专题3.4 相似三角形的性质（举一反三讲义）数学湘教版九年级上册

专题3.4 相似三角形的性质（举一反三讲义） 【湘教版】 【题型1 利用相似三角形的性质求值】 1 【题型2 利用相似三角形的判定与性质求值】 3 【题型3 利用相似三角形的判定与性质证明】 10 【题型4 利用相似三角形的判定与性质探究线段间关系】 17 【题型5 利用相似三角形的判定与性质解决翻折问题】 23 【题型6 利用相似三角形的判定与性质解决尺规作图问题】 29 【题型7 利用相似三角形的判定与性质解决函数问题】 37 【题型8 利用相似三角形的判定与性质解决动态问题】 43 【题型9 利用相似三角形的判定与性质解决多结论问题】 49 【题型10 利用相似三角形的判定与性质解决最值问题】 57 知识点1 相似三角形中对应高、角平分线、中线的比 1. 相似三角形对应高的比等于相似比． 2. 相似三角形对应角平分线的比等于相似比． 3. 相似三角形对应中线的比等于相似比． 知识点2 相似三角形的周长比、面积比 1. 相似三角形的周长比等于相似比． 2. 相似三角形的面积比等于相似比的平方． 【题型1 利用相似三角形的性质求值】 【例1】（2025·黑龙江绥化·中考真题）两个相似三角形的最长边分别是和，并且它们的周长之和为，那么较小三角形的周长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的性质，根据最长边分别为和确定相似比，相似三角形的周长比等于相似比，再根据周长之和为即可求解． 【详解】解：两个相似三角形的最长边分别为和， 相似比为， 较大三角形与较小三角形的周长比为：， 它们的周长之和为， 较小三角形的周长为：， 故选：B． 【变式1-1】若,顶点A、B、C分别与D、E、F对应，且，则这两个三角形的对应中线之比为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据相似三角形的性质，对应中线之比等于相似比得到结果. 【详解】,、、分别与、、对应，且 ∴对应中线之比=. 故选B. 【点睛】本题考查相似三角形的性质，对应线段之比都等于相似比. 【变式1-2】（24-25九年级上·江西上饶·期末）若，，则下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握对应角相等，对应边成比例，面积比等于相似比的平方是解题的关键． 根据相似三角形的性质即可判断． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴，， 故A、B、C正确，不符合题意；D错误，符合题意， 故选：D． 【变式1-3】（2025·安徽合肥·二模）如图，已知，中，，，点D在上，且，点E为外一点，连接、，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理、相似三角形的性质，由等腰直角三角形的性质可得，由等边对等角结合三角形内角和定理可得，求出，由相似三角形的性质可得，即可得解． 【详解】解：∵中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 【题型2 利用相似三角形的判定与性质求值】 【例2】在中，，分别为，上一点，，交于点．    (1)设的面积为，的面积为，且． ①如图①，连接．若，求证：； ②如图②，若，，求的值． (2)如图③，若，，，，直接写出的值． 【答案】(1)①见解析；② (2) 【分析】（1）①由可证，即可证，可进一步推出结论；②连接，作于点，作于点，过点作于点．可证，推出，设，则，则可分别求出，的长，即可求出结论； （2）过点作，且，连接，，构造平行四边形，证，推出，证明再证明为直角三角形，且可求出其三边的比，即可求出的值． 【详解】（1）解：①， ，． ， ，即． 又， ， ． 如图②，连接，作于点，作于点，过点作于点．    ， ， 又， ， ． 又， ， ， ， 设，则， ． （2） 如答图（2），过点作，且，连接，，    则四边形为平行四边形． ， ． ， ， ． 又， ， ，即． ， ． ， 设，， 则在中，． ， ， ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题关键是能够通过作出合适的辅助线构造相似三角形，并且能够灵活运用相似三角形的判定与性质． 【变式2-1】（24-25九年级上·湖南怀化·期末）如图，四边形为平行四边形，，，相交于点．设和的面积分别为，，若，则（   ） A．6 B．9 C．18 D．27 【答案】D 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 证明，利用相似三角形的面积比等于像是比的平方即可得到答案． 【详解】， 设，则，， 又四边形为平行四边形， ，， ， ， ， ， ， 故选D． 【变式2-2】如图，在正方形网格中，、的顶点都在正方形网格的格点上，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的性质，正方形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．根据相似三角形的性质，可得，，所以，再根据三角形外角的性质，即可求得答案． 【详解】解：是正方形的对角线 ， ，， ， ， ． 故选：D． 【变式2-3】如图①，在Rt中，，，点D为边上的一点，连接，过点C作于点F，交于点E，连接． (1)若，求证：； (2)如图②，若，，求的值． 【答案】(1)答案见详解 (2) 【分析】（1）要证，过点B作，交的延长线于H，证得，得出与的数量关系，再证得，得出根据线段间关系，即可求证； （2）要求的值，根据角度间的转化，得出，即可求出的值，根据，推出，即可得到最后结果． 【详解】（1）证明：如图，过点B作，交的延长线于H， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ,， ， ， ． （2）解：，， ， ， 由（1）可知， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ，， 设，则， ，, ， 解得（舍去），， ， 又， ． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，求证三角形相似和全等，正确做出辅助线，利用直角三角形特殊三角函数求角，是解本题的关键． 【题型3 利用相似三角形的判定与性质证明】 【例3】（2025·安徽六安·三模）为四边形内一点，，，． (1)如图1，，求证：． (2)如图2，为的中点，且． （i）求的值； （ii）求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)（i），（ii）证明见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，平行四边形的性质和判定，熟练掌握相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定是解题的关键． （1） 根据角的和差可得，进而可证得，根据全等三角形的性质可得结论； （2）（i）先由已知条件可得，进而可证得，再根据相似比可得结论； （ii）延长至点，使，可得四边形是平行四边形，由平行四边形的性质，，进而可求得，继而证得，求得，进一步证得，根据相似比和线段的等量转换得出结论． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴． （2）（i）解：∵， ∴， 又∵， ∴，即， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即，， ∴． （ii）证明：延长至点，使， ∵为的中点， ∴四边形是平行四边形， ∴，， 又∵，，， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 又∵，，，， ∴，即， ∴． 【变式3-1】如图，已知梯形中，．是边上一点，与对角线交于点，且． 求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由可证，得到，再由得到，即可证明； （2）由得到，得到，进而得到，即可得到． 【详解】（1）∵， ∴ ∵， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴； （2）∵， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，相似三角形判定方法是解题的关键． 【变式3-2】（24-25九年级下·甘肃陇南·期中）如图，矩形中P为对角线上一动点，过P点作交于于点E，作交于点F，连接、．    (1)若， ①求证：平分； ②求证： (2)已知， 且P为的中点， 求矩形的周长． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2) 【分析】此题考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的性质和判定，等腰三角形的性质与判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）①由矩形得到，然后根据等边对等角和平行线得到，等量代换得到，然后结合即可求解； ②证明出，得到，然后等量代换即可证明； （2）如图所示，过点D作，由相似得到，代数求出，利用三线合一求出，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：①∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分； ②∵， ∴， ∴， ∵（矩形的性质），，， ∴， ∴， ∴ ∴整理得，； （2）解：如图所示，过点D作，    ∵，且为的中点， ∴，（矩形的性质）， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴矩形的周长． 【变式3-3】（2025·青海西宁·一模）阅读材料：几何图形中有很多有趣的模型，“一线三等角”是其中体现几何逻辑推理的典例，已知三点共线，且的情况就称之为“一线三等角”；让我们一起来探究它具有哪些几何图形的性质呢？ (1)【特例探究】如图，已知三点在同一条直线上，，求证： (2)【规律总结】如果，你还能证明这两个三角形相似吗？求证： (3)【实例应用】如果，若点E是的中点，求证： 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定．熟练掌握相似三角形的判定方法，是解题的关键．本题考查一线三等角模型，平时要多积累总结． （1）利用已知得出，以及即可得出； （2）利用已知得出，进而求出; （3）根据相似三角形的判定得出，确定，结合题意得出，再由相似三角形的判定和性质即可证明． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）∵，， ∴， ∴． （3）∵，， ∴， ∴． ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【题型4 利用相似三角形的判定与性质探究线段间关系】 【例4】如图1，在和中，，，， ，，将绕点A在平面内顺时针旋转，连接，． (1)求证：； (2)请判断线段和的关系，并说明理由； (3)当点B、D、E在同一条直线上时，直接写出线段的长； 【答案】(1)证明见解析 (2)；；理由见解析 (3)或 【分析】本题考查了旋转变换，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题． （1）证明，，即可求解； （2）由，得到，进而求解； （3）由（1）知，，①当B、E、D三点共线时，如图1，求出，得到，即可求解；②当B、D、E共线时，如图2，同理可解． 【详解】（1）证明：设直线交于点M，直线交于点N， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：，理由： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：在中，则 由（1）知，， ∴， 则； ①当B、E、D三点共线时，如图， 过点A作于点H， 在中，，则， 在中，， 则， 则； ②当B、D、E共线时，如图， 过点A作交于点H， 在中，，则， 在中，，则， 在中，， 则， 则， ∵， 即； 综上，或 【变式4-1】从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线． (1)如图1，在中，，是的完美分割线，且，求的度数． (2)如图2，在中，，，是的完美分割线，且是以为底边的等腰三角形，找出与的关系． 【答案】(1)； (2)； 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识： （1）根据及完美分割线，得到，得到相应的角度关系即可得到答案； （2）根据是以为底边的等腰三角形完美分割线，得到，从而得到即可得到答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵是的完美分割线， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下， ∵是的完美分割线，且是以为底边的等腰三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【变式4-2】如图，把矩形沿着翻折，使得点恰好都落在点处，且点在同一条直线上，同时点在另一条直线上．不妨令，请写出之间的等量关系 ． 【答案】 【分析】根据矩形沿着翻折，使得点恰好都落在点处得到，，，，，，即可得到，即可得到，从而得到，即可得到答案. 【详解】解：∵矩形沿着翻折，使得点恰好都落在点处， ∴，，，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ， ∴， 故答案为： 【点睛】本题考查矩形中折叠问题及三角形相似的判定与性质，解题的关键是根据这得得到相似的条件及线段的长度． 【变式4-3】综合实践课上，小聪把一张长方形纸片沿着虚线剪开，如图①所示，纸片较小锐角的顶点在上，较长直角边与斜边分别交边于点，且为初始位置，把沿着方向平移，当点到达点后立刻绕点逆时针旋转，如图③，直到点与点重合停止．为了探求与之间的变化关系，设，请用含的代数式表示． （1）在平移过程中， ， （2）在旋转过程中， ． 【答案】 【分析】（1）推出，由相似三角形的性质即可求解； （2）证明，推出，作交于点，在中，由勾股定理求得，据此即可求解． 【详解】解：（）根据题意知，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴； （）根据题意知， 又∵， ∴， ∴， ∴， 作交于点， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴，即， ∴； 故答案为：；． 【点睛】本题考查了考查矩形的性质，翻折变换，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 【题型5 利用相似三角形的判定与性质解决翻折问题】 【例5】（2025·湖北黄冈·模拟预测）在矩形的对角线上取一点，使得，连接，将沿翻折得到，连接． （1） ； （2）若，则 ． 【答案】 /度 【分析】（1）延长交于点，交于点，根据折叠的性质可得点是的中点，，根据矩形的性质可证，得到，可得是中位线，由此即可求解； （2）根据题意得到，证明，得到，即，即可求解． 【详解】解：（1）延长交于点，交于点， ∵将沿翻折得到， ∴，，垂足为点，，即点是的中点， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴，且 ∴， ∵， ∴， ∴，即点是的中点， ∴， ∴， 故答案为：； （2）∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，即， ∴， 由（1）得到，，则， ∴， ∴，即， 解得，， 故答案为：； 故答案为：①；② ． 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，中位线的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，掌握矩形与折叠，中位线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，合理作出辅助线是关键． 【变式5-1】（2025·江苏宿迁·一模）如图，的中位线，把沿折叠，使点A落在边上的点F处，若A、F两点间的距离是，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对称轴垂直平分对应点连线，可得即是的高，再由中位线的性质求出，继而可得的面积，然后根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 本题考查了翻折变换折叠问题，三角形中位线定理，三角形的面积，相似三角形的判定和性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 【详解】解：是的中位线， ，． 由折叠的性质可得：，， ， ， ， ， ， ． 故选：B ． 【变式5-2】（2025·湖北襄阳·一模）如图，矩形中，，，E为边上一点，且，将沿直线翻折后，点B落在点F处，的角平分线交线段，分别于点H，G，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查矩形折叠问题，相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 过点F作交于M，作交，交于Q，可证得四边形是矩形，得到，，，再证明，得出，则，，设，，则，，，继而可得，即 ，，解得x、y值，从而得到，，，，然后证明，得到，即，求解即可． 【详解】解：过点F作交于M，作交，交于Q，如图， ∵矩形ABCD ∴，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∴， 由折叠可得：，，， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴，， 设，，则，，， ∵ ∴，即 ∵ ∴ ∴ 解得：，（舍去）， ∴， ∴，，， ∵是的角平分线， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 故答案为：． 【变式5-3】（2025·辽宁本溪·二模）如图，在中，，为上的中线，将沿直线翻折得到，与交于点，连接与分别交于点，连接，若，则下列结论正确的是（   ） A． B．若，则 C． D．垂直平分 【答案】A 【分析】根据折叠得到，垂直平分，可判定D选项；设，则，由中位线的判定和性质得到，设，则，证明，，可判定A，C选项；根据锐角三角函数的计算可得，结合折叠的性质可判定B选项，由此即可求解． 【详解】解：在中，，为上的中线， ∴， ∵折叠， ∴，垂直平分，则，但不平分，故D选项错误，不符合题意， ∴，， 设， ∴， 在中，， ∴，则， ∴， ∵点分别是中点， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即, ∴，故A选项正确，符合题意； ∴， ∴，故C选项错误，不符合题意； 若，则， 根据上述计算，，则， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵折叠，，， ∴， ∴，故B选项错误，不符合题意； 故选：A ． 【点睛】本题考查了折叠的性质，线段垂直平分线的性质，直角三角形斜边中线等于斜边一半，等腰三角形的判定和性质，中位线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形的计算，掌握折叠的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形的计算是关键． 【题型6 利用相似三角形的判定与性质解决尺规作图问题】 【例6】（2025·福建宁德·二模）如图，已知矩形，，，一束光线从边上的点出发，沿的方向射出，经边反射后，得到反射光线，又经边反射后，得到反射光线…根据光的反射原理，每一次的反射，反射的角度等于入射的角度，例如：． (1)如图1，不难发现：光线经过两次反射后，得到反射光线与原入射光线平行．请加以证明； (2)请用尺规在图2作出反射点，使得光线经边反射后得到的反射光线能经过边上的点；（保留作图痕迹，不写作法） (3)如果要让光线依次经，，边三次反射后回到出发点，则入射光线的角度应满足怎样的条件？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)当时，光线经过三次反射后回到出发点 【分析】（1）先求得，，推出，即可得到； （2）根据题意画出图形即可； （3）先证明四边形是平行四边形，得到，证明，推出，再证明，推出，整理得，求得，据此求解即可． 【详解】（1）证明：由题意得，． ∵四边形为矩形， ∴． ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，点为求作的点． ； （3）解：如图，光线经过三次反射后回到出发点，反射点分别是，，，得到四边形，连接． ∵四边形为矩形， ∴，， 由（1）结论得，，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由（1）得，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴当时，光线经过三次反射后回到出发点． 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 【变式6-1】（24-25九年级下·福建厦门·阶段练习）如图，在中，的平分线交于点． (1)请用尺规在边上求作点，使得（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)2.5 【分析】（1）作的垂直平分线交于E，点E即为所作的点； （2）证明，所以，再由，不难求得的值． 【详解】（1）解：作的垂直平分线交于点E． 点就是所求作的点． （2）解；连接，由（1）知． ， 平分， ， ， ， 又， ． ． ，， ． ． ． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，平行线的性质和判定，角平分线定义及等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正确理解相关定义和定理是解本题的关键． 【变式6-2】（24-25八年级下·重庆·期末）小宏在学习相似三角形时，提出问题：三角形的一条内角角平分线，将其对边所分成的两条线段与这个角的两边是否对应成比例？为了解决问题，他展开了以下探究． (1)用尺规完成以下基本作图：作的角平分线交于点，在射线上取一点，使得，连接（保留作图痕迹，不写作法，不下结论）． (2)求证： 证明：平分 ① ； 又 ② ； 又 ③ ； 依据上述证明，小宏可以得出结论：④ ． 【答案】(1)见解析 (2)①②③④三角形的一条内角角平分线，将其对边所分成的两条线段与这个角的两边对应成比例 【分析】本题考查基本尺规作图-作角平分线，角平分线的定义，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据题意要求作角平分线和截取线段即可； （2）在（1）的图形下，利用角平分线和等腰三角形的性质判定和平行，由此判定，根据相似三角形的性质和等量代换得出题设结论． 【详解】（1）解：如图，射线，点D、点E即为所求： （2）证明：平分 ； 又 ； 又 ③． 依据上述证明，小宏可以得出结论：④三角形的一条内角角平分线，将其对边所分成的两条线段与这个角的两边是对成比例． 【变式6-3】三角形中，顶角等于的等腰三角形称为黄金三角形，如图，在中，已知：，且． 在图中，用尺规作的垂直平分线交于，并连接（保留作图痕迹，不写作法）； 是不是黄金三角形？如果是，请给出证明；如果不是，请说明理由； 设，试求的值； 如图，在中，已知，，且，请直接写出的值． 【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）；（4）． 【分析】（1）根据作线段垂直平分线的方法作图即可；（2）分别求得△BCD各个角的度数，根据黄金三角形的定义即可解答；（3）通过证明△BDC∽△ABC，根据相似三角形的性质求解即可；（4）延长到，使，连接，证明，可得．根据（3）可得，，由此即可求得的值． 【详解】如图所示； 是黄金三角形． 证明如下：∵点在的垂直平分线上， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴是黄金三角形． 设，， 由知，． ∵，， ∴， ∴，即， 整理，得， 解得． 因为、均为正数，所以． ． 理由：延长到，使，连接． ∵，， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 由知， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查黄金三角形的知识，能够熟记黄金比的值，根据黄金比进行计算．注意根据题目中定义的黄金三角形进行分析计算． 【题型7 利用相似三角形的判定与性质解决函数问题】 【例7】（24-25八年级下·广东深圳·开学考试）如图，在中，，点D从点C出发沿方向以向点B匀速运动，过点D作于点D．以所在直线为对称轴，将折叠，点C的对应点为，移动过程中与重叠部分的面积为，运动时间，则S与t之间函数关系的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查动点问题的函数图象，关键是分段求出S与t的函数解析式． 先根据相似三角形的判定和性质求出和，然后由图形的面积公式求出S与t的函数解析式，从而得出结论． 【详解】解：∵， ∴当D在中点时，和B重合， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ①当时，如图所示： ∵， ∴， ∴， 此时，S与t之间函数关系的图象是顶点在原点，开口向上的抛物线； ②当时，如图所示： 此时， ∵， ∴， 由①知，， 同理可知，， ∴，， ∴， ∴当时，S有最大值，最大值为2， 此时，S与t之间函数关系的图象是开口向下的抛物线，且当时，S取得最大值． 故选：A． 【变式7-1】如图1，在矩形中，动点E从点A出发，沿方向运动，当点E到达点C时停止运动，过点E作，交于点F，设点E的运动路程为x，，如图2所表示的是y与x的函数关系的大致图象，当点E在上运动时，的最大长度是，则矩形的面积是（    ） A．20 B．16 C． D． 【答案】A 【分析】由题意可知，易证，可得，根据二次函数图象对称性可得在中点时，有最大值，列出方程式即可解题． 【详解】解：若点在上时，如图， ，， ， 在和中，，， ∴， 由二次函数图象对称性可得在中点时，有最大值，此时， ， 即， ， 当时，代入方程式 解得：(舍去)，， ， ，， 矩形的面积为； 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数动点问题，考查了相似三角形的判定和性质，考查了矩形面积的计算，本题中由图象得出为中点是解题的关键． 【变式7-2】如图1，在中，，，点是上一点，其中．点沿从点运动到点，设的长度为，，图2是点运动时随变化的关系图象，则图中最低点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了函数图象，相似三角形的性质，勾股定理等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 由题图，可知当，即在点时，，当点运动到点时，的值最小，最小值为的长，设，则，由相似三角形的性质得出，即，然后求出的值，再由勾股定理即可求解． 【详解】解：由题图，可知当，即在点时，， ∵， ∴当点运动到点时，的值最小，最小值为的长， 设，则， ∵， ∴，即， 解得（负值已舍去）， ∴， ， ∴，即， ∴点的坐标为， 故选：． 【变式7-3】如图，梯形中，，垂足分别为，且，，动点P从点C出发，沿的方向以每秒1个单位长度的速度运动到点D停止，设运动时间为t秒，，则y与t之间的函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分三种情况考虑：点P在线段上；点P在线段上；点P在线段上；分别求出每种情况的函数式即可． 【详解】解：点P在线段上时，如图，则，且； 过点P作的垂线，交的延长线于点G， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴； 由勾股定理得：； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ，其图像为一条过原点的线段； 当点P在线段上时，则； 此时的边上高为12，即，此时函数图像为平行x轴的一条线段； 当点P在线段上时， ∵， ∴， ∴， ∴，且； 过点P作的垂线，交的延长线于点H，如图， 与点P在线段上情况道理相同，得， ∴ ，其图像为一条线段； 则点y与x的函数图象如下： 故选：A． 【点睛】本题考查了动点问题函数图像，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，注意分类讨论． 【题型8 利用相似三角形的判定与性质解决动态问题】 【例8】2025·广西·二模）如图．在矩形中，，，对角线、交于点．点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时点从点出发沿方向匀速运动，速度为．当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．连接并延长交于点，过点作，交于点．设运动时间为．若五边形的面积与三角形的面积之比为，则 【答案】或 【分析】根据矩形的性质和勾股定理得到，过点作交于点，已知，则可求的面积；可证得 ，由相似三角形的面积比可求得的面积，从而可求五边形的面积．根据题意列方程得到或，可求解． 【详解】解：在中，根据勾股定理，得. ∴. 如图，过点作交于点， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴是的中位线， ∴， 由矩形的性质可知，， 又∵， ， ， 则， ， ，相似比为， ， ， ， ； 与的函数关系式为； ， ， 解得，或， 当时，或． 故答案为：或． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，列函数关系式，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，等腰三角形的判定和性质，解一元二次方程，正确的识别图形是解题的关键． 【变式8-1】（2025·浙江温州·模拟预测）如图，在等腰直角三角形中，，是上一点，，连结接，作，交的垂线于点．连接，交于，若设，在的运动过程中，下列代数式的值不变的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，过点作于点，证明得出，进而逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点， ∵等腰直角三角形中，， ∴， 又∵ ∴ ∴ ∴即 解得： ∴，，都不是定值， ∴ 是定值， 故选：D． 【变式8-2】（2025·江苏扬州·三模）如图，已知中，，点是线段上一动点，过点作交于点，当点从点运动到点的过程中，点经过的路径长是 ． 【答案】 【分析】本题考查轨迹，相似三角形的判定和性质，一元二次方程的判别式等知识，过点作于，设，构建一元二次方程，利用判别式求出的最大值，可得结论．解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 【详解】解：过点作于，如图所示： 设， ， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴，， ， ， ， ， ， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ， ， ∴或（，不符合题意，舍去）， ∴， ∴的最大值为， 当点从点运动到点的过程中，点经过的路径长是2倍的的最大值， ∴点经过的路径长是， 故答案为：． 【变式8-3】（24-25八年级下·浙江金华·期中）如图，在中，，，．点P从点B出发，以每秒个单位长度的速度沿向终点C运动，同时点M从点A出发，以每秒4个单位的速度沿向终点B运动，过点P作于点Q，连结，以为邻边作矩形，当点P运动到终点时，整个运动停止，点P的运动时间为t秒．当过点Q和点N的直线垂直于的一边时， ． 【答案】2或 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识．分两种情况讨论，由相似三角形的判定和性质可求解． 【详解】解：在中，∵，，，， ∴，，； 由勾股定理得：； ∵点M从点A出发，以每秒4个单位的速度沿向终点B运动， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， 如图，若， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图，若， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述：当或时，过点Q和点N的直线垂直于的一边． 故答案为：2或． 【题型9 利用相似三角形的判定与性质解决多结论问题】 【例9】（2025·黑龙江牡丹江·二模）如图，在中，，M是边延长线上一点，交的于点D，E为延长线上一点，且，是中点，连接，下列结论中：①；②；③若，则；④；⑤，正确结论的序号是（    ） A．①②③④⑤ B．①②⑤ C．③④⑤ D．①②④⑤ 【答案】A 【分析】根据直角三角形两锐角互余得出，利用证明，得出，，，即可得出①正确，根据，证明，，得出，，根据中位线的性质可得出②④正确，根据，，证明，根据相似三角形的性质，结合得出，根据等腰三角形的性质可得出③正确，根据，，证明，根据相似三角形的性质可得出⑤正确，综上即可得答案． 【详解】解：如图，过点作于，延长交延长线于， ∵，， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴，，， ∴，故①正确， ∵，， ∴，， ∴，， ∵， ∴，即， ∵是中点， ∴，，即，故②④正确， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴，故③正确， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，故⑤正确， 综上所述：正确的结论有①②③④⑤． 故选：A． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形中位线的性质、等腰三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键． 【变式9-1】（2025·黑龙江哈尔滨·三模）如图，在矩形中，，点E，F分别在边，上，交于点G，若G是的中点，下列四个结论中：①；②；③；④，正确的是 （填序号即可） 【答案】①②③④ 【分析】连接，根据勾股定理即可证明①；根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半即可证明②；根据平行线的性质和等边对等角即可判断③；作交于点H，则，所以，由，则，再证明，得，证明，根据平行线分线段成比例即可证明④. 【详解】连接 ∵矩形 ∴ ∵， ∴，故①正确； ∵G是的中点， ∴，故②正确； ∴， ∴ ∵ ∴ ∴，故③正确； 作交于点H，则， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵G是的中点， ∴， ∴， ∴， 即 ∵ ∴ ∴ ∴，故④正确； 故答案为：①②③④. 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线，勾股定理，平行线分线段成比例，熟练掌握各知识点是解题的关键. 【变式9-2】（2025·吉林长春·二模）如图，在平行四边形中，，于点，于点，且、交于点，、的延长线交于点．      ①；②平分；③，④若，则，⑤若点为中点，则 则上述结论正确的是 ．（填序号即可） 【答案】①③⑤ 【分析】平行四边形的性质，推出，，推出，进而得到，得到，判断①，无法判断平分，判断②，平行线的性质，垂直推出，，得到证明③，证明，得到，同高三角形的面积比等于底边比求出，进而得到，判断④，中点加垂直推出，证明为等腰直角三角形，得到，进而推出，判断⑤． 【详解】解：∵平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴；故①正确； 条件不足，不能得到平分；故②错误； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴；故③正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴；故④错误； ∵点为中点，， ∴， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴；故⑤正确； 故答案为：①③⑤． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，是解题的关键． 【变式9-3】（2025·山东青岛·模拟预测）如图，在正方形中，为边上一点，为延长线上一点，，连接，交对角线于点．以下结论：①是等腰三角形；②；③；⑤．其中，正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质对每个结论进行逐一判断即可得出结论． 【详解】解：设与交于点，过点作交于点，如图所示： ∵四边形为正方形， ． 在和中， ， ， ， ∴是等腰三角形． ∴①的结论正确； ∵四边形为正方形， ， ， ∴和不是相似三角形， ∴②的结论不正确； ∵，， ∴，， ∴． ， ， ∴， ∴， ∴． ， ， ∴2， ． ∴③的结论正确； ， 为等腰直角三角形， ， ． ， ， ， ∴， ． 由①知：， ， ， 为等腰直角三角形， ， 为等腰直角三角形， ∴． ，， ， ∴， ∴． ∴④的结论正确． ∴正确的结论是：①③④． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，平行线的性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键． 【题型10 利用相似三角形的判定与性质解决最值问题】 【例10】（2025·安徽淮北·二模）如图，为的中点，若点D在直线上运动，连接，则在点D运动过程中，线段的最小值是（   ） A．2.4 B．3 C．4 D．4.8 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边上中线等于斜边的一半，勾股定理，面积法，想到将求的最小值值转换为求的最小值，因想到连接证明，求的最小值则应该求的最小值，是解题的关键． 连接将与的交点记为G，利用三角形相似的性质，进行角度转换证明，F是的中点，可得，再根据当时，最短，此时最短，根据直角三角形的面积以及相似三角形的性质，求得的最小值，即可得出的最小值． 【详解】解：如图，连接将与的交点记为G， ， ， ， ， ， ， ， ， 中，， ，即， ∵F是的中点， ， ， ∴ 在中，, ∴， ∴，即， ∴当时，最短，此时也最短， 当时，， ， ， ， 即线段的最小值是4． 故选C． 【变式10-1】（2025·江苏盐城·一模）如图，在中，，，是线段外一动点，，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，则的长最大值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查解直角三角形和相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．当点D在的延长线上时（如图所示），的长度取得最大值，再由均为等腰直角三角形，可得，可证，根据对应边成比例解题即可． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴当点D在的延长线上时（如图所示），的长度取得最大值． 由题意得：均为等腰直角三角形， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴的长最大值为． 故答案为： 【变式10-2】（24-25九年级上·山东聊城·期中）如图，，，，，点在线段上运动，点为线段的中点，在点的运动过程中，的最小值是 【答案】/ 【分析】本题考查了相似三角形的判定及性质，三角形斜边上的中线性质，熟悉运用相似三角形的性质建立比值关系是解题的关键． 利用，，判定出，通过相似三角形的性质可得到，由为线段的中点推出，再利用相似三角形的比值关系求出的长即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为线段的中点， ∴， ∴当最小时最小， 又∵， ∴，与都为定值，即最小时，最小，则时符合题意，为边上的高， 在中，，，则：， ∵，即：， 解得：， ∴ ∴； 故答案为：． 【变式10-3】（2025·陕西咸阳·一模）如图，在中，，，以为边向上作矩形，对角线与相交于点，且，连接，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、矩形的性质、相似三角形的判定和性质等知识点，学会添加常用辅助线，构造相似三角形成为解题的关键．如图，在的右侧取一点J，使得，，连接过点作于点H．先算出，然后根据矩形的性质，得，再证明，再结合相似三角形的性质，列式，即，进行解答． 【详解】如图，在的右侧取一点，使得， ． 连接过点作于点H． ， ． ， ， ， ， 则． 四边形是矩形， ． ， ， ， ， ． ， ， ， ． ， 的最大值为． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.4 相似三角形的性质（举一反三讲义） 【湘教版】 【题型1 利用相似三角形的性质求值】 1 【题型2 利用相似三角形的判定与性质求值】 2 【题型3 利用相似三角形的判定与性质证明】 3 【题型4 利用相似三角形的判定与性质探究线段间关系】 5 【题型5 利用相似三角形的判定与性质解决翻折问题】 6 【题型6 利用相似三角形的判定与性质解决尺规作图问题】 7 【题型7 利用相似三角形的判定与性质解决函数问题】 9 【题型8 利用相似三角形的判定与性质解决动态问题】 11 【题型9 利用相似三角形的判定与性质解决多结论问题】 12 【题型10 利用相似三角形的判定与性质解决最值问题】 13 知识点1 相似三角形中对应高、角平分线、中线的比 1. 相似三角形对应高的比等于相似比． 2. 相似三角形对应角平分线的比等于相似比． 3. 相似三角形对应中线的比等于相似比． 知识点2 相似三角形的周长比、面积比 1. 相似三角形的周长比等于相似比． 2. 相似三角形的面积比等于相似比的平方． 【题型1 利用相似三角形的性质求值】 【例1】（2025·黑龙江绥化·中考真题）两个相似三角形的最长边分别是和，并且它们的周长之和为，那么较小三角形的周长是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】若,顶点A、B、C分别与D、E、F对应，且，则这两个三角形的对应中线之比为（     ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25九年级上·江西上饶·期末）若，，则下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2025·安徽合肥·二模）如图，已知，中，，，点D在上，且，点E为外一点，连接、，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【题型2 利用相似三角形的判定与性质求值】 【例2】在中，，分别为，上一点，，交于点．    (1)设的面积为，的面积为，且． ①如图①，连接．若，求证：； ②如图②，若，，求的值． (2)如图③，若，，，，直接写出的值． 【变式2-1】（24-25九年级上·湖南怀化·期末）如图，四边形为平行四边形，，，相交于点．设和的面积分别为，，若，则（   ） A．6 B．9 C．18 D．27 【变式2-2】如图，在正方形网格中，、的顶点都在正方形网格的格点上，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】如图①，在Rt中，，，点D为边上的一点，连接，过点C作于点F，交于点E，连接． (1)若，求证：； (2)如图②，若，，求的值． 【题型3 利用相似三角形的判定与性质证明】 【例3】（2025·安徽六安·三模）为四边形内一点，，，． (1)如图1，，求证：． (2)如图2，为的中点，且． （i）求的值； （ii）求证：． 【变式3-1】如图，已知梯形中，．是边上一点，与对角线交于点，且． 求证： (1)； (2)． 【变式3-2】（24-25九年级下·甘肃陇南·期中）如图，矩形中P为对角线上一动点，过P点作交于于点E，作交于点F，连接、．    (1)若， ①求证：平分； ②求证： (2)已知， 且P为的中点， 求矩形的周长． 【变式3-3】（2025·青海西宁·一模）阅读材料：几何图形中有很多有趣的模型，“一线三等角”是其中体现几何逻辑推理的典例，已知三点共线，且的情况就称之为“一线三等角”；让我们一起来探究它具有哪些几何图形的性质呢？ (1)【特例探究】如图，已知三点在同一条直线上，，求证： (2)【规律总结】如果，你还能证明这两个三角形相似吗？求证： (3)【实例应用】如果，若点E是的中点，求证： 【题型4 利用相似三角形的判定与性质探究线段间关系】 【例4】如图1，在和中，，，， ，，将绕点A在平面内顺时针旋转，连接，． (1)求证：； (2)请判断线段和的关系，并说明理由； (3)当点B、D、E在同一条直线上时，直接写出线段的长； 【变式4-1】从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线． (1)如图1，在中，，是的完美分割线，且，求的度数． (2)如图2，在中，，，是的完美分割线，且是以为底边的等腰三角形，找出与的关系． 【变式4-2】如图，把矩形沿着翻折，使得点恰好都落在点处，且点在同一条直线上，同时点在另一条直线上．不妨令，请写出之间的等量关系 ． 【变式4-3】综合实践课上，小聪把一张长方形纸片沿着虚线剪开，如图①所示，纸片较小锐角的顶点在上，较长直角边与斜边分别交边于点，且为初始位置，把沿着方向平移，当点到达点后立刻绕点逆时针旋转，如图③，直到点与点重合停止．为了探求与之间的变化关系，设，请用含的代数式表示． （1）在平移过程中， ， （2）在旋转过程中， ． 【题型5 利用相似三角形的判定与性质解决翻折问题】 【例5】（2025·湖北黄冈·模拟预测）在矩形的对角线上取一点，使得，连接，将沿翻折得到，连接． （1） ； （2）若，则 ． 【变式5-1】（2025·江苏宿迁·一模）如图，的中位线，把沿折叠，使点A落在边上的点F处，若A、F两点间的距离是，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（2025·湖北襄阳·一模）如图，矩形中，，，E为边上一点，且，将沿直线翻折后，点B落在点F处，的角平分线交线段，分别于点H，G，则线段的长为 ． 【变式5-3】（2025·辽宁本溪·二模）如图，在中，，为上的中线，将沿直线翻折得到，与交于点，连接与分别交于点，连接，若，则下列结论正确的是（   ） A． B．若，则 C． D．垂直平分 【题型6 利用相似三角形的判定与性质解决尺规作图问题】 【例6】（2025·福建宁德·二模）如图，已知矩形，，，一束光线从边上的点出发，沿的方向射出，经边反射后，得到反射光线，又经边反射后，得到反射光线…根据光的反射原理，每一次的反射，反射的角度等于入射的角度，例如：． (1)如图1，不难发现：光线经过两次反射后，得到反射光线与原入射光线平行．请加以证明； (2)请用尺规在图2作出反射点，使得光线经边反射后得到的反射光线能经过边上的点；（保留作图痕迹，不写作法） (3)如果要让光线依次经，，边三次反射后回到出发点，则入射光线的角度应满足怎样的条件？请说明理由． 【变式6-1】（24-25九年级下·福建厦门·阶段练习）如图，在中，的平分线交于点． (1)请用尺规在边上求作点，使得（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，若，求的长． 【变式6-2】（24-25八年级下·重庆·期末）小宏在学习相似三角形时，提出问题：三角形的一条内角角平分线，将其对边所分成的两条线段与这个角的两边是否对应成比例？为了解决问题，他展开了以下探究． (1)用尺规完成以下基本作图：作的角平分线交于点，在射线上取一点，使得，连接（保留作图痕迹，不写作法，不下结论）． (2)求证： 证明：平分 ① ； 又 ② ； 又 ③ ； 依据上述证明，小宏可以得出结论：④ ． 【变式6-3】三角形中，顶角等于的等腰三角形称为黄金三角形，如图，在中，已知：，且． 在图中，用尺规作的垂直平分线交于，并连接（保留作图痕迹，不写作法）； 是不是黄金三角形？如果是，请给出证明；如果不是，请说明理由； 设，试求的值； 如图，在中，已知，，且，请直接写出的值． 【题型7 利用相似三角形的判定与性质解决函数问题】 【例7】（24-25八年级下·广东深圳·开学考试）如图，在中，，点D从点C出发沿方向以向点B匀速运动，过点D作于点D．以所在直线为对称轴，将折叠，点C的对应点为，移动过程中与重叠部分的面积为，运动时间，则S与t之间函数关系的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【变式7-1】如图1，在矩形中，动点E从点A出发，沿方向运动，当点E到达点C时停止运动，过点E作，交于点F，设点E的运动路程为x，，如图2所表示的是y与x的函数关系的大致图象，当点E在上运动时，的最大长度是，则矩形的面积是（    ） A．20 B．16 C． D． 【变式7-2】如图1，在中，，，点是上一点，其中．点沿从点运动到点，设的长度为，，图2是点运动时随变化的关系图象，则图中最低点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式7-3】如图，梯形中，，垂足分别为，且，，动点P从点C出发，沿的方向以每秒1个单位长度的速度运动到点D停止，设运动时间为t秒，，则y与t之间的函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 【题型8 利用相似三角形的判定与性质解决动态问题】 【例8】2025·广西·二模）如图．在矩形中，，，对角线、交于点．点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时点从点出发沿方向匀速运动，速度为．当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．连接并延长交于点，过点作，交于点．设运动时间为．若五边形的面积与三角形的面积之比为，则 【变式8-1】（2025·浙江温州·模拟预测）如图，在等腰直角三角形中，，是上一点，，连结接，作，交的垂线于点．连接，交于，若设，在的运动过程中，下列代数式的值不变的是（   ） A． B． C． D． 【变式8-2】（2025·江苏扬州·三模）如图，已知中，，点是线段上一动点，过点作交于点，当点从点运动到点的过程中，点经过的路径长是 ． 【变式8-3】（24-25八年级下·浙江金华·期中）如图，在中，，，．点P从点B出发，以每秒个单位长度的速度沿向终点C运动，同时点M从点A出发，以每秒4个单位的速度沿向终点B运动，过点P作于点Q，连结，以为邻边作矩形，当点P运动到终点时，整个运动停止，点P的运动时间为t秒．当过点Q和点N的直线垂直于的一边时， ． 【题型9 利用相似三角形的判定与性质解决多结论问题】 【例9】（2025·黑龙江牡丹江·二模）如图，在中，，M是边延长线上一点，交的于点D，E为延长线上一点，且，是中点，连接，下列结论中：①；②；③若，则；④；⑤，正确结论的序号是（    ） A．①②③④⑤ B．①②⑤ C．③④⑤ D．①②④⑤ 【变式9-1】（2025·黑龙江哈尔滨·三模）如图，在矩形中，，点E，F分别在边，上，交于点G，若G是的中点，下列四个结论中：①；②；③；④，正确的是 （填序号即可） 【变式9-2】（2025·吉林长春·二模）如图，在平行四边形中，，于点，于点，且、交于点，、的延长线交于点．      ①；②平分；③，④若，则，⑤若点为中点，则 则上述结论正确的是 ．（填序号即可） 【变式9-3】（2025·山东青岛·模拟预测）如图，在正方形中，为边上一点，为延长线上一点，，连接，交对角线于点．以下结论：①是等腰三角形；②；③；⑤．其中，正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【题型10 利用相似三角形的判定与性质解决最值问题】 【例10】（2025·安徽淮北·二模）如图，为的中点，若点D在直线上运动，连接，则在点D运动过程中，线段的最小值是（   ） A．2.4 B．3 C．4 D．4.8 【变式10-1】（2025·江苏盐城·一模）如图，在中，，，是线段外一动点，，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，则的长最大值为 ． 【变式10-2】（24-25九年级上·山东聊城·期中）如图，，，，，点在线段上运动，点为线段的中点，在点的运动过程中，的最小值是 【变式10-3】（2025·陕西咸阳·一模）如图，在中，，，以为边向上作矩形，对角线与相交于点，且，连接，则的最大值为 ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $