24.4 一元二次方程的应用 课件 2025-2026学年冀教版数学九年级上册

第二十四章 一元二次方程 24.4 一元二次方程的应用 24.4 课时1 边长面积问题 22002 学习目标 1.经历用一元二次方程解决实际问题的过程，进一步认识方程模型的重要性. 2.能根据实际问题中的数量关系列出方程并求解，并能根据问题的实际意义检验结果的合理性. 22002 试一试：观察下图中图形的构成，试着表示出图中阴影部分的面积. 20m 32m x m x m (32-x)(20-x) (32-x)m (20-x)m 情景导入 22002 例1 如图，某学校要在校园内墙边的空地上修建一个长方形的存车处，存车处的一面靠墙（墙长22 m），另外三面用90 m长的铁栅栏围起来.如果这个存车处的面积为700 m2，求这个长方形存车处的长和宽． 分析：设长方形靠墙一边的长为x m，则长方形另一 边的长为________，根据长方形的面积建立方程． 存车处 典例精析 22002 当x=20时， =35. 答：这个长方形存车处的长和宽分别为35 m和20 m. 审清题意 找出已知量、未知量 列一元二次方程解决实际问题的一般步骤： 设未知数 设长方形靠墙一边的长为x m，则长方形另一边的长为 m. 列方程 依据题意得： . 解方程 解得：x1=70，x2=20. 验根 由于墙长22 m,x1=70不合题意，应舍去. 作 答 22002 问题1：如果换一种设未知数的方法，是否可以更简单地解决上面的问题？ 解：设长方形的长为x m，则它的宽为（90-2x）m. 依题意，得 x（90-2x）=700 解方程，得 x1=35，x2=10. 当x=35时，90-2x=20；当x=10时，90-2x=70，由于墙长22 m,所以x=10不合题意，应舍去. 答：这个长方形存车处的长和宽分别是35m和20m. 22002 例2 已知一本数学书的长为26 cm，宽为18.5 cm，厚为1cm．一张长方形包书纸如图所示，它的面积为1260 cm2，虚线表示的是折痕.由长方形相邻两边与折痕围成的四角均为大小相同的正方形.求正方形的边长. 分析：问题中的等量关系为：包书纸的长×宽=1260．只要把包书纸的长和宽用正方形的边长表示出来就可以了.设正方形的边长为x cm，则包书纸的宽为________cm,长为 cm. 26+2x 18.5×2+2x+1 数量关系 典例精析 22002 dell (d) - 可对分析部分分为两个问题：（1）本题中有哪些数量关系？(2)包书纸的长和宽如何用正方形的边长x表示？充分体现建模思想解决实际问题的应用. 解：设正方形的边长为x cm， 根据题意，得 （26+2x）（18.5×2+2x+1）=1260. 解得x1=2，x2=-34（不合题意，舍去）. 答：正方形的边长是2 cm. 例2 已知一本数学书的长为26 cm，宽为18.5 cm，厚为1cm． 一张长方形包书纸如图所示，它的面积为1260 cm2，虚线表示的是折痕.由长方形相邻两边与折痕围成的四角均为大小相同的正方形.求正方形的边长. 22002 几何图形的面积问题 几何图形的面积问题： 这类问题的________是等量关系. 如果图形不规则应____或____成规则图形,找出各部分面积之间的关系,再运用规则图形的面积公式列出方程 面积公式 割 补 22002 20 32 x x 例3 如图，在一块宽为20m, 长为32m的矩形地面上修筑同样宽的两条道路,余下的部分种上草坪,要使草坪的面积为540m2,求道路的宽为多少？ 解：设道路的宽为 x 米 (32-x)(20-x)=540 整理，得x2-52x+100=0 解得 x1=2,x2=50 当x=50时，32-x=-18,不合题意，舍去. ∴取x=2 答：道路的宽为2米. 20 32 x x 【分析】平移法---化零为整 32-x 20-x 典例精析 22002 例3并几个变式题都是利用平移法解决面积问题，目的是化零为整，变不规则面积为规则面积. 变式一：某小区规划在一个长30m、宽20m的长方形土地上修建三条等宽的通道，使其中两条与AB平行，另外一条与AD平行，其余部分种花草，要使每一块花草的面积都为78m2，那么通道宽应该设计为多少？设通道宽为xm，则由题意列的方程为_____________________. C B D A (30-2x)(20-x)=6×78 30 20 x x x 【分析】平移法---化零为整 C B D A 30 20 x x x 30-2x 20-x 6×78 练一练 22002 变式二：在宽为20m, 长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路,余下的部分种上草坪,要使草坪的面积为540m2,求这种方案下的道路的宽为多少？ 解：设道路的宽为 x 米,可列方程为: (32-x)(20-x)=540 整理，得x2-52x+100=0 解得 x1=2,x2=50 当x=50时，32-x=-18,不合题意，舍去. ∴取x=2 答：道路的宽为2米. 22002 变式三：在宽为20m, 长为32m的矩形地面上修筑四条道路,余下的部分种上草坪，如果横、纵小路的宽度比为3：2，且使小路所占面积是矩形面积的四分之一,求道路的宽为多少？ 小路所占面积是矩形面积的四分之一 剩余面积是矩形面积的四分之三 30 20 3x 3x 2x 2x 30 20 6x 4x 解:设横、竖小路的宽度分别为3x、 2x.   30-4x 20-6x 22002 1. 在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是（ ） A．x2+130x-1400=0 B．x2+65x-350=0 C．x2-130x-1400=0 D．x2-65x-350=0 80cm x x x x 50cm B 当堂检测 22002 2.一块长方形铁板，长是宽的2倍，如果在4个角上截去边长为5cm的小正方形，然后把四边折起来，做成一个没有盖的盒子，盒子的容积是3000 cm3，求铁板的长和宽． 解：设铁板的宽为x cm,则有长为2x cm 5(2x-10)(x-10)=3000 x2-15x-250=0 解得 x1=25 x2=-10(舍去） 所以 2x=50 答：铁板的长50cm,宽为25cm. 2x x 5 5 22002 3.如图，要设计一个宽20cm,长为30cm的矩形图案，其中有两横两竖彩条，横竖彩条的宽度之比为2∶3 ，若使所有彩条的面积是原来矩形图案面积的三分之一，应如何设计每个彩条的宽度？ 解：设横向彩条的宽度2xcm ,竖彩条的宽度3xcm (20-6x)(30-4x)=400 6x2-65x+50=0 22002 4.如图，矩形ABCD中，AB=16 cm，AD=6 cm，动点P，Q分别从A，C两点同时出发，点P以 3 cm/s 的速度向点B移动，一直到达点B为止，点Q以 2 cm/s 的速度向点D移动. (1) P，Q两点从出发开始，经过几秒时，四边形PBCQ的面积为33 cm2？ A B C Q P D 解：（1）设经过xs时，四边形PBCQ的面积为33cm2, 依题意，得 解得 x=5, 所以经过5s，四边形PBCQ的面积为33cm2 22002 A B C Q P D 4.如图，矩形ABCD中，AB=16 cm，AD=6 cm，动点P，Q分别从A，C两点同时出发，点P以 3 cm/s 的速度向点B移动，一直到达点B为止，点Q以 2 cm/s 的速度向点D移动. (2) P，Q两点从出发开始，经过几秒时，点P和点Q的距离为 10 cm？ 解：(2)设经过 y s 时，点P和Q的距离为10 cm， 依题意得 62+(16-3y-2y)2=102， 整理得 25y2-160y+192=0， 解得 y1=1.6，y2=4.8，均符合题意， 所以经过 1.6 s 或 4.8 s 时，点P和Q的距离为 10 cm . 22002 几何图形与一元二次方程问题 常见分析策略 常见类型 列方程依据 课本封面问题 彩条/小路宽度问题 一边靠墙围成的区域面积 常见几何图形面积是等量关系. 常采用图形平移能化零为整，方便列方程. 课堂总结 22002 第二十四章 一元二次方程 24.4 课时2 增长率、百分率问题 22002 学习目标 1.会根据具体问题,找到变化率问题中的等量关系,列出一元二次方程并求解. 2.能根据实际问题中的数量关系列出方程并求解，并能根据问题的实际意义检验结果的合理性. 22002 小学的时候我们就学过增长率和减少率，想一想它们是怎样求的？ 如果原来的数量为a，现在的数量是b. （1）若a<b，则为增长：增长率为 （2）若a>b，则为减少：减少率为 新课导入 22002 【练习】 1.小明第一次月考数学成绩是80分，第二次月考数学成绩是88分，则数学成绩的增长率为______;第三次月考数学成绩是68分，则和第一次月考数学成绩相比减少率为______. 2.某商店卖同一种商品第一个月的单价为10元，第二个月比第一个月单价增长了20%，则第二个月的单价为____元. 10% 15% 12 22002 想一想： 某工厂一月份生产零件1000个，二月份生产零件1200个，那么 （1）二月份比一月份多生产零件______个； （2）增长率是_______； （3）若该工厂保持相同的增长率，则三月份生产零件_______个. 200 20% 1440 22002 已知李大爷今年养了10000只鸡. （1）若李大爷打算明年的养鸡数量比今年增长20％，则明年的养鸡数量可用式子 来表示. （2）若李大爷预计后年的养鸡数量比上一年增长20％，则后年的养鸡数量可用式子 来表示. 即10000(1+20％)2 10000×(1+20％ ) 10000×(1+20％ )(1+20％) 新课讲授 22002 增长后的数量=原数×（1+增长率） 连续两次增长率相同时， 两次增长后的数量=原数×(1+增长率)2 降低后的数量=原数×（1-降低率） 连续两次降低率相同时， 两次增长后的数量=原数×(1-降低率)2 22002 例1 随着我国汽车产业的快速发展以及人们经济收入的不断提高，汽车已越来越多地进入普通家庭．据某市交通部门统计，2010年底，该市汽车保有量为15万辆，截至2012年底，汽车保有量已达21.6万辆．若该市这两年汽车保有量增长率相同，求这个增长率. 分析：问题中的等量关系为：2012年汽车数量=2010年汽车数量×(1+增长率)2 再根据等量关系建立方程即可. 典例精析 22002 解：设增长率为x，则 （1）2011年底比2010年底增加了_______万辆汽车，达到了_______万辆. （2）2012年底比2011年底增加了_______万辆汽车，达到了_______万辆. （3）根据题意，列出的方程是______________. （4）解方程，得x的值为_______. 15x 15(1+x) 15(1+x)x 15(1+x)2 15(1+x)2=21.6 20% 直接开平方法最合适 22002 让学生认识到增长变化问题中数量之间的特殊关系及一般规律. 例2 建大棚种植蔬菜是农民致富的一条好途径.经过市场调查发现：搭建一个面积为x（公顷）的大棚，所需建设费用（万元）与x+2成正比例，比例系数为0.6；内部设备费用（万元）与x2成正比例，比例系数为2.某农户新建了一个大棚，投入的总费用为4.8万元.请计算该农户新建的这个大棚的面积. 分析：问题中的等量关系为：总费用=建设费用+内部设备费用.只要把建设费用和内部设备费用用x表示出来就可以了.由题意，得建设费用为___________，内部设备费用为______.再根据等量关系建立方程即可. 0.6(x+2) 2x2 典例精析 22002 解：由题意，得0.6（x+2）+2x2=4.8. 整理，得10x2+3x-18=0. 解得x1=1.2，x2=-1.5(不合题意，舍去). 答：该户新建的这个大棚的面积为1.2公顷. 22002 例3 某工厂工业废气年排放量为300万立方米.为改善城市环境质量，决定在两年内使废气年排放量减少到144万立方米.如果第二年废气减少的百分率是第一年废气减少的百分率的2倍，那么每年废气减少的百分率各是多少？ 典例精析 22002 解：（1）设第一年废气减少的百分率为x，则第二年废气减少的百分率为_____. （2）第一年后，废气的排放量减少了________，废气排放量为 . （3）第二年后，废气的排放量减少了______________， 废气排放量为 . （4）根据题意，列方程为 . （5）解这个方程，得 . 答：第一年废气减少的百分率为_________，第二年的废气减少的百分率为______. 300（1-x）·2x 300（1-x）·(1-2x) 300（1-x）·(1-2x)=144 x1=1.3（舍去），x2=0.2 20% 40% 2x 300x 300（1-x） 22002 dell (d) - 遇到连续增长（或减少）的增长率（或减少率）不相同的问题时，分层次将其增长（或减少）情况表达清楚,使方程准确地反映数量的变化过程. 例4 某企业第一年年初投入100万元生产农机设备，又将第一年的本金及利润的和作为第二年的投资.到第二年底，算得两年共获利润68.75万元.已知第一年利润率比第二年利润率多10个百分点，求第一年的利润率. 利润=投入基数×利润率 分析：问题中的等量关系为： 第一年利润+第二年利润=68.75万元， 第一年的利润：100x； 第二年的投资：100(1+x) 第二年的利润率：x+10％ 第二年的利润：100×（1+x)×（x+10％） 遇到数量关系较复杂或较多时，用列表的方法，将数量一步一步整理出来，可以使我们的思路更清楚，不易出错 22002 1.某厂今年一月份的总产量为500吨,三月份的总产量为720吨,平均每月增长率是x,列方程( ) A.500(1+2x)=720 B.500(1+x)2=720 C.500(1+x2)=720 D.720(1+x)2=500 2.某校去年对实验器材的投资为2万元,预计今明两年的投资总额为8万元,若设该校今明两年在实验器材投资上的平均增长率是x,则可列方程为 . B 2（1+x)+2(1+x)2=8 当堂检测 22002 3.某地2018年为做好“精准扶贫”，投入资金1 280万元用于异地安置，并规划投入资金逐年增加，2020年在2018年的基础上增加投入资金1 600万元.从2018年到2020年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少？ 解：设该地投入异地安置资金的年平均增长率为 x ， 根据题意，得 1 280(1+x)2=1 280+1 600， 解得x1=0.5=50%，x2=-2.5（舍去）， 答：从2015年到2017年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为50%. 22002 4.菜农小李种植的某蔬菜，计划以每千克5元的价格对外批发销售.由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销，小李为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3.2元的价格对外批发销售. (1)求平均每次下调的百分率； 解：设平均每次下调的百分率为x， 由题意，得 5(1－x)2=3.2， 解得 x1=20%，x2=1.8 （舍去） ∴平均每次下调的百分率为20%; 22002 (2)小华准备到小李处购买5吨该蔬菜，因数量多，小李决定再给予两种优惠方案以供选择：方案一，打九折销售；方案二，不打折，每吨优惠现金200元.试问小华选择哪种方案更优惠？请说明理由. 解：小华选择方案一购买更优惠，理由如下： 方案一所需费用为：3.2×0.9×5000=14400(元)； 方案二所需费用为：3.2×5000－200×5=15000(元)， ∵14400＜15000， ∴小华选择方案一购买更优惠. 22002 平均变化率问题 增长率问题 a(1+x)2=b，其中 a 为增长前的量，x 为增长率，2 为增长次数，b 为增长后的量. 降低率问题 a(1-x)2=b，其中 a 为降低前的量，x 为降低率，2 为降低次数，b 为降低后的量. 注意 1 与 x 位置不可调换. 课堂总结 22002 第二十四章 一元二次方程 24.4 课时3 比赛、销售问题 22002 学习目标 1.使学生会用列一元二次方程的方法解决有关商品的销售问题和其他问题. 2.进一步培养化实际问题为数学问题的能力及分析问题解决问题的能力． 22002 我们学过的有关销售利润问题中常见的量有哪些？它们之间有怎样的数量关系？ 常见的几个量有：进价，售价，利润，利润率. 数量关系： ※商品总利润=单件利润×销售数量 新课导入 22002 你若和班级所有同学都握手，你需握手多少次？ 如果班级共有50个学生,你和其余同学握手. 一共要握手 次. 49 22002 全品初中 思考下列问题: 1.如果班级共有x个学生,一个学生去和其余同学握手. 这个同学要握手________次. 2.如果每个学生都去和其余同学握手. 我们共握手___________次. 3.每两个学生握手一次,现有x个学生一共要握手__________次. ( x - 1 ) x( x - 1 ) 注意：两个人只需握一次手，所以有一半的次数是重复的. 探究新知 22002 全品初中 老师所教的班级中，每两个学生都握手一次，全班学生一共握手780次，那么谁能计算出老师所教的班级共有多少名学生？（设班级有x个人） 1.则每个人与 人握手; 2.全班共握手 次（用含有x的式子表示）; 3.依题意，可列方程为:_______________. ( x - 1 ) 生活中还有哪些情景和握手类似呢？ 思考 22002 全品初中 循环比赛问题 问题：某少年宫组织一次足球赛，采取单循环的比赛形式，即每两个足球队之间都要比赛一场，计划安排28场比赛.可邀请多少支球队参加比赛呢？ 解：设邀请x支球队参加比赛. （1）根据“每两支球队之间都要比赛一场”，每支球队要比赛_______场. （2）用含x的代数式表示比赛的总场次为___________.于是得到方程______________. (x-1) 与握手问题一样吗？ 22002 分步思考建立相应表达式，以便更好的体会寻找等量关系建立方程模型的过程. 某少年宫组织一次足球赛，采取单循环的比赛形式，即每两个足球队之间都要比赛一场，计划安排28场比赛.可邀请多少支球队参加呢？ 是“握手问题”吗？ 是 解：设可邀请x支球队参加，由题意得 ∴可邀请10支球队参加. 整理，得x2-x-56=0 注意观察两根的特点 思考 探究新知 22002 想一想：还有哪些问题也属于“握手问题”？ 1.某航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条航线，一共开辟了21条航线，则这个航空公司共有多少飞机场？ 2.一个多边形有14条对角线，求这个多边形的条数. 22002 变式：要组织一场篮球联赛, 每两队之间都赛2场（双循环）,计划安排90场比赛,应邀请多少个球队参加比赛? 【分析】如果有x个队伍参加比赛. 每个队伍要进行_________场比赛；一共进行 场比赛. ( x - 1 ) 解:设应邀请x个球队参加比赛,列式得: 解得: (舍去) 答:应邀请10个球队参加比赛. 双循环比赛总场数： n（n-1）（n个队） x( x - 1 ) 是握手问题吗？ 典例精析 22002 分辨特征：在一个问题中，当每两个量都要互相结合时，考虑“握手问题”；结合实际分辨题中的数量关系需要不需要除以2. 例2 (教材51页例4)某商场经销的太阳能路灯,标价为4000元/个,优惠办法是:一次购买数量不超过80个,按标价收费;一次购买数量超过80个,每多买1个,所购路灯每个可降价8元,但单价最低不能低于3200元/个.若一顾客一次性购买这样的路灯用去516000元,则该顾客实际购买了多少个路灯? 22002 (1)若顾客实际购买的路灯数量是80个,则所需费用为　　　　元.  (2)若顾客一次性购买路灯用去516000元,则所买路灯数量　　　　80个.  (3)设该顾客购买这种路灯x(x >80)个,路灯数超出80个的数量是　　　　 个,每个路灯可降价　　　　元,则每个路灯的单价是　　 　　 元.  (4)题目中的等量关系是　　　　 .  (5)根据等量关系可列方程　　　　 .  (6)解方程,并检验根是否都符合题意. 分析： 320000 超过 (x-80) 8 [4000-8(x-80)] 一次性购买这样的路灯用去516000元, x [4000-8(x-80)]=516000 22002 dell (d) - 把例题中的问题分解为各个问题，更好的理解题意，在解决问题中，一是规范解题格式，二是让学生列方程中关注到同一个量的不同表达形式. 解:因为4000×80=320000<516000,所以该顾客购买路灯数量超过80个. 设该顾客购买这种路灯x个,则路灯的售价为[4000-8(x-80)]元/个. 根据题意,得x [4000-8(x-80)]=516000. 整理,得x2-580x+64500=0. 解这个方程,得x1=150, x2=430. 当x=430时,4000-8(x-80)=4000-8×(430-80)=1200(元),低于3200元.不合题意,舍去. 答:该顾客实际购买了150个路灯. 22002 例2 沧州特产专卖店销售良种金丝小枣，其进价为40元/千克，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克.若该专卖店销售这种金丝小枣要想平均每天获利2240元，为让利于顾客，每千克小枣应降价多少元？ （1)销售问题中的数量关系是什么？ （售价-进价）×销售数量=利润 ①单价减低，销量增加 ②单价降2元，销量增加20千克 单价降1元，销量增加10千克 22002 （2）设降价为每千克x元，怎么用式子表示销售数量？ 售价 销售数量 60 60-1 60-2 100 100+10 100+20 60-x 100+10x 1×10 2×10 x×10 22002 （3）设降价为每千克x元，怎么用式子表示销售数量？ （售价-进价）×销售数量 = 利润 60-x 40 100+10x 2240 因此方程为：（60-x-40)×(100+10x)=2240 22002 解：由单价每降低2元，每天销量增加20千克，可得单价每降低1元，每天销量增加10千克. 设每千克小枣降价x元，由题意得 （60-x-40)×(100+10x)=2240 整理，得x2-10x+24=0 ∵要让利于顾客，∴x取6. 答：每千克小枣降价6元. 当单价降低（或提高）的单位不是1元，先转化为1元，可使方程容易列. 解得，x=4,x=6 22002 1.某校九年级学生毕业时，每个同学将自己的相片向全班其他同学各送一张作纪念，全班共送了2070张，如果全班有x名学生，根据题意列方程为( ) A.x(x-1)=2070 B.x(x+1)=2070 C.2x(x+1)=2070 D. =2070 A 当堂检测 22002 2.宾馆有50间房供游客居住，当每间房每天的定价为180元时，宾馆会住满；当每间房每天的定价每增加10元时，就会空闲一间房.如果有游客居住，宾馆需对居住的每间房每天支出20元的费用，当房价定为多少元时，宾馆当天的利润为10890元？设房价定为x元，则有（ ） A. B. C. D. B 22002 3.某商店以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，若每件商品售价为a元，则可卖出(350-10a)件，但物价局限定每件商品售价不能超过进价的25%，商店计划要赚400元，需要卖出_____件商品，每件商品的售价为____元. 100 25 22002 4.某商店准备进一批季节性小家电，每个进价为40元，经市场预测，销售定价为50元，可售出400个；定价每增加1元，销售量将减少10个．设每个定价增加x元． （1）写出售出一个可获得的利润是______元．（用含x的代数式表示） （2）商店若准备获得利润6000元，并且使进货量较少，则每个定价为多少元？ 解：（2）设每个定价增加x元． 列出方程为：（x+10）（400-10x）=6000 解得：x1=10 ，x2=20 要使进货量较少，则每个定价为70元，应进货200个． x+10 22002 5.某宾馆客房部有60个房间供旅客居住.当每个房间的定价为每天200元，房间可以住满；当每个房间每天的定价每提高10元，就会有一个房间空闲，对有游客入住的房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用.若该宾馆客房部希望每天的利润为14000元，则每个房间的定价应为多少元？（为了吸引游客，每个房间的定价不会高于500元） 解：由每个房间的定价提高10元，则空闲一个房间，可得定价提高1元，空闲0.1个房间. 设每个房间每天的定价提高x元，由题意得 整理，得x2-420x+32000=0 100+200=300,320+200=520 ∵房间定价不高于500，∴舍去520 答：每个房间每天的定价为300元. 解得，x1=100，x2=320 22002 循环比赛与销售问题 销售问题 销售利润问题中常见的公式： ①利润=售价-成本； ②利润率= ×100%. 握手问题 单循环赛事 打电话问题 图形规律问题 模型公式 双循环赛事 互赠礼物问题 课堂总结 22002 $