2.1等式性质与不等式性质练习-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

2.1等式性质与不等式性质 知识点讲解 1.比较两个数大小的基本事实： 文字描述 符号描述 如果是正数，那么 如果等于，那么 如果是负数，那么 比较两个数大小的方法： 关系 方法 作差法 与比较 作商法 与1比较 或 或 2.等式的性质： 性质1　如果，那么； 性质2　如果，，那么； 性质3　如果，那么； 性质4　如果，那么； 性质5　如果，，那么. 3.重要不等式：，有，当且仅当时，等号成立. 4.糖水不等式： 5.不等式的性质： 性质 别名 性质内容 1 对称性 2 传递性 ， 3 可加性 4 可乘性 5 同向可 加性 6 同向同 正可乘 性 7 可乘方 性 课后习题： 新手训练营 1.持续的高温干燥天气导致某地突发山火，现需将物资运往灭火前线．从物资集散地到灭火前线一共，其中靠近灭火前线的山路崎岖，需摩托车运送，其他路段可用汽车运送．已知在可用汽车运送的路段，运送的平均速度为，设需摩托车运送的路段平均速度为，为使物资能在1小时内到达灭火前线，则应该满足的不等式为（    ）． A． B． C． D． 2.设，，则与的大小关系为（     ） A． B． C． D．无法确定 3.已知，且，，则,之间的大小关系是（    ） A． B． C． D．,的关系随而定 4.【多选题】设，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 5.已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6.下列说法中正确的是（   ） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，则 7.若，，则（ ） A． B． C． D． 8.已知，则的取值范围是 ________________. 9.下列不等式中成立的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10.甲、乙两人同时从地出发沿同一路线走到地，所用时间分别为，．甲有一半的时间以m m/s的速度行走，另一半的时间以n m/s的速度行走；乙有一半的路程以m m/s的速度行走，另一半的路程以n m/s的速度行走，且． (1)请用含m，n的代数式表示甲、乙两人所用的时间和； (2)比较与的大小，并判断甲、乙两人谁先到达地． 精英试炼场 11.，，则的大小关系为 ． 12.已知，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 13.若，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 14.已知且，求的取值范围. 王者竞技台 15. 某学习小组，调查鲜花市场价格得知，购买2支玫瑰与1支康乃馨所需费用之和大于8元，而购买4支玫瑰与5支康乃馨所需费用之和小于22元.设购买2支玫瑰花所需费用为A元，购买3支康乃馨所需费用为B元，则A、B的大小关系是 . 16. 设，，. (1)证明：； (2)若，证明. 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.1等式性质与不等式性质 1．持续的高温干燥天气导致某地突发山火，现需将物资运往灭火前线．从物资集散地到灭火前线-共，其中靠近灭火前线的山路崎岖，需摩托车运送，其他路段可用汽车运送．已知在可用汽车运送的路段，运送的平均速度为，设需摩托车运送的路段平均速度为，为使物资能在1小时内到达灭火前线，则x应该满足的不等式为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意汽车所用时间加上摩托车所用时间小于1小时，即， 故选：D． 2．设，，则与的大小关系为（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【详解】因为， 所以. 故选：A. 3．已知c＞1，且x＝－，y＝－，则x，y之间的大小关系是（    ） A．x＞y B．x＝y C．x＜y D．x，y的关系随c而定 【答案】C 【详解】由题设，易知x，y＞0，又， ∴x＜y. 故选：C. 4．【多选题】设a>b>1，c<0，则下列结论正确的是（    ） A． B．ac<bc C．a(b－c)>b(a－c) D． 【答案】ABC 【详解】对于A，∵a>b>1，c<0，∴>0，∴，故A正确； 对于B，∵－c>0，∴a·(－c)>b·(－c)，∴－ac>－bc，∴ac<bc，故B正确； 对于C，∵a>b>1，∴a(b－c)－b(a－c)＝ab－ac－ab＋bc＝－c(a－b)>0，∴a(b－c)>b(a－c)，故C正确； 对于D，∵<0，a>b>0，∴，故D错误． 故选：ABC. 5. 已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以. 因为，所以， 则. 故选：D. 6．下列说法中正确的是（   ） A．若则 B．若，，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【详解】对于A，当时，故A中说法错误； 对于B，因为，所以，又因为，所以，故B中说法正确； 对于C，当，时，，故C中说法错误； 对于D，因为，且，所以恒成立，故D中说法正确. 故选:BD. 7．若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以． 故选：C. 8．已知，，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】∵，∴， 又∵，∴， ∴的取值范围是. 故答案为：. 9．下列不等式中成立的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【详解】对于A，若，则，， 所以 ，所以，故A错误； 对于B，若，则，， 所以，所以，故B错误； 对于C，若，则， 所以，所以，故C错误； 对于D，若，则， 所以， 所以，故D正确. 故选：D. 10．甲、乙两人同时从A地出发沿同一路线走到B地，所用时间分别为，．甲有一半的时间以m m/s的速度行走，另一半的时间以n m/s的速度行走；乙有一半的路程以m m/s的速度行走，另一半的路程以n m/s的速度行走，且． (1)请用含m，n的代数式表示甲、乙两人所用的时间和； (2)比较与的大小，并判断甲、乙两人谁先到达B地． 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）设A地到B地的路程为 ， 因为甲有一半的时间以m m/s的速度行走，另一半的时间以n m/s的速度行走， 所以，所以， 因为乙有一半的路程以m m/s的速度行走，另一半的路程以n m/s的速度行走， 所以, （2） 因为，所以，因为 所以 所以，所以甲先到达B地． 11．，则的大小关系为 ． 【答案】≥ 【详解】因为， 则 由 所以 故答案为：. 12．已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】A：由，得，又，所以，A错误； B：由，，所以，B错误； C：由，则，又，所以，C正确； D：因为，又，所以，∴D错误. 故选：C. 13．若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题设，则，又，所以. 故选：C. 14．已知-1<a+b<3,且2<a-b<4,求2a+3b的取值范围. 【答案】<2a+3b< 【详解】设2a+3b=x(a+b)+y(a-b)=(x+y)a+(x-y)b.则解得 所以2a+3b= (a+b)- (a-b). 因为-1<a+b<3，2<a-b<4， 所以-< (a+b)< ，-2<- (a-b)<-1. 所以--2<2a+3b<-1，即-<2a+3b<. 15．某学习小组，调查鲜花市场价格得知，购买2支玫瑰与1支康乃馨所需费用之和大于8元，而购买4支玫瑰与5支康乃馨所需费用之和小于22元.设购买2支玫瑰花所需费用为A元，购买3支康乃馨所需费用为B元，则A、B的大小关系是 【答案】A>B 【详解】设每支支玫瑰x元，每支康乃馨y元， 则， 由题意可得：， 代入可得：， 根据不等式性质可得：， 而，可得, 故， 故答案为：. 16．设，，. (1)证明：； (2)若，证明. 【答案】见详解 【详解】（1）证明:∵， ∴. a，b，c不同时为，则，∴； （2）. ∵，取等号的条件为， 而，∴等号无法取得，即， 又，∴，∴. 学科网（北京）股份有限公司 $