22.1.3 二次函数y=a(x－h)²＋k的图象和性质 课件 2025-2026学年人教版数学九年级上册

22.1.3 二次函数y=a(x－h)²＋k的图象和性质 授课人：××× 学习目标 1. 掌握二次函数的图象特点，能说出开口方向、对称轴和顶点。 2. 理解抛物线与的平移关系。 3. 通过探究过程，培养观察、分析能力，体会数形结合思想，提升对函数图象变化的认知。 课堂导入 01 课堂导入 在学习了二次函数 的图象与性质后，我们进一步研究其平移变化。通过观察 与 的关系，可以发现：当 时，图象向上平移；当 时，图象向下平移。类似地，函数 的图象则是将 向左或右平移。由此引出顶点式 ，它完整表达了二次函数的开口方向、对称轴与顶点位置，体现了函数图象的平移规律，为后续深入研究函数性质奠定基础。 探究新知-二次函数 的图象和性质 01 一、抛物线 与 的图象特征 提问：抛物线 和 的开口方向、对称轴和顶点分别是什么？ 引导学生观察并分析： 1. 开口方向： 由于二次项系数 ，因此两条抛物线的开口方向都向上。 2. 对称轴： 两条抛物线的表达式中都没有一次项（即没有 的一次项），因此它们的对称轴都是y轴，即直线 。 3. 顶点坐标： 对于 ，顶点为 ； 对于 ，顶点为 。 总结： 这两条抛物线与 的形状相同，只是在竖直方向上发生了平移。 二、抛物线 、 与 的关系 提问：抛物线 、 与 之间有什么联系？ 引导学生观察图象并进行对比分析： 1. 图象对比： 抛物线 是将 向上平移1个单位得到的； 抛物线 是将 向下平移1个单位得到的。 2. 平移规律： 在函数表达式中，常数项 决定了抛物线的上下平移方向和距离： 当 时，图象向上平移 个单位； 当 时，图象向下平移 个单位。 3. 图象特征不变性： 平移不改变抛物线的开口方向和形状，即二次项系数 决定了抛物线的开口大小和方向。 三、一般形式 与 的关系 提问：抛物线 与抛物线 之间有什么关系？ 引导学生归纳总结： 1. 函数结构分析： 是在 的基础上加上一个常数 ； 这相当于将原抛物线在竖直方向上进行平移。 三、一般形式 与 的关系 2. 平移规律总结： 当 时，抛物线 向上平移个单位； 当 时，抛物线 向下平移个单位。 三、一般形式 与 的关系 3. 图象性质对比： 开口方向：由 的正负决定，与 无关； 对称轴：始终为 （即 y 轴）； 顶点坐标：由 变为 。 三、一般形式 与 的关系 4. 结论： 抛物线 是由抛物线 沿y轴方向平移个单位得到的。 四、图象对比示意图（若教材中有图） 根据教材原文中提供的图象信息，可插入如下图示（若存在）： 抛物线平移示意图 图中展示了抛物线 、 和 的图象，直观地反映了上下平移的效果。 新知巩固-二次函数 的图象和性质 01 题目 (1) 抛物线 ， 的开口方向、对称轴和顶点各是什么？ (2) 抛物线 ， 与抛物线 有什么关系？ 可以发现，把抛物线 向上平移1个单位长度，就得到抛物线 ；把抛物线 向下平移1个单位长度，就得到抛物线 。 思考：抛物线 与抛物线 有什么关系？ 探究新知-二次函数 的图象和性质 01 在同一坐标系中，分别画出函数 与 的图象，并通过列表、描点、连线完成作图。 先列出部分函数值： 对于 ： 对于 ： 通过描点连线，得到两个函数的图象如下图所示： 一、画图观察函数 与 的图象特征 一、画图观察函数 与 的图象特征 观察图象可得： 函数 的开口方向向下，对称轴为直线 ，顶点为 ； 函数 的开口方向向下，对称轴为直线 ，顶点为 。 二、分析函数图象与 的关系 将函数 与 进行比较： 函数 是将 向左平移 1 个单位长度得到的； 函数 是将 向右平移 1 个单位长度得到的。 由此可以归纳出：函数 的图象是由函数 的图象沿 轴方向平移 个单位长度得到的。 当 时，向左平移 个单位； 当 时，向右平移 个单位。 三、总结函数 的图象性质 函数 是二次函数的一种标准形式，其图象是一条抛物线，具有以下性质： 1. 开口方向： 若 ，抛物线开口向上； 若 ，抛物线开口向下。 2. 对称轴： 对称轴为直线 。 3. 顶点坐标： 顶点为 。 4. 平移关系： 函数 是由函数 沿 轴方向平移 个单位长度得到的。 四、拓展思考：函数 与 的关系 函数 与 的关系与上述类似： 函数 是由函数 向右平移 个单位长度得到的； 若 ，则向右平移 个单位； 若 ，则向左平移 个单位。 其图象的开口方向由 的符号决定，对称轴为直线 ，顶点为 。 新知巩固-二次函数 的图象和性质 01 题目 第1题：在同一平面直角坐标系中，二次函数 和一次函数 （其中 ，）的图象大致为（  ） 选项如下： A. 图像A B. 图像B C. 图像C D. 图像D 题目 第2题：已知抛物线 与 轴两个交点间的距离为 2，将此抛物线向右平移 2 个单位，再向下平移 个单位，得到一条新抛物线，且新抛物线与 轴两个交点间的距离是 4，求 的值。 选项为： A. 2 B. 3 C. 4 D. 探究新知-二次函数 的图象和性质 01 一、探究抛物线 的图象特征 我们已经知道，抛物线 是最基础的二次函数图象。现在我们来探究形如 的二次函数图象与 的关系。 观察函数表达式 ，可以发现它是由 经过平移变换得到的。具体来说： 当 时，图象向右平移 个单位； 当 时，图象向左平移 个单位； 当 时，图象向上平移 个单位； 当 时，图象向下平移 个单位。 因此，抛物线 是由抛物线 平移得到的，其形状不变，仅位置发生变化。 二、探究抛物线 的开口方向、对称轴与顶点 通过观察图象和代数分析，我们可以归纳出抛物线 的以下性质： 1. 开口方向： 当 时，抛物线开口向上； 当 时，抛物线开口向下。 2. 对称轴： 抛物线的对称轴为直线 。 3. 顶点坐标： 抛物线的顶点为点 。 这些性质可以通过对函数表达式进行变形和图象观察得出。 三、探究函数值随自变量变化的趋势 从图象上可以看出，当 时，抛物线在顶点处取得最小值；当 时，抛物线在顶点处取得最大值。 进一步分析函数值的变化趋势： 当 时： 在 时，函数值随 的增大而减小； 在 时，函数值随 的增大而增大。 当 时： 在 时，函数值随 的增大而增大； 在 时，函数值随 的增大而减小。 这说明函数的增减性与 的正负密切相关，顶点是函数的极值点。 四、图象平移规律的直观理解 我们可以通过图象对比来更直观地理解平移规律。例如，将 与 进行比较： 原函数 的顶点为 ； 平移后的函数 的顶点为 。 这说明图象向右平移了 1 个单位，向上平移了 3 个单位。 抛物线平移示意图 如图所示，平移后的图象与原图象形状完全相同，仅位置不同。 五、总结图象与性质之间的联系 综上所述，函数 的图象是由 平移得到的，其图象的开口方向、对称轴、顶点坐标以及函数值的变化趋势都与参数 、、 密切相关： 决定开口方向和图象的“宽窄”； 决定图象左右平移的位置； 决定图象上下平移的位置。 这些性质为我们进一步研究二次函数的图象与性质提供了基础。 新知巩固-二次函数 的图象和性质 01 题目 第1题：将抛物线 绕点 旋转 ，得到新的图象，则新的图象对应的函数表达式为（　　） 选项： A． B． C． D． 题目 第2题：对于二次函数 ，下列说法错误的是（　　） 选项： A．图象开口向上 B．对称轴是直线 C．当 时， 的最大值为 21 D．将图象向右平移 3 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度后的顶点坐标为 新知应用 01 例2题目 在同一直角坐标系中，画出二次函数 和 的图象。 例3题目 画出函数 的图象，并指出它的开口方向、对称轴和顶点。怎样移动抛物线 就可以得到抛物线 ？ 例4题目 要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1 m处达到最高，高度为3 m，水柱落地处离池中心3 m，水管应多长？ 课堂总结 01 课堂总结 （1）抛物线与形状相同，向上（下）平移个单位得 ，开口向上，开口向下，对称轴是轴，顶点是。 （2）抛物线与形状相同，向左（右）平移个单位得 ，开口方向由决定，对称轴是，顶点是。 （3）抛物线，决定开口方向，对称轴是，顶点是，由平移得到。 感谢聆听 THANK YOU $