第一章集合与常用逻辑用语专练-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

The essence of mathematics lies in its freedom. 1.6第一章回顾提升与综合练习 本节聚焦 通过本章的学习，我们初步具备了通过形式化，符号化的语言，精确地表示数学对象的能力，并且能够通过逻 辑用语和集合的概念来分析命题的真伪，这大大降低了我们阅读数学相关内容所耗费的精力，为后面的学习 做出铺垫 知识精讲 本章知识图谱： 集合 常用逻辑用语 集合的 集合间的 集合的 充分 必要 充要 全 基本关系 运算 条件 条件 条件 称量词 存在量词 全称 量词 命题 义 和存 包 并 补 判定 性质 数学 在量 含 等 集 集 集 定理 定理 定义 词 题的 否定 经典例题 类型一根据元素和集合关系求参 例1已知集合A={a,l,a2-5a+6,若2eA,则实数a的值构成的集合为 例2已知集合A={xar2-3x+2=0,x∈R,a∈R. (1)若A是空集，求a的取值范围， (2)若A中只有一个元素，求a的值，并求集合A; (3)若A中至少有一个元素，求a的取值范围. 1 The essence of mathematics lies in its freedom. 类型二根据两集合关系求参 例3已知A={xx2+4x=0,B={9x292(a+1x+a2-1=0. (1)若A是B的子集，求实数a的值 (2)若B是A的子集，求实数a的取值范围. 例4已知集合A={0,a+b,B={0,1-b,1},(a,b∈R),若A=B,则a+2b=（) A.-2 B.2 C.-1 D.1 类型三根据两集合运算求参 例5设A={xx2-8x+12=0},B={xax-1=0},若AnB=B,则实数a的值不可以是() A.0 B. C. D.2 例6已知集合A={X-2≤x≤5}B={m+1≤x≤2m-1}: (1)当A={x∈Z-2≤x≤5}时，求A的非空真子集的个数： (2)若AUB=A,求实数m的取值范围； (3)若A∩B=⑦，求实数m的取值范围. 2 The essence of mathematics lies in its freedom. 类型四集合新定义问题 例7设U={1,2,3,4},A与B是U的两个子集，若A∩B=3,4},则称(A,B)为一个"理想配集"，那么符合此条件 的”理想配集"（规定：(A,B)与(B,A)是两个不同的"理想配集"）的个数是() A.7个 B.8个 C.9个 D.10个 例8（多选）定义集合运算：A⑧B={z2=(x+y)×(x-y以，x∈A,y∈B),设A={V2,V5,B={1,V瓦，则() A.当x=√2，y=V2时，z=1 B.x可取两个值y可取两个值，z=x+y)×x-y)有4个式子 C.A⑧B中有3个元素 D.A⑧B中所有元素之和为3 类型五根据充分性求参 例9已知集合A={x-2≤x≤5，B={xm+1≤x≤2m-1,若xeB是x∈A的充分不必要条件，求实数m的 取值范围. 例10已知p:A={x|x<-2或x>10},9:B={x|x<1-m或x>1+m,m>0},若p是g的必要不充分条件，求实 数m的取值范围. The essence of mathematics lies in its freedom. 类型六根据命题真假求参 例11已知p:-2<a<2,q:关于x的方程x2-x十a=0有实数根. (1)若q为真命题，求实数a的取值范围， (2)若p为真命题，q为假命题，求实数a的取值范围. 实战演练 1设集合A=23,a2-3a,a+2+7,B={a-2,0,已知4eA且4：B,则实数a的取值集合为 a 2.设集合A={x∈R|x2+4x=0},B={x∈R|x2+2(a十1)x+a2-1=0,aeR}· (1)若a=0,试求AUB; (2)若BsA,求实数a的取值范围. The essence of mathematics lies in its freedom. 3.已知集合A={x|0≤x≤2}，B={xa≤x≤3-2a}. (1)若(CuA)UB=R求a的取值范围， (2)若A∩B≠B,求a的取值范围. 4给定集合A,若对于任意α，b∈A,有a什b∈A,且a-b∈A,则称集合A为闭集合，给出如下四个结论： ①集合A={0}为闭集合， ②集合A={-4,-2,0,2,4}为闭集合； ③集合A={nn=3k,k∈Z为闭集合； ④若集合A1、A2为闭集合，则A1UA2为闭集合. 其中所有正确结论的序号是· 5.己知命题p:关于x的方程x2-ax+a+3=0有实数根，命题9：m-1≤a≤m+1,p是9的必要非充分条件，则 实数m的取值范围是， 6.设命题p:集合A={xa+1≤x≤2a-1,命题g:集合B={x-2≤x≤5}，若p→9，求实数a的取值范围。 综上a≤3 The essence of mathematics lies in its freedom. 7.若命题"3x,∈R,x+(a-1)x+1≤0"的否定是真命题，则实数a的取值范围是() A.[-1,3] B.-1,3 C.-o,-1lU[3,+o D.-0,-1U3,+0 学霸笔记 6The essence of mathematics lies in its freedom. 1.6第一章回顾提升与综合练习 本节聚焦 通过本章的学习，我们初步具备了通过形式化，符号化的语言，精确地表示数学对象的能力，并且能够通 过逻辑用语和集合的概念来分析命题的真伪，这大大降低了我们阅读数学相关内容所耗费的精力，为后面 的学习做出铺垫。 知识精讲 本章知识图谱： 集合 常用逻辑用语 集合的 集合间的 集合的 充分 必要 充要 全 基本关系 运算 条件 条件 条件 存在 全称 量词 量词 含 词 和存 义 包 并 判定 性质 数学 在量 含 等 集 集 集 定理 定理 定义 词 题的 否定 经典例题 类型一根据元素和集合关系求参 例1已知集合A={a,l,a2-5a+6,若2eA,则实数a的值构成的集合为 【答案】{2,4} 【解析】因为集合A={a,l,a2-5a+6,且2eA 所以2=a或2=a2-5a+6 (1)当a=2时，此时a2-5a+6=0,A={2,10}符合题意. (2)当2=a2-5a+6时，解得a=1或a=4 当a=1时，与集合元素的互相性矛盾，舍去： 当a=4时，A={21,4}符合题意 综上可知实数a的值构成的集合为{2,4} 例2已知集合A={xaxr2-3x+2=0,x∈R,a∈R (1)若A是空集，求a的取值范围； (2)若A中只有一个元素，求a的值，并求集合A: (3)若A中至少有一个元素，求a的取值范围. The essence of mathematics lies in its freedom. 【答案（②）当a=0时集合4=卧当a时集合4=骨：3)（引 【解析】(1)A是空集，a≠0且4<0， 9-8a<0 ,解得a> a≠0 8 ∴a的取值范围为： (2)①当a=0时，集合A={x|-3x+2=0} ②当a≠0时，△=0， 9 ∴9-8a=0,解得a= 此时集合A= 综上所求，当a=0时集合A 13 当a=时集合A= (3)A中至少有一个元素，则当A中只有一个元素时，a=0或a=? 9-8a>0 9 当A中有2个元素时，则a≠0且△>0，即 a≠0 解得a<8且a≠0： 综上可得a爱时A中至少有一个元煮，即（到 类型二根据两集合关系求参 例3已知A={xx2+4x=0,B={0x292(a+1)x+a2-1=0 (1)若A是B的子集，求实数a的值； (2)若B是A的子集，求实数a的取值范围。 【答案】(1)a=1:(2)a·-1或a=1. 【解析】(1)由题得A={4,0. 若A是B的子集，则B=A={4,0}, △>0 所以{-4+0=-2(a+1),∴.a=1. -4×0=a2-1 (2)若B是A的子集，则BSA: ①若B为空集，则△=4(a+1)2-4(a2-1)=8a+8<0,解得a<-1: ②若B为单元素集合，则△=4(a+)2-4(a2-1)=8a+8=0,解得a=-1. 将a=-1代入方程x2+2(a+1)x+a2-1=0, 得x2=0,即x=0,B={0},符合要求： ③若B为双元素集合，B=A={-4,0},则a=1. 综上所述，a·-1或a=l. 2 The essence of mathematics lies in its freedom. 例4已知集合A={0,a+b,号，B={0,1-b,1},(a,b∈R),若A=B,则a+2b=（) A.-2 B.2 C.-1 D.1 【答案】D 【】：合4-0a+号 B={0,1-b,},且A=B, a+b=1-b,8=1,或a+b=1,2=1-b, 先考虑a+b=1-b,2=1,解得a=b= 3 时4=头8-号 满足题意， a+2b=1:再考虑a+b=1,0=1-b,解得a=0,b=1, 此时A={0,1,0},B={0,0,1},不满足题意， 综上，a+2b=1故选：D 类型三根据两集合运算求参 例5设A={xx2-8x+12=0,B={xar-1=0,若A∩B=B,则实数a的值不可以是() A.0 B.言 C.专 D.2 【答案】D 【解析】由题意，A={2,6},因为A∩B=B,所以BSA,若a=0,则B=☑，满足题意： 1 若a≠0，则B= 因为Bc4,所以日=2或。6，则a=号或a=君 1 综上：a=0或a=二或a= 61 故选：D. 例6已知集合A={X-2≤x≤5}B={Xm+1≤x≤2m-1}: (1)当A={x∈Z-2≤x≤5)时，求A的非空真子集的个数： (2)若AUB=A,求实数m的取值范围； (3)若AnB=O,求实数m的取值范围. 3 The essence of mathematics lies in its freedom. 【解析】(1)当x∈Z时，A={x∈☑-2≤<5}={-2，-1,0,1,2,3,4,5}，共有8个元素，所以A 的非空真子集的个数为28一2=254. (2)因为AUB=A,所以B二A,当B=O时，由m十1>2m一1，得m<2,符合：当Bo时，根据题意， 2m-1≥m+1 可得m+1≥-2，解得2≤m<3.综上可得，实数m的取值范围是{mm≤3}. 2m-1≤5 (3)当B=o时，由(1)知m<2:当Bo时，根据题意作出如图所示的数轴， B A m+1 2m-1 -2 5 m+12m-1x [2m-1≥m+1.[2m-1≥m+1 可得 或 解得m>4.综上可得，实数m的取值范围是{mm<2或m>4}. 2m-1<-2 m+1>5 类型四集合新定义问题 例7设U={1,2,3,4},A与B是U的两个子集，若A∩B={3,4},则称(A,B)为一个“理想配集” ,那么符合此条件的“理想配集”（规定：(A,B)与(B,A)是两个不同的“理想配集”）的个数是 () A.7个 B.8个 C.9个 D.10个 【答案】C 【解析】对子集A分类讨论： 当A是二元集{3,4}时，此时B可以为{1,2,3,4}，{1,3,4}，{2,3,4}，{3,4}，共4结果： 当A是三元集{1,3,4}时，此时B可以为{2,3,4}，{3,4}，共2种结果： 当A是三元集2,3,4}时，此时B可以为{1,3,4}，{3,4}，共2种结果： 当A是四元集{1,2,3,4)时，此时B取{3,4}，有1种结果， 根据计数原理知共有4+2+2+1=9种结果. 例8（多选）定义集合运算：A⑧B={z2=(x+y)x(x-y以，xEA,yEB),设A={V2,N⑤，B={1,2, 则() A.当x=√2，y=V2时，z=1 The essence of mathematics lies in its freedom. B.x可取两个值，y可取两个值，z=x+y)×x-y)有4个式子 C.A⑧B中有3个元素 D.A⑧B中所有元素之和为3 【答案】BCD 【解析】A⑧B={z2=(x+y)×(x-y),x∈A,y∈B,A={2,√}，B={L}, 当x=√2，y=V2时，z=0;当x=√2，y=1时，z=1; 当x=√5，y=1时，z=2;当x=√5，y=5时，z=1, A不正确：B正确：而A⑧B={0,1,2,C,D都正确. 故选：BCD 类型五根据充分性求参 例9已知集合A={x-2≤x≤5}，B={xm+1≤x≤2m-1},若x∈B是x∈A的充分不必要条件，求实数 m的取值范围. 【答案】(-0,3] 【解析】因为x∈B是x∈A的充分不必要条件， 所以集合B是集合A的真子集， 当B=☑时，m+1>2m-1,得m<2,此时满足集合B是集合A的真子集， m+1≤2m-1 当B≠⑦时，则 m+1≥-2且等号不同时成立，解得2≤m≤3， 2m-1≤5 综上，m≤3 例10已知p:A={x|x<-2或x>10},9:B={x|x<1-m或x>1+m,m>0},若p是g的必要不充分条件，求 实数m的取值范围。 【答案】{mlm≥9} m>0 1m>0 m>0 【解析】由题意，BA,则 1-m<-2或 1-m≤-2 或 1-m<-2,综上 1+m≥10 (1+m>10 1+m>10 {m|m≥9}。 类型六根据命题真假求参 5 The essence of mathematics lies in its freedom. 例11已知p:-2<a<2,q:关于x的方程x2-x十a=0有实数根. (1)若q为真命题，求实数a的取值范围： (2)若p为真命题，q为假命题，求实数a的取值范围， 【管案1w(2(保 【解析】(1)：关于x的方程2-x+a=0有实数根，六△=1-4a≥0，即a≤牙 若g为真命题，实数a的取值范围为： (2)·p为真命题，q为假命题， -2<a<2 、1,解得<a<2. a>- 4 4 a2 实战演练 1设集合A= 23,a2-3a,a+2+7,B=a-2,0,已知4∈A且4eB,则实数a的取值集合为 a 【答案】4} 【解析】当a2-3a=4时，可得a=4或a=-1, 若a=-1时，则a+2+7=4,不合题意： 若a=4时，则a+2+7=115,1口-2非2符合题意： 当a+2+7=4,可得a=-1或a=-2, 若a=-1,则a2-3a=4,不合题意： 若a=-2,则川a-2上4，不合题意. 综上所述：a=4. 2.设集合A={x∈R|x2+4x=0},B={x∈R|x2+2(a+1)x+a2-1=0,a∈R}· (1)若a=0,试求AUB; (2)若BsA,求实数a的取值范围. 6 The essence of mathematics lies in its freedom. 【解析】(1)由x2+4x=0,解得x=0或x=-4, A={4,0} 当a=0时，得x2+2x-1=0,解得x=-1-V2或x=-1+V2 B={-1+2,-1-2}: .AUB={0,-4,-1+5,-1-5. (2)由(1)知，A={4,0},BsA, 于是可分为以下几种情况 当A=B时，B={-4,0,此时方程x2+2(a叶1)x+a2-1=0有两根为0，-4，则 △=4(a+1)2-4(a2-1)>0 a2-1=0 ,解得a=1. -2(a+1)=-4 3.已知集合A={x|0≤x≤2}，B={xa≤x≤3-2a}. (1)若(CyA)UB=R,求a的取值范围； (2)若A∩B≠B,求a的取值范围， 【答案】（山a<2a≥吉 【解析】(1)：A={x0≤x≤2}，∴.CuA={xx<0或x>2}, 若(CuA)UB=R, CuA B CuA a 0 23-2a 3-2a≥a 则 a≤0，即a≤- (3-2a≥2 (2)若A∩B=B,则BSA.当B=☑时，则3-2a<a得a>1, 当B≠☑时，若B∈A The essence of mathematics lies in its freedom. a 3-2 a≥0 则 13-2a≤2 ,得a∈ 综上故a的取值范围为a∈ 故AnB≠B时的范围为 4.给定集合A,若对于任意a,b∈A,有a+b∈A,且a-b∈A,则称集合A为闭集合，给出如下四个结论： ①集合A={0}为闭集合； ②集合A={-4,-2,0,2,4}为闭集合； ③集合A={nn=3k,k∈Z为闭集合； ④若集合A1、A2为闭集合，则A1UA2为闭集合. 其中所有正确结论的序号是· 【答案】①③ 【解析】①0+0=0,0-0=0,0∈A,故①正确： ②当a=-4,b=-2时，a+b=-4+(-2)=-6A,故不是闭集合，.②错误： ③由于任意两个3的倍数，它们的和、差仍是3的倍数，故是闭集合，∴③正确： ④假设A1={nln=3k,k∈Z,A2={nn=5k,k∈Z,3∈A1,5∈A2,但是，3+5tA1UA2,则A1UA2不是闭 集合，④错误 正确结论的序号是①③. 5.己知命题p:关于x的方程x2-ax+a+3=0有实数根，命题9：m-1≤a≤m+1,p是9的必要非充分条 件，则实数m的取值范围是 【解析】由命题P:关于x的方程x2-ax+a+3=0有实数根， 则(-a)2-4(a+3)≥0，即a≤-2或a≥6， 又P是9的必要非充分条件， 故m+1≤-2或m-1≥6， 即m≤-3或m≥7， 6.设命题p:集合A={xa+1≤x≤2a-1},命题g:集合B={x-2≤x≤5，若p→9，求实数a的取值范 围 8 The essence of mathematics lies in its freedom. 【解析】因为p→q,故A是B的子集，当A=☑时，a+1>2a-1,解得：a<2 a+1≥-2 当A≠0，故满足 2a-1≤5，解得：2≤a≤3 a+1≤2a-1 综上a≤3 7.若命题“3x,∈R,x+(a-1)x。+1≤0”的否定是真命题，则实数a的取值范围是() A.[-1,3] B.（-1,3 C.(-o,-1]U[3,+∞ D.-0,-1U(3,+0) 【答案】B 【解析】命题“x。∈R,x+(a-1)x+1≤0”的否定为“x∈R,x2+(a-)x+1>0”为真命题， 所以△=(a-1)2-4<0,解得-1<a<3, 即实数a的取值范围是(-1,3).故选：B. 学霸笔记