精品解析：安徽省 芜湖市第二十九中学2020-2021学年 九年级上学期期中教学质量评估数学试卷

2020～2021学年第一学期九年级期中教学质量评估试卷 数学 （满分150分） 注意事项：1．时间：120分钟 2．请将答案填写在答题卷上．考试结束后，请将试题卷和答题卷一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 若一元二次方程有一个根为1，则下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将代入方程即可得出答案． 【详解】解：由题意，将代入方程得：， 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根，熟记一元二次方程的根的定义（使方程左、右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根）是解题关键． 2. 若方程 是关于x的一元二次方程，则k的取值范围是(　　) A. B. C. 且 D. k为任意实数 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义，需二次项系数不为零，且需有意义，据此得到的取值范围． 【详解】根据题意可得，解得且． 3. 若一元二次方程x2－2x－m＝0无实数根，则一次函数y＝(m＋1)x＋m－1的图象不经过第(　　)象限． A. 四 B. 三 C. 二 D. 一 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据方程无实数根，求出m<-1，再判断一次函数的图象经过的象限问题． 【详解】解：∵一元二次方程x2-2x-m=0无实数根， ∴△=4+4m<0， 即m<-1， ∴一次函数的比例系数m+1<0， 图像经过二四象限， 截距m-1<0， 则图象与y轴交于负半轴，图像过第三象限 ∴一次函数y=(m+1)x+m-1的图像不经过第一象限， 故选D． 【点睛】本题考查了根的判别式、一次函数的图象，解题的关键是求出m的取值范围． 4. 关于的方程的两个根互为相反数，则值是（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】若方程的两根互为相反数，则两根的和为；可用含的代数式表示出两根的和，即可列出关于的方程，解方程求出的值，再把所求的的值代入判别式进行检验，使的值应舍去． 【详解】解：∵ ∴设原方程的两根为，则 由题意，得 ∴ 又∵ ∴当时，，原方程无实根； 当时，，原方程有实根． ∴． 故选D． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟记公式，是解决本题的关键． 5. 、是方程的两个根，则（ ） A. 4 B. 10 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义以及根与系数的关系，解题关键是把．因为、是一元二次方程的两个根，所以，，进一步即可解决问题． 【详解】解：∵、是一元二次方程的两个根， ∴，即，， ∴． 故选：A． 6. 若二次函数的对称轴为直线，则（ ） A. 3 B. C. 6 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，根据二次函数的对称轴是直线，代入数值进行计算，即可作答． 【详解】解：∵二次函数的对称轴是直线， ∴， 解得. 故选：D． 7. 已知二次函数的图象如图所示，则①；②；③；④，其中正确的个数有（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线的对称轴的位置判断的符号，再根据抛物线与轴的交点，判断的符号，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：∵抛物线对称轴是轴的右侧，开口向上， ∴，， ∵与轴交于负半轴， ∴， ∴，故①正确； ∵，， ∴， ∴，故②正确； ∵抛物线与轴有两个交点， ∴，故③正确； 当时，， 即，故④正确； 综上可得：正确的结论为：①②③④，有4个． 故选：D 【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，解本题的关键是要明确：对于二次函数来说，①二次项系数决定抛物线的开口方向和大小：当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；②一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时（即），对称轴在轴的左边； 当与异号时（即），对称轴在轴的右边．（简称：左同右异）③常数项决定抛物线与轴交点，抛物线与轴交于．④抛物线与轴交点个数：时，抛物线与轴有2个交点；时，抛物线与轴有1个交点；时，抛物线与轴无交点． 8. 当﹣2≤x≤1，二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，则实数m值为（　　） A. B. 或 C. 2或 D. 2或或 【答案】C 【解析】 【分析】求出二次函数对称轴为直线x=m，再分m＜-2，-2≤m≤1，m＞1三种情况，根据二次函数的增减性列方程求解即可． 【详解】解：二次函数对称轴为直线x=m， ①m＜-2时，x=-2取得最大值，-（-2-m）2+m2+1=4， 解得m=，不合题意，舍去； ②-2≤m≤1时，x=m取得最大值，m2+1=4， 解得m=±， ∵m=不满足-2≤m≤1的范围， ∴m=-； ③m＞1时，x=1取得最大值，-（1-m）2+m2+1=4， 解得m=2． 综上所述，m=2或-时，二次函数有最大值4． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的最值，熟悉二次函数的性质及图象是解题的关键． 9. 如图，四边形为正方形，E、B、C共线，把绕A点逆时针方向旋转到处，F在上，连，则①旋转角度为；②；③为等腰直角三角形；④，其中正确的是（ ） A. ①② B. ②③④ C. ①②③ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，由正方形结合旋转的性质可得，，可得判断①②，进一步可得，，，可判断③④． 【详解】解：∵四边形为正方形，E、B、C共线，把绕A点逆时针方向旋转到处，F在上， ∴，，即旋转角为，故①②正确， ∴，，， ∴， ∴为等腰直角三角形；故③正确， ∴，故④正确． 故选：D 10. 已知关于原点的对称点在第一象限内，则m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 不存在 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标与轴对称，解一元一次不等式组，熟练掌握点的坐标与轴对称变换规律是解题关键．先判断出点在第三象限，再根据第三象限的点的横坐标小于0、纵坐标小于0建立不等式组，解不等式组即可得． 【详解】解：点关于原点的对称点在第一象限， 点在第三象限， ， 解得：， 故选：C． 二、填空题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 11. ，，且A，关于M对称，点M的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称，根据，，且A，关于M对称，可得，进一步，可得答案． 【详解】解：∵点A、关于点M对称， ∴点M是线段的中点， ∵，， ∴，即． 故答案为：． 12. 如图．边长为1的两个正方形互相重合，按住其中一个不动，将另一个绕顶点A顺时针旋转45°，则这两个正方形重叠部分的面积是_____． 【答案】 【解析】 【详解】解：连接D′C， ∵绕顶点A顺时针旋转45°， ∴∠D′CE=45°， ∵ED′⊥AC， ∴∠CD′E=90°， ∵AC==， ∴CD′=﹣1， ∴正方形重叠部分的面积是×1×1﹣×（﹣1）（﹣1）=﹣1 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质；旋转的性质． 13. 已知的两根为2，3，则的两个根分别为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，根据根与系数的关系得到，则，则方程即为方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵的两根为2，3， ∴， ∴， ∴方程即为， ∴， ∴， 解得． 故答案为：． 14. 若函数的图象与坐标轴有三个交点，则的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与坐标轴的交点问题．抛物线与坐标轴有三个交点，则抛物线与x轴有2个交点，且不过原点，据此列不等式求解即可． 【详解】解：∵函数的图象与坐标轴有三个交点， ∴， 解得：且． 故答案为：且． 15. 已知方程，则的值为_________． 【答案】3 【解析】 【分析】设a=x2+y2，把原方程变为a2-2a-3=0，求得方程的解即可． 【详解】解：a=x2+y2， 则原方程变为a2-2a-3=0， 解得：a1=-1，a2=3， ∵x2+y2≥0， ∴x2+y2=3． 故答案为：3． 【点睛】此题考查换元法解一元二次方程，渗透整体思想，注意非负数的性质． 16. 已知二次函数为常数，当时，函数值y的最小值为，则m的值是_________. 【答案】或 【解析】 【分析】将二次函数配方成顶点式，分m<−1、m>2和−1⩽m⩽2三种情况，根据y的最小值为−2，结合二次函数的性质求解可得． 【详解】解：， 故该抛物线的对称轴为直线x=m，且开口向上， ①若m<−1，当x=−1时，y=1+2m=−2， 解得：； ②若m>2，当x=2时，y=4−4m=−2， 解得(舍)； ③若−1⩽m⩽2，当x=m时，， 解得：或(舍)， ∴m的值为或， 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查二次函数的最值，根据二次函数的增减性分类讨论是解题的关键． 17. 已知抛物线的图象如图，其图象过，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象和性质，二次函数表达式系数符号的确定，熟练掌握知识点是解题的关键．由函数图象的开口方向可知，由抛物线与y轴的交点判断c的值，当时，二次函数的值小于零，由此可求出a的取值范围． 【详解】解：抛物线开口向上， ， 图象过， ， 图象过， ， ， 由题意得，当时，， ， ， ， ． 故答案为：． 18. 将绕着旋转，得到，设A的对应点为，已知，则的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形变化，旋转．根据题意分别过、向y轴作垂线，可得，利用全等得到到轴，轴的距离，进而根据所在象限可得答案． 【详解】解：如图，作轴于点，轴于点，如图所示： ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵点在第四象限， ∴点的坐标为． 故答案为：． 三、解答题 19. 已知关于x的一元二次方程kx2-4x+2=0有实数根． （1）求k的取值范围； （2）若△ABC中，AB=AC=2，AB、BC的长是方程kx2-4x+2=0的两根，求BC的长． 【答案】（1）k≤2且k≠0；（2）． 【解析】 【分析】（1）已知一元二次方程有实数根，可得△=b2-4ac≥0，建立关于k的不等式，即可求出k的取值范围； （2）由于AB=2是方程kx2-4x+2=0，所以可以确定k的值，进而再解方程求出BC的值． 【详解】解：（1）∵关于x的方程有实数根， ∴△=（-4）2-8k≥0， 解得k≤2， 又k≠0， ∴k的取值范围为k≤2且k≠0． （2）∵AB=2是方程的根， ∴4k-8+2=0, 解得k=， 则原方程为， 解得， ∴BC的长为． 【点睛】本题考查一元二次方程的根的判别式，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 20. 解下列方程 （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． （1）利用直接开平方法解一元二次方程即可． （2）首先计算判别式得到，进而得到原方程的解． 【小问1详解】 解：∵， ∴或， 解得，． 【小问2详解】 解： ∴，， ， ∴， ∴，． 21. 已知关于x的一元二次方程x2-2x+a=0的两实数根x1，x2满足x1x2+x1+x2>0，求a的取值范围． 【答案】 【解析】 【分析】由方程根的个数，利用根的判别式可得到关于a的不等式，可求得a的取值范围，再由根与系数的关系可用a表示出x1x2和x1+x2的值，代入已知条件可得到关于a的不等式，则可求得a的取值范围． 【详解】该一元二次方程有两个实数根， △， 解得：， 由韦达定理可得，， ， ， 解得：， ． 【点睛】本题主要考查根的判别式及根与系数的关系，掌握根的个数与根的判别式的关系及一元二次方程的两根之和、两根之积与方程系数的关系是解题的关键． 22. 已知二次函数的图象顶点为，且过点，求这个二次函数的解析式． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式．根据已知条件设二次函数的解析式是，把代入，进一步求解即可． 【详解】解：∵二次函数的图象顶点为， ∴设二次函数的解析式是， 把代入，得，即， ∴该二次函数的解析式是． 23. 如图，一次函数与轴交点恰好是二次函数与的其中一个交点，已知二次函数图象的对称轴为,并与轴的交点为. (1)求二次函数的解析式； (2)设该二次函数与一次函数的另一个交点为点，连接，求三角形的面积． 【答案】(1) y＝x2−x+1;(2) 【解析】 【详解】试题分析：（1）先求得A的坐标为（，0），设二次函数的解析式为y=ax2+bx+1，二次函数图象的对称轴为x=1，且过A（，0），列出方程组解得a、b的值即可； （2）先求当y=0时，x2−x+1＝0解得x1＝，x2＝，求得B（，0），由解得；，故C（，），即可求得三角形ABC的面积． 试题解析：（1）由已知可得y=x-与x轴交点A的坐标为（，0） ∵二次函数过（0，1） ∴设二次函数的解析式为y=ax2+bx+1 ∵二次函数图象的对称轴为x=1，且过A（，0） 故解得 ∴二次函数的解析式为：y＝x2−x+1； （2）由（1）知函数y＝x2−x+1过A（，0）， 当y=0时，x2−x+1＝0解得x1＝，x2＝， 故B（，0） 由解得；， 故C（，） ∴S△ABC＝×（-）×=． 24. 如图，，在的角平分线上有一点C，将一个角的顶点放在C，它的两边分别与直线交于D、E． （1）当时，猜想与的数量关系，并加以证明（图1） （2）当与不垂直时，（1）中的关系仍成立吗？并说明理由（图2） （3）当绕C点旋转与的反向延长线相交时，上述（1）的猜想仍能成立吗？若不成立，的数量关系又是什么？请写出来并加以证明． 【答案】（1），理由见解析 （2）（1）中的关系仍成立，理由见解析 （3）（1）中的关系不成立，应为，理由见解析 【解析】 【分析】此题是几何变换综合题，主要考查了角平分线的定义和定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理的应用，正确作出辅助线是解本题的关键． （1）先判断出，得出，同理，即可得出结论； （2）同（1）的方法得，再判断出，得出，最后等量代换即可得出结论； （3）同（2）的方法即可得出结论． 【小问1详解】 解：，理由如下： ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∴； 【小问2详解】 （1）中结论仍然成立，理由： 过点C作于F，于G， ∴， ∵， ∴， 同（1）的方法得，， ∴， ∵，且点C是的平分线上一点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 （1）中结论不成立，结论为：， 理由：过点C作于F，于G， ∴， ∵， ∴， 同（1）的方法得，， ∴， ∵，且点C是的平分线上一点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2020～2021学年第一学期九年级期中教学质量评估试卷 数学 （满分150分） 注意事项：1．时间：120分钟 2．请将答案填写在答题卷上．考试结束后，请将试题卷和答题卷一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 若一元二次方程有一个根为1，则下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 2. 若方程 是关于x的一元二次方程，则k的取值范围是(　　) A. B. C. 且 D. k为任意实数 3. 若一元二次方程x2－2x－m＝0无实数根，则一次函数y＝(m＋1)x＋m－1的图象不经过第(　　)象限． A. 四 B. 三 C. 二 D. 一 4. 关于的方程的两个根互为相反数，则值是（ ） A. B. C. 2 D. 5. 、是方程的两个根，则（ ） A. 4 B. 10 C. D. 6. 若二次函数的对称轴为直线，则（ ） A. 3 B. C. 6 D. 7. 已知二次函数的图象如图所示，则①；②；③；④，其中正确的个数有（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 当﹣2≤x≤1，二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，则实数m值为（　　） A. B. 或 C. 2或 D. 2或或 9. 如图，四边形为正方形，E、B、C共线，把绕A点逆时针方向旋转到处，F在上，连，则①旋转角度为；②；③为等腰直角三角形；④，其中正确的是（ ） A. ①② B. ②③④ C. ①②③ D. ①②③④ 10. 已知关于原点的对称点在第一象限内，则m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 不存在 二、填空题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 11. ，，且A，关于M对称，点M的坐标为______． 12. 如图．边长为1的两个正方形互相重合，按住其中一个不动，将另一个绕顶点A顺时针旋转45°，则这两个正方形重叠部分的面积是_____． 13. 已知的两根为2，3，则的两个根分别为_____． 14. 若函数的图象与坐标轴有三个交点，则的取值范围是______． 15. 已知方程，则的值为_________． 16. 已知二次函数为常数，当时，函数值y的最小值为，则m的值是_________. 17. 已知抛物线的图象如图，其图象过，则的取值范围为______． 18. 将绕着旋转，得到，设A的对应点为，已知，则的坐标为______． 三、解答题 19. 已知关于x的一元二次方程kx2-4x+2=0有实数根． （1）求k的取值范围； （2）若△ABC中，AB=AC=2，AB、BC的长是方程kx2-4x+2=0的两根，求BC的长． 20. 解下列方程 （1） （2） 21. 已知关于x的一元二次方程x2-2x+a=0的两实数根x1，x2满足x1x2+x1+x2>0，求a的取值范围． 22. 已知二次函数的图象顶点为，且过点，求这个二次函数的解析式． 23. 如图，一次函数与轴交点恰好是二次函数与的其中一个交点，已知二次函数图象的对称轴为,并与轴的交点为. (1)求二次函数的解析式； (2)设该二次函数与一次函数的另一个交点为点，连接，求三角形的面积． 24. 如图，，在的角平分线上有一点C，将一个角的顶点放在C，它的两边分别与直线交于D、E． （1）当时，猜想与的数量关系，并加以证明（图1） （2）当与不垂直时，（1）中的关系仍成立吗？并说明理由（图2） （3）当绕C点旋转与的反向延长线相交时，上述（1）的猜想仍能成立吗？若不成立，的数量关系又是什么？请写出来并加以证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $