24.2 解一元二次方程 同步练习 2025-2026学年 冀教版九年级数学上册

24.2 解一元二次方程 第二十四章 一元二次方程 课时1 配方法 22002 3.体会转化、降次的数学思想方法. 2.会用配方法解一元二次方程. 1.会用直接开平方法解一元二次方程. 学习目标 22002 1.一个正数4有（ ）个平方根，是（ ）. 0有（ ）个平方根，是（ ）. 负数-4（ ）平方根. 2 ±2 1 0 没有 是学习新知的必备条件哦 新课导入 22002 2.将下列各式补成完全平方式 ①x2+4x+____ ②x2-6x+____ ③x2-10x+___ ④x2+x+____ ⑤x2+3x+____ ⑥x2-0.5x+____ 4 9 25 0.25 填空的规律是什么？ 二次项系数为1时，只需把常数项填成一次项系数一半的平方. 22002 解下列方程 (1)x2=4 4的平方根是±2 ∴x=±2 (2)(x-1)2=4 解：x-1=±2 即x-1=2 或 x-1=-2 ∴x=3 或 x=-1 看做整体，则(2) 转化为（1） x-1的值互为相反数 x的值不是相反数 请用这种方法解方程(x+3)2=1 x=-2或x=-4 22002 (3)3(x-1)2=12 (2)(x-1)2=4 （3）可以转化为方程（2）吗？ 解：方程两边同除以3得 (x-1)2=4 x-1=±2 ∴x-1=2或x-1=-2 ∴x=3或x=-1 (4)(x+10)2=-2 解：由于负数没有平方根 即没有任何数的平方等于-2 ∴原方程无解. 这种解一元二次的方程的方法叫做直接开平方法 22002 一、直接开平方法 1.概念：对于等号左边是平方形式，右边是一个常数的一元二次方程，可用平方根的意义在方程两边直接开平方，求得方程的解，这种解一元方程的方法叫做直接开平方法. 新课讲授 22002 (1)x2=4 2.用直接开平方法解一元二次方程的根的情况有三种 (2)x2=0 (3)x2=-4 x=±2 x=0 无解 方程有两个不相等的根 方程有一个根 方程没有根 也叫有两个相等的根 22002 3.直接开平方法的一般步骤 ① ② ③ 将括号前的常数变为1 直接开平方 解一元一次方程，得出x 二次化为一次 降次 一定有解吗？ 22002 二、探究用配方法解一元二次方程 解方程 (1) x2-2x+1=4 能转化为你会做的形式吗？ 原方程可化为(x-1)2=4 (x-1)2 用直接开平方法即可 解方程 (2) x2-2x=3 分析：能转化为（1）吗？ 方程两边同时加1即可 x2-2x+1=3+1 转化为(1) x2-2x+1=4 22002 二、探究用配方法解一元二次方程 解方程 ：(3) x2-8x-2=0 移项，得 x2-8x=2 配方，得 x2-8x+16=3+16 即(x-4)2=18 ∴x-4=3√2或x-4=-3√2 开平方，得 x-4=±3√2 只有常数项在右边 同加一次项系数一半的平方 化为一次方程 解一次方程 这种解一元二次方程的方法就做配方法. 22002 三、配方法 1.概念：通过配方，把一元二次方程变形为一边含未知数的一次式的平方，另一边为常数，当常数为非负数时，利用开平方，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，从而求出原方程的根.这种解一元二次方程的方法叫做配方法. 注意：由于配方法是通过变形，将一元二次方程最终转化为用直接开平方去解，因此用配方法解一元二次方程也会出现3种结果.即方程有两个不相等的根；或一个根；或没有根. 新课讲授 22002 用配方法解方程 2x2+3=6x 与之前的3个方程有何不同？怎样转化为相同？ 方程 (1) x2-2x+1=4 方程 (2) x2-2x=3 方程 (3) x2-8x-2=0 解：将二次项的系数化为1，得 移项，得 配方，得 只需多一步，即让a=1 典例精析 22002 用配方法解一元二次方程的步骤. 1.将方程的二次项系数化为1；（方程两边同除以a） 2.移项；（只有常数项在等号的右侧） 3.配方；（方程两边同加b的一半的平方） 4.化为(x-m)2=n (m,n是常数，n≥0)的形式； 5.开平方求得方程的根. 归纳总结 22002 1.用配方法解下列一元二次方程 (写到练习本上，步骤要规范哦） (1)5x2-7y+2=0 练一练 22002 5 结果要注意什么？ 两个非负数的和不能为负 考查到哪个知识点？ 一个正数的两个平方根互为相反数 4 22002 1．用配方法解下列方程，其中应在方程左右两边同时加上4的是(　　) A．x2＋4x＝5 B．2x2－4x＝5 C．x2－2x＝5 D．x2＋2x＝5 A 当堂检测 22002 D 22002 3．一元二次方程x2－8x＝48可表示成(x－a)2＝48＋b的形式，其中a，b为整数，a＋b的值为(　　) A．20 B．12 C．－12 D．－20 A 4 -3 22002 22002 当x-5取最小值0时，代数式的值最小，为-20. 22002 1.直接开平方法（不要打开括号） 2.配方法（a化1、移项、配方、开方、求解） 一.解一元二次方程的两种方法 二.解一元二次方程用到的数学思想方法 转化思想 把一元二次方程转化为一元一次方程 课堂总结 22002 24.2 解一元二次方程 第二十四章 一元二次方程 课时2 公式法 22002 3.会熟练用公式法解一元二次方程. 2.理解根的判别式并会运用. 1.会用配方法推导求根公式. 学习目标 22002 （1）方程5x2-2x=0与方程x2-2x=0的解会相同吗？为什么？ （2）方程5x2-2x=0与方程5x2+6x=0的解会相同吗？为什么 (3)方程5x2-2x=0与方程5x2-2x+10=0的解会相同吗？为什么？ 不相同，因为a不同. 不相同，因为b不同. 不相同，因为c不同. 新课导入 22002 把二次项系数化为1，得 移项，得 配方，得 整理，得 （先独立完成，再在小组内交流） 22002 对于 开平方时，我们知道有3种情况. 22002 方程有两个不相等的实数根 方程有两个相等的实数根 方程没有实数根 x的值，或者说方程的结果是由a、b、c来决定，是有公式可套的. 22002 一、根的判别式 概念：由于可以根据 来判断一元二次方程根的情况，因此我们把 叫做一元二次方程的根的判别式. 方程有两个不相等的实数根 方程有两个相等的实数根 方程没有实数根 新课讲授 22002 C （ ） （ ） 1 练一练 22002 二、公式法 1.求根公式： 这个式子叫做一元二次方程的求根公式. 2.公式法： 利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法. 新课讲授 22002 例1.用公式法解下列方程： （1）4x2-3=-x 为什么要先计算 呢？ 解：原方程可化为 4x2+x-3=0 先化为一般形式，再确定a、b、c. 典例精析 22002 例1.用公式法解下列方程： (2)-3x2-2x+2=0 方法二：原方程可化为3x2+2x-2=0 哪一种方法计算起来舒服？ 方法二 化a为正 22002 例1.用公式法解下列方程： 哪一种方法计算起来舒服？ 化系数为整 方法二：原方程可化为2x2+x-3=0 方法二 22002 用公式法解一元二次方程时的注意事项 1.先化一般形式，再确定a、b、c的值； 2.化一般形式时，一般使系数a为正数； 3.化一般形式时，一般使各系数为整数； 4.化一般形式时，一般使系数小一些. 归纳总结 22002 例2.已知关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0，分别求下列问题中k的值或取值范围. (1)方程有两个不相等的实数根 ∵a=k≠0 ∴k的取值范围是k>-1且k≠0. 敲黑板，记重点，隐含条件a≠0不要忘哦！ 典例精析 22002 例2.已知关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0，分别求下列问题中k的值或取值范围. (2)方程有两个相等的实数根 ∴k的值为-1. (3)方程没有实数根 ∴k的取值范围是k<-1. 22002 1.一元二次方程x2＋2x＋3＝0根的情况是(　　) A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 C 当堂检测 22002 C 22002 3.关于x的一元二次方程x2－(k＋3)x＋k＝0的根的情况是(　　) A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．不能确定 分析：(k＋3)2－4k＝k2＋2k＋9＝(k＋1)2＋8. ∵(k＋1)2≥0，∴(k＋1)2＋8＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． A 22002 注意：考查了两个知识点①根的判别式 ②二次项系数a≠0. D 22002 D 22002 6.用公式法解一元二次方程3x2＝4－2x. 22002 一.用公式法解一元二次方程的步骤 二.求根公式 三.根的判别式 本节课的学习内容 课堂总结 22002 24.2 解一元二次方程 第二十四章 一元二次方程 课时3 因式分解法 22002 3.会灵活选择合适的方法解一元二次方程. 2.会熟练运用因式分解法解一元二次方程. 1.理解用因式分解法解一元二次方程的合理性. 学习目标 22002 小红，你暑假读了几本课外书？ 嗯，那我来考考你，我读的书的本数的平方和我读的书的本数的7倍相等，你知道我读了几本书吗？ 让我算一算，是7本吗？ 小红 小明 小明算的对吗？ 新课导入 22002 设小红读的课外书的本数是x, 可列方程 x2=7x 请你解出这个方程，然后与同伴交流，大家的解法都一样吗？如果不一样，谁的解法更快捷呢？ 22002 公式法 配方法 22002 方法三：将方程x2=7x 移项得，x2-7x=0 方程左边分解因式，得x(x-7)=0 两因式相乘得0，则每一项都有可能为0 ∴x=0,或x-7=0 解得x=0或x=7 哪种解方程的方法做起来最快捷？你喜欢哪一种解法？为什么？ 方法三 因为计算量最小 这种方法是今天我们要学习的因式分解法 22002 一、因式分解法 概念：把一元二次方程的一边化为0，另一边分解成两个一次因式的乘积，进而转化为两个一元一次方程，从而求出原方程的根，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法. 解析：方程的右边为0，即所有项要移到方程的左边，在方程的左边分解因式. 新课讲授 22002 把下列各式分解因式：（独立完成，再与同伴交流） (2x+11)(2x-7) (y-3)(1+2x) 3(3x+7)(x-1) (x-4)(x+1) ｛ ｛ 提公因式 平方差公式 要有整体意识，培养数感 4进括号变为2 22002 例1.用因式分解法解下列方程： （1）3（x-1）2=2（x-1） 解：原方程可化为 3（x-1）2-2（x-1）=0 （x-1)[3(x-1)-2]=0 即（x-1)(3x-5)=0 ∴x-1=0,或3x-5=0 ①利用移项，将方程右边化为0 ②在方程的左边分解因式 ③化简分解后的因式 ④转化为两个一次方程 ⑤得出方程的解 （先独立完成，再与43页例题比照） 典例精析 22002 （1）3（x-1）2=2（x-1） 小华的解法： 方程两边同时除以(x-1),得3（x-1）=2 为什么只求出了一个x的值呢？ 我们在利用等式的基本性质时，在等式两边同除以一个不为0的数或式子，等式不变;我们不能确定x-1≠0,因此不能在方程两边同时除以(x-1). 22002 (2)4(x-2)2=(x-1)2 解：原方程可化为 4(x-2)2-(x-1)2=0 即(2x-4)2-(x-1)2=0 ∴(2x-4+x-1)(2x-4-x+1)=0 (3x-5)(x-3)=0 ∴3x-5=0,或x-3=0 4进到括号里，可使计算方便 分解后，化简因式，可使计算方便 你还会用其他方法做吗？ 22002 (2)4(x-2)2=(x-1)2 解：直接开平方，得 2(x-2)=±(x-1) ∴2(x-2)=x-1,或2(x-2)=-(x-1) 等号的两边均为平方形式时，直接开平方法也是一种很好的方法. 22002 因式分解法，只适合一些特殊的一元二次方程.即当把方程的所有项移到等号左边的时候，方程的左边可以分解因式.并不是所有的一元二次方程都能用因式分解法去解. 任何方程都可以用因式分解法解吗？ 思考 归纳总结 22002 先选择合适的解法，再解方程. ① x2+2x=3 ② x2-3x=5(x-3) ③ 3x2-2x-2=0 ④(3x+2)2=25 直接开平方法 配方法 公式法 因式分解法 思考：解一元二次方程如何选择适当的解法？与你的同伴交流一下吧. 练一练 22002 选择适当的解法解一元二次方程 因式分解法 把等号的右边化为0后，左边可以分解因式.如：方程 x2-3x=5(x-3) 直接开平方法 等号左边为平方形式，右边为一个非负数.如：方程(3x+2)2=25 配方法 二次项系数为1，一次项系数为偶数.如：方程x2+2x=3 公式法 不能用其他方法时，化为一般形式用.如：方程3x2-2x-2=0 适合特定方程 适合所有方程 归纳总结 22002 1.用适当的方法解下列方程： （1）(x+1)2=9 （2）x2-4x=6 (3)2x2-3x-1=0 (4)(x-1)2=(2x+1)2 直接开平方或因式分解 配方法 公式法 直接开平方或因式分解 当堂检测 22002 2.已知3是关于想的方程x2-（m+1)x+2m=0的一个实数根，并且这个方程的两 个实数根恰好是等腰△ABC的两条边的长，则△ABC的周长为（ ） 10或11 22002 一.通法： 公式法 配方法 二.特定方法： 直接开平方法 因式分解法 解一元二次方程的方法 课堂总结 22002 2．用配方法解下列方程时，配方正确的是(　　) A．方程x2－6x－5＝0，可化为(x－3)2＝4 B．方程y2－2y－2 020＝0，可化为(y－1)2＝2 020 C．方程a2＋8a＋9＝0，可化为(a＋4)2＝25 D．方程2x2－6x－7＝0，可化为＝ 2．已知方程2x2＋mx＋1＝0的根的判别式的值为16，则m的值为(　　) A．2 B．－2 C．±2 D．±3 4.若关于x的一元二次方程(k－1)x2＋x＋1＝0有两个实数根，则k的取值范围是(　　) A．k≤ B．k> C．k<且k≠1 D．k≤且k≠1 5.以x＝为根的一元二次方程可能是(　　) A．x2＋bx＋c＝0 B．x2＋bx－c＝0 C．x2－bx＋c＝0 D．x2－bx－c＝0 x1＝，x2＝ $