第3单元 包装盒——长方体和正方体（知识清单）数学青岛版（五四制）五年级上册

该小学数学单元知识清单系统梳理了“长方体和正方体”单元的核心内容，涵盖基本特征、表面积与体积计算、单位换算及综合应用等五大知识范畴，构建了从“图形认知”到“公式推导”，再到“实际问题解决”的阶梯式学习支架，帮助学生建立清晰的空间观念和逻辑结构。 清单通过分类归纳、分级标注和关联对比等方式呈现知识体系，如将“棱长之和公式”设为易错点并配以口诀“长宽高相加乘四”，强化记忆；在“展开图判断”题型中设置典型错误示例，引导学生辨析正方体与长方体的面数关系，提升几何直观能力。特别设计“生活情境链接卡”，如用包装盒问题串联表面积与体积的应用，促进数学语言表达与现实世界的沟通。此清单既便于学生自主复习巩固，又为教师提供精准教学依据，助力核心素养落地生根。

第3单元 包装盒——长方体和正方体单元知识清单讲义 一、长方体和正方体的基本特征 1. 长方体的特征： 长方体有6个面，每个面都是长方形（特殊情况下有两个相对的面是正方形）。 长方体有12条棱，相对的4条棱长度相等。 长方体有8个顶点。 相交于一个顶点的三条棱的长度，分别叫作长方体的长、宽、高。 长方体的棱长之和 = (长 + 宽 + 高) × 4。 2. 正方体的特征： 正方体有6个面，每个面都是完全相同的正方形。 正方体有12条棱，所有棱的长度都相等。 正方体有8个顶点。 正方体的棱长之和 = 棱长 × 12。 二、长方体和正方体的表面积 1. 表面积的定义：长方体或正方体6个面的总面积，叫做它的表面积。 2. 长方体表面积的计算公式： 长方体的表面积 = (长 × 宽 + 长 × 高 + 宽 × 高) × 2。 3. 正方体表面积的计算公式： 正方体的表面积 = 棱长 × 棱长 × 6。 4. 实际应用：解决与表面积相关的实际问题，如粉刷墙壁、包装礼盒等。 三、长方体和正方体的体积 1. 体积的定义：物体所占空间的大小叫作物体的体积。 2. 长方体体积的计算公式： 长方体的体积 = 长 × 宽 × 高，用字母表示：V = abh。 长方体的体积也可以表示为底面积 × 高，即 V = Sh。 3. 正方体体积的计算公式： 正方体的体积 = 棱长 × 棱长 × 棱长，用字母表示：V = a³。 正方体的体积同样可以表示为底面积 × 高，即 V = Sh（因为正方体的底面积等于棱长的平方）。 4. 实际应用：解决与体积相关的实际问题，如计算容器容量、物体占地面积等。 四、体积单位和容积单位 1. 常用的体积单位：立方米（m³）、立方分米（dm³）、立方厘米（cm³）。 2. 常用的容积单位：升（L）、毫升（mL）。 3. 单位换算： 立方米 = 1000立方分米 立方分米 = 1000立方厘米 升 = 1立方分米 毫升 = 1立方厘米 4. 实际应用：进行简单的体积单位换算，选择合适的单位计量物体的体积或容积。 五、长方体和正方体的综合应用 1. 结合生活实际：解决与长方体和正方体相关的综合问题，如计算包装盒的用料、设计最优包装方案等。 2. 提高空间想象能力：通过观察、操作等活动，培养学生的空间观念和几何直观能力。 3. 解决问题的能力：运用所学知识解决实际问题，提高学生的数学应用意识和解决问题的能力。 题型1：长方体的特征 【例1】有一个长方体，已知第一组相对的面是长6米，宽3米的长方形；第二组相对的面是长4米，宽3米的长方形。第三组相对的面是（    ）的长方形。 A．长6米，宽3米 B．长4米，宽3米 C．长6米，宽4米 D．无法判断 【答案】C 【分析】如果把长6米，宽3米的长方形看作长方体的下底面，长4米，宽3米的长方形看作长方体的右侧面，那么它朝前的侧面的长与下底面的长相等，宽与右侧面的长相等，据此作答。 【详解】由分析可得：有一个长方体，已知第一组相对的面是长6米，宽3米的长方形；第二组相对的面是长4米，宽3米的长方形。第三组相对的面是长6米，宽4米的长方形。 故答案为：C 【练1】一个长方体的长、宽、高分别是10米、2.5米、3米，这个物体是（    ）。 A．教室 B．公共汽车 C．家用冰箱 D．家用餐桌 【答案】B 【分析】根据所给物体的长、宽、高并结合实际，可以得出：一个物体的长、宽、高分别是10米、2.5米、3米，它可能是公共汽车；由此解答即可。 【详解】由分析可得，一个长方体的长、宽、高分别是10米、2.5米、3米，这个物体是公共汽车。 故答案为：B 【点睛】本题考查了生活中长方体的认识。 题型2：长方体的棱长 【例2】做一个长4分米，宽3分米，高5分米的长方体框架，需要 分米的铁丝。 【答案】48 【分析】求做一个长方体框架需要铁丝的长度，就是求长方体的棱长总和；根据长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，代入数据计算即可求出铁丝的长度。 【详解】（4＋3＋5）×4 ＝12×4 ＝48（分米） 需要48分米的铁丝。 【练2】李叔叔用一根36厘米的铁丝，做一个高3厘米的长方体模型，能做出( )种不同的长方体（长、宽均为整厘米数）。 【答案】3 【分析】根据长方体棱长总和公式：棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，长＋宽＋高＝棱长总和÷4，代入数据，求出长＋宽＋高的和，再减去高，求出长和宽的和，由此确定长和宽，进而得出有几种不同的长方体。 【详解】36÷4－3 ＝9－3 ＝6（厘米） 长是5厘米，宽是1厘米，高是3厘米； 长是4厘米，宽是2厘米，高是3厘米； 长是3厘米，宽是3厘米，高是3厘米； 一共有3种不同的长方体。 李叔叔用一根36厘米上的铁丝， 做一个高3厘米的长方体模型，能做出3种不同的长方体。 题型3：正方体的特征 【例3】一个6个面都涂着红色的正方体木块，棱长为3分米。如果把它切成棱长1分米的正方体小木块，3个面涂着红色的正方体小木块有（    ）个。 A．1 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】正方体切成小正方体后面上涂色的规律：三面有红色的正方体都在顶点处，根据正方体的特征，有8个顶点，据此解答。 【详解】一个6个面都涂着红色的正方体木块，棱长为3分米。如果把它切成棱长1分米的正方体小木块，3个面涂着红色的正方体小木块有8个。 故答案为：D 【练3】长方体和正方体都有 个面， 条棱．长方体最多有 个面是正方形． 【答案】 6 12 2 【分析】围成封闭几何体的平面多边形称为多面体的面； 多面体上两个面的公共边称为多面体的棱。 【详解】长方体和正方体都有6个面，12条棱。长方体最多有2个面是正方形。 【点睛】这是关于长方体与正方体的概念解读，一定要掌握好。 题型4：正方体的棱长 【例4】用一根长（    ）厘米的铁丝可以围成一个棱长12厘米正方体框架。 A．36 B．48 C．96 D．144 【答案】D 【分析】这根铁丝的长就是正方体的棱长总和。已知正方体的棱长是12厘米，根据正方体的棱长总和＝棱长×12，代入数据计算，即可求出这根铁丝的长。 【详解】12×12＝144（厘米） 用一根长144厘米的铁丝可以围成一个棱长12厘米正方体框架。 故答案为：D 【练4】一根铁丝正好围成棱长是4厘米的正方体框架，如果改围成一个长6厘米、宽3厘米的长方体框架，长方体的高是（    ）厘米。 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】根据正方体的总棱长公式：L＝12a，即用12乘4即可求出铁丝的长度；再根据长方体的总棱长公式：L＝（a＋b＋h）×4，用铁丝的长度除以4，再减去长和宽即可求出长方体的高。 【详解】12×4＝48（厘米） 48÷4－6－3 ＝12－6－3 ＝6－3 ＝3（厘米） 则长方体的高是3厘米。 故答案为：A 题型5：正方体的展开图 【例5】下面哪个展开图不能折成正方体？（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】正方体展开图有11种特征，分四种类型，即∶第一种：“1－4－1”结构，即第一行放1个，第二行放4个，第三行放1个﹔第二种：“2－2－2”结构，即每一行放2个正方形，此种结构只有一种展开图；第三种：“3－3”结构，即每一行放3个正方形，只有一种展开图；第四种：“1－3－2”结构，即第一行放1个正方形，第二行放3个正方形，第三行放2个正方形；据此选择。 【详解】 A．属于“2－2－2”结构，能折成正方体； B．不属于正方体展开图有11种特征的其中一种，不能折成正方体； C．属于“3－3”结构，能折成正方体； D．属于“1－3－2”结构，能折成正方体； 故答案为：B 【练5】动手折一折。用纸片折一折，下面图形( )可以拼成一个完整的正方体。 【答案】A、D、E 【分析】根据正方体展开图的特点，“1—4—1”型、“2—3—1”型、“2—2—2”型、“3—3”型可以折成正方体；据此解答。 【详解】 A．，属于“1—4—1”型，是正方体的展开图，能拼成正方体； B．，不是正方体的展开图，不能拼成正方体； C．，不是正方体的展开图，不能拼成正方体； D．，属于“1—4—1”型，是正方体的展开图，能拼成正方体； E．，属于“1—4—1”型，是正方体的展开图，能拼成正方体； F．，不是正方体的展开图，不能拼成正方体。 所以，图形A、D、E可以拼成一个完整的正方体。 题型6：长方体的展开图 【例6】下面的平面图哪个不能折成长方体（    ）。 A． B． B． C． 【答案】C 【分析】长方体有6个面，相对的面完全一样，根据长方体的几种展开图“1－4－1”型、“2－3－1”型、“2－3－1”型，是长方体展开图的能折成长方体，据此分析。 进行分析。 【详解】A．1－4－1型展开图，能折成长方体； B．1－4－1型展开图，能折成长方体； C．不是长方体展开图，不能折成长方体。 故答案为：C 【点睛】关键是掌握长方体几种展开图，或具有一定的空间想象能力。 【练6】下列展开图（    ）能折成一个长方体；展开图（    ）能折成一个正方体。 ①   ②   ③   ④ A．①；② B．①；④ C．③；② D．③；④ 【答案】B 【分析】长方体有6个面，相对的面完全一样，正方体有6个面，每个面都是完全一样的正方形，根据长方体和正方体的展开图，是长方体或正方体展开图的可以折成长方体或正方体，据此分析。 【详解】①1－4－1型长方体展开图，能折成长方体；②不是正方体展开图，不能折成正方体；③不是长方体展开图，不能折成长方体；④1－4－1型正方体展开图，能折成正方体。展开图①能折成一个长方体；展开图④能折成一个正方体。 故答案为：B 【点睛】关键是熟悉长方体和正方体展开图，或具有一定的空间想象能力。 题型7：长方体正方体的表面积 【例7】计算下列图形的表面积和体积。 【答案】392平方厘米，480立方厘米；96平方分米，64立方分米 【分析】长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，长方体体积＝长×宽×高，正方体表面积＝棱长×棱长×6，正方体体积＝棱长×棱长×棱长，据此列式计算。 【详解】（12×5＋12×8＋5×8）×2 ＝（60＋96＋40）×2 ＝196×2 ＝392（平方厘米） 12×5×8＝480（立方厘米） 4×4×6＝96（平方分米） 4×4×4＝64（立方分米） 长方体的表面积是392平方厘米，体积是480立方厘米；正方体的表面积是96平方分米，体积是64立方分米。 【练7】如图两个图形都是用棱长1厘米的小正方体摆成的。它们的表面积（    ）。 A．相等 B．甲＞乙 C．甲＜乙 D．无法确定 【答案】B 【分析】观察图形可知，甲为一个长方体，甲图形的表面中有个边长为1厘米的正方形的面积；乙为一个正方体，乙图形的表面中有个边长为1厘米的正方形的面积，由此可以进行判断。 【详解】甲图形的表面正方形个数： （个） 乙图形的表面正方形个数： （个） 所以甲比乙的表面积大； 故答案为：B 题型8：体积单位换算 【例8】7升60毫升＝( )升  4平方米50平方分米＝( )平方米   0.03立方分米＝( )立方厘米 【答案】 7.06 4.5 30 【分析】1升＝1000毫升；1平方米＝100平方分米；1立方分米＝1000立方厘米；高级单位换算成低级单位，乘进率；低级单位换算高级单位，除以进率。 【详解】60÷1000＝0.06（升） 所以7升60毫升＝7.06升 50÷100＝0.5（平方米） 所以4平方米50平方分米＝4.5平方米 0.03×1000＝30（立方厘米） 所以0.03立方分米＝30立方厘米 【练8】3.06立方分米＝ 立方厘米＝ 升 毫升。 【答案】 3060 3 60 【分析】根据1立方分米＝1000立方厘米，高级单位立方分米化低级单位立方厘米，乘进率1000；根据1升＝1000毫升，1立方分米＝1升，高级单位的升化低级单位的毫升，乘进率1000，单名数换复名数，只换算小数部分即可。据此解答。 【详解】因为1立方分米＝1000立方厘米  3.06×1000＝3060 所以3.06立方分米＝3060立方厘米 因为1立方分米＝1升  1升＝1000毫升  0.06×1000＝60 所以3.06立方分米＝3升60毫升 3.06立方分米＝3060立方厘米＝3升60毫升 题型9：长方体的体积 【例9】一个长方体容器，从里面量长20厘米，宽15厘米，高12厘米。先放入一个铁块，然后加水，直到铁块完全淹没在水面以下，量得水深10厘米。捞出铁块以后，水面下降了3厘米。这个铁块的体积是( )立方厘米。 【答案】900 【分析】捞出铁块以后，水面下降的体积就是铁块的体积，下降水的体积＝容器的底面积×水面下降的高度＝长×宽×水面下降的高度，代入数据计算即可得出铁块的体积 【详解】20×15×3＝900（立方厘米） 这个铁块的体积是900立方厘米。 【练9】一个长6米，宽3米，深2米的长方体蓄水池。 （1）在蓄水池的底面和四周都贴上磁砖，贴磁砖的面积有多大？ （2）如果蓄水池内水深1.5米，蓄水池内的水有多少立方米？ 【答案】（1）54平方米 （2）27立方米 【分析】（1）求贴瓷砖的面积，就是求蓄水池的表面积减去上面的面积，实际是求长方体4个侧面和1个底面的面积，蓄水池的长、宽、高已知，利用长方体的表面积公式即可求解； （2）利用长方体的容积V＝abh，就可以求出这个蓄水池的容积。 【详解】（1）6×3＋6×2×2＋3×2×2 ＝18＋24＋12 ＝54（平方米） 答：贴磁砖的面积54平方米。 （2）6×3×1.5 ＝18×1.5 ＝27（立方米） 答：蓄水池内的水有27立方米。 题型10：正方体的体积 【例10】用360厘米长的铁丝做一个最大的正方体的框架，再用纸板将6个面包起来，至少需要( )平方厘米纸板，做出的纸盒的体积是( )。 【答案】 5400 27000立方厘米/27000cm3 【分析】根据题意，用一根铁丝做一个最大的正方体框架，则正方体框架的棱长总和等于铁丝的长度； 根据正方体棱长总和＝棱长×12，可知正方体的棱长＝棱长总和÷12，由此求出正方体的棱长； 用纸板将6个面包起来，求至少需要纸板的面积，就是求正方体的表面积，根据正方体的表面积＝棱长×棱长×6求解； 根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，求出这个纸盒的体积。 【详解】360÷12＝30（厘米） 30×30×6 ＝900×6 ＝5400（平方厘米） 30×30×30 ＝900×30 ＝27000（立方厘米） 至少需要5400平方厘米纸板，做出的纸盒的体积是27000立方厘米。 【练10】一个长方体正好能截成两个正方体，截完后表面积增加了32平方厘米，则每个正方体的体积是（    ）立方厘米。 A．27 B．54 C．64 【答案】C 【分析】将一个长方体正好能截成两个正方体说明本来的长方体是一个特殊的长方体，这个长方体的有两个对面是正方形。则表面积增加的是两个一模一样的正方形，则一个正方形的面积是16平方厘米，每个正方体的棱长是4厘米。正方体的体积＝棱长×棱长×棱长。 【详解】32÷2＝16（平方厘米） 16＝4×4 4×4×4＝64（立方厘米） 故答案为：C 1．春游活动时，小吴同学带了一瓶农夫山泉矿泉水，它的容积约（    ）。 A．50毫升 B．500毫升 C．50升 D．5立方米 【答案】B 【分析】容器所能容纳物体的体积叫做它们的容积。一般情况，20滴水大约是1毫升，两瓶矿泉水的容积是1升；一台小冰柜的容积大约是1立方米；结合生活实际、数据大小及对容积单位的认识，确定一瓶农夫山泉矿泉水的容积。 【详解】A．50毫升相当于一小口水的量，远小于一瓶矿泉水瓶的容积； B．500毫升是常见矿泉水的规格，所以一瓶农夫山泉矿泉水的容积约500毫升； C．一大桶桶装水大约18升，所以一瓶矿泉水不可能装下50升水； D．5立方米＝5000升，相当于一个大型水箱的容量，远远超过了一瓶矿泉水的容积； 所以，春游活动时，小吴同学带了一瓶农夫山泉矿泉水，它的容积约500毫升。 故答案为：B 2．如图，三组图形在数学本质上有共同特征，描述准确的是（    ）。 A．每组中的图形都是平面图形 B．每组中都有大、小两个图形，并且小图形能通过放大得到大图形 C．每组中都有一个图形和能够测量该图形大小的单位 D．无法确定 【答案】C 【分析】线段、正方形和长方形都是平面图形，正方体是立体图形；图形放大、缩小时，虽然大小会改变，但形状无法改变；测量长度用长度单位，测量面积用面积单位，测量体积用体积单位。据此解答。 【详解】A．线段、正方形和长方形都是平面图形，但正方体是立体图形。该选项说法错误。 B．线段放大后能得到更长的线段，正方体放大后可以得到更大的正方体，但正方形放大后无法得到长方形。该选项说法错误。 C．由图可知，测量线段长度时可以用一小段线段作为测量单位，测量长方形的面积时可以用小正方形作为测量单位，测量正方体的体积时可以用小正方体作为测量单位。该选项说法正确。 D．由C选项可知，该选项说法错误。 故答案为：C 3．一个杯子里盛满了水，放入一块石头（完全淹没在水下）后，溢出的水正好是200毫升。这块石头的体积大约是（    ）。（溢，此处的意思是充满而流出来） A．200毫升 B．200立方分米 C．200立方厘米 D．无法判断 【答案】C 【分析】根据题意，溢出的水的体积就是石头的体积，再根据进率“1毫升＝1立方厘米”换算单位即可。 【详解】200毫升＝200立方厘米 这块石头的体积大约是200立方厘米。 故答案为：C 4．光明学校游泳池长40米，宽25米，深2米，要把游泳池四周及底面贴上瓷砖。 （1）一共需要贴多少平方米的瓷砖？ （2）为了学生的安全，游泳池的水位设定为1.2米，需要向水池注入多少立方米的水？ 【答案】（1）1260平方米 （2）1200立方米 【分析】（1）贴瓷砖的面积＝长×宽＋长×高×2＋宽×高×2，据此列式解答； （2）水位相当于长方体的高，根据长方体体积＝长×宽×高，求出注入的水的体积。 【详解】（1）40×25＋40×2×2＋25×2×2 ＝1000＋160＋100 ＝1260（平方米） 答：一共需要贴1260平方米的瓷砖。 （2）40×25×1.2＝1200（立方米） 答：需要向水池注入1200立方米的水。 5．如图，若干个棱长为1cm的正方体木块放在墙角，露在外面的面积是( )cm2，拼成这个立体图形的体积是( )cm3。 【答案】 18 10 【分析】观察图形可知，从正面、上面、右面各看到6个面，则露在外面的面一共有6×3＝18个；已知正方体的棱长是1cm，那么正方体的每个面都是边长为1cm的正方形，根据正方形的面积公式S＝a2，求出一个面的面积，再乘露在外面的面的个数，即可求出露在外面的面积。 先数出这个立体图形所用正方体的个数，然后根据正方体的体积公式V＝a3，求出1个正方体的体积，再乘正方体的个数，即是这个立体图形的体积。 【详解】露在外面的面有：6×3＝18个 1×1×18＝18（cm2） 正方体有：3＋2＋2＋1＋1＋1＝10（个） 1×1×1×10＝10（cm3） 露在外面的面积是（18）cm2，拼成这个立体图形的体积是（10）cm3。 6．放纸鸢：在中国南方一带，端午节儿童放纸鸢称为“放殃”。聪聪和爸爸利用端午假期，自制一个长方体纸鸢框架。 （1）如图是聪聪和爸爸拼搭的一个长方体框架，已经拼搭了一部分，还需要（    ）根20厘米长的竹棒，（    ）根35厘米的竹棒和（    ）根25厘米长的竹棒。 （2）如果要给这个长方体纸鸢框的每个面贴上彩色玻璃纸，至少需要多少平方厘米的彩色玻璃纸？（接头处忽略不计） （3）这个长方体纸鸢的体积是多少立方分米？ 【答案】（1）3；3；2 （2）4150平方厘米 （3）17.5立方分米 【分析】（1）根据长方体的特征可知，长方体有12条棱，长、宽、高各有4条。从图中可知，20厘米、35厘米、25厘米长的竹棒分别有1根、1根、2根，进而得出还需竹棒的根数。 （2）要给这个长方体纸鸢框的每个面贴上彩色玻璃纸，求至少需要彩色玻璃纸的面积，就是求长方体的表面积；根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据计算即可求解。 （3）根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算，求出这个长方体纸鸢的体积，然后根据进率“1立方分米＝1000立方厘米”换算单位即可。 【详解】（1）20厘米的竹棒还需：4－1＝3（根） 35厘米的竹棒还需：4－1＝3（根） 25厘米的竹棒还需：4－2＝2（根） 如图是聪聪和爸爸拼搭的一个长方体框架，已经拼搭了一部分，还需要（3）根20厘米长的竹棒，（3）根35厘米的竹棒和（2）根25厘米长的竹棒。 （2）（25×20＋25×35＋20×35）×2 ＝（500＋875＋700）×2 ＝2075×2 ＝4150（平方厘米） 答：至少需要4150平方厘米的彩色玻璃纸。 （3）25×20×35 ＝500×35 ＝17500（立方厘米） 17500立方厘米＝17.5立方分米 答：这个长方体纸鸢的体积是17.5立方分米。 7．把一块石头完全浸没在一个长10cm、宽8cm、高6cm的长方体容器的水里，水深5cm，取出石头后，水深4.5cm。这块石头的体积是（    ）。 A．40 B．480 C．360 【答案】A 【分析】根据题意可知，水面下降部分的体积，就是石头的体积，高为下降的高度，根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高，代入数据，即可解答。 【详解】10×8×（5－4.5） ＝10×8×0.5 ＝80×0.5 ＝40（cm3） 把一块石头完全浸没在一个长10cm、宽8cm、高6cm的长方体容器的水里，水深5cm，取出石头后，水深4.5cm。这块石头的体积是80cm3。 故答案为：A 8．方形雨水管横截面是4分米的正方形，每一节雨水管长2米，做25节这样的雨水管至少需要多少平方米的铁皮？ 【答案】80平方米 【分析】要求雨水管需要铁皮的面积，也就是求雨水管的侧面积，则直接用（雨水管的长×高＋宽×高）×2，求出一节雨水管的面积，用一节雨水管的面积乘上25，即可求出25节这样的雨水管需要的面积。 【详解】4分米＝0.4米 （0.4×2＋0.4×2）×2×25 ＝1.6×2×25 ＝3.2×25 ＝80（平方米） 答：做25节这样的雨水管至少需要80平方米的铁皮。 9．一个长方体，如果高增加2厘米，就变成棱长为9厘米的正方体，那么原来长方体的体积是( )。 【答案】567立方厘米/567cm3 【分析】如果高增加2厘米，就变成棱长为9厘米的正方体，则原来这个长方体的长是9厘米，宽是9厘米，高是（9－2）厘米；根据长方体的体积＝长×宽×高，代入相应数值计算，即可解答。 【详解】9×9×（9－2） ＝81×7 ＝567（立方厘米） 因此原来长方体的体积是567立方厘米。 10．一个正方体总棱长是120分米，这个正方体的表面积是( )平方分米，体积是( )立方分米。 【答案】 600 1000 【分析】正方体有12条长度相等的棱，棱长总长度÷12＝正方体棱长，先求出棱长，再根据正方体的表面积＝棱长×棱长×6，正方体体积＝棱长×棱长×棱长，据此代入数据计算即可。 【详解】120÷12＝10（分米） 10×10×6＝600（平方分米） 10×10×10＝1000（立方分米） 所以，这个正方体的表面积是600平方分米，体积是1000立方分米。 11．一节长方体形状的铁皮通风管长2.5米，横截面是边长10厘米的正方形。做12节这样的通风管至少需要多少平方米铁皮？ 【答案】12平方米 【分析】把单位统一，都化成厘米，再运用底面周长乘通风管的长度就是通风管的表面积，接着乘12即可，最后再把面积单位换算成以平方米作单位的数。 【详解】2.5米＝250厘米 10×4×250×12 ＝40×250×12 ＝10000×12 ＝120000（平方厘米） 120000平方厘米＝12平方米 答：做12个通风管至少需要12平方米的铁皮。 12．叔叔做了一个长60厘米、宽30厘米、高40厘米的无盖玻璃鱼缸，倒入30厘米深的水。又向鱼缸里放入2700立方厘米的石头。鱼缸里的水面会升高多少厘米？ 【答案】1.5厘米 【分析】求鱼缸里的水面会升高多少厘米，用放入鱼缸里石头的体积除以鱼缸的底面积，根据长方体体积＝底面积×高，高＝体积÷底面积，就是用2700立方厘米除以长方体玻璃鱼缸的底面积，据此解答。 【详解】2700÷（60×30） ＝2700÷1800 ＝1.5（厘米） 答：鱼缸里的水面会升高1.5厘米。 13．一个密封的玻璃缸，从里面量长是12分米，宽是3分米，高是6分米。现在缸内的水深5分米。 （1）制作一个这样的玻璃缸至少需要多少玻璃？ （2）如果将这个玻璃缸竖起来放（如图），那么玻璃缸内的水深多少分米？ 【答案】（1）252平方分米 （2）10分米 【分析】（1）求制作一个这样的玻璃缸至少需要多少玻璃，就是求长方体玻璃缸的表面积。长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，据此代入数据计算。 （2）玻璃缸中水的形状是长方体，水的体积＝长×宽×水深，据此代入数据求出水的体积。将这个玻璃缸竖起来放，长变为3分米，宽变为6分米，但水的体积不变。根据长方体的体积公式，用水的体积除以现在的长和宽，即可求出现在的水深。 【详解】（1）（12×3＋12×6＋3×6）×2 ＝（36＋72＋18）×2 ＝126×2 ＝252（平方分米） 答：制作一个这样的玻璃缸至少需要252平方分米的玻璃。 （2）12×3×5＝180（立方分米） 180÷3÷6 ＝60÷6 ＝10（分米） 答：玻璃缸内的水深10分米。 14．一块长方形铁皮（如图），从四个角各切掉一个边长为3厘米的正方形，然后做成无盖盒子。这个盒子用了多少铁皮？它的容积有多少？ 【答案】510平方厘米，900立方厘米 【分析】根据题干，这个盒子用的铁皮的面积就等于这个长方形的铁皮面积减去4个边长是3厘米的正方形的面积，做成的盒子的底面长是26－3×2＝20（厘米），宽是21－3×2＝15（厘米），高是3厘米，又因为长方体的容积＝长×宽×高，据此计算即可解答问题。 【详解】21×26－3×3×4 ＝546－9×4 ＝546－36 ＝510（平方厘米） 盒子的底面长：26－3×2 ＝26－6 ＝20（厘米） 盒子的宽：21－3×2 ＝21－6 ＝15（厘米） 容积是：20×15×3 ＝300×3 ＝900（立方厘米） 这个盒子用了510平方厘米的铁皮，容积是900立方厘米。 15．如图，用下边5块玻璃粘贴一个无盖鱼缸。 （1）把这个鱼缸放在桌面上，占地面积是多少？ （2）做这个鱼缸需要多少玻璃？ （3）这个鱼缸装满水最多可以装多少升？ 【答案】（1）1800平方厘米； （2）9000平方厘米； （3）72升 【分析】（1）根据玻璃的尺寸可知，做成的鱼缸长是60厘米、宽是30厘米、高是40厘米。根据“长×宽”求出这个鱼缸的占地面积； （2）这是个无盖鱼缸，根据“长×宽＋长×高×2＋宽×高×2”列式求出鱼缸表面积，即做这个鱼缸需要多少玻璃； （3）长方体容积＝长×宽×高，由此求出这个鱼缸装满水最多可以装多少立方厘米。1升＝1000立方厘米，由此进行单位换算。 【详解】（1）60×30＝1800（平方厘米） 答：这个鱼缸的占地面积是1800平方厘米。 （2）60×30＋60×40×2＋40×30×2 ＝1800＋4800＋2400 ＝9000（平方厘米） 答：做这个鱼缸需要9000平方厘米的玻璃。 （3）60×30×40＝72000（立方厘米） 72000立方厘米＝72升 答：这个鱼缸装满水最多可以装72升。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第3单元包装盒 一一长方体和正方体单元知识清单讲义 单元知识框架 长方体的特征 长方体和正方体的基本特征 正方体的特征 表面积的定义 长方体和正E方体的表面积 长方体表面积的计算公式 正方体表面积的计算公式 长方体和 正方体 体积的定义 长方体和E方体的体积 长方体体积的计算公式 正方体体积的计算公式 常用的体积单位 体积弹位和容积单位 常用的容积单位 单位换算 单元知识点梳理 一、 长方体和正方体的基本特征 1.长方体的特征： 1/9 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 长方体有6个面，每个面都是长方形（特殊情况下有两个相对的面是正方形）。 长方体有12条棱，相对的4条棱长度相等。 长方体有8个顶点。 相交于一个顶点的三条棱的长度，分别叫作长方体的长、宽、高。 长方体的棱长之和=（长+宽+高）×4。 2.正方体的特征： 正方体有6个面，每个面都是完全相同的正方形。 正方体有12条棱，所有棱的长度都相等。 正方体有8个顶点。 正方体的棱长之和=棱长×12。 二、长方体和正方体的表面积 1.表面积的定义：长方体或正方体6个面的总面积，叫做它的表面积。 2.长方体表面积的计算公式： 长方体的表面积=（长×宽+长×高+宽×高）×2。 3.正方体表面积的计算公式： 正方体的表面积=棱长×棱长×6。 4.实际应用：解决与表面积相关的实际问题，如粉刷墙壁、包装礼盒等。 三、长方体和正方体的体积 1.体积的定义：物体所占空间的大小叫作物体的体积。 2.长方体体积的计算公式： 长方体的体积=长×宽×高，用字母表示：V=abh。 长方体的体积也可以表示为底面积×高，即V=Sh。 3.正方体体积的计算公式： 219 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 正方体的体积=棱长×棱长×棱长，用字母表示：V=a。 正方体的体积同样可以表示为底面积×高，即V=Sh(因为正方体的底面积等于棱长的平 方)。 4.实际应用：解决与体积相关的实际问题，如计算容器容量、物体占地面积等。 四、体积单位和容积单位 1.常用的体积单位：立方米(m3)、立方分米(dm3)、立方厘米(cm3)。 2.常用的容积单位：升(L)、毫升(mL)。 3.单位换算： 立方米=1000立方分米 立方分米=1000立方厘米 升=1立方分米 毫升=1立方厘米 4.实际应用：进行简单的体积单位换算，选择合适的单位计量物体的体积或容积。 五、长方体和正方体的综合应用 1.结合生活实际：解决与长方体和正方体相关的综合问题，如计算包装盒的用料、设计最优 包装方案等。 2.提高空间想象能力：通过观察、操作等活动，培养学生的空间观念和几何直观能力。 3.解决问题的能力：运用所学知识解决实际问题，提高学生的数学应用意识和解决问题的能 力。 重难点题型精讲 题型1：长方体的特征 【例1】有一个长方体，已知第一组相对的面是长6米，宽3米的长方形；第二组相对的面是 3/9 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 长4米，宽3米的长方形。第三组相对的面是( )的长方形。 A.长6米，宽3米 B.长4米，宽3米 C.长6米，宽4米 D.无法判断 【练1】一个长方体的长、宽、高分别是10米、2.5米、3米，这个物体是( A.教室 B.公共汽车 C.家用冰箱 D.家用餐桌 题型2：长方体的棱长 【例2】做一个长4分米，宽3分米，高5分米的长方体框架，需要 分米的铁丝。 【练2】李叔叔用一根36厘米的铁丝，做一个高3厘米的长方体模型，能做出( )种不同的 长方体（长、宽均为整厘米数）。 题型3：正方体的特征 【例3】一个6个面都涂着红色的正方体木块，棱长为3分米。如果把它切成棱长1分米的正 方体小木块，3个面涂着红色的正方体小木块有( )个。 A.1 B.4 C.6 D.8 【练3】长方体和正方体都有一个面， 条棱.长方体最多有 个面是正方形. 题型4：正方体的棱长 【例4】用一根长( )厘米的铁丝可以围成一个棱长12厘米正方体框架。 A.36 B.48 C.96 D.144 【练4】一根铁丝正好围成棱长是4厘米的正方体框架，如果改围成一个长6厘米、宽3厘米 的长方体框架，长方体的高是( )厘米。 A.3 B.4 C.5 D.6 题型5：正方体的展开图 【例5】下面哪个展开图不能折成正方体？( 【练5】动手折一折。用纸片折一折，下面图形( )可以拼成一个完整的正方体。 419 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 题型6：长方体的展开图 【例6】下面的平面图哪个不能折成长方体( B. C 【练6】下列展开图( )能折成一个长方体；展开图( )能折成一个正方体。 1 A.①：② B.①；④ C.③；② D.③；④ 题型7：长方体正方体的表面积 【例7】计算下列图形的表面积和体积。 8厘米 4分米 12厘米 5厘米 4分米 4分米 【练7】如图两个图形都是用棱长1厘米的小正方体摆成的。它们的表面积( 5/9 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 甲 A.相等 B.甲>乙 C.甲<乙 D.无法确定 题型8：体积单位换算 【例8】7升60毫升=()升 4平方米50平方分米=( )平方米 0.03立方分米=( )立方厘米 【练8】3.06立方分米= 立方厘米= 毫升。 题型9：长方体的体积 【例9】一个长方体容器，从里面量长20厘米，宽15厘米，高12厘米。先放入一个铁块， 然后加水，直到铁块完全淹没在水面以下，量得水深10厘米。捞出铁块以后，水面下降了3 厘米。这个铁块的体积是()立方厘米。 【练9】一个长6米，宽3米，深2米的长方体蓄水池。 (1)在蓄水池的底面和四周都贴上磁砖，贴磁砖的面积有多大？ (2)如果蓄水池内水深1.5米，蓄水池内的水有多少立方米？ 题型10：正方体的体积 【例10】用360厘米长的铁丝做一个最大的正方体的框架，再用纸板将6个面包起来，至少 需要()平方厘米纸板，做出的纸盒的体积是( )。 【练10】一个长方体正好能截成两个正方体，截完后表面积增加了32平方厘米，则每个正方 体的体积是( )立方厘米。 A.27 B.54 C.64 变式训练巩固 1. 春游活动时，小吴同学带了一瓶农夫山泉矿泉水，它的容积约( A.50毫升 B.500毫升 C.50升 D.5立方米 2.如图，三组图形在数学本质上有共同特征，描述准确的是( 619 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 A.每组中的图形都是平面图形 B.每组中都有大、小两个图形，并且小图形能通过放大得到大图形 C.每组中都有一个图形和能够测量该图形大小的单位 D.无法确定 3.一个杯子里盛满了水，放入一块石头（完全淹没在水下）后，溢出的水正好是200毫升。 这块石头的体积大约是( )。(溢，此处的意思是充满而流出来) A.200毫升B.200立方分米C.200立方厘米D.无法判断 4.光明学校游泳池长40米，宽25米，深2米，要把游泳池四周及底面贴上瓷砖。 (1)一共需要贴多少平方米的瓷砖？ (2)为了学生的安全，游泳池的水位设定为1.2米，需要向水池注入多少立方米的水？ 5.如图，若干个棱长为lcm的正方体木块放在墙角，露在外面的面积是()cm,拼成这个 立体图形的体积是()cm3。 6.放纸鸢：在中国南方一带，端午节儿童放纸鸢称为“放殃”。聪聪和爸爸利用端午假期， 自制一个长方体纸鸢框架。 35cm 20cm 25cm (1)如图是聪聪和爸爸拼搭的一个长方体框架，已经拼搭了一部分，还需要( )根 20厘米长的竹棒，( )根35厘米的竹棒和( )根25厘米长的竹棒。 (2)如果要给这个长方体纸鸢框的每个面贴上彩色玻璃纸，至少需要多少平方厘米的彩色玻 璃纸？（接头处忽略不计） 719 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 (3)这个长方体纸鸢的体积是多少立方分米？ 7.把一块石头完全浸没在一个长10cm、宽8cm、高6cm的长方体容器的水里，水深5cm, 取出石头后，水深4.5cm。这块石头的体积是( ）cm3 A.40 B.480 C.360 8.方形雨水管横截面是4分米的正方形，每一节雨水管长2米，做25节这样的雨水管至少 需要多少平方米的铁皮？ 9.一个长方体，如果高增加2厘米，就变成棱长为9厘米的正方体，那么原来长方体的体积 是()。 10.一个正方体总棱长是120分米，这个正方体的表面积是()平方分米，体积是()立方 分米。 11.一节长方体形状的铁皮通风管长2.5米，横截面是边长10厘米的正方形。做12节这样的 通风管至少需要多少平方米铁皮？ 12.叔叔做了一个长60厘米、宽30厘米、高40厘米的无盖玻璃鱼缸，倒入30厘米深的水. 又向鱼缸里放入2700立方厘米的石头。鱼缸里的水面会升高多少厘米？ 13.一个密封的玻璃缸，从里面量长是12分米，宽是3分米，高是6分米。现在缸内的水深 5分米。 (1)制作一个这样的玻璃缸至少需要多少玻璃？ (2)如果将这个玻璃缸竖起来放（如图），那么玻璃缸内的水深多少分米？ 14.一块长方形铁皮（如图），从四个角各切掉一个边长为3厘米的正方形，然后做成无盖 盒子。这个盒子用了多少铁皮？它的容积有多少？ 21 cm 26cm 8/9 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 15.如图，用下边5块玻璃粘贴一个无盖鱼缸。 40cm 30cm 60cm 40cm 60cm 40cm 30cm 30cm 60cm 40cm (1)把这个鱼缸放在桌面上，占地面积是多少？ (2)做这个鱼缸需要多少玻璃？ (3)这个鱼缸装满水最多可以装多少升？ 919