23.1平均数与加权平均数 2025-2026学年冀教版数学九年级上册

第二十三章 数据分析 23.1 课时1 算术平均数及其意义 23.1平均数与加权平均数 1.在实际问题情境中理解平均数的意义，会计算一组数据的算术平均数.(重点) 2.会用计算器对经过整理的数据求平均数. 学习目标 下图表示的是甲、乙、丙三人的射击成绩，谁的成绩更好，谁更稳定？你是怎么判断的？除了直观感觉外，我们如何用量化的数据来刻画“更好”“更稳定”呢？ 情景导入 问题1：某农科院为了寻找适合本地的优质高产小麦品种，将一块长方形试验田分成面积相等的9块，每块100 m2，在土壤肥力、施肥、管理等都相同的条件下试种A，B两个品种的小麦.小麦产量如下表： A1 B1 A2 B2 A3 B3 A4 B4 A5 品种A A1 A2 A3 A4 A5 产量/kg 95 93 82 90 100 品种B B1 B2 B3 B4 产量/kg 94 100 105 85 问题导入 （1）将上面的数据绘制成如下所示的统计图，观察下图，哪个品种小麦的产量更高些？ 解：从图形直观上来看，B品种小麦的产量更高些. (2）以100 m2为单位，如何比较A，B两个小麦品种的单位面积产量？ 分析：由于同一品种在不同试验田上的产量有差异，要比较 两个品种哪个产量高，通常情况下是比较它们的平均产量. 解：A品种的平均产量： (kg), B品种的平均产量： （kg）. 思考：计算A品种每块地的产量与平均产量的差的总和，你发现了什么？ 其和为0，即平均数可以抵消各数据之间的差异. (3)如果只考虑产量这个因素，哪个品种更适合本地种植？ 解：从（2）中的结果可以得到：B品种小麦比A品种小麦 的平均产量高，所以B品种更适合本地种植. 1.算术平均数：一般地，我们把n个数据x1， x2，x3， ··· ， xn 的和与n的比，叫做这n个数的算术平均数.简称平均数. x = x1+x2+ x3+ ··· + xn n 平均数是将各个数据之间的差异互相抵消（抹平）后求得的一个代表值。 2.平均数是一组数据的代表值，反映了数据的“一般水平”. 例1 从一批鸭蛋中任意取出20个，分别称重后整理成如下表格： 质量/g 70 75 80 85 频数 2 5 6 7 在求20个鸭蛋的平均质量时，小明和小亮得到了不一样的答案，请你分析一下谁对谁错？ 小明：（70+75+80+85）÷4=77.5(g) 小亮：（70×2+75×5+80×6+85×7）÷20=79.5(g) × √ 注意：在计算算术平均数时， ①要计算所有数据的和；②要明确数据的个数；③计算两者的商. 典例精析 用计算器计算平均数 利用计算器可以很方便地计算平均数，如计算上面的20个数据的平均数如下的步骤如下： 步 骤 按 键 显 示 选择统计模式，进入一元统计状态 输入第1个数据70，频数2 输入第2个数据75，频数5 输入第3个数据80，频数6 输入第4个数据85，频数7 显示统计结果 DATA 7 n＝ 2 0 ， 2 DATA 7 n＝ 7 5 ， 5 DATA 8 n＝ 13 0 ， 6 DATA 8 n＝ 20 5 ， 7 Rcl MODE 2 Stat x 0 某校10名学生参加书画大赛，他们的得分情况如下表所示，用计算器计算这10名学生所得分数的平均分是 分. 分数 85 88 90 92 95 人数 1 3 2 3 1 90 练一练 1. 若一组数据1，4，7，x，5的平均数为4，则x的值是（　 ）　 A.7 B.5 C.4 D.3 B 当堂检测 2.有一组数据：2，5，5，6，7，这组数据的平均数为(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 C 3.八（1）班45名同学一天的生活费用统计如下表，则这45名同学一天的生活费用中，平均数是（　　） A.15元 B.20元 C.21元 D.25元 生活费/元 10 15 20 25 30 人数 3 9 15 12 6 C 4. 已知3名男生的平均身高为170cm， 2名女生的平均身高是160cm，则5名学生的平均身高是 . 168cm 5.小张是个“健步走”运动爱好者，他用手机软件记录了近阶段每天健步走的步数，并将记录结果绘制成了如下统计表： 求小张近阶段平均每天健步走的步数． 步数/万步 1.1 1.2 1.3 天数 3 2 5 解： 平均数 平均数是一组数据的代表值，它反映了数据的“一般水平”. 定义：我们把n个数x1，x2，…，xn的和与n的比，叫做这n个数的算术平均数. 计算公式 x = n x1+x2+ x3+ ··· + xn 课堂小结 第二十三章 数据分析 23.1 课时2 加权平均数 1.理解数据的权和加权平均数的概念，体会权的作用.(难点) 2.明确加权平均数与算术平均数的关系，掌握加权平均数的计算方法.(重点、难点) 学习目标 问题1 什么叫算术平均数？ 问题2 算术平均数的表示方法是什么？ 对于n个数据x1,x2,x3, …,xn,则 叫做这n个数的算术平均数，简称“平均数”，记作x,读作“x拔” 问题3 算术平均数的意义是什么？ 算术平均数的意义是反映一组数据的平均水平. 回顾旧知 问题： 假期里，小红和小惠结伴去买菜，三次购买的西红柿价格和数量如下表： 单价/（元/千克） 4 3 2 合计 小红购买的数量/kg 1 2 3 6 小惠购买的数量/kg 2 2 2 3 从平均价格来看，谁买的西红柿要便宜一些？ 提示：小红购买不同单价的西红柿的数量不同，所以平均价格不是三个单价的平均数.实际上，平均价格是总花费金额与购买总量的比. 解： 从平均价格看，小红买的西红柿要便宜些.　　 问题导入 如上题中： 4的权 3的权 2的权 权的和 二、权的意义：各个数据在该组数据中所占有的不同重要性的反映. 一、定义：一般地，已知n个数x1，x2，…，xn，若w1，w2，…，wn为一组正数，则把 叫做这n个数的加权平均数， w1，w2，…，wn分别叫做这n个数的权重.简称权. 新课讲授 三、算术平均数与加权平均数的关系. 在情景导入中，我们计算小惠的平均价格的算术平均数与加权平均数时，其结果相同. 由此你想到了什么？ 算术平均数中各个数据的权重相同，即一组数据中每个数据的权重相同时可用算术平均数计算，若每个数据的权重不相同，则用加权平均数. 在求n个数的算术平均数时，如果x1出现f1次，x2出现f2次，…，xk出现fk次（这里f1+f2+…+fk=n）那么这n个数的算术平均数 也叫做x1，x2，…，xk这k个数的加权平均数，其中f1，f2，…，fk分别叫做 x1，x2，…，xk的权. 加权平均数的其他形式 例1 某学校为了鼓励学生积极参加体育锻炼，规定体育科目学期成绩满分100分，其中平时表现（早操、课外体育活动）、期中考试和期末考试成绩按比例3:2:5计入学期总成绩.甲、乙两同学的各项成绩如下： 分别计算甲、乙的学期总成绩. 95 95 90 80 期中考试/分 平时表现/分 乙 甲 学生 期末考试/分 88 85 思考：本题中权是以什么形式出现？ 比例当中的项 甲的学期总成绩为 乙的学期总成绩为 典例精析 我们尝试用另一种方法来解决问题 思考：此时权是以什么形式出现？ 比值（百分数） 总结：显然，此时20％、30％、50％是权，一般情况下，当权为比值（百分数）时，权的和为1.则在用加权平均数计算时，除以权的和可以省略. 分析：由于3+2+5=10 ∴平时表现、期中成绩、期末成绩分别占总成绩的 甲的学期总成绩为 乙的学期总成绩为 例2 从某校九年级男生中，任意选出100人，分别测量他们的体重，将数据进行分组整理，结果如下表： 体重x/kg 44≤x＜50 50≤x＜56 56≤x＜62 62≤x＜68 68≤x＜74 频数 9 21 34 23 13 计算这100名男生的平均体重. 分析：对于分组数据，可以用组中值（分组两个端点的平均数）作为这组数据的一个代表值，把各组的频数看做对应组中值的权，按加权平均计算平均数的近似值. 解：五组数据的组中值分别为47,53,59,65,71.加权平均数为 所以，这100名男生的平均体重约为59.6kg.　　 1.某超市销售A , B , C , D四种矿泉水,它们的单价依次是5元、3元、2元、1元.某天的销售情况如图所示，则这天销售的矿泉水的平均单价是（ ） A.1.95 元 B.2. 15 元 C.2. 25 元 D.2.75 元 C 当堂检测 2.某校拟招聘一批优秀教师，其中某位教师笔试、试讲、面试三轮测试成绩分别为92分、 85分、90分，综合成绩笔试占40%，试讲占40%，面试占20%，则该名教师的综合成绩为 分. 88.8 3.某跳水队为了解运动员的年龄情况，作了一次年龄调查，结果如下：13岁8人，14岁16人，15岁24人，16岁2人.求这个跳水队运动员的平均年龄（结果取整数）. 解：这个跳水队运动员的平均年龄为　 ≈14（岁）. 4.如果某家公司想招一名笔译能力较强的翻译，听、说、读、写的成绩按照2:1:3:4的比确定，计算两名应试者的平均成绩（百分制）．从他们的成绩看，应该录取谁？ 应试者 听 说 读 写 甲 85 78 85 73 乙 73 80 82 83 解： 因为乙的成绩比甲高，所以应该录取乙．　　 5.某部队为测量一批新制造的炮弹的杀伤半径，从中抽查了50枚炮弹，它们的杀伤半径(米)如下表所示： 杀伤半径 /米 20≤ x＜40 40≤ x＜60 60≤ x＜80 80≤ x＜100 数量/枚 5 10 12 17 求这批炮弹的平均杀伤半径. ∴这批炮弹的平均杀伤半径大约是60. 8米. 解:由表可得出各组数据的组中值分别是30,50,70,90, ∴ 加权平均数 加权平均数 加权平均数的意义 数据的权的意义 反映一组数据中按各数据占有的不同权重时总体的平均大小情况. 权反映数据的重要程度，数据权的改变一般会影响这组数据的平均水平． 权的形式 比值；百分比；频数 课堂小结 冀教版九上 第二十三章 数据分析 课时3 加权平均数的应用 1.体会平均数在现实生活中的应用的意义 3.提高数学的应用意识 2.会用平均数的知识解决现实中的问题 学习目标 情景一.崔老师想估测从家到学校的路程，先在百米跑道上测试，从起点到终点蹬了22圈.然后记录了10次从家到学校蹬自行车的圈数，结果如下： 427 439 428 438 436 440 432 435 436 439 （1)根据这些数据，估测崔老师从家到学校的路程. 情景导入 情景一.崔老师想估测从家到学校的路程，先在百米跑道上测试，从起点到终点蹬了22圈.然后记录了10次从家到学校蹬自行车的圈数，结果如下： 427 439 428 438 436 440 432 435 436 439 （2)如果只记录一次蹬自行车的圈数，用这个数据去计算路程，你认为合适吗？为什么要进行多次测量？ 解：不合适，误差比较大。进行多次测量取平均值可以减小误差，使估测的结果更准确. 今天我们就共同来研究如何运用平均数来解决实际生活中的一些问题. 例1.估测黑板的宽度（单位：cm). （1)记录每名同学的估测结果，并找出全班同学中估测值中的最大值和最小值. （2)以学习小组为单位，计算各自小组的估测平均值.并找出8个小组估测平均值的最大值和最小值. （3)计算全班同学估测的平均值. 典例精析 例1.估测黑板的宽度（单位：cm).记录每人的估测结果。 （4)实际测量黑板的宽度为a.并将（1）、（2)、（3)中的数据与a作比较，你发现了什么？用哪个数据作为黑板的宽度的估测值比较合适？ 随着估测次数的增加，估测的结果会更加接近准确数值a.因此用全班同学估测的平均值做为黑板宽度的估测值比较合适. （5)在解决例1的问题过程中，可以引发我们什么样的思考？ 在实际生活中，我们经常要对某个量进行测量，测量往往会产生误差。为了得到比较准确的结果，可以进行多次重复测量，用这些测量值的平均数作为这个量的估计值. 例2.从某学校九年级男生中，任意选出100人，分别测量他们的体重，将数据进行分组整理，结果如下表： 体重/kg 44≤x＜50 50≤x＜56 56≤x＜62 62≤x＜68 68≤x＜74 频数 9 21 34 23 13 (1)估计这100名学生平均体重的最小值. 思考：每一组中，取哪个数做估计值合适？ 解：（44×9+50×21+56×34+62×23+68×13）÷100 =56.6（kg） ∴这100名学生平均体重的最小值是56.6kg. 每组中的最小值 例2.从某学校九年级男生中，任意选出100人，分别测量他们的体重，将数据进行分组整理，结果如下表： 体重/kg 44≤x＜50 50≤x＜56 56≤x＜62 62≤x＜68 68≤x＜74 频数 9 21 34 23 13 (2)估计这100名学生平均体重的最大值. 思考：每一组中，取哪个数做估计值合适？ 解：（50×9+56×21+62×34+68×23+74×13）÷100 =63.23（kg） ∴这100名学生平均体重的最大值小于63.23kg. 每组中的最大值 例2.从某学校九年级男生中，任意选出100人，分别测量他们的体重，将数据进行分组整理，结果如下表： 体重/kg 44≤x＜50 50≤x＜56 56≤x＜62 62≤x＜68 68≤x＜74 频数 9 21 34 23 13 (3)估计这100名学生平均体重的范围. 由（1）、（2）可得，这100名学生平均体重的范围是不低于56.6kg，且低于63.23kg. 例2.从某学校九年级男生中，任意选出100人，分别测量他们的体重，将数据进行分组整理，结果如下表： 体重/kg 44≤x＜50 50≤x＜56 56≤x＜62 62≤x＜68 68≤x＜74 频数 9 21 34 23 13 (4)求这100名学生平均体重. 思考：每一组中的数是一个范围，此时取哪个数做为小组的代表合适呢？ 每组的组中值 例2.从某学校九年级男生中，任意选出100人，分别测量他们的体重，将数据进行分组整理，结果如下表： 体重/kg 44≤x＜50 50≤x＜56 56≤x＜62 62≤x＜68 68≤x＜74 频数 9 21 34 23 13 (4)求这100名学生平均体重. 1.某次数学考试中，一个学习小组的四位同学A、B、C、D的平均分是80分，为了让该小组成员之间能更好地互帮互学，老师调入E同学，调入后，他们五人本次的平均分变为85分，则E同学本次考试的成绩是（ ）分. 105 当堂检测 2.甲、乙、丙三种糖果的售价分别是每千克6元、7元、8元，若将甲糖果8千克、乙糖果10千克，丙糖果3千克混合到一起出售，欲使总售价不减少，则混合后糖果的售价应为每千克至少（ ）元.（结果取整数） 7 3.某学校为了了解全校学生的体育锻炼情况，随机抽查了50名学生每周课外体育活动的时间x(单位：h)，统计后绘了一幅统计图如下，已知时间在6≤x＜8的学生人数占24％.解决如下问题 0 4 8 12 16 (1)本次调查属于（ ）调查，样本容量是（ ）. (2)请补全频数分布直方图中空缺的部分. 20 24 x/h 人数 2 4 6 8 10 5 22 3 8 12 抽样 50 3.某学校随机抽查了50名学生每周课外体育活动的时间x(单位：h)，统计后绘了一幅统计图如下，已知时间在6≤x＜8的学生人数占24％.解决如下问题 0 4 8 12 16 (3)求这50名学生每周课外体育活动时间的平均数. 20 24 x/h 人数 2 4 6 8 10 5 22 3 8 12 3.求分组数据的平均值的范围时，分别以每组中的最小值和最大值作为这组数据的代表值，按加权平均数计算最终得出数据平均数的大小范围. 2.分组数据求平均值时，往往以组中值作为这组数据的一个代表值，按加权平均数计算出数据平均数的近似值. 1.在实际生活中，在需要估测时，往往采用多次（多个）估测值的平均数作为估计值，这样可以减小误差，使结果更准确. 课堂小结 $