第一章 勾股定理5大题型（期中真题汇编，陕西专用）八年级数学上学期北师大版2024

学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 第一章勾股定理 ☆3大高频考点概览 考点01勾股定理的简单应用 考点02勾股定理在实际中的应用 考点03勾股定理中的折叠问题 专题04勾股定理与几何综合 专题05勾股定理中最短路径问题 目目 考点01 勾股定理的简单应用 1.(24-25八上陕西西安咸阳高新一中.期中下列各组数中，是“勾股数”的一组是() A.4,5,6 B.1.5,2,2.5 C.6,8,10 D.0.3,0.4,0.5 2.(24-25八上陕西西安高陵区·期中)如图，在△ABC中，∠B=90°，AC=10,AB=6,求BC的长 是() A.5 B.8 C.4 D.7 3.(24-25八上·陕西西安经开第二中学·期中)己知一直角三角形两直角边的长分别为9,12，则它的斜边长 为() A.15 B.16 C.17 D.25 4.(23-24八下·内蒙古呼伦贝尔鄂伦春自治旗期末)△ABC的三边长分别为a,b,c,下列条件：① ∠A=∠B-∠C;②∠A:∠B:∠C=3:4:5;③a2=(b+c)(b-c);④a:b:c=5:12:13,其中能 判断△ABC是直角三角形的个数有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 5.(24-25八上陕西西安西安交通大学附属中学分校·期中如图，两个较大正方形的面积分别为225、289， 则字母A所代表的正方形的边长为（) 289 225 A 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.64 B.16 C.8 D.4 6.(24-25八上陕西西安西安交通大学附属中学分校期中)△ABC的三条边分别为a、b、c,下列条件不能 判断△ABC是直角三角形的是() A.a2+b2=c2 B.∠A=∠B+∠C C.∠A:∠B:∠C=3:4:5 D.a=7,b=24,c=25 7.(24-25八上陕西宝鸡陈仓区·期中)如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形， 若正方形A、B、D的面积依次为6、10、24，则正方形C的面积为() B D A.4 B.6 C.8 D.12 8.(24-25八上陕西西安曲江第一中学期中)如图，在Rt△ABC中，分别以这个三角形的三边为边长作正 方形，面积分别记为S1、S2、S3,如果S2十S1-S3=24,则阴影部分的面积是() B S2 S A.2 B.8 C.6 D.4 9.(24-25八上·陕西宝鸡凤翔区)我国汉代数学家赵爽验证勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之 为“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成.如图，直角三角形的直角边长为a,b, 斜边长为c.若b一a=4,c=20,则每个直角三角形的面积为() 弦(c) 勾(a 股(b) A.48 B.96 C.24 D.20 10.(24-25八上江苏苏州第一中学)如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，连接 / 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AB、BC,则∠ABC的度数为 B 11.(24-25八上陕西西安西成新区期中)如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=4,BC=6,求AC 的长. A B 12.(2425八上陕西西安黄河中学：期中)如图，在四边形ABCD中，∠B=90°，AB=BC=62, CD=16,AD=20.求四边形ABCD的面积. D A 13.(24-25八上·陕西咸阳实验中学)观察下列勾股数： ①3,4,5，且32=4+5； ②5,12,13，且52=12+13 ③7,24,25，且72=24+25； ④9，b,c,且92=b+c; (1)请你根据上述规律，并结合相关知识求：b=一，℃=一 (2)猜想第n组勾股数，并说明你的猜想正确. 14.(24-25八上陕西铜川实验中学.期中)如图，四边形ABCD中，AB=20,BC=15,CD=7, AD=24,∠B=90°. 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B C A D (1)判断∠D是否是直角，并说明理由. (2)求四边形ABCD的面积. 15.(24-25八上陕西西安咸阳高新一中期中)如图，池塘边有两点A,B,点C是与BA方向成直角的AC方 向上一点，测得AC=18m,BC=30m.求A,B两点间的距离 A 42.(24-25八上陕西咸阳永寿县御家宫中学期中)如图，工作人员在某山峰上适当的位置确定一点A修建索 道口，经测量A的垂直高度AC=0.8km,在山下点B处也修建一个索道口，BC=1.5km,从山下索道口 坐缆车到山顶，已知缆车每分钟走0.1k,那么多少分钟后才能到达山顶？ 目目 考点02 勾股定理在实际中的应用 1.(24-25八上陕西西安西咸新区·期中)如图，有一只摆钟，摆锤看作一个点，当摆锤静止时，它离底座的 垂直高度DE=6cm,当摆锤摆动到最高位置时，它离底座的垂直高度BF=8cm,此时摆锤与静止位置 时的水平距离BC=10cm时，钟摆AD的长度是() 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 E A.17 B.24 C.26 D.28 2.(24-25八上·陕西西安铁一中学期中)《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“仅有池一丈，葭生其中央， 出水一尺，适与岸齐.问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一 棵芦苇AB生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺.如果把芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，则水 深为尺. A 3.(2425八上陕西西安高陵区·期中)如图，一辆小汽车在一条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路 对面车速检测仪A处的正前方12米的C处，过了1.5秒，小汽车到达B处，此时测得小汽车与车速检测仪 间的距离为20米. 小汽车 小汽车 --------0C A 检测仪 (1)求BC的长； (2)这辆小汽车在BC段的速度约是多少米/秒？（结果精确到0.1） 4.(23-24八人教版期中)《西江月》中描述：平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高 离地…；翻译成现代文为：如图，秋千OA静止的时候，踏板离地高一尺（AC=1尺)将它往前推进两步 (EB=10尺)，此时踏板升高离地五尺(BD=5尺)，求秋千绳索OB的长度. 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 E B A、 C D 5.(24-25八上·山东济南章丘双语学校·月考)2021年第6号台风“烟花”登陆我国沿海地区.如图，台风“烟 花”中心沿东西方向由点A向点B移动，己知点C为一海港，且AC=300km,BC=400km, AB=500km.经测量，距离台风中心260km及以内的地区会受到影响， C A B (1)海港C会受到台风影响吗？为什么？ (2)若台风中心的移动速度为25kmh,则台风影响该海港持续的时间有多长？ 6.(24-25八上·陕西西安西咸新区·期中)推车是一种非常常见的运输工具，广泛应用于各个领域.如图是一 个推车的简化结构示意图.质检人员测得AB=2dm,BC=8dm,CD=16dm,AD=18dm,其中 AC与CD之间由一个固定为90·的零件连接（即∠ACD=90·),按照设计要求需满足AB⊥BC,请你 帮质检人员判断该推车是否符合设计要求，并说明理由 O BG C 7.(2425八上陕西西安西咸新区期中)爬山不仅可以增强身体素质而且可以锻炼人的心理承受能力.登山 活动已经成为一项人们喜爱的运动项目，如图是一座山的局部山体模拟图，经测量此段山体的长BC为25m ,AB的长为20m,且AC⊥AB. 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A B D (1)小锦猜想山体高AC为22.5m,请判断小锦的猜想是否正确？如果正确，请说明理由；如果不正确，请求 出正确的山体高AC: (2)为加强攀登的安全性，工作人员将山体斜坡进行了修整，修整后的山体斜坡长CD=30m,请你求出此 时山脚B向外延伸多少米到点D. 8.(24-25八上·陕西西安鄂邑区·期中)一辆装满货物的卡车，高2.5米，宽1.6米，要开进上边是半圆，下边 是长方形的桥洞，如图所示，己知半圆的直径为2m,长方形的另一条边长是2.3m. 2.3米 2米 (1)此卡车是否能通过桥洞？试说明你的理由. (2)为了适应车流量的增加，先把桥洞改为双行道，要使宽为1.2m,高为2.8m的卡车能安全通过，那么此 桥洞的宽至少增加到多少？ 9.(24-25八上陕西西安鄢邑区·期中)“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”.又到了放风筝的最佳时节.某 校八年级(1)班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度CE（如图)，他们进行 了如下操作：①测得水平距离BD的长为8米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为17米；③ 牵线放风筝的小明的身高为1.5米.求风筝的垂直高度CE D 10.(24-25八上·陕西西安高新区·期中)如图，滑杆在机械槽内运动，∠ACB为直角，已知滑杆AB长2.5米， 顶端A在AC上运动，滑杆下端B距C点的距离为1.5米，当端点B向右移动0.5米(D处)时，求滑杆 顶端A下滑多少米(E处)· 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 E OO B D 11.(24-25八上·陕西西安曲江第一中学·期中)图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图，现测得 AB=CD=60cm,BC=30cm,AD=90cm,其中AB与BD之间由一个固定为90°的零件连接（即 ∠ABD=90·)，根据安全标准需满足BC⊥CD,通过计算说明该车是否符合安全标准. B D 图1 图2 12.(24-25八上陕西西安黄河中学期中)如图，小明操纵无人机从树尖A飞向旗杆顶端C,已知树高6m, 旗杆高26，树与旗杆之间的水平距离为15m,则无人机飞行的最短距离为多少？ D 13.(24-25八上·陕西宝鸡陈仓区部分学校期中)如图，车高4m(AC=4m),货车卸货时后面支架AB弯 折落在地面A1处（即AB=A1B),经过测量A1C=2m,求弯折点B与地面的距离. B 14.(24-25八上·陕西西安雁塔区陕西师范大学附属中学·期中)消防车上的云梯示意图如图1，己知云梯最多 只能伸长到25米，消防车高3.5米.如图2，某栋楼发生火灾，在这栋楼的B处有一老人需要救援，救人 时消防车上的云梯伸长至最长，即AB=25米，此时消防车的位置A与楼房的距离AO=20米.完成B处 / 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 的救援后，消防员发现在B处的正上方5米的D处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，且救 援时消防车上的云梯伸至最长，即CD=25米，则消防车从A处向着火的楼房靠近的距离AC为多少米？ B 房 A 消防车 地面F 图1 图2 15.(24-25八上陕西西安西安交通大学附属中学分校期中)如图，有一张长宽比为3：2的长方形纸片ABCD ,面积为96cm2. A D B (1)分别求长方形纸片的长和宽； (2)小丽想沿这张长方形纸片边的方向裁剪一块长宽比为6：5的新长方形，使其面积为90cm2,请问她能裁 出符合要求的长方形吗？试说明理由。 目目 考点03 勾股定理中的折叠问题 1.(24-25八上陕西西安鄂邑区·期中)如图，长方形ABCD中，AB=3cm,AD=9cm,将此长方形折叠， 使点D与点B重合，折痕为EF,则△ABE的面积为(） A.3cm2 B.4cm2 C.6cm2 D.12cm2 / 函学科网 ww w zxxk com 让教与学更高效 2.(24-25八上·陕西宝鸡陈仓区·期中)如图，Rt△ABC中，AB=9,BC-6,∠B=90°，将△ABC折叠，使A 点与BC的中点D重合，折痕为MN,则线段BN的长为() D ■ B A.4 B.3 C.2 D.5 3.(2425八上陕西咸阳三原县·期中)如图，在长方形ABCD中，将△BCD沿BD折叠到△BCD的位置， 点C落在C处，若BC=6,CD=3,则线段DE的长为() C E B A.3 B. C.5 D.星 4.(24-25八上·陕西宝鸡陈仓区部分学校·期中)如图，将长方形纸片ABCD折叠，使边DC落在对角线AC 上，折痕为CE,且D点落在对角线D'处.若AB=3,AD=4,则ED的长为 D A. B.3 C.1 D.等 5.(2425八上·陕西宝鸡凤翔区·)如图，四边形ABCD为长方形，△BCD与△BCD关于直线BD轴对称， BC=6,CD=3,点C与点C对应，BC交AD于点E,则线段DE的长为() E. B A.3 B. C.5 D.要 第一章 勾股定理 3大高频考点概览 考点01 勾股定理的简单应用 考点02 勾股定理在实际中的应用 考点03 勾股定理中的折叠问题 专题04 勾股定理与几何综合 专题05勾股定理中最短路径问题 地 城 考点01 勾股定理的简单应用 1．(24-25八上·陕西西安咸阳高新一中·期中)下列各组数中，是“勾股数”的一组是（    ） A．4，5，6 B．，2， C．6，8，10 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股数的定义，勾股数必须满足都是正整数，同时还需满足两较小的数的平方和等于最大数的平方，据此注意判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴4，5，6，不是勾股数，不符合题意； B、，2，这三个数不都是正整数，故这组数不是勾股数，不符合题意； C、∵， ∴6，8，10是勾股数，符合题意； D、这三个数都不是正整数，故这组数不是勾股数，不符合题意； 故选：C． 2．(24-25八上·陕西西安高陵区·期中)如图，在中，，，，求的长是（   ） A．5 B．8 C．4 D．7 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，根据勾股定理得到，代入计算即可得的值． 【详解】解：在中，， ， ∵，， ， （负值舍去）， 故选：B． 3．(24-25八上·陕西西安经开第二中学·期中)已知一直角三角形两直角边的长分别为9，12，则它的斜边长为（    ） A．15 B．16 C．17 D．25 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，运用直角三角形的斜边平方等于两直角边平方和，代入数值进行计算，即可作答． 【详解】解：∵一直角三角形两直角边的长分别为9，12 ∴斜边长为 故选：A 4．(23-24八下·内蒙古呼伦贝尔鄂伦春自治旗·期末)的三边长分别为，下列条件：①；②；③；④，其中能判断是直角三角形的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理逆定理、三角形内角和定理，根据勾股定理逆定理即可判断③④；根据三角形内角和定理即可判断①②，从而得出答案． 【详解】解：①∵， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，故①符合题意； ②∵， ∴， ∴不是直角三角形，故②不符合题意； ③∵， ∴， ∴是直角三角形，故③符合题意； ④∵， ∴设，，， ∴， ∴∴是直角三角形，故④符合题意； 综上所述，其中能判断是直角三角形的个数有个， 故选：C． 5．(24-25八上·陕西西安西安交通大学附属中学分校·期中)如图，两个较大正方形的面积分别为225、289，则字母所代表的正方形的边长为（    ） A．64 B．16 C．8 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．根据面积求得两个较大正方形的边长，再根据勾股定理，求解即可． 【详解】解：两个较大正方形的面积分别为225、289，则它们的边长分别为，， 由勾股定理可得：字母A所代表的正方形的边长为， 故选：C． 6．(24-25八上·陕西西安西安交通大学附属中学分校·期中)的三条边分别为，下列条件不能判断是直角三角形的是（    ） A． B． C． D．，， 【答案】C 【分析】本题主要考查勾股定理的逆定理、三角形内角和定理等知识．勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长满足，那么这个三角形就是直角三角形．根据勾股定理的逆定理及三角形内角和定理对各选项进行逐一判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意； B、∵，， ∴， ∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意； C、设，，， ∵， ∴，解得， ∴，，， ∴此三角形不是直角三角形，故本选项符合题意； D、∵，，， ∴， ∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意． 故选：C． 7．(24-25八上·陕西宝鸡陈仓区·期中)如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形的面积依次为，则正方形的面积为（　　） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，要熟悉勾股定理的几何意义，知道直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．根据勾股定理的几何意义：，解得即可． 【详解】解：由题意：，， ∴ ∵正方形的面积依次为， ∴， ∴． 故选：C． 8．(24-25八上·陕西西安曲江第一中学·期中)如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长作正方形，面积分别记为、、，如果，则阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理以及以直角三角形三边为边长的图形面积，根据题意得到，，，再由勾股定理得到，则由已知条件可推出，再根据三角形面积计算公式求解即可．解题的关键景熟练掌握勾股定理的应用． 【详解】解：由题意得：，，， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积是． 故选：C． 9．(24-25八上·陕西宝鸡凤翔区·)我国汉代数学家赵爽验证勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成．如图，直角三角形的直角边长为，，斜边长为．若，，则每个直角三角形的面积为（   ） A．48 B．96 C．24 D．20 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理、完全平方公式的应用，由勾股定理可得，由完全平方公式可得，求出，即可得解． 【详解】解：由图可得：， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴每个直角三角形的面积为， 故选：B． 10．(24-25八上·江苏苏州第一中学·)如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，连接、，则的度数为 ． 【答案】/45度 【分析】本题考查了勾股定理，分别在格点三角形中，根据勾股定理即可得到，，的长度，继而可得出的度数． 【详解】解：连接， 根据勾股定理可以得到：，， ∵，即， ∴是等腰直角三角形． ∴． 故答案为：． 11．(24-25八上·陕西西安西咸新区·期中)如图，在中，，，，求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键；因此此题可根据勾股定理直接进行求解 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理，得，即， 解得， 的长为． 12．(24-25八上·陕西西安黄河中学·期中)如图，在四边形中，，，，．求四边形的面积． 【答案】132 【分析】本题考查勾股定理，勾股定理的逆定理，掌握勾股定理的逆定理判断直角三角形是解题的关键； 连接，根据勾股定理求出，再证明，得出，根据即可得出答案． 【详解】解：连接， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ， ∴， ∴， ∴四边形的面积为：． 13．(24-25八上·陕西咸阳实验中学·)观察下列勾股数： ①3，4，5，且； ②5，12，13，且； ③7，24，25，且； ④9，b，c，且； … (1)请你根据上述规律，并结合相关知识求：______，______； (2)猜想第n组勾股数，并说明你的猜想正确． 【答案】(1)40；41 (2)，，，见解析 【分析】此题考查勾股数有关的规律探究． （1）由规律可得，然后再由勾股定理得：，再计算即可； （2）认真观察三个数之间的关系：首先发现每一组的三个数为勾股数，第一个数为从3开始连续的奇数，第二、三个数为连续的自然数；进一步发现第一个数的平方是第二、三个数的和；最后得出第组数为，，，由此规律解决问题． 【详解】（1）解：由规律可得， 由勾股定理得：， ∴，解得， ∴， 故答案为：40，41； （2）解：根据规律设第组勾股数为：，，． ∴， 解得， ∴猜想第组勾股数为：，，． 证明：， ， ， 是整数， ，，，是一组勾股数． 14．(24-25八上·陕西铜川实验中学·期中)如图，四边形中，，，，，． (1)判断是否是直角，并说明理由． (2)求四边形的面积． 【答案】(1)是直角．理由见解析 (2)234 【分析】（1）连接，根据勾股定理可知，再根据即可得出结论； （2）根据即可得出结论． 【详解】（1）解：是直角． 理由：连接， ， ， ， ， 是直角三角形，即是直角； （2）解：， ． 【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握熟知如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形． 15．(24-25八上·陕西西安咸阳高新一中·期中)如图，池塘边有两点A，B，点C是与方向成直角的方向上一点，测得．求A，B两点间的距离．    【答案】A，B两点间的距离是 【分析】直接由勾股定理求出AB的长即可． 【详解】解：由题意可知，， ∴， 答：A，B两点间的距离是． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理求出的长． 42．(24-25八上·陕西咸阳永寿县御家宫中学·期中)如图，工作人员在某山峰上适当的位置确定一点修建索道口，经测量的垂直高度，在山下点处也修建一个索道口，，从山下索道口坐缆车到山顶，已知缆车每分钟走0.1km，那么多少分钟后才能到达山顶？ 【答案】17分钟 【分析】本题考查了勾股定理，解题的关键是利用勾股定理求出索道的长度，再根据时间=路程速度求解． 先在，根据勾股定理求出的长度，此长度即为从山下到山顶的路程，再用路程除以速度得出到达山顶所需时间． 【详解】解：在中，，， ，（分） 答：17分钟后才能到达山顶． 地 城 考点02 勾股定理在实际中的应用 1．(24-25八上·陕西西安西咸新区·期中)如图，有一只摆钟，摆锤看作一个点，当摆锤静止时，它离底座的垂直高度，当摆锤摆动到最高位置时，它离底座的垂直高度，此时摆锤与静止位置时的水平距离时，钟摆的长度是（　　） A．17 B．24 C．26 D．28 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，平行线之间的距离处处相等，熟练掌握勾股定理是解题的关键．设，根据题意可推出，然后在中利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：设 根据题意可知，，，， 在中， ，即 解得： 故选：C． 2．(24-25八上·陕西西安铁一中学·期中)《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“仅有池一丈，葭生其中央，出水一尺，适与岸齐．问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇生长在它的中央，高出水面部分为1尺．如果把芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，则水深为 尺．    【答案】12 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，我们可以将其转化为数学几何图形，根据题意，可知的长为10尺，则尺，设出尺，表示出水深，在中，根据勾股定理建立方程，是解题的关键． 【详解】解：依题意画出图形，设芦苇长尺，则尺，   尺， 尺 在中，， 解得， 即芦苇长13尺， 水深为（尺）， 故答案为：12． 3．(24-25八上·陕西西安高陵区·期中)如图，一辆小汽车在一条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方12米的C处，过了1.5秒，小汽车到达B处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为20米． (1)求的长； (2)这辆小汽车在段的速度约是多少米/秒?（结果精确到0.1） 【答案】(1)的长为16米 (2)这辆小汽车在段的速度约是米/秒 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，解题关键是理解题意，正确计算． （1）直接利用勾股定理计算的长即可； （2）利用路程除以时间即可求解． 【详解】（1）解：由题意可知，米，米，， ∴（米）， 答：的长为16米． （2）解：（米/秒）， 答：这辆小汽车在段的速度约是米/秒． 4．(23-24八·人教版·期中)《西江月》中描述：平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地…；翻译成现代文为：如图，秋千静止的时候，踏板离地高一尺（尺）将它往前推进两步（尺），此时踏板升高离地五尺（尺），求秋千绳索的长度． 【答案】秋千绳索的长度为尺． 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，设尺，表示出的长，在中，利用勾股定理列出关于的方程，求出方程的解即可，学会利用参数构建方程，熟练掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】解：设尺， 由题意得四边形是长方形，尺，， ∵尺， ∴（尺）， ∴（尺）， 在中，由勾股定理得， ∴，解得：， 答：秋千绳索的长度为尺． 5．(24-25八上·山东济南章丘双语学校·月考)2021年第6号台风“烟花”登陆我国沿海地区．如图，台风“烟花”中心沿东西方向由点A向点B移动，已知点C为一海港，且，， ．经测量，距离台风中心及以内的地区会受到影响． (1)海港C会受到台风影响吗？为什么？ (2)若台风中心的移动速度为，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 【答案】(1)海港受台风影响，理由见解析 (2)8小时 【分析】本题考查的是勾股定理及其逆定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答． （1）利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，进而得出的度数；利用三角形面积得出的长，进而得出海港是否受台风影响； （2）利用勾股定理得出以及的长，进而得出台风影响该海港持续的时间． 【详解】（1）解：海港受台风影响，理由如下： ，，， ， 是直角三角形，且； 过点作于， 是直角三角形， ， ， ， 以台风中心为圆心周围以内为受影响区域， 海港受台风影响； （2）解：如图所示，分别在上取一点E和F，当，时，正好影响港口， 在中，由勾股定理， 同理可得， ， 台风的速度为25千米小时， （小时）． 答：台风影响该海港持续的时间为8小时． 6．(24-25八上·陕西西安西咸新区·期中)推车是一种非常常见的运输工具，广泛应用于各个领域．如图是一个推车的简化结构示意图．质检人员测得，，，，其中与之间由一个固定为的零件连接（即），按照设计要求需满足，请你帮质检人员判断该推车是否符合设计要求，并说明理由． 【答案】符合，见解析 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，解题关键是正确运用逆定理． 首先根据勾股定理求出，然后根据勾股定理的逆定理得即可得答案． 【详解】解：该推车符合设计要求， 理由如下： ，，， ， ，， ，， ， 是直角三角形，且， ， 该推车符合设计要求． 7．(24-25八上·陕西西安西咸新区·期中)爬山不仅可以增强身体素质而且可以锻炼人的心理承受能力．登山活动已经成为一项人们喜爱的运动项目．如图是一座山的局部山体模拟图，经测量此段山体的长为，的长为，且． (1)小锦猜想山体高为，请判断小锦的猜想是否正确？如果正确，请说明理由；如果不正确，请求出正确的山体高； (2)为加强攀登的安全性，工作人员将山体斜坡进行了修整，修整后的山体斜坡长，请你求出此时山脚B向外延伸多少米到点D． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么． （1）根据勾股定理直接进行计算即可； （2）根据勾股定理求出的长，然后再根据的长，求出结果即可． 【详解】（1）解：不正确； ∵， ∴， ∵，， ∴在中， ， ， 小锦的猜想不正确，山体的高为； （2）解：修整后， 由（1）知，， 在中， ， 此时山脚B向外延伸到点D． 8．(24-25八上·陕西西安鄠邑区·期中)一辆装满货物的卡车，高米，宽米，要开进上边是半圆，下边是长方形的桥洞，如图所示，已知半圆的直径为，长方形的另一条边长是． (1)此卡车是否能通过桥洞？试说明你的理由． (2)为了适应车流量的增加，先把桥洞改为双行道，要使宽为，高为的卡车能安全通过，那么此桥洞的宽至少增加到多少？ 【答案】(1)此卡车能通过桥洞，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了勾股定理的应用．明确线段之间的数量关系是解题的关键． （1）如图，记长方形宽的中点为，圆心为，取，过作交半圆于，交半圆的直径为，由勾股定理求的长，然后根据求，最后比较大小，然后进行判断作答即可； （2）如图2，同理（1），由题意知，，则，由勾股定理求的长，进而可得的长，然后计算即可． 【详解】（1）解：此卡车能通过桥洞，理由如下； 如图，记长方形宽的中点为，圆心为，取，过作交半圆于，交半圆的直径为， ∴， 由勾股定理得，， ∴， ∵， ∴此卡车能通过桥洞； （2）解：如图2， 同理（1），由题意知，， ∴， 由勾股定理得，， ∴， ∴， ∴桥洞的宽至少要增加到． 9．(24-25八上·陕西西安鄠邑区·期中)“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的最佳时节．某校八年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度（如图），他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为8米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米；③牵线放风筝的小明的身高为米．求风筝的垂直高度．    【答案】米 【分析】根据勾股定理求得即可求解． 【详解】解：根据题意，，米，米，米， ∴（米）， ∴（米）， 答：风筝的垂直高度为米． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，理解题意，掌握用勾股定理测高度是解答的关键． 10．(24-25八上·陕西西安高新区·期中)如图，滑杆在机械槽内运动，为直角，已知滑杆AB长2.5米，顶端A在AC上运动，滑杆下端B距C点的距离为1.5米，当端点B向右移动0.5米（D处）时，求滑杆顶端A下滑多少米（E处）. 【答案】梯子下滑0.5米. 【分析】由题意可知滑杆AB与AC、CB正好构成直角三角形，同理DE与CE、CD正好构成直角三角形，故可用勾股定理进行计算． 【详解】解：设AE的长为x米，依题意得CE=AC-x， ∵米，米，， ∴， ∴米， ∵米， ∴在中，， ∴，，即米， 答：梯子下滑0.5米. 【点睛】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键． 11．(24-25八上·陕西西安曲江第一中学·期中)图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图，现测得，，，其中与之间由一个固定为的零件连接（即），根据安全标准需满足，通过计算说明该车是否符合安全标准． 【答案】该车符合安全标准．理由见解析 【分析】本题考查勾股定理以及勾股定理的逆定理等知识，由勾股定理求出，再由勾股定理的逆定理证明是直角三角形，且，即可得出结论．熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键． 【详解】解：∵，，，， ∴， 在中，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， ∴该车符合安全标准． 12．(24-25八上·陕西西安黄河中学·期中)如图，小明操纵无人机从树尖飞向旗杆顶端，已知树高，旗杆高，树与旗杆之间的水平距离为，则无人机飞行的最短距离为多少？ 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，作于，连接，由题意得：，，，求出，最后由勾股定理计算即可，添加适当的辅助线构造直角三角形是解此题的关键． 【详解】解：如图，作于，连接， ， 由题意得：，，， ， ． 13．(24-25八上·陕西宝鸡陈仓区部分学校·期中)如图，车高，货车卸货时后面支架弯折落在地面处（即），经过测量，求弯折点与地面的距离．    【答案】弯折点B与地面的距离为米 【分析】本题考查勾股定理，解题的关键是掌握勾股定理的应用．设，则，在中利用勾股定理列出方程即可求解． 【详解】解：由题意得，，， 设，则， 在中，， 即：， 解得：， 答：弯折点B与地面的距离为米． 14．(24-25八上·陕西西安雁塔区陕西师范大学附属中学·期中)消防车上的云梯示意图如图1，已知云梯最多只能伸长到25米，消防车高3.5米．如图2，某栋楼发生火灾，在这栋楼的B处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，即米，此时消防车的位置A与楼房的距离米．完成B处的救援后，消防员发现在B处的正上方5米的D处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，且救援时消防车上的云梯伸至最长，即米，则消防车从A处向着火的楼房靠近的距离为多少米？ 【答案】5米 【分析】本题考查勾股定理的应用，从题中抽象出勾股定理这一数学模型，利用勾股定理解和即可． 【详解】解：在中，，， ， ， 在中，，， ， ， 即消防车从A处向着火的楼房靠近的距离为5米． 15．(24-25八上·陕西西安西安交通大学附属中学分校·期中)如图，有一张长宽比为的长方形纸片，面积为． (1)分别求长方形纸片的长和宽； (2)小丽想沿这张长方形纸片边的方向裁剪一块长宽比为的新长方形，使其面积为，请问她能裁出符合要求的长方形吗？试说明理由． 【答案】(1)长方形纸片的长和宽分别是，； (2)她不能裁出符合要求的长方形.见解析 【分析】本题考查了算术平方根的应用． （1）设长方形的长为，宽为，再利用长方形的面积公式，列出方程，即可求出结论； （2）设长方形纸片的长为，则宽为，根据新纸片的面积，即可得出关于a的方程，利用平方根得出a的值，然后计算出长宽，即可得出结果． 【详解】（1）解：设长方形的长为，宽为， 根据题意得：， 解得：（负值舍去）， ∴，． 答：长方形纸片的长和宽分别是，； （2）解：不能，理由如下： 设长方形纸片的长为，则宽为， 根据题意得：， 解得：（负值舍去）， ∴，， ∴她不能裁出符合要求的长方形. 地 城 考点03 勾股定理中的折叠问题 1．(24-25八上·陕西西安鄠邑区·期中)如图，长方形中，，，将此长方形折叠，使点D与点B重合，折痕为，则的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，由折叠的性质可得，设，则，利用勾股定理可得方程，解方程求出，再利用三角形面积计算公式求解即可． 【详解】解：由折叠的性质可得， 设，则， 由长方形的性质可得， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴， 故选：C． 2．(24-25八上·陕西宝鸡陈仓区·期中)如图，Rt△ABC中，AB=9，BC=6，∠B=90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为（  ） A．4 B．3 C．2 D．5 【答案】A 【分析】设BN=x，则由折叠的性质可得DN=AN=9-x，根据中点的定义可得BD=3，在Rt△BND中，根据勾股定理可得关于x的方程，解方程即可求解． 【详解】解：设BN=x，由折叠的性质可得DN=AN=9-x， ∵D是BC的中点， ∴BD=3， 在Rt△NBD中，x2+32=（9-x）2， 解得x=4． 即BN=4． 故选A． 【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），折叠的性质，勾股定理，中点的定义以及方程思想，综合性较强． 3．(24-25八上·陕西咸阳三原县·期中)如图，在长方形中，将沿折叠到的位置，点落在处，若，，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键； 根据折叠的性质可得，进而根据勾股定理即可求解； 【详解】解：设的长为， ∵四边形是矩形， ，，， 根据折叠的性质，得， ， ， ， ， ， 在中，， 即， 解得：， ， 故选：B 4．(24-25八上·陕西宝鸡陈仓区部分学校·期中)如图，将长方形纸片ABCD折叠，使边DC落在对角线AC上，折痕为CE，且D点落在对角线D′处．若AB=3，AD=4，则ED的长为    A． B．3 C．1 D． 【答案】A 【分析】首先利用勾股定理计算出AC的长，再根据折叠可得△DEC≌△D′EC，设ED=x，则D′E=x，AD′=AC﹣CD′=2，AE=4﹣x，再根据勾股定理可得方程22+x2=（4﹣x）2，再解方程即可 【详解】∵AB=3，AD=4，∴DC=3 ∴根据勾股定理得AC=5 根据折叠可得：△DEC≌△D′EC， ∴D′C=DC=3，DE=D′E 设ED=x，则D′E=x，AD′=AC﹣CD′=2，AE=4﹣x， 在Rt△AED′中：（AD′）2+（ED′）2=AE2，即22+x2=（4﹣x）2， 解得：x= 故选A. 5．(24-25八上·陕西宝鸡凤翔区·)如图，四边形为长方形，与关于直线轴对称，，，点与点对应，交于点，则线段的长为（    ） A．3 B． C．5 D． 【答案】B 【分析】首先根据题意得到BE=DE，然后根据勾股定理得到关于线段AB、AE、BE的方程，解方程即可解决问题． 【详解】设ED=x，则AE=6﹣x， ∵四边形ABCD为长方形， ∴ADBC， ∴∠EDB=∠DBC； 由题意得：∠EBD=∠DBC， ∴∠EDB=∠EBD， ∴EB=ED=x； 由勾股定理得： ， 即， 解得：x=， ∴ED=． 故选：B． 【点睛】考查了几何变换中的翻折变换及其应用问题；解题的关键是根据翻折变换的性质，结合全等三角形的判定及其性质、勾股定理等几何知识，灵活进行判断、分析、推理或解答． 6．(24-25八上·陕西西安雁塔区陕西师范大学附属中学·期中)如图，在长方形纸片中，，点P在边上，将沿折叠，点C落在点E处，分别交于点G，F，若，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了矩形的折叠问题，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，由折叠前后对应边相等，可得，．再证 ，推出，设，利用勾股定理解，即可求解． 【详解】解：在长方形纸片中，， ∴，， 根据折叠可知，，． 在和中， ∴ ， ∴， ∴， 设， 则，，， ∵， ∴中，， ∴， 解得， ∴的长为． 故答案为：． 7．(24-25八上·陕西西安曲江第一中学·期中)如图，长方形纸片，，，点、分别是边、上的点，将沿着翻折得到． (1)如图1，点落在边上，若，则______，______． (2)如图2，若，点是的中点，连接、，求的面积． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据题意，折叠的性质可得，根据在中，，，，设，则由等面积法可得，求解后可得答案； （2）如图，延长交于，设，，则，由勾股定理得：，结合面积法可得：，可得， ，由可得三角形面积，结合可得答案． 【详解】（1）解：∵四边形是长方形，，，， ∴，， ∵沿着翻折得到， ∴， ∴，，， 在中，，， ∴， 设， ∵， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：；； （2）∵四边形是长方形，，，，是边中点， ∴，， ∵沿着翻折得到， ∴，，， ∴， 如图，延长交于，设，， ∴， ∴， 即， ∴， ∵， 即， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴ ∴ ， ∵，且与的底边共线，高相等， ∴， ∴， ∴的面积为． 【点睛】本题考查折叠性质，长方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，等面积法的应用，二元一次方程组的应用等知识点．利用方程的思想及等积变换的思想解决问题是解题的关键． 8．(24-25八上·陕西西安碑林区育才中学·期中)如图，将矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上F点处，已知CE＝3cm，AB＝8cm，求图中阴影部分的面积．    【答案】30． 【分析】根据折叠的过程以及矩形的对边相等，得：AF＝AD＝BC，DE＝EF．然后根据勾股定理求得CF的长，再设BF＝x，即可表示AF的长，进一步根据勾股定理进行求解． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB=CD，AD=BC， 由折叠可知△ADE和△AFE关于AE成轴对称， 故AF＝AD，EF＝DE＝DC﹣CE＝8﹣3＝5cm． 在△CEF中，CF＝=4cm， 设BF＝xcm，则AF＝AD＝BC＝（x+4）cm． 在Rt△ABF中，由勾股定理，得82+x2＝（x+4）2． 解得x＝6，故BC＝10． 所以阴影部分的面积为：10×8﹣2S△ADE＝80﹣50＝30（cm2）． 【点睛】此题考查勾股定理的实际应用，矩形的性质，折叠的性质，正确分析图形得到直角三角形，利用勾股定理解决问题是解题的关键． 地 城 考点04 勾股定理与几何综合 1．(24-25八上·陕西西安西咸新区·期中)如图，在中，于点，，则的长为（    ）    A． B．6 C． D．4 【答案】A 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，等面积法的应用，利用勾股定理先求解，再利用可得答案． 【详解】解：∵， ， ∴， ∵于点， ∵， ∴， 故选：A． 2．(24-25八上·陕西西安黄河中学·期中)如图，在中，点D，E分别在边，上，沿折叠，使点B与点C重合．若，，则的长为（   ） A．1 B．1.2 C．1.3 D．1.5 【答案】A 【分析】本题主要考查了折叠的性质以及勾股定理，连接，由折叠的性质可得，，设，则，在中，，在中，，即，整理求解即可得出答案． 【详解】解：连接，如下图： 由折叠的性质可得，， 设，则， 在中，， 在中，， 即， 整理得：， 解得：， ∴， 故选：A． 3．(24-25八上·陕西西安西北工业大学附属中学·期中)如图，在等边中，，平分，点E在的延长线上，且，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查等边三角形的性质及三角形的外角，熟练掌握等边三角形的三线合一是解题的关键． 根据等边三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵等边的边长，平分， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 故选：A． 4．(24-25八上·陕西西安经开第二中学·期中)如图，在中，是边上的高，若分别是和上的动点，则的最小值为 ． 【答案】9.6 【分析】由等腰三角形的三线合一可得出垂直平分，勾股定理求出，过点B作于点Q，交于点P，则此时取最小值，最小值为的长，在中，利用面积法可求出的长度，此题得解． 【详解】解：∵是边上的高， ∴垂直平分， ∴若连接，则，， ∴ 过点B作于点Q，交于点P，则此时取最小值，最小值为的长，如图所示． ∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质、勾股定理、垂线段最短、等腰三角形的性质以及三角形的面积，利用点到直线垂直线段最短找出的最小值为是解题的关键． 5．(24-25八上·陕西西安鄠邑区·期中)如图，在中，，E是边上一点，连接，在右侧作，且，连接．若，，则四边形的面积为 ． 【答案】60 【分析】本题考查等边对等角，平行线的性质，角平分线的性质，勾股定理：过点作，，根据等边对等角结合平行线的性质，推出，进而得到，得到，进而得到四边形的面积等于，设，勾股定理求出的长，再利用面积公式求出的面积即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分， 过点作，， 则：， ∵，且， ∴， ∴四边形的面积， ∵， ∴， 设，则：， 由勾股定理，得：， ∴， 解：， ∴， ∴， ∴四边形的面积为60． 故答案为：60． 6．(24-25八上·陕西西安高新区·期中)等腰中，，，则边上的高是 ． 【答案】 【分析】根据题意作出高线，根据勾股定理即可得出结论． 【详解】解：如图所示，过点A作于点， ，， ∴， ∴． 故答案为：8． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用和等腰三角形的性质，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和等于斜边长的平方是解答此题的关键． 7．(24-25八上·陕西咸阳三原县·期中)一个三角形的三边长的比为，且其周长为，则其面积为 ． 【答案】/平方厘米 【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键； 先设三角形的三边长分别为，，，再由其周长为求出的值，根据勾股定理的逆定理判断出三角形的形状，由其面积公式即可求解； 【详解】解：三角形的三边长的比为， ∴设三角形的三边长分别为，，， 其周长为， ，解得， ∴三角形的三边长分别是，，， ∵， 此三角形是直角三角形， ， 故答案为： 8．(24-25八上·陕西宝鸡凤翔区·)如图，点E，F分别在，上，，垂足为O，．若，，则点F到直线的距离为 ．    【答案】 【分析】首先证明，再证明，利用勾股定理求出，最后运用面积法可求出点到直线的距离． 【详解】解：∵， ∴， ∵，即， ∴， ∴， 设点到直线的距离为，且，，， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质及点到直线的距离，勾股定理，熟练应用平行线的判定与性质和点到直线的距离计算方法进行计算是解决本题的关键． 9．(24-25八上·陕西西安陕西师范大学附属中学陆港初级中学·期中)如图，中，，点分别是的中点，在上找一点，连接，当最小时，这个最小值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查轴对称最短路径的计算，勾股定理，等腰直角三角形的性质，根据题意，如图，连接，则就是的最小值，在中，运用勾股定理即可求解． 【详解】解：已知， ∴是等腰直角三角形， ∵点是中点， ∴， ∴点关于的对称点为点， 如图，连接，当点三点共线时，就是的最小值， ∵在中，，点分别是的中点， ∴， ∴， ∴的最小值是， 故答案为：． 10．(24-25八上·陕西西安经开第二中学·期中)如图，在中，点在边上，已知，，，点在上，且． (1)试说明：； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． （1）先利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，于是结论得证； （2）由（1）可得，进而可得，利用可证得，于是可得，然后在中，利用勾股定理即可求出的长． 【详解】（1）证明：，，， ，， ， 是直角三角形， ， ； （2）解：由（1）可得：， ， ，， ， ， ． 11．(24-25八上·陕西咸阳秦都区咸阳彩虹中学·期中)【问题提出】 （1）如图1，在中，，分别以的三边为边向外作正方形，若以为边的正方形面积，以为边的正方形面积，则以为边的正方形面积______； 【问题探究】 （2）如图2，在中，，点为的延长线上一点，连接，若，，，试求的面积； 【问题解决】 （3）学校劳动实践基地的开发能让学生体验劳动的艰辛，品味获得劳动成果的喜悦，同时满足学生劳动教育实践需要．如图3，是某校一块劳动实践基地，经测量，，学校计划对该基地进行重新扩建规划，在边的延长线上取一点，分别以和为边向外作正方形和正方形，在下方作长方形，使得，根据规划要求，正方形的面积比正方形的面积多200平方米，请你计算长方形的面积． 【答案】（1）10；（2）126；（3）200平方米． 【分析】此题考查了勾股定理的应用，平方差公式，等腰三角形三线合一性质，解题的关键是掌握勾股定理． （1）首先根据题意得到，，然后利用勾股定理求出，进而求解即可； （2）如图所示，过点A作于点E，利用三线合一得到，然后根据勾股定理得到，代数求出，进而利用三角形面积公式求解即可； （3）如图所示，过点A作于点G，首先得到，然后利用勾股定理求出，然后移项，利用平方差公式得到，然后等量代换得到即可求解． 【详解】（1）∵以为边的正方形面积，以为边的正方形面积， ∴，， ∵在中，， ∴， ∴以为边的正方形面积； （2）如图2所示，过点A作于点E， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴的面积； （3）如图3所示，过点A作于点G， ∵正方形的面积比正方形的面积多200平方米， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴长方形的面积为200平方米． 12．(24-25八上·陕西西安铁一中学·期中)如图，在中，，，D为边上的一点，，． (1)求证：； (2)求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)84 【分析】（1）根据，，，得，证明； （2）根据勾股定理，得，求得，计算的面积即可． 本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理，勾股定理的逆定理是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴， ∴； （2）解：根据勾股定理，得， ∴， ∴的面积为：． 13．(24-25八上·陕西西安西北工业大学附属中学·期中)如图，在中，，，． (1)判断的形状，并说明理由； (2)若点D为线段上一点，连接，且，求的面积． 【答案】(1)是直角三角形，理由见解析 (2)36 【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理，三角形的面积． （1）直接根据，再结合勾股定理的逆定理解答即可； （2）设，则，，再根据勾股定理求出的值，进而可得出结论． 【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下： ，，，， ， 是直角三角形； （2）解：，，，， 设，则，， 由（1）知，是直角三角形，且， ，即， 解得， ， ． 14．(24-25八上·陕西咸阳实验中学·)综合与实践 某学校的数学兴趣小组发现这样一个模型，两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，会形成一组全等的三角形，具有这个规律的图形称为“手拉手”图形． (1)[材料理解] 如图①，分别以的边，为边向外作等腰直角和，，，．连接、，问与有怎样的等量关系，并说明理由； (2)[深入探究] 如图②，连接DE，若，，______； (3)[实际应用] 如图③，要测量池塘两岸相对的两点B、E的距离，已经测得，，，米，米，的长为______． 【答案】(1)相等 (2)680； (3)米 【分析】（1）根据得到得到，证明即可得证； （2）过点E作，交的延长线于点F，过点C作于点G， 根据勾股定理，三角形的全等判定和性质，完全平方公式解答即可． （3）作等腰直角，使得，，利用三角形全等，勾股定理解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：过点E作，交的延长线于点F，过点C作于点G， 根据勾股定理，得 ； ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， 故答案为：680． （3）解：作等腰直角，使得，． ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵米， ∴米， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：米． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，完全平方公式，熟练掌握等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理是解题的关键． 15．(24-25八上·陕西西安西安交通大学附属中学分校·期中)已知，如图在△ABC中，BC＝6，AC＝8，DE⊥AB，DE＝7，△ABE的面积为35，求△ACB的面积． 【答案】24 【分析】根据三角形面积求出AB，推出AC、BC的平方和等于AB的平方，求出∠C＝90°，根据三角形面积公式求出即可． 【详解】∵DE＝7，△ABE的面积为35， ∴×AB×7＝35， ∴AB＝10， ∵BC＝6，AC＝8， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴∠C＝90°， ∴S△ABC＝×6×8＝24． 【点睛】本题考查了三角形的面积，勾股定理的逆定理的应用，解此题的关键是求出△ABC是直角三角形． 地 城 考点05 勾股定理中最短路径问题 1．(24-25八上·陕西咸阳秦都区咸阳彩虹中学·期中)如图，长方体的底面是边长为6的正方形，高，若棱的中点处有一只蚂蚁，要沿着长方体的外表面爬到顶点处，则它需要爬行的最短路程是（    ） A．10 B． C．12 D．14 【答案】A 【分析】本题考查了平面展开—最短路径问题，勾股定理，熟练掌握该方法是本题解题的关键．根据长方体的展开图，利用勾股定理即可得到结论． 【详解】解：如图， ； 如图， ； ∵， ∴需要爬行的最短路径长为10， 故选：A． 2．(24-25八上·陕西西安碑林区育才中学·期中)如图，一只蚂蚁从圆柱体的下底面点沿着侧面爬到上底面点，已知圆柱的底面周长为，高为，则蚂蚁所走过的最短路径是（    ） A．28 B．29 C．25 D．2 【答案】C 【分析】要求最短路径，首先要把圆柱的侧面展开，利用两点之间线段最短，然后利用勾股定理即可求解．本题考查了平面展开最短路径问题，勾股定理,解题的关键是会将圆柱的侧面展开，并利用勾股定理解答． 【详解】解：把圆柱侧面展开，展开图如图所示，点、的最短距离为线段的长． ∵为底面半圆弧长， ∴， 在中，，， ∴． 故选：C． 3．(24-25八上·陕西西安西安交通大学附属中学分校·期中)如图，在一个长为，宽为的长方形木板上，放着一根长方体木块，木块较长的棱和木板的宽平行且棱长大于，木块从正面看是边长为的正方形，一只蚂蚁从点出发到达边中点需要走的最短路程为（    ）． A．10 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理与最短路径问题，将木块展开，然后根据两点之间线段最短利用勾股定理解答即可． 【详解】解：如图，将木块展开， 由题意，得：展开后长方形的长为，， 则：蚂蚁从点出发到达边中点需要走的最短路程为； 故选B． 4．(24-25八上·陕西咸阳兴平·期中)我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点处，则问题中葛藤的最短长度是（    ）尺 A．15 B．20 C．25 D．30 【答案】C 【分析】将圆柱体展开，利用两点之间线段最短和勾股定理进行计算即可． 【详解】解：把圆柱的侧面展开五次，如图： 表示葛藤的最短长度， (尺)，尺， ， 即葛藤的最短长度是25尺； 故选C． 【点睛】本题考查勾股定理的应用．将立体图形展开成平面图形，确定最短距离，是解题的关键． 5．(24-25八上·陕西咸阳永寿县甘井中学·期中)某校“灯谜节”的奖品是一个底面为等边三角形的灯笼（如图），在灯笼的侧面上，从顶点A到顶点缠绕一圈彩带．已知此灯笼的高为50，底面边长为40，则这圈彩带的长度至少为（　　） A．50 B．120 C．130 D．150 【答案】C 【分析】将三棱柱沿展开，得到直角边分别是底面周长，棱柱的高，勾股定理计算即可． 本题考查了三棱柱的展开，勾股定理，熟练掌握三棱柱的展开，勾股定理是解题的关键． 【详解】解：将三棱柱沿展开，其展开图如图， 则（cm）， 答：这圈金属丝的长度至少为130． 故选：C． 6．(24-25八上·陕西咸阳渭城区第二初级中学·期中)如图，长方体鱼缸（无盖）的长，宽，高分别为，，，一只壁虎从外表面顶点出发，沿长方体表面爬到内侧点处，点在上且距离上沿（即），壁虎爬行的最短路程是（   ）（鱼缸厚度忽略不计） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了最短路径问题，勾股定理．延长到点，使，连接，交于点P，连接．则．的最小值为的长．利用勾股定理求出的长度即为壁虎爬行最短路程． 【详解】解：如图，延长到点，使，连接，交于点P，连接． 则．的最小值为的长． ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 7．(24-25八上·陕西西安西咸新区·期中)如图，一个圆柱形容器的高为，底面半径为，在容器内壁中点B处有一只蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁的底部与蚊子相对的点A处，壁虎捕捉蚊子的最短距离为 ．（容器厚度忽略不计） 【答案】15 【分析】本题主要考查勾股定理中的最短路径问题，熟练掌握勾股定理是解题的关键；将圆柱进行展开，然后根据两点之间线段最短结合勾股定理可进行求解． 【详解】解：如图，将圆柱形容器侧面展开，作点B的对称点D，连接， 则即为壁虎捕捉蚊子的最短距离， 由题意得：底面圆的周长为，高为， ∴，， ∴， ∴； 故答案为15． 8．(24-25八上·陕西咸阳三原县·期中)如图，某会展中心在会展期间准备将高，长，宽的楼道铺上地毯，已知地毯每平方米元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要 元钱． 【答案】 【分析】此题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键； 地毯的长是楼梯的竖直部分与水平部分的和，即与的和，在直角中，根据勾股定理即可求得的长，地毯的长与宽的积就是面积. 【详解】解：由题意得： 由勾股定理可得：， 则地毯总长为， 则地毯的总面积为， 所以铺完这个楼道至少需要（元）； 故答案为： 9．(24-25八上·陕西西安曲江第一中学·期中)一个圆柱底面周长为，高为，则蚂蚁从A点爬到B点的最短距离为 ． 【答案】10 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，圆柱的侧面展开图是矩形，蚂蚁从A点爬到B点的最短距离为长方形的边的中点A到顶点B的距离，由勾股定理求出的长即得到问题的答案． 【详解】如图，蚂蚁从A点爬到B点的最短距离为长方形的边的中点A到顶点B的距离， ∵， ∴， 故答案为：10． 10．(24-25八上·陕西西安西北工业大学附属中学·期中)如图，长方体盒子的长、宽、高分别为、、，在中点M处有一滴蜜糖，有一只小虫沿盒子表面（每个面均可爬）从G点爬到M点去吃，则最短路线长为 ． 【答案】/厘米 【分析】本题考查了平面展开最短路径问题，勾股定理，要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体的侧面展开，然后利用两点之间线段最短解答． 【详解】解：①如图1，连接， 在中，，， 由勾股定理得：， 此时； ②如图2，连接， 在中，，， 由勾股定理得：， ∴； 如图3， 在中，，， 由勾股定理得：； ， 从处爬到处的最短路程是， 故答案为：． 11．(24-25八上·陕西西安咸阳高新一中·期中)有一个如图所示的长方体透明玻璃鱼缸，假设其长，高，水深，在水面上紧贴内壁的处有一块面包屑，在水面线上，且，一只蚂蚁想从鱼缸外的点沿鱼缸壁爬进鱼缸内的处吃面包屑．蚂蚁爬行的最短路线为 ． 【答案】 【分析】本题考查平面展开−最短路径问题，关键知道两点之间线段最短，从而可找到路径求出解．作出A关于的对称点，连接，与交于点Q，此时最短；为直角的斜边，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示作出A关于的对称点，连接，与交于点Q，小虫沿着的路线爬行时路程最短． 在直角中，， ∴ ∴最短路线长为cm. 故答案为：． 12．(24-25八上·陕西咸阳永寿县御家宫中学·期中)如图，一个圆柱形玻璃杯的高为10cm，底面半径为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁处的爬行最短路线的长为 ．（杯壁厚度不计） 【答案】 【分析】本题考查了圆柱的侧面展开，轴对称距离最短，勾股定理，熟练掌握圆柱的侧面展开，勾股定理，轴对称距离最短问题是解题的关键． 将杯子侧面展开，作点A关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即最短，利用勾股定理即可解答． 【详解】解：如图：将杯子侧面展开，作A关于的对称点， ∴为矩形， ∵底面半径半径为， ∴底面周长为， ∴， 根据题意得，， ∴， 连接，则即为最短距离， ． 故答案为：． 13．(24-25八上·陕西西安滨河学校·期中)如图，有一个圆柱，底面圆的直径AB＝cm，高BC＝12cm，P为BC的中点，一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱的表面爬到P点的最短距离为 cm． 【答案】10 【分析】把圆柱的侧面展开，连接AP，利用勾股定理即可得出AP的长，即蚂蚁从A点爬到P点的最短距离． 【详解】解：已知如图： ∵圆柱底面直径为cm、高BC=12cm，P为BC的中点， ∴圆柱底面圆的半径是cm，BP=6cm， ∴AB=×2×π×=8(cm)， 在Rt△ABP中，AP==10（cm）， ∴蚂蚁从A点爬到P点的最短距离为10cm， 故答案为：10． 【点睛】本题考查的是平面展开-最短路径问题，根据题意画出圆柱的侧面展开图，利用勾股定理求解是解答此题的关键． 14．(22-23八上·宁夏银川金凤区第六中学·月考)如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是多少？ 【答案】25 【分析】要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体侧面展开，然后利用两点之间线段最短解答． 【详解】 解：只要把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第1个图： 长方体的宽为10，高为20，点离点的距离是5， ，， 在直角三角形中，根据勾股定理得： ； 只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第2个图： 长方体的宽为10，高为20，点离点的距离是5， ，， 在直角三角形中，根据勾股定理得： ； 只要把长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第3个图： 长方体的宽为10，高为20，点离点的距离是5， ， 在直角三角形中，根据勾股定理得： ； ， 蚂蚁爬行的最短距离是25． 【点睛】本题主要考查两点之间线段最短，勾股定理，关键是将长方体侧面展开，然后利用两点之间线段最短解答． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $