第9章统计模拟测试卷-2024-2025学年高二下学期数学苏教版选择性必修第二册

第9章　统计 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.对于变量x与y,当x取值一定时,y的取值带有一定的随机性,x,y之间的这种非确定性关系称为(　　) A.函数关系 B.线性关系 C.相关关系 D.回归关系 2.两个变量的相关关系有①正相关,②负相关,③不相关,则下列散点图从左到右分别反映的变量间的相关关系是(　　) A.①②③ B.②③① C.②①③ D.①③② 3.某工厂为研究某种产品的产量x(单位:吨)与所需某种原材料y(单位:吨)的相关性,在生产过程中收集了4组对应数据如表所示: x 3 4 6 7 y 2.5 3 4 m 根据表中数据,得出x关于y的回归直线方程为=0.7x+a.据此计算出在样本(4,3)处的残差为-0.15,则表中m的值为(　　) (注:y-称为对应样本点的残差) A.5.9 B.5.5 C.4.5 D.3.3 4.某医疗研究所为了检验某种血清预防感冒的作用,把500名使用过血清的人与另外500名未使用过血清的人一年中的感冒记录进行比较,提出假设H0:这种血清不能起到预防感冒的作用,利用2×2列联表计算得χ2≈3.918,经查临界值表知P(χ2≥3.841)≈0.05.对此,有以下四个结论,正确的是(　　) A.有95%的把握可以认为“这种血清能起到预防感冒的作用” B.若某人未使用该血清,那么他在一年中有95%的可能性得感冒 C.这种血清预防感冒的有效率为95% D.这种血清预防感冒的有效率为5% 5.在一组样本数据(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)(n≥2,x1,x2,…,xn不全相等)的散点图中,若所有样本点(xi,yi)(i=1,2,…,n)都在直线y=x+1上,则这组样本数据的相关系数为(　　) A.-1 B.0 C. D.1 6.下表给出5组数据(x,y),为选出4组数据使其线性相关程度最大,且保留第1组数据(-5,-3),则应去掉(　　) i 1 2 3 4 5 xi -5 -4 -3 -2 4 yi -3 -2 4 -1 6 A.第2组 B.第3组 C.第4组 D.第5组 7.(2023天津)调查某种群花萼长度和花瓣长度,所得数据如图所示,其中相关系数r=0.824 5,下列说法正确的是(　　) A.花瓣长度和花萼长度没有相关性 B.花瓣长度和花萼长度呈现负相关 C.花瓣长度和花萼长度呈现正相关 D.若从样本中抽取一部分,则这部分的相关系数一定是0.824 5 8.已知具有线性相关关系的变量x,y,设其样本点为Ai(xi,yi)(i=1,2,…,8),线性回归方程为x+,若+…+=(6,2)(O为原点),则=(　　) A. B.- C. D.- 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.有甲、乙两个班级进行数学考试,按照大于或等于85分为优秀,85分以下为非优秀统计成绩,得到如下列联表: 单位:人 班级 优秀 非优秀 合计 甲班 10 b 乙班 c 30 合计 105 已知在全部105人中随机抽取1人,成绩优秀的概率为,则下列说法正确的是(　　) A.列联表中c的值为30,b的值为35 B.列联表中c的值为20,b的值为45 C.根据列联表中的数据,有95%的把握认为“成绩与班级有关系” D.根据列联表中的数据,没有95%的把握认为“成绩与班级有关系” 10.已知变量x,y之间的线性回归方程为=-0.7x+10.3,且变量x,y之间的一组相关数据如下表所示,则下列说法正确的是(　　) x 6 8 10 12 y 6 m 3 2 A.变量x,y之间呈负相关关系 B.m=4 C.可以预测,当x=11时,y约为2.6 D.由表格数据知,该线性回归直线必过点(9,4) 11.设某大学的女生体重y(单位:kg)与身高x(单位:cm)具有线性相关关系.根据一组样本数据(xi,yi)(i=1,2,…,n),用最小二乘法建立的线性回归方程为=0.85x-85.71,则下列结论正确的是(　　) A.变量y与x呈正相关关系 B.线性回归直线过样本点的中心() C.若该大学某女生身高增加1 cm,则其体重约增加0.85 kg D.若该大学某女生身高为170 cm,则可判断其体重必为58.79 kg 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.某地的财政收入x(单位:亿元)与支出y(单位:亿元)满足线性回归方程x++e,其中=0.8,=2,|e|≤0.5.若今年该地区财政收入10亿元,则年支出预计不会超过　　　　　亿元.  13.为预测某种产品的回收率y,需要研究它和原料有效成分含量x之间的相关关系,现取了8组观察值.计算知xi=52,yi=228,=478,xiyi=1 849,则y关于x的线性回归方程是　　　　　　　(精确到0.01).  14.为了调查患慢性气管炎是否与吸烟有关,调查了100名50岁以下的人,调查结果如下表: 单位:人 是否吸烟 患慢性气管炎 未患慢性气管炎 合计 吸烟 20 m 40 不吸烟 n 55 60 合计 25 75 100 根据列联表数据,求得χ2=　　　　　(保留3位有效数字),根据下表,有　　　　　的把握认为患慢性气管炎与吸烟有关.(本题第一空2分,第二空3分)  附: P(χ2≥x0) 0.050 0.010 0.001 x0 3.841 6.635 10.828 χ2=. 四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)(2022全国乙)某地经过多年的环境治理,已将荒山改造成了绿水青山.为估计一林区某种树木的总材积量,随机选取了10棵这种树木,测量每棵树的根部横截面积(单位:m2)和材积量(单位:m3),得到如下数据: 样本号i 根部横截面积xi 材积量yi 1 0.04 0.25 2 0.06 0.40 3 0.04 0.22 4 0.08 0.54 5 0.08 0.51 6 0.05 0.34 7 0.05 0.36 8 0.07 0.46 9 0.07 0.42 10 0.06 0.40 总和 0.6 3.9 并计算得=0.038,=1.615 8,xiyi=0.247 4. (1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量; (2)求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数(精确到0.01); (3)现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积,并得到所有这种树木的根部横截面积总和为186 m2.已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比.利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值. 附:相关系数 r=≈1.377. 16.(15分)某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究,他们分别记录了12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数,得到如下资料: 日期 12月1日 12月2日 12月3日 12月4日 12月5日 温差x/℃ 10 11 13 12 8 发芽数y/颗 23 25 30 26 16 该农科所确定的研究方案是:先从这5组数据中选取2组,用剩下的3组数据求线性回归方程,再对被选取的2组数据进行检验. (1)求选取的2组数据恰好是不相邻2天数据的概率; (2)若选取的是12月1日与12月5日的两组数据,请根据12月2日至12月4日的数据,求出y关于x的线性回归方程x+; (3)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗,则认为得到的线性回归方程是可靠的,试问(2)中所得的线性回归方程是否可靠? 参考公式:. 17.(15分)为了解某地区某种农产品的年产量x(单位:吨)对价格y(单位:千元/吨)和年利润z(单位:千元)的影响,对近五年该农产品的年产量和价格统计如下表: x 1 2 3 4 5 y 7.0 6.5 5.5 3.8 2.2 (1)求y关于x的线性回归方程x+; (2)若每吨该农产品的成本为2千元,假设该农产品可全部卖出,预测当年产量为多少时,年利润z取到最大值(保留两位小数). 参考公式:. 18.(17分)无锡是全国三大电动车生产基地之一,拥有完整的产业链和突出的设计优势.某电动车公司为了抢占更多的市场份额,计划加大广告投入.该公司近5年的年广告费xi(单位:百万元)和年销售量yi(单位:百万辆)关系如图所示: 令vi=ln xi(i=1,2,…,5),数据经过初步处理得: yi vi (xi-)2 (yi-)2 (vi-)2 (xi-)(yi-) (yi-)(vi-) 44 4.8 10 40.3 1.612 19.5 8.06 现有①y=bx+a和②y=nln x+m两种方案作为年销售量y关于年广告费x的回归分析模型,其中a,b,m,n均为常数. (1)请从相关系数的角度,分析哪一个模型拟合程度更好? (2)根据(1)的分析选取拟合程度更好的回归分析模型及表中数据,求出y关于x的回归方程,并预测年广告费为6百万元时,产品的年销售量是多少? (3)该公司生产的电动车毛利润为每辆200元(不含广告费、研发经费).该公司在加大广告投入的同时也加大研发经费的投入,年研发经费为年广告费的199倍.电动车的年净利润受年广告费和年研发经费影响外还受随机变量ξ影响,设随机变量ξ服从正态分布N(600,σ2),且满足P(ξ>800)=0.3.在(2)的条件下,求该公司年净利润的最大值大于1 000百万元的概率.(年净利润=毛利润×年销售量-年广告费-年研发经费-随机变量). 附:①相关系数r=, 回归直线x中公式分别为; ②参考数据:=8.06,≈20.1,ln 5≈1.6,ln 6≈1.8. 19.(17分)某食品厂为了检查甲、乙两条自动包装流水线的生产情况,随机在这两条流水线上各抽取40件产品作为样本,称出它们的质量(单位:克),质量值落在(495,510]的产品为合格品,否则为不合格品.如图是甲流水线样本的频率分布直方图. 乙流水线样本的频数分布表如下: 产品质量/克 频数 [490,495] 6 (495,500] 8 (500,505] 14 (505,510] 8 (510,515] 4 (1)若以频率作为概率,试估计从甲流水线上任取5件产品,其中合格品的件数X的均值; (2)从乙流水线样本的不合格品中任取2件,求其中超过合格品质量的件数Y的概率分布; (3)由以上统计数据完成下面的2×2列联表,并回答有多大的把握认为“产品的包装质量与两条自动包装流水线的选择有关”. 单位:件　 　 包装质量 甲流水线 乙流水线 合计 合格品 a b 不合格品 c d 合计 n 参考公式:χ2=,其中n=a+b+c+d. 参考数据: P(χ2≥x0) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 x0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 参考答案 1.C 2.D 3.A　由残差为-0.15可知,当x=4时,=3.15, 即3.15=0.7×4+a,解得a=0.35, 所以回归直线方程为=0.7x+0.35, 又=5,,且样本点中心()在回归直线上,所以=0.7×5+0.35,解得m=5.9,故选A. 4.A　因为χ2≈3.918,P(χ2≥3.841)≈0.05,所以有95%的把握可以认为“这种血清能起到预防感冒的作用”. 5.D　所有点均在直线上,且直线的斜率大于0,则样本相关系数最大,即为1.故选D. 6.B　画出散点图,如图所示,由图可知应除去第3组,对应点的坐标是(-3,4).故选B. 7.C　根据散点的集中程度可知,花瓣长度和花萼长度有相关性,A选项错误; 散点的分布是从左下到右上,所以花瓣长度和花萼长度呈现正相关性,B选项错误,C选项正确; 因为r=0.824 5是全部数据的相关系数,取出来一部分数据,相关性可能变强,可能变弱,所以取出的数据的相关系数不一定是0.824 5,D选项错误.故选C. 8.B　因为+…+=(x1+x2+…+x8,y1+y2+…+y8)=(8,8)=(6,2), 所以8=6,8=2, 因此,即=-故选B. 9.BC　由题意知成绩优秀的学生人数是30,成绩非优秀的学生人数是75, 所以c=20,b=45,选项A错误,B正确; 根据列联表中的数据,得 χ2=6.109>3.841, 因此有95%的把握认为“成绩与班级有关系”.选项C正确,D错误. 10.ACD　由=-0.7x+10.3得=-0.7<0,所以x,y呈负相关关系,故A正确; 当x=11时,y的预测值为2.6,故C正确; =9,故=-0.7×9+10.3=4. 故线性回归直线过点(9,4),故D正确; 因为=4,所以=4,解得m=5,故B错误. 故选ACD. 11.ABC　由线性回归方程的性质知A,B,C均正确;D项是错误的,根据线性回归方程只能预测学生的体重大约为58.79 kg. 12.10.5　当x=10时,代入线性回归方程得=0.8×10+2+e≤10+0.5=10.5. 13=2.62x+11.47　由,直接计算得2.62,11.47, 所以线性回归方程为=2.62x+11.47. 14.22.2　99.9%　由20+m=40,得m=20. 由20+n=25,得n=5. 故χ2=22.2>10.828, 所以有99.9%的把握认为患慢性气管炎与吸烟有关. 15.解 (1)依题意知,=0.06,=0.39, 故估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为0.06 m2,平均一棵的材积量为0.39 m3. (2)依题意知,所求样本相关系数 r=0.97. (3)由题意及(1),可知该林区这种树木的总材积量的估计值为186=1 209(m3). 16.解 (1)设事件A表示“选取的2组数据恰好是不相邻2天的数据”,则表示“选取的数据恰好是相邻2天的数据”, ∴P()=, ∴P(A)=1-P()= (2)=12,=27,xiyi=977,=434, =2.5, =27-2.5×12=-3, =2.5x-3. (3)由(2)知,当x=10时,=22,与检验数据的误差不超过2颗;当x=8时,=17,与检验数据的误差不超过2颗. 故所求得的线性回归方程是可靠的. 17.解 (1)由题知=3,=5,xiyi=62.7,=55, =-1.23, =5-(-1.23)×3=8.69, 所以y关于x的线性回归方程为=-1.23x+8.69. (2)年利润z=x(-1.23x+8.69)-2x=-1.23x2+6.69x=-1.23(x-)2+1.23×()2, 当x=2.72时,年利润z最大. 故预测当年产量为2.72吨时,年利润取到最大值. 18.解 (1)设模型①和②的相关系数分别为r1,r2. 由题意可得,r1=0.97, r2==1, 所以|r1|<|r2|,由相关系数的相关性质可得,模型②的拟合程度更好. (2)因为=5, 又由vi=0.96,yi=8.8, 得m=-5=8.8-0.96×5=4,所以y=5v+4,即回归方程为y=5ln x+4. 当x=6时,y=5ln 6+4≈13,因此当年广告费为6百万元时,产品的销售量大概是13百万辆. (3)净利润为200×(5ln x+4)-200x-ξ,x>0, 令g(x)=200×(5ln x+4)-200x-ξ, 所以g'(x)=-200. 可得y=g(x)在(0,5)上单调递增,在(5,+∞)上单调递减, 所以g(x)max=g(5)=200×(5ln 5+4-5)-ξ≈1 400-ξ, 由题意得1 400-ξ>1 000, 即ξ<400,P(ξ<400)=P(ξ>800)=0.3, 即该公司年净利润大于1 000百万元的概率为0.3. 19.解 (1)由题图知甲样本中合格品数为(0.06+0.09+0.03)×5×40=36, 故合格品的频率为=0.9, 据此可估计从甲流水线上任取1件产品,该产品为合格品的概率p=0.9, 则X~B(5,0.9),E(X)=5×0.9=4.5. (2)由题表知乙流水线样本中不合格品共10件,超过合格品质量的有4件, 则Y的可能取值为0,1,2, 且P(Y=k)=(k=0,1,2), 于是有P(Y=0)=,P(Y=1)=,P(Y=2)= 故Y的概率分布为 Y 0 1 2 P (3)2×2列联表如下: 单位:件 包装质量 甲流水线 乙流水线 合计 合格品 36 30 66 不合格品 4 10 14 合计 40 40 80 χ2=3.117>2.706, 所以有90%的把握认为“产品的包装质量与两条自动包装流水线的选择有关”. 12 学科网（北京）股份有限公司 $