24.2 解一元二次方程 课件 2025-2026学年 冀教版九年级数学上册

该初中数学课件围绕一元二次方程的三种解法——配方法、公式法和因式分解法展开，以问题驱动导入，从简单平方根求解自然过渡到复杂方程处理，构建了由浅入深的学习支架。通过“移项—配方—开方—求解”的步骤梳理，帮助学生建立清晰的逻辑链条，实现从特殊到一般的思维跃迁。 其亮点在于紧扣新课标核心素养，体现数学眼光、数学思维与数学语言的融合统一。例如在配方法中引导学生观察常数项变化规律，培养抽象能力与几何直观；在公式法推导中强调判别式的分类讨论，发展推理意识与运算能力；在因式分解环节设计生活情境题，提升模型意识与应用能力。教学内容结构化呈现，配有典型例题与易错辨析，既利于学生形成系统认知，又便于教师精准施教，显著提升课堂效率与学习深度。

第二十四章 一元二次方程 24.2 解一元二次方程 课时1 配方法 22002 1.了解配方法的概念，掌握运用配方法解一元二次方程的步骤. 2.经历探索利用配方法解一元二次方程的过程，体会转化、降次的数学思想方法. 3.通过对配方法的探究活动，培养学生勇于探索的学习精神，感受数学的严谨性. 学习目标 22002 学习重点：用配方法解一元二次方程. 学习难点：探索并掌握配方的关键——添加常数项. 22002 问题1：下列各数有平方根吗？如果有，求出它的平方根； 如果没有，请说明理由. （1）0 （2）（-1.2）2 （3）-a2 （4）- 1 （5）12 （6）52 探究新知 22002 问题2：试着做做：根据平方根的意义，解下列方程. （1） x2=4 （2）（x+1）2=4 （3）（x-6）2=4 （4）（2x-2）2=25 22002 一般地，对于方程x2＝p, (1) 当p>0时，根据平方根的意义，方程有两个不等的实数根 x1＝－ ，x2＝ ； (2) 当p＝0时，方程有两个相等的实数根x1＝x2＝0； (3) 当p<0时，因为对任意实数x，都有x2≥0，所以方程无实数根． 22002 【做一做】:将下列方程化为(x+m)2=n(m,n为常数，且n≥0)的形式,再求出方程根. （1）x2+2x=48； （2）x2-4x=12； （3）x2-6x+5=0； （4）x2+x- =0； x1 =6, x2 =-8 x1 =6, x2 =-2 x1 =5, x2 =1 学生活动 探究新知 22002 通过配方，把一元二次方程变形为一边为含未知数的一次式的平方，另一边为常数，当常数为非负数时，利用开平方，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，从而求出原方程的根.这种解一元二次方程的方法叫做配方法. 归纳总结 22002 例1:用配方法解下列方程． (1)x2－10x－11＝0; (2)x2＋2x－1＝0. 解： (1)移项得　x2－10x＝11. 配方得x2－10x＋52＝11＋52， 即　(x－5)2＝36. 两边开方，得 所以　　 (2)移项，得x2＋2x＝1. 　 配方，得 x2＋2x＋12＝1＋12， 　 即 (x＋1)2＝2. 　 两边开方，得 所以　　 配方时，先将常数项移至另一边，再在方程两边同时加上一次项系数一半的平方. 典例精析 22002 用配方法解一元二次方程的步骤： 形如x2＋px＋q=0型： 第一步移项，把常数项移到右边； 第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方； 第三步左边写成完全平方式； 第四步，直接开方即可． 归纳总结 22002 例2:用配方法解方程：2x2+3＝6x. 解： 移项，并将二次项系数化为1，得 x2－3x＝ 配方，得 x2－3x＋ 即　　 两边开方，得 所以　　 典例精析 22002 对于用配方法解一元二次方程，一般地，首先将二次项系数化为1，并将常数项移到方程的右边，再将方程的两边都加上一次项系数一半的平方，然后写成完全平方的形式，用直接开平方法求得方程的两个根． 做一做：用配方法解方程：2x2+4x+1＝0. 22002 用配方法解一元二次方程的一般步骤是什么？与同学交流你的想法。 （1）移项:把常数项移到方程的右边; （2）二次项系数化为1：方程两边同时除以二次项系数； （3）配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方; （4）开方：根据平方根的概念，将一元二次方程转化为两个一元一次方程； （5）求解：解一元一次方程得到一元二次方程的解． 22002 试用配方法说明：不论k取何实数，多项式k²-4k+5的值必定大于零. 解：k²-4k+5=k²-4k+4-4+5 =（k-2）²+1， ∵ （k-2）² ≥0， ∴ （k-2）²+1≥1 ∴ k²-4k+5的值必定大于零. 练一练 22002 特征 通过配完全平方式解一元二次方程 步骤 一.移常数项；二.配方[配上 ]； 三.写成 (x+m)2=n (n≥0)；四.开平方解方程 应用 求代数式的最值或字母值 直接开平方法 利用平方根的意义求方程的根的方法 配方法 课堂总结 22002 特别提醒： 在用配方法解一元二次方程之前先把二次项系数化为1. 22002 1.用配方法解下列方程，其中应在方程左右两边同时加上4的是(　　) A．x2＋4x＝5 B．2x2－4x＝5 C．x2－2x＝5 D．x2＋2x＝5 2.一元二次方程x2－6x－5＝0配方后可变形为(　　) A．(x－3)2＝14 B．(x－3)2＝4 C．(x＋3)2＝14 D．(x＋3)2＝4 A A 当堂检测 22002 第二十四章 一元二次方程 24.2 解 一元二次方程 课时2 公式法 22002 1.经历推导求根公式的过程，加强推理能力的练习. 2.会用根的判别式判断一元二次方程的根的情况，会用公式法解简单系数的一元二次方程. 3.通过探究一元二次方程的求根公式,提高学生的观察能力、分析问题能力,同时培养学生的数学建模意识. 学习目标 22002 学习重点：根的判别式及用公式法解一元二次方程. 学习难点：一元二次方程求根公式的推导过程. 22002 问题1：用配方法解下面这个一元二次方程 问题2: 你还会其他的解法吗？ 3x2－6x－5＝0 探究新知 22002 一元二次方程根的判别式及求根公式 一起用配方法解下面这个一元二次方程吧 并模仿解一般形式的一元二次方程 3x2－6x－5＝0 22002 一元二次方程根的判别式及求根公式 x－1＝± 两边同除以a 移项 两边同时加上 整理 开方 解得 步骤 3x2－6x－5＝0 x2－2x－＝0 x2－2x＝ x2－2x+1＝ (x－1)2＝ x＝± 22002 根的判别式 我们把 b2 − 4ac 叫做一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 根的判别式. 两个不相等的实数根 两个相等的实数根 没有实数根 两个实数根 判别式的情况 根的情况 b2 − 4ac > 0 b2 − 4ac = 0 b2 − 4ac < 0 b2 − 4ac≥0 22002 求根公式 当b2－4ac ≥0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 的两实数根可以用 求出，这个式子叫做一元二次方程的求根公式． 利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法. 22002 例1：不解方程，判别下列方程根的情况： (1) x2＋3x＋2＝0； (2) x2－4x＋4＝0; (3) 2x2－4x＋5＝0. 解： (1)这里a＝1，b＝3，c＝2. ∵b2－4ac＝32－4×1×2＝1＞0， ∴原方程有两个不相等的实数根. (2)这里a＝1，b＝－4，c＝4. ∵b2－4ac＝(－4)2－4×1×4＝0， ∴原方程有两个相等的实数根. (3)这里a＝2，b＝－4，c＝5. ∵b2－4ac＝(－4)24×2×5 ＝－24＜0， ∴原方程没有实数根. 典例精析 22002 例2:用公式法解下列方程： (1) 4x2＋x－3＝0； (2) x2－2x－5＝0； 解： (1) a＝4，b＝1，c＝－3. ∵ b2－4ac＝12－4×4×(－3) ＝49＞0. ∴ 即 (2) a＝1，b＝－2，c＝－5. ∵ b2－4ac＝(－2)2－4×1×(－5) ＝24＞0， ∴ 即 22002 01 公式法解方程的步骤 1. 变形：化已知方程为一般形式； 2. 确定系数：用 a，b，c 写出各项系数； 3. 计算：b2 − 4ac 的值； 4. 判断：若b2 − 4ac≥0，则利用求根公式求出； 若b2 − 4ac＜0，则方程没有实数根. 归纳总结 22002 若方程(m－2)x|m|－2x＋1＝0是一元二次方程，则方程的根是(　 　) A．x1＝ ，x2＝ B．x1＝ ，x2＝ C．x1＝ ，x2＝ D．以上答案都不对 B 练一练 22002 公式法 步骤 一化（一般形式）； 二定（系数值）； 三求（求 b2 - 4ac 的值）； 四判（方程根的情况）； 五代（代求根公式计算） 务必将方程 化为一般形式 求根公式 课堂总结 22002 1. 关于 x 的一元二次方程 x2＋2 ax －1＝0的根的情况是(　C　) A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 实数根的个数与 a 的取值有关 C 当堂检测 22002 2. x ＝ 是下列哪个一元二次方程的根(　C　) A. 2 x2＋ x －3＝0 B. x2－2 x －3＝0 C. 2 x2－ x －3＝0 D. x2＋2 x －3＝0 C 22002 3. 用公式法解方程2 x2－1＝0，其中 b2－4 ac ＝ ⁠. 4. 已知 m ＜0，判断方程4 x2－5 x ＋ m ＝0的解的情况是 ⁠⁠. 【解析】∵ a ＝4， b ＝－5， c ＝ m ＜0， ∴Δ＝ b2－4 ac ＝(－5)2－4×4× m ＝25－16 m ＞0， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根. 8　 有两个不相等的实数根 22002 5. 用公式法解下列方程： (1) x2＋3 x ＋1＝0；　　　　(2)2 x2－3 x ＋1＝0. 解：(1) a ＝1， b ＝3， c ＝1. ∵ b2－4 ac ＝32－4×1×1＝5＞0， ∴ x ＝ ＝ ，即 x1＝ ， x2＝ . (2) a ＝2， b ＝－3， c ＝1. ∵ b2－4 ac ＝(－3)2－4×2×1＝1＞0， ∴ x ＝ ＝ ，即 x1＝1， x2＝ . 22002 第二十四章 一元二次方程 24.2 解一元二次方程 课时3 因式分解法 22002 1.了解因式分解法解一元二次方程的概念；会用因式分解法解一元二次方程. 2.能根据一元二次方程的特征,灵活选用解一元二次方程的方法. 3.经历探索用因式分解法解一元二次方程的过程,发展合情推理的能力,体会转化、降次的思想方法. 学习目标 22002 学习重点：会用因式分解法解一元二次方程. 学习难点：能根据一元二次方程的特征,选择适当的解一元二次方程的方法. 22002 问题1：什么是因式分解?因式分解的方法有哪几种? 问题2: 请将下列各式因式分解： (1)5x2-4x;　　 (2)x2-4x+4;　　 (3)x2-4;　　 (4)(3x-1)2-x2. 提公因式法；公式法 把一个多项式化成几个整式的积的形式. 探究新知 22002 因式分解 如果 a · b = 0， 那么 a = 0 或 b = 0. 两个因式乘积为 0，说明什么？ 或 x - 2 = 0 降次，化为两个一次方程 解两个一次方程，得出原方程的根 这种解法是不是很简单？ x2 - 2x = 0 x(x - 2) = 0 x = 0， 对于方程 x2 - 2x = 0 ，除了配方法和公式法，还可以怎样求解呢？ 22002 把一元二次方程的一边化为 0，另一边分解成两个一次因式的乘积，进而转化为两个一元一次方程，从而求出原方程的根，这种方法叫做因式分解法. 因式分解法的概念 归纳总结 22002 做一做：用因式分解法解下列方程： (1) 2x2－5x＝0； (2) 4x2－15x＝0; (3) x2－（2x+1）2＝0. 22002 例：用因式分解法解下列方程： （1）3（x-1）2=2（x-1); （2） (x+5)2＝49. 解： (1) 3 (x－1)2－2(x－1)＝0， (x－1)(3x－3－2)＝0， 即(x－1)(3x－5)＝0. ∴x－1＝0，或3x－5＝0， ∴x1＝1，x2＝ . 小华的解法： 方程两边同时除以(x-1), 得3（x-1）=2 典例精析 22002 解： (2) (x+5)2－72＝0， (x+5+7)(x+5－7)＝0， 即(x+12)(x－2)＝0. ∴x+12＝0，或x－2＝0， ∴x1＝-12，x2＝2 . 例：用因式分解法解下列方程： （1）3（x-1）2=2（x-1); （2） (x+5)2＝49. 22002 因式分解法的基本步骤 一移— —使方程的右边为 0； 二分— —将方程的左边因式分解； 三化— —将方程化为两个一元一次方程； 四解— —写出方程的两个解. 简记歌诀： 右化零，左分解； 两因式，各求解. 归纳总结 22002 大家谈谈 解一元二次方程的方法有哪几种? 根据你的学习体会,谈谈解方程时如何选择适当的解法. 22002 归纳总结： (1)如果是特殊形式(x+a)2=b(b≥0),用直接开平方法； (2)二次项系数为1,一次项系数为偶数,常用配方法解方程; (3)方程系数无明显特点,考虑用公式法解方程; (4)先将方程化简,用公式法解方程; (5)移项后可提公因式,用因式分解法解方程. 22002 下面的解法正确吗？如果不正确，错误在哪？并请改正过来. 解方程 (x-5)(x+2)=18. 解: 原方程化为： (x-5)(x+2)=18 . ① 由x-5=3, 得x=8; ② 由x+2=6, 得x=4; ③ 所以原方程的解为x1=8或x2=4. 解: 原方程化为： x2 －3x －28= 0， (x－7)(x+4)=0， x1=7，x2=－4. 练一练 22002 因式分解法 形式 步骤 简记歌诀： 右化零，左分解；两因式，各求解 如果 a · b = 0，那么 a = 0 或 b = 0 原理 将方程左边因式分解，使右边为 0 因式分解的常见方法有 ma + mb = m(a + b)； a2±2ab + b2 = (a±b)2； a2 - b2 = (a + b)(a - b). 课堂总结 22002 1.填空： ① x2 - 3x + 1 = 0； ② 3x2 - 1 = 0； ③ -3t2 + t = 0； ④ x2 - 4x = 2； ⑤ 2x2 = x； ⑥ 5(m + 2)2 = 8； ⑦ 3y2 - y - 1 = 0； ⑧ 2x2 + 4x = 1； ⑨ (x - 2)2 = 2(x - 2). 最适合运用直接开平方法： ； 最适合运用因式分解法： ； 最适合运用公式法： ； 最适合运用配方法： . ⑥ ① ③ ⑤ ⑦ ⑧ ⑨ ② ④ 当堂检测 22002 2. 一元二次方程 x ( x －14)＝0的根是(　C　) A. 0 B. 14 C. 0或14 D. 0或－14 3. 方程 x2＋ x ＝0的根是(　C　) A. 1 B. －1 C. －1或0 D. 1或0 C C 22002 4. 用因式分解法解一元二次方程 x ( x －2)＋ x －2＝0，变形后正确的是 (　B　) A. ( x ＋1)( x ＋2)＝0 B. ( x ＋1)( x －2)＝0 C. ( x －1)( x －2)＝0 D. ( x －1)( x ＋2)＝0 5. 三角形两边的长分别是7和11，第三边的长是一元二次方程 x2－25＝2( x －5)2的一个实数根，则该三角形的周长是(　B　) A. 23 B. 23或33 C. 24 D. 24或30 6. 一元二次方程 x ( x －3)＝3－ x 的根是 ⁠. B B x1＝3， x2＝－1　 22002 7. 用因式分解法解下列方程： (1)3 x ( x －1)＝2( x －1)； (2)( x －3)2＝(2 x ＋5)2； 解：(1)3 x ( x －1)－2( x －1)＝0.(3 x －2)( x －1)＝0. 3 x －2＝0，或 x －1＝0. x1＝ ， x2＝1. (2)( x －3)2－(2 x ＋5)2＝0. ( x －3＋2 x ＋5)( x －3－2 x －5)＝0. (3 x ＋2)(－ x －8)＝0. x1＝－ ， x2＝－8. 22002 (3) x2－6 x ＋9＝0.( x －3)2＝0. x1＝ x2＝3. (4) x2－(2＋5) x ＋(2×5)＝0.( x －2)( x －5)＝0. x1＝2， x2＝5. (3) x2－6 x ＝－9； (4) x2－7 x ＋10＝0. 22002 $