1.2空间向量的基本定理课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

1.2空间向量的基本定理（第一课时） 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 1 2 复 习 回 顾 平面向量基本定理： 　　如果 e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 a，有且只有一对实数 λ1，λ2，使 a＝λ1e1＋λ2e2． 若 e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底． 复习巩固 启示：平面中的任意向量可以由两个不共线向量的线性运算来表示，且只要基底确定,则表示形式是唯一的. 平面向量的分解 特别的：平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解. M N O 问题1 平面中的任意向量可以由两个不共线向量的线性运算来表示，那么空间中的任意向量能不能通过有限个向量的线性运算来表示呢？两个不共线的向量还够用吗？至少需要几个向量来表示？ 探究新知 用两个不共线的向量只能表示共面的向量； 至少用三个不共面的向量； 先考虑三个不共面的向量两两互相垂直的特殊情况； 探究新知 p i j k P Q O α xi yj zk 设 i，j，k 是空间中两两垂直的向量，且表示它们的有向线段有公共起点O。对于任意一个空间向量p=，由向量的线性运算及平面向量基本定理可得： 存在唯一的有序实数组（x,y,z）,使得： 我们称 xi，yj，zk 分别为向量 p 在 i，j，k 上的分向量． p 问题2 如果给定的三个不共面的向量不是两两垂直的，能用它们的线性运算表示任意一个空间向量吗 ？ a b c p 探究新知 a b c O P α p a c b B C A Q 问题2 如果给定的三个不共面的向量不是两两垂直的，能用它们的线性运算表示任意一个空间向量吗 ？ 探究新知 Q α a b c O P p a c b B C A 问题2 如果给定的三个不共面的向量不是两两垂直的，能用它们的线性运算表示任意一个空间向量吗 ？ 探究新知 O Q P p a c b B C A α a b c 问题2 如果给定的三个不共面的向量不是两两垂直的，能用它们的线性运算表示任意一个空间向量吗 ？ 探究新知 xa O Q P p a c b yb zc B C A α a b c 问题2 如果给定的三个不共面的向量不是两两垂直的，能用它们的线性运算表示任意一个空间向量吗 ？ 探究新知 你能类比平面向量基本定理的表述，写出空间向量基本定理吗？ 如果 e1，e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 a，有且只有一对实数 λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2． 空间向量基本定理 平面向量基本定理 如果三个向量 a，b，c 不共面， 那么对任意一个空间向量 p， 存在唯一的有序实数组 (x，y，z)， 使得 p＝xa＋yb＋zc． 探究新知 我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c 都叫做基向量． 不唯一 空间向量的分解 启示：空间中的任意向量可以由三个不共面向量的线性运算来表示，且只要基底确定,则表示形式是唯一的. 空间向量间的运算 基向量间的运算 转化 空间向量基本定理 特别地，如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i，j，k}表示． 把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解． a i j k P Q O 探究新知 同学们，学习了空间向量基本定理，建立了“空间基底”的概念，我们就可以利用基底表示任意一个空间向量，进而把空间向量的运算转化为基向量的运算，所以，基底概念的引入为几何问题代数化奠定了基础. 由向量共线定理、平面向量基本定理及空间向量基本定理的一致性和连贯性，下面我们来对比一下这三个定理： 向量共线定理 平面向量基本定理 空间向量基本定理 表述形式 基向量个数 基向量要求 对于实数(对、组) 定理 分类 1 2 3 探究新知 例1：如图，M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，且MN= ON，AP= AN，用向量 表示 . 例题示范 策略：用基底表示空间向量时,一般要结合图形特征,运用向量加法、减法的平行四边形法则、三角形法则,以及数乘向量的运算法则,逐步向基向量过渡,直至全部用基向量表示.（化归法） 课本练习 2. 已知O, A, B, C为空间的四个点，且向量 不构成空间的一个基底，那么点O, A, B, C是否共面? （课本P12练习) 知识巩固 3.如图，已知平行六面体OABC-O'A'B'C'，点G是侧面BB'C'C的中心，且 （1） 是否构成空间的一个基底？ （2）如果 构成空间的一个基底，那么用它表示下列向量： （课本P12练习T3） B C O A1 B1 C1 O1 A G 知识巩固 课本练习 A B C D M N B1 A1 C1 D1 例2： 如图，在平行六面体中，, ， ,分别为 的中点. 求证. 例题示范 证线线垂直(向量数量积为0) A C D B C1 D1 B1 A1 N M 空间向量基底的判断依据 (1)判断一组向量能否作为空间向量的一个基底，实质是判断这三个向量是否共面，若不共面，就可以作为空间向量的一个基底． (2)判断基底时，常常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体，用它们从同一顶点出发的三条棱对应的向量为基底，并在此基础上构造其他向量进行相关的判断．　 解题策略 C A B D E F G 例3：如图，已知正方体的棱长为1，分别为 , , 的中点. (1)求证： (2)求所成角的余弦值. 例题示范 证明线线平行(共线定理) 典例分析 例3 如图示, 正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为1，E, F, G分别为C'D′, A'D', D'D的中点. (1) 求证：EF//AC； (2) 求CE与AG所成角的余弦值. B D C A′ B′ C′ D′ A G F E 证明线线平行(共线定理) C A B D E F G 例3：如图，已知正方体的棱长为1，分别为 , , 的中点. (1)求证： (2)求所成角的余弦值. 例题示范 求异面直线所成角(向量夹角) 典例解析 例3 如图示, 正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为1，E, F, G分别为C'D′, A'D', D'D的中点. (1) 求证：EF//AC； (2) 求CE与AG所成角的余弦值. B D C A′ B′ C′ D′ A G F E 求异面直线所成角(向量夹角) 24 解题方法归纳 24 应用一个定理：空间向量基本定理 学习一种方法：向量方法 体会一种思想：转化与化归思想 课堂小结 问：如何寻找恰当的基底？ 基底的选择一般有两个条件： 首先必须是不共面的非零向量， 其次，在进行基底选择时要尽量选择已知夹角和模长的向量，这样会对后续计算带来便利条件. 立体几何问题 ①适当选取基底 向量 运算 ②用基向量表示相关向量 ③将相关向量的问题转化为基向量的问题 向量问题 向量问题的解 立体几何问题的解 转化 向量方法 理论基础：空间向量基本定理 用向量方法解决立体几何问题的路径 转化 课后练习 课本练习 1. 已知四面体OABC，OB = OC, ∠AOB =∠AOC = θ. 求证: OA⊥BC . C O B A 课后练习 课本练习 2. 如图，在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中，AB = 2，AD = 2，AA' = 3，∠BAD =∠BAA' = ∠DAA' = 60°. 求BC'与CA'所成角的余弦值. A C D B C′ D′ B′ A′ 课后练习 课本练习 3. 如图，已知正方体ABCD-A′B′C′D′，CD′和DC′相交于点O，连接AO. 求证：AO⊥CD'. B D C A′ B′ C′ D′ A O 用基向量法解决长度、平行、垂直及夹角问题的步骤： (1)设出基向量． (2)用基向量表示出直线的方向向量． (3)用|a|＝eq \r(a·a)求长度，用a＝λb ⇔a∥b，用a·b＝0⇔a⊥b， 用cos θ＝eq \f(a·b,|a||b|)求夹角． (4)最后还原为几何中的线段长度，两直线平行、垂直及夹角. $