3.2.1双曲线及其标准方程教学设计 -2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

3.2.1《双曲线及其标准方程》教学设计 一、教学目标 （一）新课标要求 1. 了解双曲线的实际背景，感受双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用. 1. 经历从具体情境中抽象出双曲线模型的过程，掌握双曲线的定义、标准方程. 1. 能够根据双曲线的定义和标准方程解决简单的数学问题和实际问题. （二）核心素养 1. 数学抽象：从实际问题和几何图形中抽象出双曲线的定义和标准方程. 1. 逻辑推理：通过类比椭圆的研究方法，推导双曲线的标准方程，培养逻辑推理能力。 1. 数学运算：能够运用双曲线的标准方程进行相关的运算，解决问题. 1. 直观想象：借助教材中的图形，想象双曲线的形状和特征，培养空间想象能力. 二、教学重难点 （一）教学重点 双曲线的定义和标准方程的推导及应用. （二）教学难点 双曲线标准方程的推导过程. 三、教学过程 （一）导入（5分钟） 教师展示教材中关于双曲线实际应用的描述：“双曲线也是具有广泛应用的一种圆锥曲线，如发电厂冷却塔的外形、通过声音时差测定定位等都要用到双曲线的性质.” 提问学生：“上一节学习了椭圆的相关知识，椭圆是平面内与两个定点的距离和为常数的点的轨迹，那如果是距离的差为常数的点的轨迹会是什么呢？” 同时引导学生回忆椭圆的研究方法，为类比研究双曲线做铺垫. （二）新课讲授 1. 双曲线的定义（10分钟） 教师引导学生观察教材中的图3.2 - 1和图3.2 - 2，讲解探究内容： 当点在线段外运动，且满足时，动点满足（是常数，且），此时两圆交点的轨迹是双曲线，分左右两支. 教师板书双曲线的定义：平面内与两个定点，的距离的差的绝对值等于非零常数（小于）的点的轨迹叫做双曲线. 这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距. 2. 双曲线标准方程的推导（15分钟） 步骤一：建立坐标系 教师引导学生类比椭圆标准方程的建立过程，观察双曲线的对称性（结合图3.2 - 3）， 发现直线是它的一条对称轴， 所以取经过两焦点和的直线为轴， 线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系. 设是双曲线上任意一点，双曲线的焦距为， 则焦点，的坐标分别是，， 又设（为大于0的常数，）. 步骤二：根据定义列等式 由双曲线的定义，双曲线是集合 因为，， 所以 步骤三：化简等式 类比椭圆标准方程的化简过程，对进行化简. 结合椭圆方程的化简，移项之后平方，整理之后再平方. 可得. 两边同除以，得到. 因为，即)，所以. 类比椭圆，令（），代入上式， 得到 ， 步骤四：检验方程 可知道 就是焦点在轴上的双曲线的标准方程， 其中焦点，，且. 接着，教师引导学生思考：类比焦点在轴上的椭圆标准方程， 焦点在轴上的双曲线的标准方程是什么？结合图3.2 - 4， 得出焦点在轴上的双曲线的标准方程为 ， 焦点，. 3. 例题讲解（8分钟） 例1：已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上一点与，的距离差 的绝对值等于6，求双曲线的标准方程． 解答步骤： 首先，根据焦点坐标，，可知双曲线的焦点在轴上，所以设它的标准方程为. 然后，由（因为两焦点间距离为10），可得；又因为双曲线上一点与两焦点距离差的绝对值，所以. 最后，根据，可得, 所以双曲线的标准方程为. 例2：已知,两地相距800，在地听到炮弹爆炸声比在地晚2，且声速为340，求炮弹爆炸点的轨迹方程． 解答步骤： 分析：由声速及，两处听到炮弹爆炸声的时间差，可知，两处与爆炸点的距离的差为定值，所以爆炸点在以，为焦点的双曲线上。因为爆炸点离处比离处远，所以爆炸点应在靠近处的双曲线的一支上. 如图,建立平面直角坐标系， 使，两点在轴上，并且原点与线段的中点重合. 设爆炸点的坐标为，则,即 ，. 又，所以，即，根据，可得. 因为， 所以点的轨迹是双曲线的右支. 因此炮弹爆炸点的轨迹方程为. 针对上述探究引导学生分析讨论并按小组汇报. （三）课堂练习（7分钟） 1. 求适合下列条件的双曲线的标准方程： （1）焦点在轴上，， （2）焦点在轴上，经过点， （3）焦点为，，且经过点 2. 求证：双曲线与椭圆的焦点相同. 3. 已知方程表示双曲线，求的取值范围. 4. 双曲线的两个焦点分别为，，焦距为8，是双曲线上一点，且，求的值. 教师巡视，指导学生解题，之后各小组选派学生代表展示解题过程，教师进行点评. （四）课堂小结（3分钟） 教师引导学生回顾本节课内容： 1. 双曲线的定义：平面内与两个定点，的距离的差的绝对值等于非零常数（小于 ）的点的轨迹. 2. 双曲线的标准方程： 焦点在轴上：，焦点，； 焦点在轴上：，焦点，. 能够利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题. 四、作业布置 教材课后练习题. 思考：除了教材中的实际应用，双曲线在生活中还有哪些应用？ 学科网（北京）股份有限公司 $