2.2 用配方法求解简单的一元二次方程（教学设计）-2025-2026学年北师大版数学九年级上册

课题：用配方法求解简单的一元二次方程 提供者： 单位： 教学内容分析 （1）本节课的主要教学内容是如何应用配方法求解简单的一元二次方程。这不仅是一种重要的代数技巧，也是后续学习中更为复杂的方程求解的基础。 （2）本节课主要介绍了配方法的基本原理和步骤，其中包括如何将一个一元二次方程转换为完全平方形式，以及如何通过开平方求解方程。此外，还强调了直接开平方法在特定情形下的应用。 （3）通过学习本节课，学生能够掌握配方法的具体操作流程，提高他们对代数方程的理解和解题能力。更重要的是，学生能够学会如何将复杂的问题简化，并从中培养逻辑思维和问题解决的能力，这对于他们在数学以及其他学科的学习中都具有深远的影响。 教学目标 （1）会用数学的眼光观察现实世界：通过实际问题情境，如石头下落问题，引导学生用数学的眼光观察现实世界，理解一元二次方程在实际生活中的应用。 （2）会用数学的思维思考现实世界：通过直接开平方法和配方法的学习，培养学生用数学的思维思考现实世界，掌握解一元二次方程的基本思路和方法。 （3）会用数学的语言表达现实世界：通过解方程的过程，培养学生用数学的语言表达现实世界，能够准确描述解方程的步骤和结果。 教学方法 讲授法、合作探究法 教学重点及难点 （1）理解并掌握配方法的基本思路，能够将一元二次方程转化为完全平方式，体现数学中的转化思想。 （2）在真实情境中运用配方法解决实际问题，如物体自由落体问题，培养学生的数学建模能力和实践能力。 教学过程 师生活动设计 二次备课 一、情景导入 教师展示一块石头从 20 米高的塔上落下的情景，引导学生思考石头离地面的高度 h（米）与下落时间 x（秒）之间的关系。通过实际问题引入本节课的主题：用配方法求解简单的一元二次方程。 （教师展示图片或视频，并提出问题） 教师：想象一下，如果有一块石头从 20 米高的塔上落下，它离地面的高度 h（米）和下落时间 x（秒）大致有如下关系：h = 20 - 5x²。那么，这块石头需要多长时间才能落到地面呢？ 学生：设 h = 0，代入公式，得到 0 = 20 - 5x²。 教师：非常好！我们得到了一个一元二次方程 0 = 20 - 5x²。接下来，我们将学习如何用配方法来解这样的一元二次方程。大家有没有听说过 “配方法” 这个词？ 教师：今天我们就详细学习一下这种方法，看看它是如何帮助我们解决实际问题的。 二、合作探究 探究点一：用直接开平方法解一元二次方程 用直接开平方法解下列方程： (1) x² - 16 = 0 (2) 3x² - 27 = 0 (3) (x - 2)² = 9 (4) (2y - 3)² = 16 （教师逐一讲解每个方程的解法，同时在黑板上演示步骤） 教师：首先，我们来看第一个方程 x² - 16 = 0。请大家思考，如何将这个方程转化为可以直接开平方的形式？ 学生：移项，使方程左边是完全平方式，右边是非负数。 教师：很好！我们把方程移项得 x² = 16。根据平方根的定义，x = ±4。所以 x₁ = 4, x₂ = -4。 （教师继续讲解其他方程） 教师：接下来，我们看第二个方程 3x² - 27 = 0。同样，我们先移项，得 3x² = 27。两边同时除以 3，得 x² = 9。根据平方根的定义，x = ±3。所以 x₁ = 3, x₂ = -3。 教师：再来看第三个方程 (x - 2)² = 9。根据平方根的定义，x - 2 = ±3。所以 x - 2 = 3 或 x - 2 = -3。解得 x₁ = 5, x₂ = -1。 教师：最后，我们看第四个方程 (2y - 3)² = 16。根据平方根的定义，2y - 3 = ±4。所以 2y - 3 = 4 或 2y - 3 = -4。解得 y₁ = 3.5, y₂ = -0.5。 （总结） 教师：通过这些例子，我们学会了用直接开平方法解形如 (x + m)² = n (n ≥ 0) 的方程。大家记住了吗？ 探究点二：用配方法解二次项系数为 1 的一元二次方程 用配方法解方程：x² + 2x - 1 = 0 （教师详细讲解配方法的步骤并演示） 教师：我们现在来看一个更复杂的方程 x² + 2x - 1 = 0。这个方程不能直接开平方，我们需要先进行配方。请大家思考，如何将这个方程转化为可以开平方的形式？ 学生：需要将方程左边配方。 教师：没错，我们先将方程移项，得 x² + 2x = 1。然后在方程两边加上一次项系数一半的平方，即加 1，得 x² + 2x + 1 = 1 + 1。这样，方程就变成了 (x + 1)² = 2。接下来，我们就能直接开平方了。 （继续讲解） 教师：根据平方根的定义，x + 1 = ±√2。解得 x₁ = -1 + √2, x₂ = -1 - √2。 （总结） 教师：通过这个例子，我们学会了用配方法解二次项系数为 1 的一元二次方程。大家记住了吗？ 三、巩固练习 练习题： (1) 解方程：x² - 9 = 0 (2) 解方程：(x + 3)² = 16 (3) 解方程：x² + 4x - 5 = 0 （教师布置练习题，学生独立完成，教师巡视指导） 教师：现在，请大家动手解这几个方程，看看是否掌握了今天所学的内容。请大家先自己尝试，如果有困难，可以随时举手问我。 （学生完成后，教师逐个核对答案并讲解） 四、课堂小结 回顾与总结： 教师：今天我们学习了用直接开平方法和配方法解一元二次方程。直接开平方法适用于形如 (x + m)² = n (n ≥ 0) 的方程，而配方法适用于二次项系数为 1 的一元二次方程。通过这些方法，我们可以轻松解决很多实际问题。 教师：请大家思考，我们在解方程时需要注意哪些问题？ 学生：注意方程的结构，确保左边是完全平方式，右边是非负数；注意开方后的正负情况；注意配方时要加上一次项系数一半的平方。 教师：非常好！希望大家在今后的学习中能够熟练运用这些方法。如果有任何疑问，课后可以随时向我提问。 课后作业 （1）运用直接开平方法解以下方程：①/；②/。 （2）使用配方法解以下一元二次方程：/。 学科网（北京）股份有限公司 $