1.4用一元二次方程解决问题课时训练-2025-2026学年数学九年级上册苏科版

1.4用一元二次方程解决问题课时训练-2025-2026学年数学九年级上册苏科版 一、单选题 1．现在是流感多发季，假设有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，请问各位同学，每轮传染中平均一个人传染 （    ）人 A．8 B．9 C．10 D．11 2．俗语有云：“一日不练，手生脚慢；两日不练，技艺减半；三日不练，成门外汉；四日不练，只能旁观．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两日不练，技艺减半”，则每天“遗忘”的百分比约为（    ）．（参考数据：） A． B． C． D． 3．一种药品原价每盒100元，经过两次降价后每盒64元，两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为（   ） A． B． C． D． 4．如图，在一块长15米、宽10米的矩形空地上，修建两条同样宽的相互垂直的道路，剩余部分栽种花草，使绿化面积为126平方米，设路宽为米，则可列方程（   ） A． B． C． D． 5．《四元玉鉴》是中国古代数学家朱世杰创作的一部数学著作，成书于年．该书是一部成就辉煌的数学名著，在宋元数学发展的高峰中占有重要地位．小明对其中的“买椽多少”问题进行了改编：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为文．如果每株椽的运费是文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱．下列说法不正确的是（   ） A．设这批椽的数量为x株，则 B．一株椽的价钱为27文 C．一株椽的价钱为24文 D．这批椽一共有9株 6．如图1，将面积为16的正方形分为①②③④四部分，分成的4部分恰好拼成如图2所示的矩形ABCD，则线段AB的长为（    ） A． B． C． D．3 7．学校统计今年近视学生人数是前年近视学生人数的80%，那么这两年平均每年近视学生人数降低的百分率是多少？设平均每年降低的百分率为x，根据题意列方程得（　　） A． B． C． D． 8．为更好地开展劳动教育，学校决定在操场划出一块面积为的长方形场地作为劳动基地．若长方形场地的一边靠墙（墙足够长），另外三边由总长为的篱笆围成，并且在平行于墙的边上设置两个开口宽为的进出门（如图）．设垂直于墙的长方形边长为，则下列方程正确的是（   ）． A． B． C． D． 二、填空题 9．某商品售价为元，两次降价后售价为元，若设每次降价的百分率为，则依据题意可列方程 ． 10．某种品牌的手机经过四、五月份连续两次降价，每部售价由3600元降到了2500元，则平均每月降价的百分率为 ．（结果精确到） 11．2023年我国低空经济的市场规模为0.5万亿元，根据中国民航局的数据预测，到2025年，我国低空经济的市场规模将达到1.5万亿元．若设这两年低空经济市场规模年平均增长率为x，则根据题意可列方程为 ． 12．新定义：给定一个矩形的长和宽，若存在另外一个矩形的周长和面积分别是其周长和面积的倍（），则称这个矩形是给定矩形的“倍”矩形．现有一个长为3，宽为2的矩形，若它的“倍”矩形存在，则的最小值为 ． 13．一次会议上，每两个参加会议的人都相互握了一次手，经统计所有人一共握了45次手，这次会议到会的人数是 人． 14．近年来，电商直播高速发展．某电商对一款每件成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，这种小商品的售价每降低5元，日销售量增加10件．若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为 元． 15．某学校有一矩形空地，长，宽，计划在这块空地上划出如图所示宽度（单位：m）相等的形区域建成花圃．已知花圃的面积为，则的值为 ． 三、解答题 16．某商品现在的售价是每件130元，每日的销售量是70件，市场调查反映：若每件商品售价涨1元，每日的销售量就减少1件．已知商品的进价是每件120元，那么商品定价为多少元时，每日盈利可达到1600元？ 17．如图，某小区计划在一块长为，宽为的矩形场地上修建三条互相垂直且宽度一样的小路，其余部分种绿植，绿植的面积为468平方米，求小路的宽． 18．火锅和串串是重庆特有美食，“五一黄金周”期间，到洪崖洞景区选择品尝火锅和串串的游客共2500人，其中火锅和串串的人均消费分别为80元和60元． (1)“五一”期间，若选择火锅的人数是串串人数的1.5倍，求有多少人选择串串？ (2)随着“五一”的结束，前来重庆游玩的人数逐渐减少，据接下来的第二周统计数据显示，在（1）的条件下，选择火锅的人数下降了，选择串串的人数不变，但选择火锅的人均消费增长了，选择串串的人均消费增长了，销售总额为18万元，求a的值． 19．电影《哪吒之魔童闹海》热映后，哪吒与敖丙的联名玩偶深受欢迎．某网购平台商家3月4日销售玩偶共200个，5日、6日销售量持续增长，6日销量达到338个． (1)求3月5日、6日这两天玩偶销售量的日平均增长率． (2)为庆祝《哪吒之魔童闹海》全球票房大卖，商家决定做优惠活动．已知玩偶每个成本30元，售价为每个50元时，日销量可达320个；每降价1元，日销量可增加5个．当每个玩偶降价多少元时，当日总利润可达到5940元？ 20．阅读材料，解决问题 材料1：新时代的中国伴随着人工智能、新能源、新材料等不断革新，制造业发展也迎来了大变革，新桥产业园某工厂借助智能化，对某型号零件进行一体化加工，生产效率提升显著，该零件3月份生产100个，5月份生产169个． 材料2：该厂生产的零件成本为40元/个，销售一段时间后发现，当零件售价为50元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每涨1元，则销售量将减少10个． 【解决问题】 (1)求该厂3月份到5月份生产数量的平均增长率； (2)若该厂既想使月销售利润达到12000元，又想尽快减少库存，以便产品迭代，则该零件的实际售价应定为多少元？ 21．如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，如果、两点同时出发，设运动时间为秒． (1)当为何值时，为等腰三角形？ (2)是否存在某时刻，使线段恰好把的面积平分？若存在，求此时的值；若不存在，请说明理由； (3)当为何值时，、间的距离等于？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《1.4用一元二次方程解决问题课时训练-2025-2026学年数学九年级上册苏科版》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B B A A B A D A 1．B 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用． 设每轮传染中平均一个人传染人，经过一轮传染有人患病，经过两轮传染有人患病，根据题意列方程求解即可． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染人， 根据题意可得， 整理得， ∴， ∴或（不合题意，舍去） ∴每轮传染中平均一个人传染 人． 故选：B． 2．B 【分析】本题主要考查一元二次方程在实际问题中的应用，熟练掌握根据等量关系列一元二次方程并求解是解题的关键．本题通过设每天“遗忘”的百分比为，依据“两日不练，技艺减半”这一条件建立一元二次方程，求解方程，并结合实际意义确定的值． 【详解】解：设每天“遗忘”的百分比为，由题意得 ． 解得，（，不符合题意，舍去 ）． ∵， ∴ 每天“遗忘”的百分比约为 故选：B 3．A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设每次降价的百分率为x，利用该药品经过两次降价后的价格=原价每次降价的百分率，可列出关于x的一元二次方程，解之取符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：设每次降价的百分率为x， 根据题意，得 解得：，不符合题意，舍去， 每次降价的百分率为． 故选：A． 4．A 【分析】把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的草坪是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程即可． 此题主要考查了一元二次方程的应用，把中间修建的两条道路分别平移到矩形地面的最上边和最左边是解题的关键． 【详解】解：由题可得：可列方程为． 故选：A． 5．B 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，解题的关键是正确理解题意，找到等量关系． 根据题意，找出等量关系，列方程求解，对各选项进行分析即可． 【详解】解：设这批椽一共有x株， 根据题意得，， 即， 解得，，（舍去）， ∴这批椽一共有株， ∴一株椽的价钱为：（文）； ．设这批椽的数量为株，则，说法正确，不符合题意； ．一株椽的价钱为文，说法不正确，符合题意； ．一株椽的价钱为文，说法正确，不符合题意； ．这批椽一共有株，说法正确，不符合题意． 故选：． 6．A 【分析】本题主要考查了关于图形的剪拼的一元二次方程的应用．已知图中的①和②，③和④形状大小分别完全相同，结合图中数据可知①④能拼成一个直角三角形，②③能拼成一个直角三角形，并且这两个直角三角形形状大小相同，利用这两个直角三角形即可拼成矩形；利用拼图前后的面积相等列出方程求解即可得出答案． 【详解】解：如图： 图1中的正方形面积为16， 正方形的边长为4， ∴直角三角形①中的长直角边为4， ， 解得：（已舍去负值）， ， 故选：A． 7．D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程. 根据今年近视学生人数是前年近视学生人数的80%，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：依题意，得：． 故选：D． 8．A 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设垂直于墙的长方形边长为， 由题意得，， 即， 故选：． 9． 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，结合题意分析：第一次降价后的价格原价（降低的百分率），第二次降价后的价格第一次降价后的价格（降低的百分率），把相关数值代入即可．解题的关键是能够分别表示出两次降价后的售价． 【详解】解：依据题意可列方程为． 故答案为：． 10． 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，设平均每月降价的百分率为，根据经过四、五月份连续两次降价，每部售价由3600元降到了2500元，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设平均每月降价的百分率为，由题意，得： ， 解得：或（舍去）； 故答案为： 11． 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，由题意得：2024年我国低空经济规模为万亿元，2025年我国低空经济规模为万亿元，据此即可求解． 【详解】解：根据题意，得． 故答案为：． 12． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，矩形的性质，根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键． 题目说一定存在满足条件的矩形，所以列得关于x的方程的根的判别式一定大于等于零，得到关于k的不等式，进而求出k的范围，于是得到结论． 【详解】解：∵现有一个长为3，宽为2的矩形， ∴它的周长，面积， ∴它的“k倍”矩形的面积，周长， 设它的“k倍”矩形的长为x，则宽为， 由题意得：， 整理得：， ∴， ∵一定存在另一个矩形的周长和面积分别是已知矩形周长和面积k倍， ∴即：， ∵， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 13．10 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设这次会议到会的人数是x人，每个人都与其他人握手，共握手次数为，根据题意列方程． 【详解】解：设这次会议到会的人数是x人， 依题意得：， 整理得：， 解得，（舍去）． 答：参加这次会议的有10人， 故答案为：10． 14．50 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意找准等量关系，根据等量关系列出方程是解题的关键． 设售价应定为元，则每件的利润为元，根据日利润保持不变为等量关系可列得方程，解出方程即可． 【详解】解：设售价应定为元，则每件的利润为元，日销售量为件， 依题意，得：， 整理，得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 故答案为：． 15．10 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出方程是解决问题的关键． 由列出方程，解方程即可求出． 【详解】解：由题意，得， 即， 解得，． ， ， 不符合题意，舍去． 故答案为：． 16．商品定价为元时，每日盈利可达到1600元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设价涨x元，则每日可卖出件，根据每日盈利为1600元，列出一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设售价涨x元，则每日可卖出件， 根据题意：， 解得：， 则商品定价为（元）， 答：商品定价为元时，每日盈利可达到1600元． 17．小路宽为2米 【分析】本题考查了实际应用与一元二次方程，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据绿植的面积列出方程并求解即可． 【详解】解：设小路的宽为， 根据题意得：， 解得：． 答：小路宽为2米． 18．(1)1000人选择串串 (2)10 【分析】（1）设有x人选择串串，则有人选择火锅，根据选择火锅的人数是串串人数的1.5倍列出方程，即可求解； （2）根据最终销售总额为18万元，即可得出关于a的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 本题主要考查了一元一次方程和一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程． 【详解】（1）解：设有x人选择串串，则有人选择火锅， 依题意，得：， 解得：． 答：1000人选择串串； （2）解：依题意，得： ， 整理，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：a的值为10． 19．(1)日平均增长率为 (2)每个玩偶降价元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设日平均增长率为，根据题意，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设每个玩偶降价元，根据当日总利润可达到元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】（1）解：设日平均增长率为，由题意得：， 解得：，（舍）， 答：日平均增长率为； （2）解：设每个玩偶降价元，由题意得：， 解得：，（舍）， 答：每个玩偶降价元． 20．(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）基本关系：初量（1+增长率）2=末量，据此列出方程，求解即可； （2）基本关系：总利润=每个的销售利润×月销售量，该零件的实际售价应定为元，用含的代数式表示月销售量，再利用月销售利润达到12000元建立方程求解． 【详解】（1）设该厂3月份到5月份生产数量的平均增长率为，根据题意，得 ， 解得：，（舍去） 答：设该厂3月份到5月份生产数量的平均增长率为 （2）设该零件的实际售价应定为元，根据题意，得 ， 解得：，， ∵想尽快减少库存，则售价应该更低， ∴该零件的实际售价应定为元， 答：该零件的实际售价应定为元． 21．(1)当时，为等腰三角形 (2)不存在，理由见解析 (3) 【分析】（1）依题意得，，，当为等腰三角形时，只有，联立方程即可求解； （2）依题意得，，化简得，再根据判别式确定即可； （3）由于，则，代入化简求值即可. 【详解】（1）解：依题意得，，， 则， 当为等腰三角形时，只有， ， 解得， 即当时，为等腰三角形； （2）不存在，理由如下： 依题意得，， ， ， ， 方程无实根， 不存在某时刻，使线段恰好把的面积平分； （3），， ， ， 化简得：， 解得或， ∵ ∴不符合题意，舍去 故时，、间的距离等于． 【点睛】本题考查了几何图形中的动点问题，涉及了等腰三角形，勾股定理、一元二次方程等知识点；注意利用实际问题中的约束条件检验所得的解． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $