（24-25九年级上·广东东莞·期末）一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 【答案】C 【详解】解：在方程中，，，， ∴， ∴该方程无实数解， 故选：C． 5．（22-23九年级上·湖南岳阳·期末）把方程化成的形式，则（   ） A．17 B．14 C．11 D．7 【答案】A 【详解】解： ∴ ∴ ∴ ， 故选A． 6．（24-25九年级上·全国·期末）一元二次方程有一根是，则是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵一元二次方程有一根是， ∴ ∴， 故选：． 7．（23-24九年级上·陕西渭南·期末）若是一元二次方程的两个实数根，则的值为（   ） A．5 B． C．1 D． 【答案】B 【详解】解：在方程中，， 故选：B． 8．（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）如下是小明在解方程时的过程．他在解答过程中开始出错的步骤是（    ） ① ② ③ ④ A．第①步 B．第②步 C．第③步 D．第④步 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， ∴， 则，即， ∴， ∴，． ∴他在解答过程中开始出错的步骤是第③步， 故选：C． 二、填空题 9．（23-24九年级上·广东湛江·期末）方程的解为 ． 【答案】 【详解】解：， ∴或， ∴， 故答案为：． 10．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）一元二次方程的根是 ． 【答案】 【详解】解：， ∴， ∴， ∴或， 解得：， 故答案为：． 11．（24-25九年级上·河南郑州·阶段练习）若是一元二次方程的两个根，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：∵ 方程中，，是一元二次方程的两个根， ∴ 故答案为：． 12．（24-25九年级上·河南开封·期末）若是关于x的一元二次方程的一个根，则 ． 【答案】 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程的一个根， ∴， ∴． 故答案为： 13．（25-26九年级上·吉林长春·开学考试）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， 故答案为：． 14．（24-25九年级上·河南开封·期末）2023年我国低空经济的市场规模为0.5万亿元，根据中国民航局的数据预测，到2025年，我国低空经济的市场规模将达到1.5万亿元．若设这两年低空经济市场规模年平均增长率为x，则根据题意可列方程为 ． 【答案】 【详解】解：根据题意，得． 故答案为：． 三、解答题 15．（24-25九年级上·湖北孝感·阶段练习）用适合的方法解下列方程： (1)； (2) 【详解】（1）解：， ∴， 解得：，； （2）解：， ， ∴或， 解得：，． 16．（24-25九年级上·福建厦门·阶段练习）解方程． (1) (2) 【详解】（1）解： ， ， ∴或， ∴，． （2） ，． 17．（24-25九年级上·四川德阳·期末）解方程： (1)； (2)； 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 或， ，． （2）， 移项，得， 这里，，，． ． ，． 18．（24-25九年级上·四川资阳·期中）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，． (1)求m的取值范围； (2)当时，求m的值． 【详解】（1）解：由题意得，，且 ∴且； （2）由题意得，，， ∵， ∴，即， 整理得：， 解得：或（舍）， ∴． 19．（24-25九年级上·河南驻马店·期末）在一次公司年会上，每两个参加会议的人都互相握了一次手，一共握了36次手．求这次会议到会的人数． 【详解】解：设这次会议到会的人数为x人， 由题意得，， 整理得， 解得或（舍去）， 答：这次会议到会的人数为9人． 能力提升进阶练 一、单选题 1．（24-25九年级上·河北保定·期末）若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【详解】解：∵为一元二次方程， ∴， ∵该一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得， ∴且， 故选：D． 2．（24-25九年级上·全国·期中）已知 是方程 的根，则代数式 的值为（   ） A． B．2 021 C． D．2 022 【答案】C 【详解】解：∵m是方程的根， ∴， ∴． ∴ 故选C． 3．（24-25九年级上·吉林·期中）若关于x的一元二次方程：没有实数根，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：原方程移项得， 其中，，， ∴， ∵关于x的一元二次方程：没有实数根， ∴，即， 解得， 故选：A． 4．（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为．求车道的宽度（单位：）．设停车场内车道的宽度为，根据题意所列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：若设停车场内车道的宽度为，则停车位（图中阴影部分）可合成长为，宽为的矩形， 根据题意得：， 故选：C． 二、填空题 5．（24-25九年级上·湖南株洲·期末）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为 【答案】 【详解】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ， 解得：， 故答案为：． 6．（24-25九年级上·全国·期中）已知方程有实数根，则k的取值范围是 【答案】 【详解】解：当时，原方程为，解得，满足题意； 当时，原方程可化为 由题意得：，解得：； 综上所述：， 故答案为：． 7．（24-25九年级上·湖南株洲·期末）已知方程的两根分别为，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：方程的两根分别为，， ，， ． 故答案为：． 8．（24-25九年级上·河北唐山·期末）如图，在一块长、宽的矩形空地上修建同样宽的且互相垂直的两条道路，剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积为．设道路的宽为，根据题意，可列方程： 【答案】 【详解】解：∵道路的宽应为， ∴由题意得，， 故答案为：． 三、解答题 9．（24-25九年级上·宁夏银川·期中）解方程： (1)（用配方法）； (2)（用公式法）； (3)； (4) ． 【详解】（1）解：， ， ， ， ∴， 解得，； （2）解：， ， ∵，，， ∴， ∴， ∴，； （3）解：， ， ， ∴或， 解得：，； （4）解：， ∵，，， ∴， ∴， ∴，； 10．（24-25九年级上·全国·期末）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围． (2)设，是方程的两个根且，求的值 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：且， ∴的取值范围为且； （2）∵，是一元二次方程的两个根， ∴，， ∵， ∴， ∴①， 整理，得：， 解得：，， 经检验，，都是方程①的解， 由（1）知：且， 则不符合题意，舍去， ∴， 即的值为． 11．（24-25九年级上·福建泉州·期末）已知实数、、，且． (1)若、、分别是关于的一元二次方程二次项系数，一次项系数和常数项，由公式法解得方程的根为，求证：； (2)若，，求的最小值． 【详解】（1）证明：∵、、分别是关于的一元二次方程二次项系数，一次项系数和常数项， 而一元的根为， 又∵， ∴，或 ∴，，（舍）或，，， ∴； （2）解：∵， ∴ ∵ ∴， 整理得，， 将其看成关于的一元二次方程，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为2． 12．（24-25九年级上·全国·期末）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为，由题意，得：， 解得：或（舍去）； 答：该品牌头盔销售量的月增长率为； （2）设该品牌头盔的实际售价应定为元/个，由题意，得： ， 解得：， ∵尽可能让顾客得到实惠， ∴； 答：该品牌头盔的实际售价应定为元/个． 13．（24-25九年级上·四川成都·期末）小明妈妈的花卉超市以15元/盆的价格新购进了某种盆栽花卉，为了确定售价，小明帮妈妈调查了附近A，B，C，D，E五家花卉店近期该种盆栽花卉的售价与日销售量情况，记录如下表： A B C D E 售价（元/盆） 20 30 18 22 26 日销售量(盆) 50 30 54 46 38 (1)请根据以上数据，求出日销售量(盆)与售价（元/盆）间的关系式； (2)根据以上信息，小明妈妈在销售该种花卉中，当售价定为多少时，每天能够获得利润450元？ 【详解】（1）解：（1）根据销售单价从小到大对应排列得下表： 售价元/盆 18 20 22 26 30 日销售量盆 54 50 46 38 30 观察表格可知销售量是售价的一次函数； 设销售量为盆，售价为元， 日销售量(盆)与售价（元/盆）间的关系式为， 把，代入得， 解得， 日销售量（盆与售价（元盆）间的关系式； （2）解：根据题意得：， 解得， 小明妈妈在销售该种花卉中，当售价定为30元时，每天能够获得利润450元． 14．（24-25九年级上·重庆开州·期末）智能机器人的广泛应用是智慧农业的发展趋势之一．某品牌苹果采摘机器人平均每秒可以完成范围内苹果的识别，并自动对成熟的苹果进行采摘，它的一个机械手平均可以采摘一个苹果，已知采摘工人平均可以采摘一个苹果． (1)一定范围内的苹果被机器人识别，机器人采摘比工人采摘多用了，求这个范围内的苹果有多少个？ (2)为了提高了工作效率，公司为该智能机器人搭载了个机械手，升级了智能机器人的操作系统，测得每个机械手平均每秒可摘个苹果，据统计，该智能机器人工作采摘的苹果数量与个采摘工人工作小时采摘的苹果数量相等，求的值． 【详解】（1）解：设这个范围内的苹果有个， 由题意得：， 解得：； 答：这个范围内的苹果有个； （2）解：由题意得， ， 解得：（舍去），， ∴的值为． 15．（24-25九年级上·贵州毕节·期末）如图，某农户准备利用墙面（墙面足够长），用长的栅栏围一个矩形羊圈和一个边长为的正方形狗屋（图中阴影部分为羊的活动范围）．设． (1)的长为___________m；（用含的代数式表示） (2)若羊的活动范围的面积为，求的长； (3)羊的活动范围的面积能否为？若能，求出此时的长；若不能，请说明理由． 【详解】（1）解：依题意得，， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：依题意得：羊的活动范围的面积为， ∴，即， 解得， ∴的长为或； （3）解：羊的活动范围的面积不能为．理由如下， 依题意得：，即， ∵， ∴羊的活动范围的面积不能为． 16．（24-25九年级上·江苏盐城·期末）在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒（）． (1)当为何值时，的长度等于？ (2)是否存在的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）解：由题意得：,，则， 由勾股定理可得：，即， 解得：（不符合题意，舍去），； 当秒时，的长度等于； （2）解：存在秒，能够使得五边形的面积等于．理由如下： 由题意可得：矩形的面积是：，， ∵使得五边形的面积等于， ∴的面积为， ∴， 解得：，， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 即当秒时，使得五边形的面积等于． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章 一元二次方程（复习讲义） 1.了解一元二次方程及有关概念； 2.掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程； 3. 会用一元二次方程根的判别式判别方程根的情况，由方程根的情况能确定方程中待定系数的取值范围； 4. 掌握一元二次方程的根与系数的关系以及在各类问题中的运用. 5. 通过分析具体问题中的数量关系，建立方程模型并解决实际问题，总结运用方程解决实际问题的一般步骤；通过列方程解应用题，进一步提高逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力. 知识点01：一元二次方程的有关概念 1. 一元二次方程的概念：通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程． 2. 一元二次方程的一般式： 3.一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根. 知识点02: 一元二次方程的解法 1．基本思想：一元二次方程一元一次方程 2．基本解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法． 知识点03：一元二次方程根的判别式 一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即 （1） 当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根； （2） （2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根； （3）当△<0时，一元二次方程没有实数根. 知识点04：一元二次方程的根与系数的关系 如果一元二次方程的两个实数根是，那么，.注意它的使用条件为a≠0， Δ≥0. 知识点05：列一元二次方程解应用题 1.列方程解实际问题的三个重要环节 一是整体地、系统地审题；二是把握问题中的等量关系；三是正确求解方程并检验解的合理性. 2.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系. 3.解决应用题的一般步骤 　　　审 (审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)； 　　　设 (设未知数，有时会用未知数表示相关的量)； 　　　列 (根据题目中的等量关系，列出方程)； 　　　解 (解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)； 验 (检验方程的解能否保证实际问题有意义）； 　　　答 (写出答案，切忌答非所问). 4.常见应用题型 　 平均变化率问题、利润(销售)问题、面积问题等. 题型一 一元二次方程的有关概念 【例1-1】（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【例1-2】（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）把方程化成一般式，则，，的值分别是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【例1-3】（24-25九年级上·贵州六盘水·期末）若关于的一元二次方程满足，则该一元二次方程的根是（　　） A．1，2 B．1，0 C．，0 D．1 【例1-4】（24-25九年级上·陕西宝鸡·阶段练习）根据下表判断方程的一个解的取值范围是（    ） … … … … A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25九年级上·湖南益阳·阶段练习）关于x的方程是一元二次方程，则（   ） A．2或 B．2 C． D．0 【变式1-2】（24-25九年级上·贵州遵义·期中）关于的方程，下列说法错误的是（   ） A．二次项系数为1 B．一次项系数为 C．常数项为0 D．它是一元二次方程 【变式1-3】（24-25九年级上·山东滨州·期末）若是方程的一个根，则 题型二 直接开平方法解一元二次方程 【例2】（24-25九年级上·广东肇庆·期中）方程的解是（   ） A． B． C． D．没有实数根 【变式2-1】（24-25九年级上·湖南岳阳·阶段练习）一元二次方程的解为：（　　） A． B． C． D．无实数解 【变式2-2】（24-25九年级上·吉林·期中）用适当方法解方程： 题型三 配方法解一元二次方程 【例3-1】（24-25九年级上·甘肃天水·期末）解方程：． 【例3-2】（24-25九年级上·北京·期末）解方程：． 【变式3-1】（23-24九年级上·甘肃兰州·期末）将方程配方后，原方程变形为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25九年级上·辽宁丹东·阶段练习）用配方法解下列方程： 【变式3-3】（24-25九年级上·湖南岳阳·阶段练习）（过程纠错改错）下面是小君同学解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：二次项系数化为，得，第一步 配方，得，……第二步 变形，得，……………… 第三步 开方，得，………………… 第四步 解得，．…………… 第五步 (1)上面小君同学的解法中运用“配方法”将该一元二次方程“降次”为两个一元一次方程，体现了转化思想，其中“配方法”依据的一个数学公式是___________； (2)上面小君同学的解题过程中，从第___________步开始出现错误，写出正确的解答过程． 题型四 公式法解一元二次方程 【例4】（24-25九年级上·吉林·期中）用合适的方法解方程：． 【变式4-1】（23-24九年级上·甘肃兰州·期末）用公式法解一元二次方程： 【变式4-2】（24-25九年级上·辽宁丹东·阶段练习）用公式法解下列方程： 【变式4-3】（24-25九年级上·福建三明·阶段练习）解方程：（公式法） 题型五 因式分解法解一元二次方程 【例5】（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）解方程： (1)； (2)． 【变式5-1】（24-25九年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）解方程： 【变式5-2】（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）解方程 (1) (2) 【变式5-3】（24-25九年级上·广东肇庆·阶段练习）解方程： (1) (2) 题型六 一元二次方程根的判别式 【例6-1】（24-25九年级上·广东河源·期末）关于的方程根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．只有1个实数根 【例6-2】（24-25九年级上·辽宁葫芦岛·阶段练习）如果关于x的一元二次方程有两个不等实数根，那么k的取值范围是 ． 【变式6-1】（25-26九年级上·山东日照·开学考试）已知关于x的一元二次方程有实数根，求k的取值范围 ． 【变式6-2】（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知：关于的一元二次方程． (1)求证：无论为何值，方程总有两个实数根； (2)若为方程的一个根，求的值及方程的另一个根． 【变式6-3】（24-25九年级上·四川巴中·期中）已知关于x的一元二次方程：． (1)求证：这个方程总有两个实数根． (2)若等腰的一边长，另两边b、c恰好是这个方程的两个实数根，求的周长． 题型七 一元二次方程的根与系数的关系 【例7-1】（23-24九年级上·安徽芜湖·阶段练习）关于x的一元二次方程的两个根是，则的值为（   ） A．8 B． C． D．2 【例7-2】（24-25九年级上·广东肇庆·期中）【知识技能】 材料：若关于的一元二次方程的两个根为，，则，． 材料：已知一元二次方程的两个实数根分别为，，求的值． 解：∵一元二次方程的两个实数根分别为，，∴，， 则． 【数学理解】 （1）一元二次方程的两个根为，，则_____，______． 【拓展探索】 （2）已知一元二次方程的两根分别为，，求的值． （3）已知实数，满足，，且，求的值． 【变式7-1】（24-25九年级上·福建福州·期末）若实数，满足，，，且，则 ． 【变式7-2】（24-25九年级上·福建三明·期中）小影与小冬一起写作业，在解一道二次项系数为1的一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是6和1；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是和．原来的方程是 ． 【变式7-3】（24-25九年级上·贵州黔西·期末）已知是方程的两个根，求下列代数式的值． (1)； (2)． 题型八 换元法解一元二次方程 【例8-1】（24-25九年级下·四川资阳·阶段练习）已知，求的值． 【例8-2】（24-25九年级上·全国·阶段练习）阅读下列材料，并用相关的思想方法解决问题． 材料：为解方程，可将方程变形为， 然后设，则，原方程化为， 解得，， 当时，无意义，舍去； 当时，，解得； 所以原方程的解为或． 问题： (1)已知方程，若设，则原方程化为一般式为　　　　　； (2)利用以上学习到的方法解下面方程： 【变式8-1】（24-25九年级上·河北唐山·阶段练习）关于x的方程的解是，，则方程的解是（   ） A．， B．， C．， D．无实数解 【变式8-2】（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）解方程时，我们可以将看成一个整体，设，则原方程可化为，解得，，当时，即，解得；当时，即，解得．所以原方程的解为，． 请利用这种方法解方程：． 【变式8-3】（24-25九年级上·河南商丘·期中）阅读材料： 为了解方程，我们可以将看作一个整体，设，那么原方程可化为，解得，． 当时，，∴，∴； 当时，，∴，∴． 故原方程的解为，，，． 解答问题： 请利用以上知识解方程：． 题型九 一元二次方程的应用 【例9-1】（24-25九年级上·广东韶关·期中）如图，行之实验学校计划用的围栏靠墙围成一个面积为的矩形小游戏乐园（墙长为），设与墙垂直的边长为，试求的值． 【例9-2】（24-25九年级上·广东中山·阶段练习）如图是某月的日历，小明说：他用一个平行四边形框，框出6个数字，其中最小数与最大数的积是 144，请求出最小数与最大数分别是多少．    【例9-3】（24-25九年级上·河南安阳·阶段练习）有一个人患了某种传染病，经过两轮传染后共有81人患病． (1)每轮平均1个人会感染几人？ (2)若病毒得不到有效控制，三轮感染后，患病的人数会不会超过700人？ 【例9-4】（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）某网店为了弘扬航天精神，致敬航天人，特推出“神舟十八号”模型．今年9月份的销售量是件，11月份的销售量是720件． (1)若该网店9月份到11月份销售量的月平均增长率都相同，求月平均增长率； (2)市场调查发现，该网店“神舟十八号”模型的进价为每件元，若售价为每件元，每天能销售件，售价每降价元，每天可多售出件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该模型每天获利元，则售价应降低多少元？ 【例9-5】（24-25九年级上·江西赣州·阶段练习）如图，在直角梯形中，，，，，，动点、分别从点、同时出发，点以的速度向点移动，点以的速度向点移动，当一个动点到达终点时另一个动点也随之停止运动． (1)经过几秒钟，点、之间的距离为？ (2)连接，是否存在某一时刻，使得恰好平分？若存在，求出此时的移动时间；若不存在，请说明理由． 【变式9-1】（24-25九年级上·吉林·期末）某中学的初三篮球赛中，参赛的每两支球队之间都要进行一场比赛，共比赛21场，求参加比赛的球队有多少支？ 【变式9-2】（24-25九年级下·辽宁抚顺·阶段练习）在巴黎奥运会乒乓球混双决赛中，中国组合王楚钦和孙颖莎击败朝鲜组合夺冠，这是中国乒乓球队历史上首枚奥运混双金牌，填补了国乒在奥运会混双项目上的空白，标志着中国乒乓球在奥运项目上的全面覆盖． (1)据市场调研发现，某体育用品店近几个月的乒乓球拍销售量逐月提升，已知月共销售乒乓球拍副，每月的月销售增长率相同，月共销售副，求该乒乓球拍月份到月份销售量的月平均增长率． (2)已知某体育用品店乒乓球拍平均每天可销售副，每副盈利元，每下降元，则每天可多售副，该乒乓球拍的日销售利润能否达到元？如果能，请求出每副乒乓球拍的售价；如果不能，请说明理由． 【变式9-3】（24-25九年级上·河南周口·期末）某超市以每箱25元的进价购进一批龙眼．当该龙眼的售价为40元/箱时，七月销售250箱，八、九月该龙眼十分畅销，销量持续上涨，在售价不变的基础上，九月的销量达到360箱． (1)若七月份到九月份的月平均增长率都相同，求这两个月的月平均增长率． (2)十月份该超市为了减少库存，开始降价促销．经调查发现，该龙眼每箱每降价1元，月销量在九月销量的基础上增加5箱．当龙眼每箱降价多少元时，该超市十月可获利元? 【变式9-4】（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，利用一面墙（墙长25米），用总长度49米的栅栏（图中实线部分）围成一个矩形围栏，且中间共留两个1米的小门，设栅栏长为米． (1)________米（用含的代数式表示）； (2)若矩形围栏面积为210平方米，求栅栏的长； (3)矩形围栏面积是否有可能达到270平方米？若有可能，求出相应的值；若不可能，则说明理由． 【变式9-5】（24-25九年级上·黑龙江双鸭山·期末）如图所示的是2025年1月的日历表，用虚线方框按如图所示的方法任意圈出四个数，请解答下列问题． (1)若虚线方框中最大数与最小数的乘积为180，求最小数． (2)虚线方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为80吗？若能，请求出最小数；若不能，请说明理由． 【变式9-6】（24-25九年级上·湖南湘西·期末）根据表中的素材，探索完成任务． 素材 智能化，对某款车型的零部件进行一体化加工，生产效率提升，该零件4月份生产个，月份生产个． 素材 该厂生产的零件成本为元/个，销售一段时间后发现，当零件售价为元时，月销售量为个，若在此基础上售价每上涨元，则月销售量将减少个． 问题解决 任务 求该车间月份到月份生产数量的平均增长率． 任务 为使月销售利润达到元，而且尽可能让车企得到实惠，则该零件的实际售价应定为多少元？ 【变式9-7】（24-25九年级上·四川绵阳·期中）某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售2250个，7月份销售3240个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相同．请解决下列问题． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)某工厂已建有一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能是900个/天，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/天，现该厂要保证每天生产头盔3900个，应该增加几条生产线？ 【变式9-8】（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，如果、两点同时出发，设运动时间为秒． (1)当为何值时，为等腰三角形？ (2)是否存在某时刻，使线段恰好把的面积平分？若存在，求此时的值；若不存在，请说明理由； (3)当为何值时，、间的距离等于？ 基础巩固通关测 一、单选题 1．（24-25九年级上·福建漳州·期中）下列方程中，一定是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）一元二次方程中二次项系数是（   ） A．4 B．1 C． D．3 3．（24-25九年级上·河南驻马店·期末）已知关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（    ） A． B． C．且 D． 4．（24-25九年级上·广东东莞·期末）一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 5．（22-23九年级上·湖南岳阳·期末）把方程化成的形式，则（   ） A．17 B．14 C．11 D．7 6．（24-25九年级上·全国·期末）一元二次方程有一根是，则是（   ） A． B． C． D． 7．（23-24九年级上·陕西渭南·期末）若是一元二次方程的两个实数根，则的值为（   ） A．5 B． C．1 D． 8．（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）如下是小明在解方程时的过程．他在解答过程中开始出错的步骤是（    ） ① ② ③ ④ A．第①步 B．第②步 C．第③步 D．第④步 二、填空题 9．（23-24九年级上·广东湛江·期末）方程的解为 ． 10．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）一元二次方程的根是 ． 11．（24-25九年级上·河南郑州·阶段练习）若是一元二次方程的两个根，则的值为 ． 12．（24-25九年级上·河南开封·期末）若是关于x的一元二次方程的一个根，则 ． 13．（25-26九年级上·吉林长春·开学考试）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ． 14．（24-25九年级上·河南开封·期末）2023年我国低空经济的市场规模为0.5万亿元，根据中国民航局的数据预测，到2025年，我国低空经济的市场规模将达到1.5万亿元．若设这两年低空经济市场规模年平均增长率为x，则根据题意可列方程为 ． 三、解答题 15．（24-25九年级上·湖北孝感·阶段练习）用适合的方法解下列方程： (1)； (2) 16．（24-25九年级上·福建厦门·阶段练习）解方程． (1) (2) 17．（24-25九年级上·四川德阳·期末）解方程： (1)； (2)； 18．（24-25九年级上·四川资阳·期中）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，． (1)求m的取值范围； (2)当时，求m的值． 19．（24-25九年级上·河南驻马店·期末）在一次公司年会上，每两个参加会议的人都互相握了一次手，一共握了36次手．求这次会议到会的人数． 能力提升进阶练 一、单选题 1．（24-25九年级上·河北保定·期末）若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 2．（24-25九年级上·全国·期中）已知 是方程 的根，则代数式 的值为（   ） A． B．2 021 C． D．2 022 3．（24-25九年级上·吉林·期中）若关于x的一元二次方程：没有实数根，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为．求车道的宽度（单位：）．设停车场内车道的宽度为，根据题意所列方程为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（24-25九年级上·湖南株洲·期末）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为 6．（24-25九年级上·全国·期中）已知方程有实数根，则k的取值范围是 7．（24-25九年级上·湖南株洲·期末）已知方程的两根分别为，则的值为 ． 8．（24-25九年级上·河北唐山·期末）如图，在一块长、宽的矩形空地上修建同样宽的且互相垂直的两条道路，剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积为．设道路的宽为，根据题意，可列方程： 三、解答题 9．（24-25九年级上·宁夏银川·期中）解方程： (1)（用配方法）； (2)（用公式法）； (3)； (4) ． 10．（24-25九年级上·全国·期末）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围． (2)设，是方程的两个根且，求的值 11．（24-25九年级上·福建泉州·期末）已知实数、、，且． (1)若、、分别是关于的一元二次方程二次项系数，一次项系数和常数项，由公式法解得方程的根为，求证：； (2)若，，求的最小值． 12．（24-25九年级上·全国·期末）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 13．（24-25九年级上·四川成都·期末）小明妈妈的花卉超市以15元/盆的价格新购进了某种盆栽花卉，为了确定售价，小明帮妈妈调查了附近A，B，C，D，E五家花卉店近期该种盆栽花卉的售价与日销售量情况，记录如下表： A B C D E 售价（元/盆） 20 30 18 22 26 日销售量(盆) 50 30 54 46 38 (1)请根据以上数据，求出日销售量(盆)与售价（元/盆）间的关系式； (2)根据以上信息，小明妈妈在销售该种花卉中，当售价定为多少时，每天能够获得利润450元？ 14．（24-25九年级上·重庆开州·期末）智能机器人的广泛应用是智慧农业的发展趋势之一．某品牌苹果采摘机器人平均每秒可以完成范围内苹果的识别，并自动对成熟的苹果进行采摘，它的一个机械手平均可以采摘一个苹果，已知采摘工人平均可以采摘一个苹果． (1)一定范围内的苹果被机器人识别，机器人采摘比工人采摘多用了，求这个范围内的苹果有多少个？ (2)为了提高了工作效率，公司为该智能机器人搭载了个机械手，升级了智能机器人的操作系统，测得每个机械手平均每秒可摘个苹果，据统计，该智能机器人工作采摘的苹果数量与个采摘工人工作小时采摘的苹果数量相等，求的值． 15．（24-25九年级上·贵州毕节·期末）如图，某农户准备利用墙面（墙面足够长），用长的栅栏围一个矩形羊圈和一个边长为的正方形狗屋（图中阴影部分为羊的活动范围）．设． (1)的长为___________m；（用含的代数式表示） (2)若羊的活动范围的面积为，求的长； (3)羊的活动范围的面积能否为？若能，求出此时的长；若不能，请说明理由． 16．（24-25九年级上·江苏盐城·期末）在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒（）． (1)当为何值时，的长度等于？ (2)是否存在的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $