精品解析：2025-2026学年人教版2024数学八年级上册期中素养评估(第十三至第十五章)

期中素养评估 (第十三至第十五章) (120分钟　120分) 一、选择题(每小题3分，共30分) 1. 以下四款手机图样中，从整体外观上看，在美学设计上运用轴对称的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形，即沿着某条直线折叠，直线两旁的部分完全重合；熟练掌握定义是解题的关键． 根据轴对称图形的定义判断选择即可． 【详解】解：A、此图案不是轴对称图形，故该选项不符合题意； B、此图案不是轴对称图形，故该选项不符合题意； C、此图案是轴对称图形，故该选项符合题意； D、此图案不是轴对称图形，故该选项不符合题意； 故选：C． 2. 八一中学校九年级2班学生杨冲家和李锐家到学校的直线距离分别是和．那么杨冲，李锐两家的直线距离不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用构成三角形的条件即可进行解答． 【详解】以杨冲家、李锐家以及学校这三点来构造三角形，设杨冲家与李锐家的直线距离为a， 则根据题意有：，即， 当杨冲家、李锐家以及学校这三点共线时，或者， 综上a的取值范围为：， 据此可知杨冲家、李锐家的距离不可能是1km， 故选：A． 【点睛】本题考查了构成三角形的条件的知识，构成三角的条件：三角形中任意的两边之和大于第三边，任意的两边之差小于第三边． 3. 如图是战机在空中展示的轴对称队形．以飞机B，C所在直线为x轴、队形的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系．若飞机E的坐标为(40，a)，则飞机D的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用关于y轴对称，纵坐标相同，横坐标互为相反数，进而得出答案． 【详解】解：根据题意，点E与点D关于y轴对称， ∵飞机E坐标为(40，a)， ∴飞机D的坐标为(-40，a)， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了关于y轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号关系是解题关键． 4. 如图，，过点作于点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和，平行线的性质的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据题意可得，，即，再根据平行线的同旁内角互补，即可求出的度数． 【详解】∵过点作于点， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， 将代入上式， 可得， 故选． 5. 如图，在纸上画有，将两把直尺按图示摆放，直尺边缘的交点P在的平分线上，则（ ） A. 与一定相等 B. 与一定不相等 C. 与一定相等 D. 与一定不相等 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的性质，过点P分别作的垂线，垂足分别为E、F，由角平分线的性质得到，由平行线间间距相等可知，则，而和的长度未知，故二者不一定相等，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，过点P分别作的垂线，垂足分别为E、F ∵点P在的平分线上， ∴， 由平行线间间距相等可知， ∴， 由于和的长度未知，故二者不一定相等， 故选：A， 6. 某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，各组展示作图痕迹如下，其中射线为的平分线的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查角平分线的判定，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，中垂线的性质和判定，根据作图痕迹，逐一进行判断即可． 【详解】解：第一个图为尺规作角平分线的方法，为的平分线； 第二个图，由作图可知：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为的平分线； 第三个图，由作图可知， ∴，， ∴ ∴， ∴为的平分线； 第四个图，由作图可知：，， ∴为平分线； 故选D． 7. 如图，H是的高的交点，且，则下列结论中正确的有①，②，③，④（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】利用证明得到，，由此即可判断①②④；进而证明，再根据线段的和差关系即可判断③． 【详解】解：∵H是的高的交点， ∴， ∵， ∴， ∴，，故①正确； ∴，故④正确； ∴，故②正确； ∴，即，故③正确； 故选D． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等角对等边等等，证明是解题的关键． 8. 如图1是一个可调节的电脑桌，它的工作原理是利用液体在封闭的管路中传递力和能量．图2是将其正面抽象成的图形，其中桌面与底座平行，等长的支架交于它们的中点E．液压杆．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】主要考查等腰三角形的性质及平行线的性质，根据题意得出，确定，再由对顶角及平行线的性质即可求解 【详解】解：∵等长的支架交于它们的中点E，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：D 9. 如图，在中，点A，B，C的坐标分别为，和，则当的周长最小时，m的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了轴对称—最短路径问题，考查了轴对称的性质，等腰直角三角形的性质等知识，根据已知得出A点位置是解题关键． 作B关于x轴对称点为，连接，交x轴于点，此时周长最小，由等腰直角三角形的性质可求，可求，即可求解． 【详解】解：如图所示，作B关于x轴对称点为，连接，交x轴于点，此时周长最小， 过点C作轴，过点作轴，交于， ， ， ， ， ， ， ， ， 则此时坐标为． 的值为2． 故选：C． 10. 如图，在中，，以点A为圆心，以的长为半径作弧交于点D，连接，再分别以点B，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线交于点E，连接，则下列结论中不正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质可以判断①的正确；利用等边三角形的性质结合①的结论和等腰三角形的三线合一的性质可以判断②正确；利用直有三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半判断③的正确；利用相似三角形的面积比等于相似比的平方即可判断④的错误． 【详解】解：由题意得：，为的平分线， ，， ， 为等边三角形， 为的垂直平分线， ，故A的结论正确； 为等边三角形， ，， ， ， ， ， ． ，， ， ， ， 垂直平分线段， ，故B的结论正确； 中，， ， ， ，故C的结论正确． ，， ， ， ， ， ， 故D的结论错误； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了含角的直角三角形的性质，角平分线，线段垂直平分线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握含角的直角三角形的性质和相似三角形的判定与性质是解题的关键． 二、填空题(每小题3分，共24分) 11. 如图所示，小明从坡角为的斜坡的山底（A）到山顶（B）共走了200米，则山坡的高度为________米． 【答案】100 【解析】 【分析】本题考查了含30度直角三角形的性质的应用；根据此性质求解即可． 【详解】解：由题意可得：，米，， 则（米）． 故答案为：100． 12. 一副三角板按如图所示叠放在一起，则图中的度数是___．  【答案】##75度 【解析】 【分析】本题考查三角形外角性质，对顶角相等，直角三角形性质，解题的关键是掌握直角三角形性质． 根据三角形内角和定理求出的度数，再利用外角性质求出的度数即可得到结果． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∵， ∴， 故答案为： 13. 如图，线段AD与BC相交于点O，连接AB、CD，且∠B＝∠D，要使△AOB≌△COD，应添加一个条件是__________(只填一个即可)． 【答案】OB＝OD(答案不唯一) 【解析】 【分析】添加条件OB=OD，可利用ASA定理证明△AOB≌△COD． 【详解】解：添加条件OB=OD， 在△ABO和△CDO中， ， ∴△AOB≌△COD（ASA）， 故答案为OB=OD（答案不唯一）． 【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 14. 如图，在中，，，线段的垂直平分线交于点，交于点，则________． 【答案】##10度 【解析】 【分析】由，，求得，根据线段的垂直平分线、等边对等角和直角三角形的两锐角互余求得． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查了直角三角形的性质、线段垂直平分线性质，熟记直角三角形的性质、线段垂直平分线性质是解题的关键． 15. 如图，在中，，是高，以点A为圆心，长为半径画弧，交于点E，再分别以B、E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部交于点F，作射线，则________． 【答案】##10度 【解析】 【分析】本题主要考查角平分线的作法及三角形内角和定理，根据题意得出平分，然后利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：因为， 所以， 根据题意得：平分， 所以， 因为为高， 所以， 所以, 所以， 故答案为：． 16. 一等腰三角形的底边长为，一腰上的中线把三角形的周长分为两部分，其中一部分比另一部分长，那么这个三角形的周长为________． 【答案】或 【解析】 【分析】先画出图形，根据图形结合已知写出条件，再分两种情况讨论：根据一腰上的中线把三角形的周长分为两部分，其中一部分比另一部分长，构建方程，再解方程可得答案. 【详解】解：如图，为等腰三角形， 设 则 当时， 解得： 当时， 解得： 故答案为：或 【点睛】本题考查的是等腰三角形的定义，三角形的中线的性质，清晰的分类讨论是解题的关键. 17. 如图，已知△ABC是等边三角形，AD是中线，E在AC上，AE=AD，则∠EDC= ______ ． 【答案】15° 【解析】 【分析】由AD是等边△ABC的中线，根据等边三角形中：三线合一的性质，即可求得AD⊥BC，∠CAD=30°，又由AD=AE，根据等边对等角与三角形内角和定理，即可求得∠ADE的度数，继而求得答案． 【详解】解：∵AD是等边△ABC的中线， ∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD=∠BAC=×60°=30°， ∴∠ADC=90°， ∵AD=AE， ∴∠ADE=∠AED=（180°-∠CAD）=75°， ∴∠EDC=∠ADC-∠ADE=90°-75°=15°． 故答案为：15°． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理．此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用． 18. 中，，，点在直线上，是等腰三角形，则的度数为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的性质及等边三角形的判定是解题的关键．根据题意分点D在斜边上和在斜边的延长线上两种情况讨论，对于第一种情况，可证是等边三角形，得到，再由即可得到答案；对于第二种情况，根据等腰三角形的性质求出，即可求得答案． 【详解】解：当点D在斜边上时， 是等腰三角形，， 是等边三角形， ， ， ； 当点D在斜边的延长线上时， 是等腰三角形， ， ， ， ， ； 综上所述，的度数为或． 故答案为：或． 三、解答题(共66分) 19. 如图，在中，分别为的中线和高，为的角平分线． （1）若，求的大小． （2）若面积为40，，求的长． 【答案】（1） （2）8 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形外角性质和三角形面积公式．本题的关键是充分应用三角形的角平分线、高和中线的定义． （1）先利用三角形的外角性质计算出，再利用角平分线定义得到，然后根据高的定义和互余两角的性质求出的度数； （2）先根据三角形中线定义得到，然后利用三角形面积公式求的长． 【小问1详解】 解：， ， 平分， ， 为高， ， ； 【小问2详解】 解：为中线， ， ， ． 20. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点的坐标分别为，，． （1）画出关于y轴的对称图形； （2）直接写出点关于x轴对称的点的坐标________ ． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查平面直角坐标系中图形的对称变换及点的对称，熟练掌握图形的对称和点的对称是解题的关键， （1）根据图形的对称变称求出对称点坐标并作图即可； （2）根据关于x轴对称的点的坐标特征求出对称点坐标即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求. 【小问2详解】 解：由图可知，点的坐标为， ∴点关于x轴对称的点的坐标为， 答案：． 21. 如图，点C，E，F，B在同一直线上，点A，D在异侧， （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，三角形内角和定理的应用，能根据全等三角形的判定求出≌是解此题的关键． （1）根据平行线的性质求出，根据推出，根据全等三角形的性质得出即可； （2）根据全等得出，，，求出，推出，即可求出答案． 【小问1详解】 证明：， ， 在和中， ， ， ； 【小问2详解】 解：， ，，， ， ， ， 22. 如图，在中，，的平分线交于点D，过B作，垂足为F，延长交于点E． （1）求证：为等腰三角形； （2）已知，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）8 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质与判定、线段垂直平分线的性质与判定及三角形外角的性质，熟练掌握等腰三角形的性质与判定、线段垂直平分线的性质与判定及三角形外角的性质是解题的关键； （1）由题意易得，，然后根据三角形内角和可得，进而问题可求证； （2）连接，由（1）可知垂直平分，则有，然后可得，则有，进而问题可求解． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， 又∵平分， ∴， 又∵在和中，，， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； 【小问2详解】 解：连接，如图所示： ∵，平分， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 23. 如图，在中，平分，点E是上一点，，且． （1）若，求的度数； （2）求证：． 【答案】（1）. （2）证明见解析． 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质等知识，掌握三角形全等的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）根据角平分线的定义求出，根据等腰三角形的性质得到，根据三角形外角的性质计算，得到答案； （2）作于，根据等腰三角形的性质得到，证明，根据全等三角形的性质证明结论. 【小问1详解】 解：，平分， 是的一个外角， . 【小问2详解】 证明：如图，过点E作于点F， 平分，， ， 在和中， . ， ，， ， . 24. 如图，为等腰三角形，，和分别为等边三角形，与相交于点F，连接交于点G． （1）求证：G为中点； （2）若，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查等边三角形的性质、等腰三角形的性质与判定及全等三角形的性质与判定；熟练掌握等边三角形的性质、等腰三角形的性质与判定及全等三角形的性质与判定是解题的关键； （1）由题意易得，，则有，然后可得，则有，进而根据等腰三角形的性质可进行求证； （2）与交于点M，由（1）可得，然后可得，进而问题可求解． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵和为等边三角形， ∴， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， ∴， 即平分， 又∵， ∴， 即G为的中点； 【小问2详解】 解：如图，与交于点M， 由（1）可得， ∴， ∵， ∴， 中，， ∴． 25. 在两个不全等的三角形中，有两组边对应相等，其中一组是公共边，另一组等边所对的角对应相等，就称这两个三角形为共边偏差三角形．如图1，AB是公共边，，．则△ABC与△ABD是共边偏差三角形． （1）如图2，在线段AD上找一点E，连接CE，使得△ACE与△ACD是共边偏差三角形，并简要说明理由； （2）在图2中，已知，，求证：△ACB与△ACD是共边偏差三角形． 【答案】（1）在AD上取点E，使得，则点E即为所求，理由见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据共边偏差三角形的定义可知，取CE=CD即可； （2）根据AC是公共边，∠1=∠2，可证△ABC≌△AEC，再证BC=CD，即可得出结论． 小问1详解】 解：在AD上取点E，使得，则点E即为所求． 理由： ∵AC是公共边，， ∴△ACE与△ACD是共边偏差三角形． 【小问2详解】 证明：由（1）作法可知， ∴． 又∵，， ∴， 又∵，， ∴△ABC≌△AEC（AAS）． ∴． ∴． 在△ACB与△ACD中， ∵AC是公共边，，， ∴△ACB与△ACD是共边偏差三角形． 【点睛】本题是新定义题，主要考查了全等三角形的判定与性质，理解共边偏差三角形的定义，将问题转化为找全等三角形是解题的关键． 26. 如图，点分别是边长为的等边边上的动点，点从顶点，点从顶点同时出发，且它们的速度都为． （1）连接交于点，则在运动的过程中，变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数； （2）试求何时是直角三角形？ （3）如图，若点在运动到终点后继续在射线上运动，直线交点为，则变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数． 【答案】（1）不变， （2）或 （3）不变，． 【解析】 【分析】（）根据是等边三角形得，，由题意得，从而证明，再用全等三角形的性质定理及三角形的角间关系、三角形的外角定理，可求得的度数； （）设时间为，则，，分别就当时；当时，利用直角三角形的性质定理求得的值； （）首先利用边角边定理证得，再利用全等三角形的性质定理得到，再运用三角形角间的关系求得的度数； 本题考查了等边三角形的性质，所对直角边是斜边的一半，全等三角形的判定和性质，熟练掌握知识点的应用及学会用分类讨论的思想是解题的关键． 【小问1详解】 不变，理由： ∵是等边三角形， ∴，， 由题意得：， 在和中， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 设时间为，则，， 当时， ∵， ∴， ∴，得，解得：； 当时， ∵， ∴ ， ∴，得，解得：, 当第或秒或第一秒时，为直角三角形； 【小问3详解】 不变，理由： ∵是等边三角形， ∴，， ∴ ， 由题意得， 在和中， ， ∴， ∴，又， ∴ ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中素养评估 (第十三至第十五章) (120分钟　120分) 一、选择题(每小题3分，共30分) 1. 以下四款手机图样中，从整体外观上看，在美学设计上运用轴对称的是（ ） A. B. C. D. 2. 八一中学校九年级2班学生杨冲家和李锐家到学校的直线距离分别是和．那么杨冲，李锐两家的直线距离不可能是（ ） A. B. C. D. 3. 如图是战机在空中展示的轴对称队形．以飞机B，C所在直线为x轴、队形的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系．若飞机E的坐标为(40，a)，则飞机D的坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，，过点作于点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在纸上画有，将两把直尺按图示摆放，直尺边缘的交点P在的平分线上，则（ ） A. 与一定相等 B. 与一定不相等 C. 与一定相等 D. 与一定不相等 6. 某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，各组展示作图痕迹如下，其中射线为的平分线的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 7. 如图，H是高的交点，且，则下列结论中正确的有①，②，③，④（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 8. 如图1是一个可调节的电脑桌，它的工作原理是利用液体在封闭的管路中传递力和能量．图2是将其正面抽象成的图形，其中桌面与底座平行，等长的支架交于它们的中点E．液压杆．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，点A，B，C的坐标分别为，和，则当的周长最小时，m的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 10. 如图，在中，，以点A为圆心，以的长为半径作弧交于点D，连接，再分别以点B，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线交于点E，连接，则下列结论中不正确的是（　　） A. B. C. D. 二、填空题(每小题3分，共24分) 11. 如图所示，小明从坡角为的斜坡的山底（A）到山顶（B）共走了200米，则山坡的高度为________米． 12. 一副三角板按如图所示叠放在一起，则图中的度数是___．  13. 如图，线段AD与BC相交于点O，连接AB、CD，且∠B＝∠D，要使△AOB≌△COD，应添加一个条件是__________(只填一个即可)． 14. 如图，在中，，，线段的垂直平分线交于点，交于点，则________． 15. 如图，在中，，是高，以点A为圆心，长为半径画弧，交于点E，再分别以B、E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部交于点F，作射线，则________． 16. 一等腰三角形的底边长为，一腰上的中线把三角形的周长分为两部分，其中一部分比另一部分长，那么这个三角形的周长为________． 17. 如图，已知△ABC是等边三角形，AD是中线，E在AC上，AE=AD，则∠EDC= ______ ． 18. 中，，，点在直线上，是等腰三角形，则的度数为______． 三、解答题(共66分) 19. 如图，在中，分别为中线和高，为的角平分线． （1）若，求的大小． （2）若的面积为40，，求的长． 20. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点的坐标分别为，，． （1）画出关于y轴的对称图形； （2）直接写出点关于x轴对称的点的坐标________ ． 21. 如图，点C，E，F，B同一直线上，点A，D在异侧， （1）求证：； （2）若，求的度数． 22. 如图，在中，，的平分线交于点D，过B作，垂足为F，延长交于点E． （1）求证：为等腰三角形； （2）已知，求的长． 23. 如图，在中，平分，点E是上一点，，且． （1）若，求的度数； （2）求证：． 24. 如图，为等腰三角形，，和分别为等边三角形，与相交于点F，连接交于点G． （1）求证：G为中点； （2）若，求的度数． 25. 在两个不全等三角形中，有两组边对应相等，其中一组是公共边，另一组等边所对的角对应相等，就称这两个三角形为共边偏差三角形．如图1，AB是公共边，，．则△ABC与△ABD是共边偏差三角形． （1）如图2，在线段AD上找一点E，连接CE，使得△ACE与△ACD是共边偏差三角形，并简要说明理由； （2）在图2中，已知，，求证：△ACB与△ACD是共边偏差三角形． 26. 如图，点分别是边长为等边边上的动点，点从顶点，点从顶点同时出发，且它们的速度都为． （1）连接交于点，则在运动的过程中，变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数； （2）试求何时是直角三角形？ （3）如图，若点在运动到终点后继续在射线上运动，直线交点为，则变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $