专题3.4曲线与方程（高效培优讲义）数学湘教版2019选择性必修第一册

丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题3.4曲线与方程 内容概览 教学目标、教学重难点 知识点01求轨迹方程的方法待定系数法 知识点02求轨迹方程的方法直接法 题型01曲线与方程概，念 题型02求轨迹方程的方法待定系数法 知识点03求轨迹方程的方法参数法 题型03求轨迹方程的方法直接法 3.4曲线与方程 题型04求轨迹方程的方法参数法 题型05求轨迹方程的方法相关点法 知识点04求轨迹方程的方法相关点法 题型06求轨迹方程的方法交轨法 题型07求轨迹方程的方法几何法 知识点05求轨迹方程的方法交轨法 题型08轨迹方程的应用 知识点06求轨迹方程的方法几何法 知识点07轨迹方程的应用 教学目标、教学重难点 1、 理解、掌握曲线与方程的概念： 教学目标 2、掌握求轨迹方程的方法： 1、重点：曲线与方程的概念，求轨迹方程的常用方法： 教学重难点 2、难点：求轨迹方程的方法： 知识清单 知识点01曲线与方程 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线C(看作满足某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程 f&y)=0的实数解建立了如下关系： (1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解： (②)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点。 那么，这个方程叫作曲线的方程，这条曲线叫作方程的曲线， 【即学即练1-1】(24-25高二下·上海·期中)已知曲线C上点的坐标都是方程F(x,)=0的解，则下列命题中 正确的是() A.曲线C是方程F(x,)=0的解 B.不在曲线C上的点的坐标一定不是方程F(x,y)=0的解 C.凡坐标不满足方程F(x,)=O的点都不在曲线C上 D.以方程F(x,)=0的解为坐标的点都在曲线C上 第1页共20页 而学科网·上好课 www zxx k com 上好每一堂课 【即学即练12】(2025广东佛山.二模在平面直角坐标系x0y中，曲线：日+1的周长为) 43 A.12 B.14 C.16 D.20 知识点02求轨迹方程的方法待定系数法 如果动点P的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方 程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程，也有人将此方法称为定义法。 【即学即练2-1】(25-26高二上·全国·单元测试)已知点A(-1,0),B(1,0),动点P(xy)满足PA+PB=4, 则动点P的轨迹方程是() A.+y=1 c.x+=1 D.+-1 43 3 2 【即学即练2-2】(24-25高二上江苏期中)方程W(x+6)+y2-V(x-V6+y=4的化简结果为() B.上=1 C.x2 =1 D.y -=1 42 42 62 168 知识点03求轨迹方程的方法直接法 如果动点P满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点P所满足的几何上的等量关系，再用点P的坐标 (&,y)表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。 直接法求解过程： (1)建系：建立适当的坐标系 (②)设点：设轨迹上的任一点P(x,y) (3)列式：列出有限制关系的几何等式 (4)代换：将轨迹所满足的条件用含x,y的代数式表示， (⑤)检验：对某些特殊值应另外补充检验 【即学即练3-1】(24-25高二上山东阶段练习)动点M(x,y)与定点F(3,0)的距离和它到定直线1：x=4的距离 的比是，则动点M的轨迹方程为() ®若51c若苦1 【即学即练32】2025高三全国，专题练习)已知椭圆c:亡+上=1的上、下顶点分别为4,4，点P为C 84 上异于A,A的任意一点，若2满足QA·AP=0,QA·A,P=0,则点2的轨迹方程为) A号若-0B若苦-*0c号若-0)0，若号-0 36 63 第2页共20页 而学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 知识点04求轨迹方程的方法参数法 如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点P运动的某个几何量，以此量作为参变数，分别 建立P点坐标x,y与该参数t的函数关系泰侣：，进 ,进而通过消参化为轨迹方程F(8,y=0。 有时不容易得出动点应满足的几何条件，也无明显的相关点，但却较容易发现（或经分析可发现）该动点常常 受到另一个变量（角度，斜率，比值，截距或时间等的制约，即动点坐标(x,y)中的xy分别随另一变量的变 化而变化，我们称这个变量为参数，由此建立轨迹的参数方程，这种方法叫参数法，进而通过消参化为轨 迹的普通方程F(x,y)=O, 参数法求解过程： (1)选择坐标系，设动点坐标P(x,y): (②)分析轨迹的己知条件，引入参数（选择参数时要考虑，既要有利于建立方程又要便于消去参数）： (3)用此参数分别表示动点的横纵坐标x,y;建立参数方程： (4)消去参数得到关于x,y的普通方程，即为所求轨迹方程： (⑤)判断轨迹方程中的限制条件： (⑥讨论并判断轨迹。 【即学即练4】(24-25高二上·安徽蚌埠期末)已知圆心在x轴上移动的圆经过M(-4,0),且与x轴，y轴分 别交于A,B两个动点，过A,B分别作x轴，y轴的垂线，两条垂线的交点记为P,则点P的轨迹为) A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 知识点05求轨迹方程的方法相关点法 如果动点P的运动是由另外某一点P的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程）， 则可以设出P(x,y),用(x,y)表示出相关点P'的坐标，然后把P'的坐标代入己知曲线方程，即可得到动点P的轨 迹方程.（也称代入法） 相关点法求解过程： 第一步：设所求轨迹的点M(x,y),曲线上的动点Q(x。,y): 第二步：找出M(,)与2(，，)的关系，由x,y表示，，即 %=g(x,y)9 第三步：Q(o,yO)满足已知的曲线方程，将x,yo代人，消去参数.对于不符合条件的点要注意取舍 【即学即练5-1】(24-25高二上广东梅州期末)线段AB的长度为3，其两个端点A和B分别在x轴和y轴上 滑动，则线段AB上靠近点A的三等分点的轨迹方程为() A.2+y2=9 8.+-1 C. D. =1 94 4+2=1 49 1 【即学即练5-2(24-25高二下·湖北黄石·阶段练习)已知F是抛物线y=二x2的焦点，P是该抛物线上一动点， 4 则线段PF的中点E的轨迹方程是(). 第3页共20页 而学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 Ag-28 8.2=2- 16 C.x2=2y-1 D.x2=2y-2 知识点06求轨迹方程的方法交轨法 若动点Px,y)是两条动曲线的交点，则联立两动曲线方程，将参数消去，得到关于xy的不含参数的方程， 即为两动曲线交点P的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做交轨法。 【即学即练6】(2025河南模拟预测)若过点A(1,1)的直线l与抛物线T:y2=4x交于B,C两点，以B,C为切 点分别作下的两条切线，则两条切线的交点的轨迹方程为 知识点07求轨迹方程的方法几何法 若所求的轨迹满足某些几何性质（如线段的垂直平分线，角平分线的性质等），可以用几何法，列出几何式， 再代入点的坐标较简单。 【即学即练7】(24-25高三上辽宁·期末)已知A(-3,0),B(3,0),O为坐标原点，点N是圆0：x2+y2=4上 任意一点，点M是圆O外一点，若∠AN=∠BMN,MN⊥BN,则点M的轨迹方程为) A子若==0B号苦00)c羊芳=w=0)0号-号==0 题型精讲 题型01曲线与方程概念 【典例1-1】(24-25高二上全国课堂例题)已知坐标满足方程f(x,y)=0的点都在曲线C上，那么() A.曲线C上的点的坐标都满足方程f(xy)=0 B.坐标不满足∫(x,y)=0的点都不在曲线C上 C.不在曲线C上的点的坐标必不满足∫(x,y)=0 D.不在曲线C上的点的坐标有些满足∫(x,y)=0,有些不满足f(x,y)=0 【典例1-2(24-25高二上上海阶段练习)数学中有许多寓意美好的曲线，曲线C:(x2+y2)=4x2y2被称为“四 叶草玫瑰线”（如图），现给出下列三个结论：正确的是() ①曲线C关于直线y=-x对称： ②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过1； ③存在一个以原点为中心.边长√2的正方形，使曲线C在此方形区域内（含边界） 第4页共20页 而学科网·上好课 www zxx k com 上好每一堂课 A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 【典例1-31（多选）(2025湖南长沙模拟预测)曲线E:x2+(y-k)=1是一条形似的“比心曲线”设点P(xy) 是E上一个动点，且它与x轴交于A,B两点，与y轴交于C,D两点，则() A.点(-1，-1)和点 都在曲线E上B.-1≤x≤1且-1≤y≤√2 C.在E上存在点P,使Ss=1 D.对于E上任意点P,有PC+PD≤2W3 I变式1-1】(23-24高二上·上海·期末)已知坐标满足方程F(x,y)=0的点都在曲线C上，则下列命题中正确 的是() A.曲线C上的点的坐标都适合方程F(x,y)=0 B.不在曲线C上的点的坐标必不适合方程F(x,y)=0 C.凡坐标不适合方程F(x,y)=0的点都不在曲线C上 D.不在曲线C上的点的坐标有些适合方程F(x,y)=0 【变式1-2】(2024福建·模拟预测)设曲线D的方程为3+by3=y(a,b为系数)，则() A.曲线D一定经过第一象限 B.当a=0,曲线D可能为抛物线 C.曲线D一定经过第三象限 D.当a=b,曲线D一定关于直线y=x对称 【变式1-3】(24-25高二上贵州铜仁阶段练习)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(-2,0),B(2,0),P是 一个动点，则下列说法正确的是() A.若PA+PB=4,则点P的轨迹为椭圆 B.若PA+PBPA-PB,则点P的轨迹为圆 C.若PA-PB=2,则点P的轨迹为双曲线D.若PA2-PBP=4,则点P的轨迹为一条线段 【变式1-4】(24-25高二上·上海·期末)在平面直角坐标系xOy中，动点P(x,y)到两个定点耳(0，-1)，F(0,1) 的距离之积等于4，则下列命题中正确的个数是() ①曲线C关于x轴对称；②x的最大值为2；③P+PF的最小值为4√：④OP的最大值为√5 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【变式1-5】（多选）25-26高二上·全国·单元测试)已知坐标满足方程F(x,y)=0的点都在曲线C上，则下列结 论不正确的是() A.F(x,y)=O所表示的曲线是C B.曲线C上的点的坐标都适合方程F(x,y)=0 第5页共20页 而学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 C.不在C上的点的坐标必不适合方程F(x,y)=0D.不适合F(x,y)=0的点都不在C上 【变式1-6】(25-26高二上全国课前预习)设曲线C的方程为：F(x,y)=0,一般有如下规律： ①如果以-y代替y,方程保持不变，那么曲线关于 对称： ②如果以-x代替x,方程保持不变，那么曲线关于 对称： ③如果同时以-x代替x,以y代替y,方程保持不变，那么曲线关于 对称. 题型02求轨迹方程的方法待定系数法 【典例2-1】(25-26高三上·贵州阶段练习)长为1的线段AB的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动， 则点B关于点A的对称点M的轨迹方程为) 4+y2=1 A. B.2 +x2=1 c.+y2 =1 D.v2 x =1 4 164 164 I典例2-2I(2025·山东泰安.模拟预测)在平面直角坐标系中，△ABC满足A(-1,0),B1,0),G、I分别为VABC 的重心、内心，若GIx轴，则点C的轨迹方程为 【典例2-3】(24-25高三上河北期中)已知圆O:x2+y2=4,点P(0,),点Q在圆O上运动，线段PQ的中垂 线与O2交于点M,则点M的轨迹方程为) 2 3 【变式2-1】(24-25高二上·浙江宁波期中)若点P到直线x=-1和它到点(1,0)的距离相等，则点P的轨迹方 程为) A.x'=y B.y2=x C.x=4v D.y2=4x 【变式2-21(24-25高二下·云南·期末)已知动圆C与圆(x-2)2+y2=25内切，同时与圆(x+2)2+y2=1外切， 则动圆C的圆心轨迹方程为) A x 25+y2=1 0. 【变式2-3】(2024内蒙古赤峰·三模)已知点O(0,0),A(-4,0),B(4,0),设点M满足MA-MB=4,且M为 函数y=√2V8-x2图象上的点，则OM=() A.V65 B.2W65 c.213 D.413 5 5 5 第6页共20页 而学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【变式2-4】(2025高三·全国.专题练习)已知定点耳(3,0)，耳，(3,0)，平面上满足下列斜率关系的动点P的 轨迹是椭圆的是() A.kps'kps.=-1 B.ksks=1C.kps·ks=-2 D.kerkes =2 【变式2-5】(2025云南昆明.一模)已知点E(√2,0)，E(W2,0),动点P满足P-PF=2,当点P的纵坐 标是；时，点P到坐标原点的距离是() A.6 3 c.5 D.1 2 2 【变式2-6】(24-25高二上四川成都期中)设向量5=(x,y+1),i=(y-1x)k,yeR),满足+日=4.则 点M(x,y)的轨迹C的方程是() A. x+少=1 B. c.+-1 D. 43 4+y2=1 43 号 题型03求轨迹方程的方法直接法 【典例3-1】(2025黑龙江大庆模拟预测)设A,B两点的坐标分别为(-2,0)，(2,0)，直线AM,BM相交于点 哑且它们的斜率之积是，则点M的轨迹方程为 A.是+2-10x≠士2 B.广=10t2c.父+=10x≠士2)D.-号=w*2 1612 1612 43 43 【典例3-212425高二上河南南阳：阶段练习)动点M(化，)与定点F(4,0)的距离和M到定直线1：x=2的 4 距离的比是常数专，则动点M的轨迹方程是() A.t上=1B+ 2516 25=1C1D.x 16+71 【典例3-3】(2025高三·全国专题练习)已知定点A(3,0),定直线x=6,动点P到定直线的距离为PW,平 面上满足下列条件的动点P的轨迹为椭圆的是() A.PN PA=6 B.PN PA=16 C.PN=2 PA D.2 PN=PA 凰变式31】(24-25高二上·湖南长沙.期中)已知A,B两点的坐标分别是(-1,0)，(1,0)，直线AM,BM相交于点 M,且直线AM的斜率与直线BM的斜率的差是2，则点M的轨迹方程为() A.y=-x2+1(x≠±1)B.y=x2+1(x≠±1)C.x=-y2+1(y≠±1)D.x=y2+1(y≠±1) 第7页共20页 而学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【变式32】(2024浙江一模)双曲线的另一种定义：动点M(x,y)与定点F(c,0)的距离和它与定直线1： x=￠的距离的比是常数C(0<a<c),则点M的轨迹是一个双曲线.动点M与定点F(V5,0)的距离和它与 C a 定直线1：x=5的距离的比是5，则点M的轨迹方程为州) 3 A. -x=1B.x-父=1c. 2=1D.y2 =1 2 2 2 【变式3324-25高二上江西南昌·期末)在平面直角坐标系xOy中，动点P与两个定点耳(-1,0)和F,(1,0)连 线的斜率之积等于1，记点P的轨迹为曲线E,直线1：y=k(x-√2)与E交于A,B两点，则下列结论中 正确的是() A.E的方程为x2-y2=1 B.E的离心率为√3 C.E的渐近线与圆(x-2)2+y2=2相切 D.满足AB=2的直线1有2条 I变式34】(24-25高三下·湖南长沙阶段练习)设F(1,0),点M在x轴上，点N在y轴上，且 MN=NP,M.NF=0,当点N在y轴上运动时，点P的轨迹方程为) A.y=分 1 B.v2=x C.y2=2x D.y2=4x 4 【变式35】（多选）(24-25高三上广东·开学考试)设A,B两点的坐标分别是(-1,0)，(1,0)，直线AM,BM相交 于点M,设直线AM、BM的斜率分别为k、k2,下列说法正确的是() A当k。时，点M的轨迹是椭圆的一部分 B。当-音时，点M的轨迹是双曲线的一部分 C.当k-k2=2时，点M的轨迹是抛物线的一部分 D.当飞+k2=2时，点M的轨迹是椭圆的一部分 【变式36】（多选）2025高三全国·专题练习)（多选）已知点9在圆F:(x-2)+y2=1上，A(-2,0),动点P(纵 坐标不为O)满足tan∠PAF=sin∠PFA,则) A.点P的轨迹方程为y2=8x(x≠0) B.∠PAg的最大值为写 \P PA 的最小值是 D.A9+4O9(点O为坐标原点)的最小值为7 第8页共20页 而学科网·上好课 www zxx k com 上好每一堂课 题型04求轨迹方程的方法参数法 【典例42025高三全国，专愿练习)椭圆二+ b2 a2+b2 =1上的两点P,0,0为原点，连接OP,O9,若kopk2=- a 则线段PQ中点M的轨迹方程为· 【变式411(2025黑龙江辽宁·模拟预测)若圆C:x2+y2-6x=0上恰有三个点到直线x+by+1=0(a≠0，b≠0) 的距离为1，则动点(5a+3,5b)的轨迹方程是() A号苦1B新516球1。 45 变式42】(24-25高二下·上海·期末)坐标平面xOy上的点P(x,y),将点P(x,y)绕原点O逆时针旋转&后 x'=xcosa-ysina 得到点P'(x,y)这个过程称之为旋转变换，已知旋转变换公式： ,将曲线C: y'=xsina+vcosa 心+y-y=3绕原点O顺时针旋转元后得到曲线E,则曲线E的方程为） A.+上=1 2+6 B.y2 x2 v2 十 =1 C.x2 y2 =1 D. 62 86 461 题型05求轨迹方程的方法相关点法 全国专题练习已知稀圆+1a>b>0)的左、右焦点影 圆上任意一点，则P耳的中点的轨迹是() A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.圆 【典例5-2】(24-25高三上.宁夏石嘴山·期中)己知Rt△ABC的斜边为BC,且B(-2,0),C(2,0),则直角边AC 中点M的轨迹方程是() A.x2+y2-2x=0 B.x2+y2+2x=0y≠0) C.x2+y2-2x=0(x≠0且x≠2) D.x2+y2+2x=0(x≠0且x≠-2) I典例5-3】(24-25高二下.上海期中)在平面直角坐标系中，O为原点，P为曲线x3+y3=8上一动点，则线 段OP的中点轨迹方程为 凰变式511(2025江苏南京.三模)已知曲线C:x2+y2=8(y>0),从C上任意一点P向x轴作垂线段PP,P 为垂足，则线段PP'的中点M的轨迹方程为) A营+号-0>0)8营若-6>0c若+号0>00营号 8+4=10y>0) 第9页共20页 而学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【变式52】(24-25高二上山东菏泽期中)已知曲线x2+y2=16,从曲线上任意一点P向y轴作垂线，垂足 为严，且网-P,则点N的锐迹方程为) A. =1 C. 0.x+=1 169 916 6*=1 16 【变式53】(24-25高二下海南海口期中)在圆x2+y2=4上任取一点P,过点P作y轴的垂线段PD,D为 垂足.当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹方程（当点P经过圆与y轴的交点时，规定点M与点P 重合)为) +x=1 A. B. 4+2=1 C.x D. 2+y=1 4 16*4=1 164 【变式54】(24-25高二上河南周口期末)已知长为6的线段AB的两端点A,B分别在x轴和y轴上，点Q满 足AO=5OB,则关于点Q的轨迹，下列说法正确的是() A.点Q的轨迹是焦点在x轴上的椭圆 B.点Q的轨迹是短轴长为1的椭圆 c.点Q的轨迹是离心率为3的椭圆 D.点Q的轨迹是长轴长为10的椭圆 2 【变式55】(24-25高二上江苏南通阶段练习)如图，DP⊥x轴，垂足为D,点M在DP的延长线上，且 DM3 D月。，当点P在圆产+y=4上运动时，点M的轨迹方程为一 A 【变式56】(2024江苏南通.二模)已知抛物线C:y2=4x,过点(4,0)的直线与抛物线交于A,B两点，则线 段AB中点M的轨迹方程为 题型06求轨迹方程的方法交轨法 〖典例6】(24-25高二上河北廊坊·期末)如图，矩形ABDC中，A(0,V3),B(0,-√5)，C(3,V3),E(3,0),点 M在线段CE上，点N在转的非负半箱上，且C0-1,则与N的交点的执迹所在的 线方程为 ·(注：可不用标注范围) 第10页共20页丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题3.4曲线与方程 内容概览 教学目标、教学重难点 知识点01求轨迹方程的方法待定系数法 知识点02求轨迹方程的方法直接法 题型01曲线与方程概，念 题型02求轨迹方程的方法待定系数法 知识点03求轨迹方程的方法参数法 题型03求轨迹方程的方法直接法 3.4曲线与方程 题型04求轨迹方程的方法参数法 题型05求轨迹方程的方法相关点法 知识点04求轨迹方程的方法相关点法 题型06求轨迹方程的方法交轨法 题型07求轨迹方程的方法几何法 知识点05求轨迹方程的方法交轨法 题型08轨迹方程的应用 知识点06求轨迹方程的方法几何法 知识点07轨迹方程的应用 教学目标、教学重难点 1、 理解、掌握曲线与方程的概念： 教学目标 2、掌握求轨迹方程的方法： 1、重点：曲线与方程的概念，求轨迹方程的常用方法： 教学重难点 2、难点：求轨迹方程的方法： 知识清单 知识点01曲线与方程 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线C(看作满足某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程 f&,y)=0的实数解建立了如下关系： (1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解： (②)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点。 那么，这个方程叫作曲线的方程，这条曲线叫作方程的曲线， 【即学即练1-1】(24-25高二下·上海·期中)已知曲线C上点的坐标都是方程F(x,)=0的解，则下列命题中 正确的是() A.曲线C是方程F(x,)=0的解 B.不在曲线C上的点的坐标一定不是方程F(x,y)=0的解 C.凡坐标不满足方程F(x,y)=0的点都不在曲线C上 D.以方程F(x,)=0的解为坐标的点都在曲线C上 【答案】c【难度】0.94 第1页共57页 而学科网·上好课 www zxx k com 上好每一堂课 【知识点】曲线与方程的概念、写出原命题的逆命题及真假判断、写出原命题的逆否命题及真假判断 【分析】利用曲线的意义判断A:利用互逆关系、互逆否关系命题的真假关系判断BCD 【详解】对于A,曲线C是点的集合，集合中的每个元素对应的坐标是方程F(x,y)=0的解， 不能说成曲线C是方程F(x,y)=O的解，A错误： 对于BD,不在曲线C上的点的坐标一定不是方程F(x,y)=0的解，等价于方程F(x,y)=O的解 为坐标的点都在曲线C上，它是命题“曲线C上点的坐标都是方程F(x,y)=0的解”的逆命题， 而互逆的两个命题不一定同真同假，BD错误： 对于C,坐标不满足方程F(x,)=0的点都不在曲线C上，等价于 “曲线C上点的坐标都是方程F(x,y)=0的解”，C正确.故选：C 【即学即练1-2】(2025-广东佛山，二模)在平面直角坐标系x0y中，曲线C:国+=1的周长为) 43 A.12 B.14 C.16 D.20 【答案】D【难度】0.85【知识点】由方程研究曲线的性质、直线截距式方程及辨析 【分析】曲线C:+1去绝对值得四条线段，然后根据距离公式分别求出四条线段的长度，即可得解。 43 x20 x≥0x≤0 x≤0 【详解】曲线C: 国+以=1等价于20或≤0或20。或0， 43 后皆1后号11=1 x≥0 对于{y≥20表示以(4,0)和(0,3)为顶点线段，其长度为√4+32=5， x20 对于y≤0表示以(4,0)和(0，-3)为顶点线段，其长度为V42+(-3)2=5, x卫=1 43 x≤0 对于{y≥0 表示以(-4,0)和(0,3)为顶点线段，其长度为V(-4)2+32=5, x≤0 对于≤0表示以(-4,0)和(0，-3)为顶点线段，其长度为V(-4)+(3)}=5, 所以曲线C:国+=1的周长为4×5=20.故选：D 43 知识点02求轨迹方程的方法待定系数法 如果动点P的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方 程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程，也有人将此方法称为定义法。 【即学即练2-1】(25-26高二上·全国.单元测试)已知点A(-1,0),B(1,0),动点P(x,y)满足PA+PB=4, 则动点P的轨迹方程是() 第2页共57页 而学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B.父+=1 =1 42 3 D. 【答案】A【难度】0.85【知识点】轨迹问题一一椭圆 【分析】由题可得动点P的轨迹是椭圆，即可求出动点P的轨迹方程. 【详解】由题设知PA+PB=4>AB=2,所以动点P的轨迹是椭圆，且焦点在x轴上， 段椭圆方程为。+a>6>0,则2a=4,c五 所以a=4,62=心-c2-3,故所求轨迹方程为苦+号-1枚选：A 【即学即练2-2】(24-25高二上江苏·期中)方程V(x+V6)2+y2-√(x-√6)2+y2=4的化简结果为() A.-上=1 8.y2x2 =1 C.x2y =1 D. -=1 42 42 62 168 【答案】A【难度】0.85【知识点】求双曲线的轨迹方程 【分析】由条件利用双曲线的定义、标准方程，求得双曲线的标准方程。 【详解】根据Vx+V6)2+y2-Vx-⑤2+y2卡4， 可得点(xy)到点F（-V6,0),E,（√6,0)的距离差的绝对值等于2a=4<26, 结合双曲线的定义知，点（化y)的轨迹是以E(-√6,0），E(V6,0)为焦点的双曲线， 2a4,则a=2,c6,所以0=2-心=2，心=4，枚方程为：年1，故选：A 知识点03求轨迹方程的方法直接法 如果动点P满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点P所满足的几何上的等量关系，再用点P的坐标 (8,y)表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。 直接法求解过程： (1)建系：建立适当的坐标系 (②)设点：设轨迹上的任一点P(x,y) (3)列式：列出有限制关系的几何等式 (4)代换：将轨迹所满足的条件用含x,y的代数式表示， (⑤)检验：对某些特殊值应另外补充检验， 【即学即练31】(24-25高二上山东阶段练习)动点M(x,)与定点F(3,0)的距离和它到定直线1：x=的距离 的比是；，则动点M的轨迹方程为() 8.￥-上=1 45 c号1 0.-1 【答案】B【难度】0.85【知识点】求双曲线的轨迹方程【分析】利用直接法求解 V(x-3)+y2 3 【详解】解：由题意可得 k-4 化简得上=1.故选：B 45 3 第3页共57页 而学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【即学即练3212025高三全国专题练习)已知椭圆C:亡+上=1的上、下顶点分别为4,4，点P为C 8+4 上异于A,A,的任意一点，若9满足QA·AP=0,QA,·A,P=0,则点9的轨迹方程为) A若+若-x*08年+5-1e=0 24 c.+上=1(x≠0)D.+2 36 6+3-1(x≠0) 【答案】A【难度】0.65【知识点】轨迹问题一一椭圆、求平面轨迹方程 【分析】设P(66≠0)，得k=2,设Qx川，结合@44亚=0,4P-0,得到 kg4k4,=-2,代入得到点Q的轨迹方程. 【详解】设P(x,%)(x,≠0)，由已知得A(0,2),A(0,-2), +7-Ta=b帽"T 8 4 62 设Q(xy),因为QAAP=0,QA·AP=0,所以k4k%=-1,kg4k4,=-1, 所以k44名4k4=1,所以-ek4=1,所以4e4=2, 因此2-y.2-y=-2,即广4=-2，所以点2的轨迹方程为亡+上 -x 2 2+4=1(x≠0).故选：A A 知识点04求轨迹方程的方法参数法 如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点P运动的某个几何量t,以此量作为参变数，分别 健立P点丝标x,y与该参数t的函数关系。伦，进而通过消参化为轨迹方程心，)=0 有时不容易得出动点应满足的几何条件，也无明显的相关点，但却较容易发现（或经分析可发现）该动点常常 受到另一个变量（角度，斜率，比值，截距或时间等）的制约，即动点坐标(x,y)中的x,y分别随另一变量的变 化而变化，我们称这个变量为参数，由此建立轨迹的参数方程，这种方法叫参数法，进而通过消参化为轨 迹的普通方程F(x,y)=0. 参数法求解过程： 1)选择坐标系，设动点坐标P(x,): (②)分析轨迹的已知条件，引入参数（选择参数时要考虑，既要有利于建立方程又要便于消去参数）： (3)用此参数分别表示动点的横纵坐标x,y;建立参数方程； (4)消去参数得到关于x,y的普通方程，即为所求轨迹方程： (⑤)判断轨迹方程中的限制条件： (⑥讨论并判断轨迹。 第4页共57页 而学科网·上好课 www zxx k com 上好每一堂课 【即学即练4】(24-25高二上·安徽蚌埠期末)已知圆心在x轴上移动的圆经过M(-4,0),且与x轴，y轴分 别交于A,B两个动点，过A,B分别作x轴，y轴的垂线，两条垂线的交点记为P,则点P的轨迹为) A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 【答案】D【难度】0.65【知识点】求抛物线的轨迹方程、由圆心（或半径）求圆的方程【分析】设圆心坐标 为(a,0),得到圆的方程为(x-a)+y2=(a+4),再分别令y=0和x=0求得点P的坐标求解. 【详解】设圆心坐标为(a,0),则圆的方程为(x-a)+y2=(a+4), 令y=0,得x=-4或x=2a+4,则A(2a+4,0), 令x=0,得y2=8a+16,则B(0,±V8a+16, 所以P(2a+4,±V8a+16）,所以y2=4x,所以点P的轨迹为抛物线，故选：D 知识点05求轨迹方程的方法相关点法 如果动点P的运动是由另外某一点P'的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某己知曲线方程）， 则可以设出P(x,y),用(x,y)表示出相关点P'的坐标，然后把P'的坐标代入己知曲线方程，即可得到动点P的轨 迹方程.（也称代入法） 相关点法求解过程： 第一步：设所求轨迹的点M(x,y),曲线上的动点2(x。,): 第二步：找出4(x,)与2(。)的关系，由x,y表示x,即。= 。=g(,y); 第三步：Q(Xo,yo)满足己知的曲线方程，将xo,yo代人，消去参数.对于不符合条件的点要注意取舍， 【即学即练5-1】(24-25高二上广东梅州期末)线段AB的长度为3，其两个端点A和B分别在x轴和y轴上 滑动，则线段AB上靠近点A的三等分点的轨迹方程为() A+2-号 c牙- 0.+上1 49 【答案】C【难度】0.65【知识点】轨迹问题-一椭圆 【分析】设点A(x,0)、B(O,y。),设线段AB上靠近点A的三等分点为P(x,y),根据AB=3AP结合平面 向量的坐标运算得出 =2X,再代入4AB=9化简即可得出点P的轨迹方程， =3y 【详解】设点A(x。,0)、B(O,y,),设线段AB上靠近点A的三等分点为P(x,y), 由题意可得AB=34亚，则(-，%)=3(x-x,y), 所以， 3(x-)=-x ,所以， x0= 2才 3y=% y。=3y 3(-9.化简得+1 2 则AB=6+听= 第5页共57页 而学科网·上好课 www zxx k com 上好每一堂课 散线段AB上靠近点A的三等分点的轨迹方程为。+)yP=1,放远：G 【即学即练52124-25高二下湖北黄石：阶段练习)已知r是抛物线y=x的焦点，P是该抛物线上一动点， 4 则线段PF的中点E的轨迹方程是(). A.2=2y-1 8 B.x2=2y-1 C.x2=2y-1 D.x2=2y-2 16 【答案】C【难度】0.65【知识点】求平面轨迹方程、根据焦点或准线写出抛物线的标准方程 【分析】求出F(0,1),设P(xo,y。),PF的中点E(x,y),从而得到方程组，利用代入法求出轨迹方程. 【详解】抛物线y=}x的标准方程是x2=4y,故F(0,1), 设P(xo,y),PF的中点E(x,y), [0+x0=x 2 1+0=y P{.=2y-1因为=4。：所以(22=42-)，即2=2y-1.故选：c ∫x。=2x 2 知识点06求轨迹方程的方法交轨法 若动点P(x,y)是两条动曲线的交点，则联立两动曲线方程，将参数消去，得到关于xy的不含参数的方程， 即为两动曲线交点P的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做交轨法。 〖即学即练6】(2025河南模拟预测)若过点A(1,1)的直线l与抛物线T:y2=4x交于B,C两点，以B,C为切 点分别作了的两条切线，则两条切线的交点的轨迹方程为」 【答案】2x-y+2=0【难度】0.85【知识点】求平面轨迹方程、求抛物线的切线方程 【分析】设出直线方程，利用韦达定理可求两条切线的交点的轨迹方程 【详解】设1的方程为x=y+1-k),代入y2=4x中，整理得y2-4y-41-)=0, 设B等为，C笑小则+%=4k=40-), 由意过点：的切线斜率存在且不为0，设为-y人等)】 联立 少》 4,得y-y-+y,=0,由△=0可得(，-2=0，即k=二 y2=4x 4 所以切线方程为2x-少+号=0，同理可得过点C的切线方程为2x-,y+兰=0. 2 2 第6页共57页 而学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 x==k-1 联立解得 4 =42=26, 消去k,得2x-y+2=0, 2 所以两条切线交点的轨迹方程为2x-y+2=0.故答案为：2x-y+2=0 知识点07求轨迹方程的方法几何法 若所求的轨迹满足某些几何性质（如线段的垂直平分线，角平分线的性质等），可以用几何法，列出几何式， 再代入点的坐标较简单。 【即学即练7】(24-25高三上辽宁期末)已知A(-3,0),B(3,0),O为坐标原点，点N是圆0：x2+y2=4上 任意一点，点M是圆O外一点，若∠AMN=∠BMN,MN⊥BN,则点M的轨迹方程为) A.x 45=16≠0)8.上 =1y≠0)C.4-3=1(0y≠0)D D.上-父=1x≠0) 43 【答案】B【难度】0.65【知识点】求双曲线的轨迹方程、利用双曲线定义求方程 【分析】延长BN交直线AM于点C,连接ON,由条件判断MB=MC且N为BC中点，利用中位线性质 得ON/1AC且QN-4C,从而利用双曲线的定义得点M在以A,s为焦点的双曲线Q上，进而利用双 曲线的标准方程求解轨迹方程即可. 【详解】由题意知，圆O的半径r=2,延长BN交直线AM于点C,连接OW, 因为∠AMN=∠BMN,且MN⊥BN,所以MB=MC,且N为BC中点， 所以oN1AC,且loN=4C, 因此，MA-MB=MA-MC=AC=2OW=4<AB,所以点M在以A,B为焦点的双曲线2上， 设2的方程为若若=1a~06s0),可知2a=4,所以a=2. 又c3,则5=c=5,所以Q的方程为1，即≥2 又点以是倒0外-点。所以时2,40。放所末轨迹方程为手苦10=0放选：。 题型精讲 题型01曲线与方程概念 凰典例1-1】(24-25高二上全国·课堂例题)已知坐标满足方程∫(xy)=0的点都在曲线C上，那么() 第7页共57页 而学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.曲线C上的点的坐标都满足方程∫(x,y)=0 B.坐标不满足∫(xy)=0的点都不在曲线C上 C.不在曲线C上的点的坐标必不满足∫(xy)=0 D.不在曲线C上的点的坐标有些满足∫(x,y)=0,有些不满足f(x,y)=0 【答案】C【难度】0.85【知识点】曲线与方程的概念 【分析】对ABD举反例即可反驳，对C显然根据两者命题之间关系知其正确. 【详解】对ABD,根据题意可以举例方程∫(x,y)=0为x2+y2=1(x>0), 曲线C为单位圆，可知方程表示的曲线为曲线C的一部分， 则曲线C上的点的坐标不是都满足方程∫(xy)=0,故A错误； 坐标不满足f(x,y)=O的点可以在曲线C上，故B错误： 不在曲线C上的点的坐标都不满足∫(x,y)=0,故D错误； 对C,而不在曲线C上的点的坐标必不满足∫(x,y)=0,故C正确.故选：C 【典例1-2(24-25高二上·上海阶段练习)数学中有许多寓意美好的曲线，曲线C:(x2+y2)=4x2y2被称为“四 叶草玫瑰线”"（如图），现给出下列三个结论：正确的是() ①曲线C关于直线y=-x对称： ②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过1： ③存在一个以原点为中心.边长√2的正方形，使曲线C在此方形区域内（含边界） A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 【答案】A【难度】0.65【知识点】由方程研究曲线的性质 【分析】用(-y,-x)替换方程中的(x,y),即可判断①，结合基本不等式代入计算即可判断②，结合②的结 论即可判断③. 【详解】对于①，用(-y,-x)替换方程中的（化，y),方程形式不变，故曲线C关于直线y=-x对称，正确， 对于②，设点P(x,y)是曲线上任意一点，则(x2+y2)=4x2y2, 则点P到原点的距离为V2+y，由(x2+y2)}=4x2y2≤4× x2+y2 2 解得√x2+y2≤1，故正确， 对于③，由②可知，包含该曲线的以原点为圆心的最小的圆的半径为1， 所以最小圆应该是包含该曲线的最小正方形的内切圆，即正方形的边长最短为2，故错误.故选：A 【典例1-3】（多选2025湖南长沙模拟预测）曲线E:x2+(y-x)=1是一条形似的“比心曲线”设点P(x,y) 第8页共57页 而学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 是E上一个动点，且它与x轴交于A,B两点，与y轴交于C,D两点，则() A.点(-1，-1)和点 5都在曲线E上 B.-1≤x≤1且-1≤y≤V2 C.在E上存在点P,使SaB=1 D.对于E上任意点P,有PC+PD≤2W3 【答案】BCD【难度】0.4【知识点】二元二次方程表示的曲线与圆的关系、轨迹问题一一椭圆、点与曲线的 位置关系、曲线与方程的概念 【分析】对于A,将两点分别代入曲线的左侧，判断是否等于右侧即可判断A;对于B,利用不等式即可求 解范围：对于C,注意到当P为 时，△PAB面积刚好为1：对于D,当PC+PD=2V3 时，P的轨迹为椭圆，联立椭圆与曲线方程，可得其交点，画出图形即可判断 【详解1在E中，令=0得19所以（普小，〔停。h因=5， 2 令x=0得y=±1，所以C(0,-1),D(0,1), 曲线E的大致形状如图所示 对于A,将点(-1，-1) (停代入曲线五的方程的左侧可得1P+(2八=521，（停-5号1 所以点(-1，-1)不在曲线E上， 点在曲线上，故A错误： 对于B,令)y=5得2x-221=0,即(V2-=0,所以x=士5 所以直线，万与曲线8交于点（±号万 结合图象可得点P的纵坐标的最大值为√2 由x2+(y-x)=1得x2≤1，所以-1≤x≤1，等号当且仅当y=1成立： 由x2+(y-=1得y≥-V1-x2,所以当x=0时，ym=-1,所以-1≤y≤V2.故B正确： 对TG由选项4.B知，ne,当e为三成9时， △PAB面积的最大值为号刘A8xV万=号×2x5-1,故C正确： 对于D,因为坐标平面内到定点C,D的距离和为2W3的点的轨迹是以C,D为焦点，长轴长为2√3的椭圆 设国方程为若+后e>6>0,由已知a=5,c=1,得-3-1-2，所以椭圆方程为号+号-1 第9页共57页 而学科网·上好课 www zxx k com 上好每一堂课 x2+0-0=1 得9x+4-12y=0,所以3州-2y=0,所以x=士25 故椭圆兮号1与曲线五的交点为25)， 2W535 5,5 如图所示， 3 2 因此曲线E上的所有点都满足故选|PC+PD≤2W3,D正确，故选：BCD, 【变式1-1】(23-24高二上·上海·期末)已知坐标满足方程F(x,y)=0的点都在曲线C上，则下列命题中正确 的是() A.曲线C上的点的坐标都适合方程F(x,y)=0 B.不在曲线C上的点的坐标必不适合方程F(x,y)=0 C.凡坐标不适合方程F(x,y)=0的点都不在曲线C上 D.不在曲线C上的点的坐标有些适合方程F(:,y)=0 【答案】B【难度】0.85 【知识点】曲线与方程的概念、原命题与逆否命题等价性的应用、由圆心（或半径）求圆的方程 【分析】由逆否命题的真假性的关系结合曲线与方程的定义逐一判断即可. 【详解】由于“坐标满足方程F(x,y)=0的点都在曲线C上”与“不在曲线C上的点的坐标必不适合方程 F(x,y)=0"互为逆否命题， 所以“不在曲线C上的点的坐标必不适合方程F(x,y)=0”是正确的，故B对，D错： 对于点集A=(x,y)川F(,y)=x2+y2-1=0U{0,0)}而言， (0,O)不满足F(x,y)=x2+y2-1=0,但它仍然属于在曲线C上（仍然属于点集合A),故A、C错误 故选：B. 《变式1-2】(2024福建模拟预测)设曲线D的方程为3+y3=y(a,b为系数)，则(） A.曲线D一定经过第一象限 B.当a=0,曲线D可能为抛物线 C.曲线D一定经过第三象限 D.当a=b,曲线D一定关于直线y=x对称 【答案】D【难度】0.65【知识点】由方程求曲线的图形、由方程研究曲线的性质 【分析】分别对曲线D的方程中的系数a,b进行赋值，即可排除A,C项，对于B,因a=0时，曲线D表示 直线或抛物线，排除B,对于D,分a,b都等于0和相等但不为0两种情况分析讨论，均能验证曲线D关于 直线y=x对称. 【详解】对于A,当a<0,b=0时，由3+y3=y化简得，x(ax2-y)=0, 则可得，x=0或y=x2,此时曲线D表示y轴或开口向下且顶点在原点的抛物线， 第10页共57页 专题3.4 曲线与方程 教学目标 1、理解、掌握曲线与方程的概念； 2、掌握求轨迹方程的方法； 教学重难点 1、重点：曲线与方程的概念，求轨迹方程的常用方法； 2、难点：求轨迹方程的方法； 知识点01 曲线与方程 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线(看作满足某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程的实数解建立了如下关系： (1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解； (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点。 那么，这个方程叫作曲线的方程，这条曲线叫作方程的曲线. 【即学即练1-1】(24-25高二下·上海·期中)已知曲线上点的坐标都是方程的解，则下列命题中正确的是(   ) A．曲线是方程的解 B．不在曲线上的点的坐标一定不是方程的解 C．凡坐标不满足方程的点都不在曲线上 D．以方程的解为坐标的点都在曲线上 【即学即练1-2】(2025·广东佛山·二模)在平面直角坐标系xOy中，曲线C：的周长为(    ) A．12 B．14 C．16 D．20 知识点02 求轨迹方程的方法 待定系数法 如果动点P的运动规律合乎我们已知的某种曲线(如圆、椭圆、双曲线、抛物线)的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程，也有人将此方法称为定义法。 【即学即练2-1】(25-26高二上·全国·单元测试)已知点，，动点满足，则动点的轨迹方程是(    ) A． B． C． D． 【即学即练2-2】(24-25高二上·江苏·期中)方程的化简结果为(    ) A． B． C． D． 知识点03 求轨迹方程的方法 直接法 如果动点P满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点P所满足的几何上的等量关系，再用点P的坐标表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。 直接法求解过程： (1)建系：建立适当的坐标系 (2)设点：设轨迹上的任一点 (3)列式：列出有限制关系的几何等式 (4)代换：将轨迹所满足的条件用含的代数式表示， (5)检验：对某些特殊值应另外补充检验． 【即学即练3-1】(24-25高二上·山东·阶段练习)动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是，则动点M的轨迹方程为(    ) A． B． C． D． 【即学即练3-2】(2025高三·全国·专题练习)已知椭圆：的上、下顶点分别为，，点为上异于，的任意一点，若满足，，则点的轨迹方程为(    ) A． B． C． D． 知识点04 求轨迹方程的方法 参数法 如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点P运动的某个几何量t，以此量作为参变数，分别建立P点坐标x，y与该参数t的函数关系，进而通过消参化为轨迹方程。 有时不容易得出动点应满足的几何条件，也无明显的相关点，但却较容易发现(或经分析可发现)该动点常常受到另一个变量(角度，斜率，比值，截距或时间等)的制约，即动点坐标中的分别随另一变量的变化而变化，我们称这个变量为参数，由此建立轨迹的参数方程，这种方法叫参数法，进而通过消参化为轨迹的普通方程. 参数法求解过程： (1)选择坐标系，设动点坐标； (2)分析轨迹的已知条件，引入参数(选择参数时要考虑，既要有利于建立方程又要便于消去参数)； (3)用此参数分别表示动点的横纵坐标；建立参数方程； (4)消去参数得到关于的普通方程，即为所求轨迹方程； (5)判断轨迹方程中的限制条件； (6)讨论并判断轨迹。 【即学即练4】(24-25高二上·安徽蚌埠·期末)已知圆心在轴上移动的圆经过，且与轴，轴分别交于两个动点，过分别作轴，轴的垂线，两条垂线的交点记为，则点的轨迹为(    ) A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 知识点05 求轨迹方程的方法 相关点法 如果动点的运动是由另外某一点的运动引发的，而该点的运动规律已知，(该点坐标满足某已知曲线方程)，则可以设出,用表示出相关点的坐标,然后把的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点的轨迹方程.(也称代入法) 相关点法求解过程： 第一步：设所求轨迹的点，曲线上的动点； 第二步：找出与的关系，由表示，即； 第三步：满足已知的曲线方程，将代人，消去参数．对于不符合条件的点要注意取舍． 【即学即练5-1】(24-25高二上·广东梅州·期末)线段的长度为，其两个端点和分别在轴和轴上滑动，则线段上靠近点的三等分点的轨迹方程为(    ) A． B． C． D． 【即学即练5-2】(24-25高二下·湖北黄石·阶段练习)已知F是抛物线的焦点，P是该抛物线上一动点，则线段PF的中点E的轨迹方程是(   )． A． B． C． D． 知识点06 求轨迹方程的方法 交轨法 若动点P(x,y)是两条动曲线的交点，则联立两动曲线方程，将参数消去，得到关于x,y的不含参数的方程，即为两动曲线交点P的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做交轨法。 【即学即练6】(2025·河南·模拟预测)若过点的直线与抛物线交于B，C两点，以B，C为切点分别作的两条切线，则两条切线的交点的轨迹方程为 ． 知识点07 求轨迹方程的方法 几何法 若所求的轨迹满足某些几何性质(如线段的垂直平分线，角平分线的性质等)，可以用几何法，列出几何式，再代入点的坐标较简单。 【即学即练7】(24-25高三上·辽宁·期末)已知，，为坐标原点，点是圆上任意一点，点是圆外一点，若，，则点的轨迹方程为(   ) A． B． C． D． 题型01 曲线与方程概念 【典例1-1】(24-25高二上·全国·课堂例题)已知坐标满足方程的点都在曲线上，那么(    ) A．曲线上的点的坐标都满足方程 B．坐标不满足的点都不在曲线上 C．不在曲线上的点的坐标必不满足 D．不在曲线上的点的坐标有些满足，有些不满足 【典例1-2】(24-25高二上·上海·阶段练习)数学中有许多寓意美好的曲线，曲线被称为“四叶草玫瑰线”(如图)，现给出下列三个结论：正确的是(    )    ①曲线C关于直线对称： ②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过1； ③存在一个以原点为中心.边长的正方形，使曲线C在此方形区域内(含边界) A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【典例1-3】(多选)(2025·湖南长沙·模拟预测)曲线：是一条形似的“比心曲线”.设点是上一个动点，且它与x轴交于A，B两点，与y轴交于C，D两点，则(   ) A．点和点都在曲线E上 B．且 C．在E上存在点P，使 D．对于E上任意点P，有 【变式1-1】(23-24高二上·上海·期末)已知坐标满足方程的点都在曲线C上，则下列命题中正确的是(    ) A．曲线C上的点的坐标都适合方程 B．不在曲线C上的点的坐标必不适合方程 C．凡坐标不适合方程的点都不在曲线C上 D．不在曲线C上的点的坐标有些适合方程 【变式1-2】(2024·福建·模拟预测)设曲线的方程为(，为系数)，则(    ) A．曲线一定经过第一象限 B．当，曲线可能为抛物线 C．曲线一定经过第三象限 D．当，曲线一定关于直线对称 【变式1-3】(24-25高二上·贵州铜仁·阶段练习)在平面直角坐标系中，已知点，，是一个动点，则下列说法正确的是(   ) A．若，则点的轨迹为椭圆 B．若，则点的轨迹为圆 C．若，则点的轨迹为双曲线 D．若，则点的轨迹为一条线段 【变式1-4】(24-25高二上·上海·期末)在平面直角坐标系中， 动点到两个定点，的距离之积等于，则下列命题中正确的个数是(    ) ①曲线关于轴对称；②的最大值为；③的最小值为；④的最大值为 A．个 B．个 C．个 D．个 【变式1-5】(多选)(25-26高二上·全国·单元测试)已知坐标满足方程的点都在曲线上，则下列结论不正确的是(    ) A．所表示的曲线是 B．曲线上的点的坐标都适合方程 C．不在上的点的坐标必不适合方程 D．不适合的点都不在上 【变式1-6】(25-26高二上·全国·课前预习)设曲线C的方程为：，一般有如下规律： ①如果以代替y，方程保持不变，那么曲线关于 对称； ②如果以代替x，方程保持不变，那么曲线关于 对称； ③如果同时以代替x，以代替y，方程保持不变，那么曲线关于 对称． 题型02 求轨迹方程的方法 待定系数法 【典例2-1】(25-26高三上·贵州·阶段练习)长为1的线段的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，则点B关于点A的对称点M的轨迹方程为(   ) A． B． C． D． 【典例2-2】(2025·山东泰安·模拟预测)在平面直角坐标系中，满足，、分别为的重心、内心，若轴，则点的轨迹方程为 . 【典例2-3】(24-25高三上·河北·期中)已知圆，点，点在圆上运动，线段的中垂线与交于点，则点的轨迹方程为(    ) A． B． C． D． 【变式2-1】(24-25高二上·浙江宁波·期中)若点到直线和它到点的距离相等，则点的轨迹方程为(   ) A． B． C． D． 【变式2-2】(24-25高二下·云南·期末)已知动圆与圆内切，同时与圆外切，则动圆的圆心轨迹方程为(   ) A． B． C． D． 【变式2-3】(2024·内蒙古赤峰·三模)已知点， 设点M满足 且M 为函数 图象上的点，则(    ) A． B． C． D． 【变式2-4】(2025高三·全国·专题练习)已知定点，，平面上满足下列斜率关系的动点的轨迹是椭圆的是(    ) A． B． C． D． 【变式2-5】(2025·云南昆明·一模)已知点，，动点满足，当点的纵坐标是时，点到坐标原点的距离是(   ) A． B． C． D． 【变式2-6】(24-25高二上·四川成都·期中)设向量，(x，)，满足．则点的轨迹的方程是(    ) A． B． C． D． 题型03 求轨迹方程的方法 直接法 【典例3-1】(2025·黑龙江大庆·模拟预测)设A，B两点的坐标分别为，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是，则点M的轨迹方程为(   ) A． B． C． D． 【典例3-2】(24-25高二上·河南南阳·阶段练习)动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数，则动点的轨迹方程是(    ) A． B． C． D． 【典例3-3】(2025高三·全国·专题练习)已知定点，定直线，动点到定直线的距离为，平面上满足下列条件的动点的轨迹为椭圆的是(    ) A． B． C． D． 【变式3-1】(24-25高二上·湖南长沙·期中)已知两点的坐标分别是，直线相交于点，且直线的斜率与直线的斜率的差是，则点的轨迹方程为(    ) A． B． C． D． 【变式3-2】(2024·浙江·一模)双曲线的另一种定义：动点与定点的距离和它与定直线：的距离的比是常数，则点的轨迹是一个双曲线.动点与定点的距离和它与定直线：的距离的比是，则点的轨迹方程为(    ) A． B． C． D． 【变式3-3】(24-25高二上·江西南昌·期末)在平面直角坐标系中，动点与两个定点和连线的斜率之积等于，记点的轨迹为曲线，直线：与交于，两点，则下列结论中正确的是(    ) A．的方程为 B．的离心率为 C．的渐近线与圆相切 D．满足的直线有条 【变式3-4】(24-25高三下·湖南长沙·阶段练习)设，点在轴上，点在轴上，且，当点在轴上运动时，点的轨迹方程为(    ) A． B． C． D． 【变式3-5】(多选)(24-25高三上·广东·开学考试)设两点的坐标分别是，直线相交于点，设直线的斜率分别为，下列说法正确的是(    ) A．当时，点的轨迹是椭圆的一部分 B．当时，点的轨迹是双曲线的一部分 C．当时，点的轨迹是抛物线的一部分 D．当时，点的轨迹是椭圆的一部分 【变式3-6】(多选)(2025高三·全国·专题练习)(多选)已知点在圆F：上，，动点(纵坐标不为0)满足，则(    ) A．点的轨迹方程为 B．的最大值为 C．的最小值是 D．(点为坐标原点)的最小值为7 题型04 求轨迹方程的方法 参数法 【典例4】(2025高三·全国·专题练习)椭圆上的两点为原点，连接，若，则线段中点的轨迹方程为 ． 【变式4-1】(2025·黑龙江辽宁·模拟预测)若圆上恰有三个点到直线的距离为1，则动点的轨迹方程是(    ) A． B． C． D． 【变式4-2】(24-25高二下·上海·期末)坐标平面上的点，将点绕原点逆时针旋转后得到点.这个过程称之为旋转变换，已知旋转变换公式：，将曲线：绕原点顺时针旋转后得到曲线，则曲线的方程为(   ) A． B． C． D． 题型05 求轨迹方程的方法 相关点法 【典例5-1】(2025高二·全国·专题练习)已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上任意一点，则的中点的轨迹是(    ) A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆 【典例5-2】(24-25高三上·宁夏石嘴山·期中)已知的斜边为，且，，则直角边中点的轨迹方程是(   ) A． B． C．(且) D．(且) 【典例5-3】(24-25高二下·上海·期中)在平面直角坐标系中，O为原点，P为曲线上一动点，则线段的中点轨迹方程为 ． 【变式5-1】(2025·江苏南京·三模)已知曲线，从上任意一点向轴作垂线段，为垂足，则线段的中点的轨迹方程为(   ) A． B． C． D． 【变式5-2】(24-25高二上·山东菏泽·期中)已知曲线，从曲线上任意一点P向y轴作垂线，垂足为，且，则点N的轨迹方程为(    ) A． B． C． D． 【变式5-3】(24-25高二下·海南海口·期中)在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足.当点在圆上运动时，线段的中点的轨迹方程(当点经过圆与轴的交点时，规定点与点重合)为(    ) A． B． C． D． 【变式5-4】(24-25高二上·河南周口·期末)已知长为6的线段的两端点分别在轴和轴上，点满足，则关于点的轨迹，下列说法正确的是(    ) A．点的轨迹是焦点在轴上的椭圆 B．点的轨迹是短轴长为1的椭圆 C．点的轨迹是离心率为的椭圆 D．点的轨迹是长轴长为10的椭圆 【变式5-5】(24-25高二上·江苏南通·阶段练习)如图，轴，垂足为，点在的延长线上，且，当点在圆上运动时，点的轨迹方程为 ． 【变式5-6】(2024·江苏南通·二模)已知抛物线，过点的直线与抛物线交于，两点，则线段中点的轨迹方程为 . 题型06 求轨迹方程的方法 交轨法 【典例6】(24-25高二上·河北廊坊·期末)如图，矩形中，，，，，点在线段上，点在轴的非负半轴上，且，则与的交点的轨迹所在的曲线方程为 ．(注：可不用标注范围) 【变式6-1】(2025·安徽池州·二模)已知直线，圆，过上一点作的两条切线，切点分别为，使四边形的面积为的点有且仅有一个，则此时直线的方程为(    ) A． B． C． D． 【变式6-2】(24-25高二上·全国·课后作业)已知过点的直线与相交于点C，过点的直线与相交于点D，若直线CD与圆相切，则直线AC与BD的交点M的轨迹方程为 ． 【变式6-3】(2025·广东·一模)如图，在矩形中，分别是矩形四条边的中点，点在直线上，点在直线上，，直线与直线相交于点，则点的轨迹方程为 . 【变式6-4】(25-26高二上·全国·课后作业)在平面直角坐标系中，，，动点和分别位于正半轴和负半轴上，若，则和的交点的轨迹方程为 ． 题型07 求轨迹方程的方法 几何法 【典例7-1】(2025高二·全国·专题练习)在锐角三角形PMN中，，，垂足为Q，，则点P的轨迹为( ) A．长轴长为2的椭圆的一部分 B．长轴长为的椭圆的一部分 C．实轴长为2的双曲线的一部分 D．实轴长为的双曲线的一部分 【典例7-2】(24-25高三上·浙江·阶段练习)在矩形中，，，，分别是，的中点，，分别是线段，上的动点，且，记和的交点为，则的轨迹的离心率是(    ) A． B． C． D． 【典例7-3】(24-25高二上·全国·课后作业)已知定点，是圆上任意一点，点关于点的对称点为，线段的垂直平分线与直线相交于点，则点的轨迹方程是(   ) A．7 B． C．. D． 【变式7-1】(24-25高三上·贵州黔南·期末)在圆上任取一点，过点作轴的垂线，垂足为，若，则点的轨迹方程为(   ) A． B． C． D． 【变式7-2】(多选)(2025·辽宁沈阳·二模)在平面内，存在定圆和定点，点是圆上的动点，若线段的中垂线交直线于点，关于点轨迹叙述正确的是(    ) A．当点与圆心重合时，点的轨迹为圆 B．当点在圆上时，点的轨迹为抛物线 C．当点在圆内且不与圆心重合时，点的轨迹为椭圆 D．当点在圆外时，点的轨迹为双曲线 【变式7-3】(多选)(24-25高三下·浙江杭州·阶段练习)已知定圆，点是圆所在平面内异于的定点，点是圆上的动点，若线段的中垂线交直线于点．则点的轨迹可能为(   ) A．椭圆 B．双曲线的一支 C．双曲线 D．圆 【变式7-4】(多选)(23-24高二上·四川攀枝花·期末)已知点是圆上的任意一点，点，线段的垂直平分线交于点，设点的轨迹为曲线.直线与曲线交于，两点，且点为线段的中点，则下列说法正确的是(    ) A．曲线的方程为 B．曲线的离心率为 C．直线的方程为 D．的周长为 【变式7-5】(多选)(24-25高二上·江苏常州·期中)如图，圆，圆，动圆与圆外切于点，与圆内切于点，圆心的轨迹记为曲线，则(    )    A．的方程为 B．的最小值为 C． D．曲线在点处的切线与线段垂直 【变式7-6】(2025·广东广州·模拟预测)如图，在平面直角坐标系中，点在轴上运动，点在轴上运动，点在线段的延长线上，且，，则点的轨迹方程为 ．    题型08 轨迹方程的应用 【典例8-1】(2024高二·全国·专题练习)发现土星卫星的天文学家乔凡尼卡西尼对把卵形线描绘成轨道有兴趣.像笛卡尔卵形线一样， 笛卡尔卵形线的作法也是基于对椭圆的针线作法作修改，从而产生更多的卵形曲线.卡西尼卵形线是由下列条件所定义的：曲线上所有点到两定点(焦点)的距离之积为常数.已知：曲线C是平面内与两个定点和的距离的积等于常数的点的轨迹，则下列命题中正确的是 ①．曲线C过坐标原点；②．曲线C关于坐标原点对称；③．曲线C关于坐标轴对称；④．若点P在曲线C上，则 的面积不大于 【典例8-2】(24-25高二上·江苏泰州·期中)《文心雕龙》中说“造化赋形，支体必双，神理为用，事不孤立”，意思是自然界的事物都是成双成对的.已知动点到定点的距离和它到直线的距离的比是常数.若某条直线上存在这样的点，则称该直线为“成双直线”，下列说法正确的是(    ) A．动点的轨迹方程为： B．的最大值为16 C．点为动点的轨迹上的任意一点，，，则的面积为 D．直线与动点的轨迹交于两点，则的最小值为 【典例8-3】(2025高三·北京·专题练习)双纽线是卡西尼卵形线的一类分支，在数学曲线领域占有至关重要的地位，同时也具有特殊的有价值的艺术美．在平面上，把与定点、距离之积等于的动点的轨迹称为双纽线，则下列说法正确的是 ①双纽线的图象关于原点对称；②双纽线的方程为；③双纽线上任意一点到坐标原点的距离都不超过；④若直线与双纽线只有一个公共点，则实数的取值范围为 【变式8-1】(2025·黑龙江牡丹江·模拟预测)2025春节档国产影片《哪吒之魔童闹海》接连破全球票房记录，影片中哪吒与敖丙是不可分割的二人组，其中敖丙的武器“盘龙冰锤”相撞后形成了如图所示的曲线，可以用来表示数学上特殊的曲线．如图所示的曲线C过坐标原点O，C上的点到两定点，()的距离之积为定值．当时，C上第一象限内的点P满足的面积为，则(   ) A．6 B． C． D． 【变式8-2】(24-25高二下·湖南·期中)曲线和曲线组合围成“心形图”(如下图所示)，记“心形图”为曲线，曲线所围成的“心形”区域的面积等于(    ) A． B． C． D． 【变式8-3】(多选)(2025·黑龙江齐齐哈尔·一模)泰戈尔说过一句话：世界上最远的距离，不是树枝无法相依，而是相互瞭望的星星；世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，却在转瞬间无处寻觅．已知点，直线，动点到点的距离是点到直线的距离的2倍，若某直线上存在这样的点，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论中正确的是(   ) A．点的轨迹方程是 B．直线是“最远距离直线” C．圆的方程为：，其上一动点，则的最小值为 D．点的轨迹与圆是没有交汇的轨迹(也就是没有交点) 【变式8-4】(多选)(2024高三·全国·专题练习)某校一数学兴趣小组设计了一款飞行器模型，其平面图的轮廓线为：平面内动点到定点的距离与到定直线的距离之和为6，点的轨迹为曲线，则下列说法中正确的有(   ) A．点在曲线的内部 B．曲线关于轴对称 C．若点在上，则 D．直线被曲线截得的线段长为 【变式8-5】(24-25高二下·贵州六盘水·期末)椭圆规是用来画椭圆的一种器械，它的构造如图所示，在一个十字形的金属板上有两条互相垂直的导槽，在直尺上有两个固定滑块，，它们可分别在横槽和纵槽中滑动，在直尺上的点处用套管装上铅笔，使直尺转动一周就画出一个椭圆.现以横槽和纵槽所在直线分别为轴和轴建立直角坐标系，若，是的中点，则的轨迹方程为 . 【变式8-6】(24-25高二下·陕西西安·期中)Cassini卵形线是由法国天文家Jean－Dominique Cassini(1625-1712)引入的．卵形线的定义：线上的任何点到两个固定点，的距离的乘积等于常数．是正常数，设，的距离为，如果，就得到一个没有自交点的卵形线；如果，就得到一个双纽线；如果，就得到两个卵形线．若，．动点P满足．若A和是轨迹C与y轴交点中距离最远的两点，则面积的最大值为 ．    一、单选题 1.(24-25高二下·河南安阳·期末)在平面直角坐标系中，曲线：的周长为(    ) A．4 B．6 C．8 D．10 2.(24-25高三上·云南·阶段练习)设两点的坐标分别为，，直线与相交于点，且它们的斜率之积为，则点的轨迹方程为(    ) A． B． C． D． 3.(24-25高二上·全国·课后作业)已知曲线的方程为，则曲线关于(    )对称 A．轴 B．轴 C．原点 D．直线 4.(2025·黑龙江齐齐哈尔·一模)已知曲线，从曲线上任一点向轴作垂线，垂足为，且，则点的轨迹方程为(   ) A． B． C． D． 5.(24-25高二上·广东梅州·期末)曲线的方程为，则曲线上的点的纵坐标的最大值为(    ) A．2 B． C． D． 6.(24-25高二上·广东清远·期末)一动圆与圆外切，同时与圆内切，则该动圆圆心的轨迹方程为(    ) A． B． C． D． 7.(24-25高二上·浙江·期中)自19世纪之后，折纸艺术与自然科学结合到了一起，它开始在西方成为教育教学和科学研究的工具.随着折纸过程中的数学之迷被解开，折纸发展成为了现代几何学的一个分支.现有一张半径为，圆心为的圆形纸片，在圆内选定一点且.将圆形纸片翻折一角，使圆周正好过点，把纸片展开后，留下一条折痕，折痕上到两点距离之和最小的点为.如此反复，就能得到越来越多的折痕，设点的轨迹为曲线，线段的中点为，在上任取一点，则的最小值是(    ) A． B． C． D． 8.(23-24高二上·福建福州·阶段练习)平面内两定点和，动点，满足，动点的轨迹为曲线，其中错误的是(    ) A．存在，使曲线过坐标原点； B．曲线关于轴对称，但不关于轴对称； C．若三点不共线，则周长最小值为； D．曲线上与不共线的任意一点关于原点对称的点为，则四边形的面积不大于. 二、多选题 9.(2025·江西·二模)已知两点的坐标分别为为坐标平面内的动点，直线的斜率分别为，且满足(为定值)，设动点的轨迹为．则(    ) A．轨迹关于原点对称 B．轨迹关于直线对称 C．当时，轨迹为一条直线 D．当时，轨迹存在最高点 10.(23-24高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习)泰戈尔说过一句话：世界上最远的距离，不是树枝无法相依，而是相互了望的星星，却没有交汇的轨迹；世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，而是纵然轨迹交汇，却在转瞬间无处寻觅．已知点，直线，动点到点的距离是点到直线的距离的．若某直线上存在这样的点，则称该直线为“最远距离直线”．则下列结论中正确的是(    ) A．点的轨迹方程是 B．直线是“最远距离直线” C．点的轨迹与圆没有交点 D．平面上有一点，则的最小值为11 11.(24-25高二上·云南曲靖·期末)我们把平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹，称为卡西尼卵形线(Cassini Oval)．在平面直角坐标系中，两个定点，，，是平面上的两个动点，设满足的的轨迹为一条连续的封闭曲线，满足的的轨迹为一条连续的封闭曲线，则(   ) A．关于轴、轴对称 B．当不在轴上时， C．当时，纵坐标的最大值大于 D．当，有公共点时， 三、填空题 12.(2025高三·全国·专题练习)已知动圆在圆的外部且与圆相切，同时还在圆的内部且与圆相切，则动圆的圆心的轨迹的方程是 . 13.(2025·山东日照·二模)已知与x轴相交于C，D两点，点，以AB为直径的圆与⊙O内切，则△BCD面积的最大值为 ． 14.(24-25高二上·全国·课后作业)过曲线上一点作圆的两条切线，切点分别为，若，则曲线的方程为 ． 四、解答题 15.(2025高三·全国·专题练习)如图，已知椭圆的动弦垂直交轴于点，椭圆的长轴端点分别为，试探求直线与交点的轨迹方程． 16.(2025高三·全国·专题练习)如图，若以抛物线上两动点为直径端点的圆恒过定点，求证：(1)圆心的轨迹仍是抛物线；(2)直径过定点． 17. (2025高三·全国·专题练习)如图，已知过点的直线与椭圆交于不同的两点，点是弦的中点． (1)若，求点的轨迹方程；(2)求的取值范围． 18.(25-26高三上·辽宁沈阳·期末)设动点到坐标原点的距离和它到直线的距离之比是一个常数，记点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程，并讨论的形状与值的关系；(2)若时，得到的曲线为，将曲线向左平移一个单位得到曲线，过点的直线与曲线交于不同的两点，，过的直线分别交曲线于，设，，求的取值范围． 19.(2025·河北·模拟预测)在直角坐标系中，点与点的连线的斜率的乘积为定值，记点的轨迹为. (1)求的方程；(2)若点是上两点，且满足直线与的斜率之和为. (ⅰ)若点坐标为，求直线的斜率；(ⅱ)若为的外心，证明：平分. 第 1 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.4 曲线与方程 教学目标 1、理解、掌握曲线与方程的概念； 2、掌握求轨迹方程的方法； 教学重难点 1、重点：曲线与方程的概念，求轨迹方程的常用方法； 2、难点：求轨迹方程的方法； 知识点01 曲线与方程 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线(看作满足某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程的实数解建立了如下关系： (1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解； (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点。 那么，这个方程叫作曲线的方程，这条曲线叫作方程的曲线. 【即学即练1-1】(24-25高二下·上海·期中)已知曲线上点的坐标都是方程的解，则下列命题中正确的是(   ) A．曲线是方程的解 B．不在曲线上的点的坐标一定不是方程的解 C．凡坐标不满足方程的点都不在曲线上 D．以方程的解为坐标的点都在曲线上 【答案】C【难度】0.94 【知识点】曲线与方程的概念、写出原命题的逆命题及真假判断、写出原命题的逆否命题及真假判断 【分析】利用曲线的意义判断A；利用互逆关系、互逆否关系命题的真假关系判断BCD. 【详解】对于A，曲线是点的集合，集合中的每个元素对应的坐标是方程的解， 不能说成曲线是方程的解，A错误； 对于BD，不在曲线上的点的坐标一定不是方程的解，等价于方程的解 为坐标的点都在曲线上，它是命题“曲线上点的坐标都是方程的解”的逆命题， 而互逆的两个命题不一定同真同假，BD错误； 对于C，坐标不满足方程的点都不在曲线上，等价于 “曲线上点的坐标都是方程的解”，C正确.故选：C 【即学即练1-2】(2025·广东佛山·二模)在平面直角坐标系xOy中，曲线C：的周长为(    ) A．12 B．14 C．16 D．20 【答案】D【难度】0.85【知识点】由方程研究曲线的性质、直线截距式方程及辨析 【分析】曲线C：去绝对值得四条线段，然后根据距离公式分别求出四条线段的长度，即可得解. 【详解】曲线C：等价于或或或. 对于表示以和为顶点线段，其长度为， 对于表示以和为顶点线段，其长度为， 对于表示以和为顶点线段，其长度为， 对于表示以和为顶点线段，其长度为， 所以曲线C：的周长为.故选：D 知识点02 求轨迹方程的方法 待定系数法 如果动点P的运动规律合乎我们已知的某种曲线(如圆、椭圆、双曲线、抛物线)的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程，也有人将此方法称为定义法。 【即学即练2-1】(25-26高二上·全国·单元测试)已知点，，动点满足，则动点的轨迹方程是(    ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.85【知识点】轨迹问题——椭圆 【分析】由题可得动点的轨迹是椭圆，即可求出动点的轨迹方程. 【详解】由题设知，所以动点的轨迹是椭圆，且焦点在轴上， 设椭圆方程为，则，， 所以，，故所求轨迹方程为.故选：A 【即学即练2-2】(24-25高二上·江苏·期中)方程的化简结果为(    ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.85【知识点】求双曲线的轨迹方程 【分析】由条件利用双曲线的定义、标准方程，求得双曲线的标准方程. 【详解】根据， 可得点到点的距离差的绝对值等于， 结合双曲线的定义知，点的轨迹是以为焦点的双曲线， ，则，，所以，，故方程为：，故选：A. 知识点03 求轨迹方程的方法 直接法 如果动点P满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点P所满足的几何上的等量关系，再用点P的坐标表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。 直接法求解过程： (1)建系：建立适当的坐标系 (2)设点：设轨迹上的任一点 (3)列式：列出有限制关系的几何等式 (4)代换：将轨迹所满足的条件用含的代数式表示， (5)检验：对某些特殊值应另外补充检验． 【即学即练3-1】(24-25高二上·山东·阶段练习)动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是，则动点M的轨迹方程为(    ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.85【知识点】求双曲线的轨迹方程【分析】利用直接法求解. 【详解】解：由题意可得，化简得．故选：B 【即学即练3-2】(2025高三·全国·专题练习)已知椭圆：的上、下顶点分别为，，点为上异于，的任意一点，若满足，，则点的轨迹方程为(    ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.65【知识点】轨迹问题——椭圆、求平面轨迹方程 【分析】设，得，设，结合，，得到，代入得到点的轨迹方程． 【详解】设，由已知得，， 则，即，所以， 设，因为，，所以，， 所以，所以，所以， 因此，即，所以点的轨迹方程为．故选：A. 知识点04 求轨迹方程的方法 参数法 如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点P运动的某个几何量t，以此量作为参变数，分别建立P点坐标x，y与该参数t的函数关系，进而通过消参化为轨迹方程。 有时不容易得出动点应满足的几何条件，也无明显的相关点，但却较容易发现(或经分析可发现)该动点常常受到另一个变量(角度，斜率，比值，截距或时间等)的制约，即动点坐标中的分别随另一变量的变化而变化，我们称这个变量为参数，由此建立轨迹的参数方程，这种方法叫参数法，进而通过消参化为轨迹的普通方程. 参数法求解过程： (1)选择坐标系，设动点坐标； (2)分析轨迹的已知条件，引入参数(选择参数时要考虑，既要有利于建立方程又要便于消去参数)； (3)用此参数分别表示动点的横纵坐标；建立参数方程； (4)消去参数得到关于的普通方程，即为所求轨迹方程； (5)判断轨迹方程中的限制条件； (6)讨论并判断轨迹。 【即学即练4】(24-25高二上·安徽蚌埠·期末)已知圆心在轴上移动的圆经过，且与轴，轴分别交于两个动点，过分别作轴，轴的垂线，两条垂线的交点记为，则点的轨迹为(    ) A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】D【难度】0.65【知识点】求抛物线的轨迹方程、由圆心(或半径)求圆的方程【分析】设圆心坐标为，得到圆的方程为，再分别令和求得点P的坐标求解. 【详解】设圆心坐标为，则圆的方程为， 令，得或，则， 令，得，则， 所以，所以，所以点的轨迹为抛物线，故选：D 知识点05 求轨迹方程的方法 相关点法 如果动点的运动是由另外某一点的运动引发的，而该点的运动规律已知，(该点坐标满足某已知曲线方程)，则可以设出,用表示出相关点的坐标,然后把的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点的轨迹方程.(也称代入法) 相关点法求解过程： 第一步：设所求轨迹的点，曲线上的动点； 第二步：找出与的关系，由表示，即； 第三步：满足已知的曲线方程，将代人，消去参数．对于不符合条件的点要注意取舍． 【即学即练5-1】(24-25高二上·广东梅州·期末)线段的长度为，其两个端点和分别在轴和轴上滑动，则线段上靠近点的三等分点的轨迹方程为(    ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.65【知识点】轨迹问题——椭圆 【分析】设点、，设线段上靠近点的三等分点为，根据结合平面向量的坐标运算得出，再代入化简即可得出点的轨迹方程. 【详解】设点、，设线段上靠近点的三等分点为， 由题意可得，则， 所以，，所以，， 则，化简得， 故线段上靠近点的三等分点的轨迹方程为.故选：C. 【即学即练5-2】(24-25高二下·湖北黄石·阶段练习)已知F是抛物线的焦点，P是该抛物线上一动点，则线段PF的中点E的轨迹方程是(   )． A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.65【知识点】求平面轨迹方程、根据焦点或准线写出抛物线的标准方程 【分析】求出，设，PF的中点，从而得到方程组，利用代入法求出轨迹方程. 【详解】抛物线的标准方程是，故， 设，PF的中点， ∴，因为，所以，即．故选：C 知识点06 求轨迹方程的方法 交轨法 若动点P(x,y)是两条动曲线的交点，则联立两动曲线方程，将参数消去，得到关于x,y的不含参数的方程，即为两动曲线交点P的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做交轨法。 【即学即练6】(2025·河南·模拟预测)若过点的直线与抛物线交于B，C两点，以B，C为切点分别作的两条切线，则两条切线的交点的轨迹方程为 ． 【答案】【难度】0.85【知识点】求平面轨迹方程、求抛物线的切线方程 【分析】设出直线方程，利用韦达定理可求两条切线的交点的轨迹方程. 【详解】设的方程为，代入中，整理得， 设，则， 由题意过点的切线斜率存在且不为0，设为， 联立，得，由可得，即， 所以切线方程为，同理可得过点的切线方程为. 联立解得消去，得， 所以两条切线交点的轨迹方程为．故答案为： 知识点07 求轨迹方程的方法 几何法 若所求的轨迹满足某些几何性质(如线段的垂直平分线，角平分线的性质等)，可以用几何法，列出几何式，再代入点的坐标较简单。 【即学即练7】(24-25高三上·辽宁·期末)已知，，为坐标原点，点是圆上任意一点，点是圆外一点，若，，则点的轨迹方程为(   ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.65【知识点】求双曲线的轨迹方程、利用双曲线定义求方程 【分析】延长交直线于点，连接，由条件判断且为中点，利用中位线性质得且，从而利用双曲线的定义得点在以，为焦点的双曲线上，进而利用双曲线的标准方程求解轨迹方程即可. 【详解】由题意知，圆的半径，延长交直线于点，连接， 因为，且，所以，且为中点， 所以，且， 因此，，所以点在以，为焦点的双曲线上， 设的方程为，可知，所以， 又，则，所以的方程为，即， 又点是圆外一点，所以，即，故所求轨迹方程为.故选：B 题型01 曲线与方程概念 【典例1-1】(24-25高二上·全国·课堂例题)已知坐标满足方程的点都在曲线上，那么(    ) A．曲线上的点的坐标都满足方程 B．坐标不满足的点都不在曲线上 C．不在曲线上的点的坐标必不满足 D．不在曲线上的点的坐标有些满足，有些不满足 【答案】C【难度】0.85【知识点】曲线与方程的概念 【分析】对ABD举反例即可反驳，对C显然根据两者命题之间关系知其正确. 【详解】对ABD，根据题意可以举例方程为， 曲线为单位圆，可知方程表示的曲线为曲线的一部分， 则曲线上的点的坐标不是都满足方程，故A错误； 坐标不满足的点可以在曲线上，故B错误； 不在曲线上的点的坐标都不满足，故D错误； 对C，而不在曲线上的点的坐标必不满足，故C正确．故选：C. 【典例1-2】(24-25高二上·上海·阶段练习)数学中有许多寓意美好的曲线，曲线被称为“四叶草玫瑰线”(如图)，现给出下列三个结论：正确的是(    )    ①曲线C关于直线对称： ②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过1； ③存在一个以原点为中心.边长的正方形，使曲线C在此方形区域内(含边界) A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A【难度】0.65【知识点】由方程研究曲线的性质 【分析】用替换方程中的，即可判断①，结合基本不等式代入计算即可判断②，结合②的结论即可判断③. 【详解】对于①，用替换方程中的，方程形式不变，故曲线关于直线对称，正确， 对于②，设点是曲线上任意一点，则， 则点到原点的距离为，由，解得，故正确， 对于③，由②可知，包含该曲线的以原点为圆心的最小的圆的半径为1， 所以最小圆应该是包含该曲线的最小正方形的内切圆，即正方形的边长最短为2，故错误.故选：A. 【典例1-3】(多选)(2025·湖南长沙·模拟预测)曲线：是一条形似的“比心曲线”.设点是上一个动点，且它与x轴交于A，B两点，与y轴交于C，D两点，则(   ) A．点和点都在曲线E上 B．且 C．在E上存在点P，使 D．对于E上任意点P，有 【答案】BCD【难度】0.4【知识点】二元二次方程表示的曲线与圆的关系、轨迹问题——椭圆、点与曲线的位置关系、曲线与方程的概念 【分析】对于A，将两点分别代入曲线的左侧，判断是否等于右侧即可判断A；对于B，利用不等式即可求解范围；对于C，注意到当为或时，面积刚好为1；对于D，当时，P的轨迹为椭圆，联立椭圆与曲线方程，可得其交点，画出图形即可判断. 【详解】在E中，令得，所以，，， 令得，所以，， 曲线E的大致形状如图所示. 对于A，将点，代入曲线E的方程的左侧可得，， 所以点不在曲线E上，点在曲线E上，故A错误； 对于B，令得，即，所以， 所以直线与曲线E交于点，结合图象可得点P的纵坐标的最大值为. 由得，所以，等号当且仅当成立； 由得，所以当时，，所以.故B正确； 对于C，由选项A，B知，，当为或时， 面积的最大值为，故C正确； 对于D，因为坐标平面内到定点C，D的距离和为的点的轨迹是以C，D为焦点，长轴长为的椭圆. 设椭圆方程为，由已知，，得，所以椭圆方程为. 联立，得，所以，所以， 故椭圆与曲线E的交点为，，如图所示， 因此曲线E上的所有点都满足故选，D正确，故选：BCD. 【变式1-1】(23-24高二上·上海·期末)已知坐标满足方程的点都在曲线C上，则下列命题中正确的是(    ) A．曲线C上的点的坐标都适合方程 B．不在曲线C上的点的坐标必不适合方程 C．凡坐标不适合方程的点都不在曲线C上 D．不在曲线C上的点的坐标有些适合方程 【答案】B【难度】0.85 【知识点】曲线与方程的概念、原命题与逆否命题等价性的应用、由圆心(或半径)求圆的方程 【分析】由逆否命题的真假性的关系结合曲线与方程的定义逐一判断即可. 【详解】由于“坐标满足方程的点都在曲线C上”与“不在曲线C上的点的坐标必不适合方程”互为逆否命题， 所以“不在曲线C上的点的坐标必不适合方程”是正确的，故B对，D错； 对于点集而言， 不满足，但它仍然属于在曲线C上(仍然属于点集合)，故A、C错误. 故选：B. 【变式1-2】(2024·福建·模拟预测)设曲线的方程为(，为系数)，则(    ) A．曲线一定经过第一象限 B．当，曲线可能为抛物线 C．曲线一定经过第三象限 D．当，曲线一定关于直线对称 【答案】D【难度】0.65【知识点】由方程求曲线的图形、由方程研究曲线的性质 【分析】分别对曲线的方程中的系数，进行赋值，即可排除A,C项，对于B，因时，曲线表示直线或抛物线，排除B，对于D，分都等于0和相等但不为0两种情况分析讨论，均能验证曲线关于直线对称. 【详解】对于A，当时，由化简得，， 则可得，或，此时曲线表示轴或开口向下且顶点在原点的抛物线， 显然图象不经过第一象限，故A错误； 对于B，当时，由化简得，可得，或， 当时，曲线显然不是抛物线，当时，曲线表示轴或焦点在轴上的抛物线，故B错误； 对于C，当时，由化简得，，即或， 即曲线表示轴或轴，因而图象不经过第三象限，故C错误； 对于D，若时，由C分析知，曲线表示轴或轴，显然关于直线对称； 若相等但不为0时，由可得， 若点在曲线上，即， 而对于，有，即必有在曲线上， 而点与关于直线对称，故D正确.故选：D. 【变式1-3】(24-25高二上·贵州铜仁·阶段练习)在平面直角坐标系中，已知点，，是一个动点，则下列说法正确的是(   ) A．若，则点的轨迹为椭圆 B．若，则点的轨迹为圆 C．若，则点的轨迹为双曲线 D．若，则点的轨迹为一条线段 【答案】B【难度】0.65【知识点】椭圆定义、求平面轨迹方程、双曲线定义的理解、轨迹问题——圆 【分析】令，结合椭圆、双曲线定义判断A、C；利用向量加减、模长的坐标运算列方程求轨迹判断B；应用两点距离公式列方程求轨迹判断D. 【详解】令，则：A：由，结合椭圆定义，显然轨迹不是椭圆，错； B：由，则，所以，即点的轨迹为圆，对； C：由，根据双曲线定义，轨迹为双曲线的右支，错； D：由题设，整理得，即点的轨迹为一条直线，错.故选：B 【变式1-4】(24-25高二上·上海·期末)在平面直角坐标系中， 动点到两个定点，的距离之积等于，则下列命题中正确的个数是(    ) ①曲线关于轴对称；②的最大值为；③的最小值为；④的最大值为 A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B【难度】0.4【知识点】求平面轨迹方程、复杂(根式型、分式型等)函数的值域、基本不等式求和的最小值、由方程研究曲线的性质 【分析】利用直接法可得轨迹方程，再根据曲线的对称性可判断①；由基本不等式可判断③；化简轨迹方程可得，即，由可得，利用换元法结合二次函数性质可判断②④. 【详解】由已知， 代入点，则，成立，①正确； 则，当且仅当，即点时，等号成立，③错误； 化简，可得，即， 又，即，解得，即， 设，则，， 所以，即，②错误； 且，即，即，④正确； 综上所述正确的个数为，故选：B. 【变式1-5】(多选)(25-26高二上·全国·单元测试)已知坐标满足方程的点都在曲线上，则下列结论不正确的是(    ) A．所表示的曲线是 B．曲线上的点的坐标都适合方程 C．不在上的点的坐标必不适合方程 D．不适合的点都不在上 【答案】ABD【难度】0.94【知识点】曲线与方程的概念【分析】举例判断ABD,利用反证法可判断C. 【详解】根据题意可以令方程为，曲线为单位圆， 可知方程表示的曲线为曲线的一部分，不正确. 假设命题“不在上的点的坐标必不适合方程”为假命题， 则存在不在上的点，其坐标满足方程， 由题干可知“坐标满足方程的点都在曲线上” 即点在曲线上，与假设矛盾，故假设不成立， 即命题“不在上的点的坐标必不适合方程”为真命题，C正确.故选：ABD. 【变式1-6】(25-26高二上·全国·课前预习)设曲线C的方程为：，一般有如下规律： ①如果以代替y，方程保持不变，那么曲线关于 对称； ②如果以代替x，方程保持不变，那么曲线关于 对称； ③如果同时以代替x，以代替y，方程保持不变，那么曲线关于 对称． 【答案】x轴；y轴；原点【难度】0.94【知识点】曲线与方程的概念【分析】略 【详解】①若点是曲线C上任一点，因为点用代替的对应点为, 所以点、点均在曲线C上，而点与点关于x轴对称， 故曲线C关于x轴对称； ②若点是曲线C上任一点，因为点用代替的对应点为, 所以点、点均在曲线C上，而点与点关于y轴对称， 故曲线C关于y轴对称； ③若点是曲线C上任一点，因为点用代替，用代替的对应点为, 所以点、点均在曲线C上，而点与点关于原点对称， 故曲线C关于原点对称； 题型02 求轨迹方程的方法 待定系数法 【典例2-1】(25-26高三上·贵州·阶段练习)长为1的线段的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，则点B关于点A的对称点M的轨迹方程为(   ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.85【知识点】轨迹问题——椭圆、求平面轨迹方程 【分析】设，，找出，再根据得到，即可求解． 【详解】设，，，则有， 即，由题意可得，即，即，故选：A． 【典例2-2】(2025·山东泰安·模拟预测)在平面直角坐标系中，满足，、分别为的重心、内心，若轴，则点的轨迹方程为 . 【答案】【难度】0.65【知识点】轨迹问题——椭圆【分析】根据重心的性质和内心的性质，求出两点的坐标，根据线段平行轴，纵坐标相等，列出坐标的关系式，求出轨迹方程. 【详解】设，则重心，设内切圆半径为， 又，所以， 因为，则，又，所以， 所以点的轨迹方程为.故答案为：. 【典例2-3】(24-25高三上·河北·期中)已知圆，点，点在圆上运动，线段的中垂线与交于点，则点的轨迹方程为(    ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.65【知识点】求平面轨迹方程 【分析】根据条件得到，从而点的轨迹是以为焦点，且长轴长为，焦距为的椭圆，即可求解. 【详解】如图，易知，所以， 由椭圆的定义知，点的轨迹是以为焦点，且长轴长为，焦距为的椭圆， 而焦点在上，长轴长为，焦距为的椭圆的标准方程为， 又点的轨迹的中心为，所以的轨迹方程为，故选：C. 【变式2-1】(24-25高二上·浙江宁波·期中)若点到直线和它到点的距离相等，则点的轨迹方程为(   ) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.85【知识点】求抛物线的轨迹方程 【分析】分析可知点的轨迹是以点为焦点，直线为准线的抛物线，即可得解. 【详解】因为点到直线和它到点的距离相等， 所以，点的轨迹是以点为焦点，直线为准线的抛物线， 设其方程为，则，可得，故点的轨迹方程为. 【变式2-2】(24-25高二下·云南·期末)已知动圆与圆内切，同时与圆外切，则动圆的圆心轨迹方程为(   ) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.85【知识点】轨迹问题——椭圆、利用椭圆定义求方程、由圆的位置关系确定参数或范围【分析】利用两圆位置关系建立等式，再利用椭圆的定义求出轨迹方程. 【详解】圆圆心，半径，圆圆心，半径， 设动圆的圆心，半径，而，点在圆内， 由动圆与圆内切，与圆外切，得动圆在圆内，且， 因此，动圆圆心C的轨迹为以为左右焦点， 长轴长的椭圆，半焦距，短半轴长， 所以动圆圆心C的轨迹方程为．故选：D 【变式2-3】(2024·内蒙古赤峰·三模)已知点， 设点M满足 且M 为函数 图象上的点，则(    ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.85【知识点】求双曲线的轨迹方程、求平面两点间的距离【分析】根据双曲线的定义，可以判断点M的轨迹方程，通过解方程组求出M的坐标，最后根据两点间距离公式进行求解即可. 【详解】因为所以点M是以为焦点的双曲线的右支， 设双曲线的方程为， 即， 因此有，因此，故选：B 【变式2-4】(2025高三·全国·专题练习)已知定点，，平面上满足下列斜率关系的动点的轨迹是椭圆的是(    ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.65【知识点】求双曲线的轨迹方程、轨迹问题——椭圆、求平面轨迹方程 【分析】设动点为，则().逐项代入求出动点的轨迹方程即可求解. 【详解】设动点的坐标为，则(). 若，则，整理得()， 此时动点的轨迹是圆上去掉点，，不符合题意，故选项A错误； 若，则，整理得()， 此时动点的轨迹是双曲线上去掉点，，不符合题意，故选项B错误； 若，则，整理得()， 此时动点的轨迹是椭圆上去掉点，，符合题意，故选项C正确； 若，则，整理得()， 此时动点的轨迹是双曲线上去掉点，，不符合题意，故选项D错误.故选：C. 【变式2-5】(2025·云南昆明·一模)已知点，，动点满足，当点的纵坐标是时，点到坐标原点的距离是(   ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.65【知识点】求双曲线的轨迹方程、利用双曲线定义求方程 【分析】根据给定条件，利用双曲线的定义求出点的轨迹方程，求出点的坐标即可得解. 【详解】设，由，得点的轨迹是以为焦点， 实轴长为2的双曲线右支，方程为，当时，， 所以点到坐标原点的距离是.故选：A 【变式2-6】(24-25高二上·四川成都·期中)设向量，(x，)，满足．则点的轨迹的方程是(    ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.65【知识点】求平面轨迹方程、轨迹问题——椭圆 【分析】结合题意，由椭圆的定义即可求得答案； 【详解】由题意可得，即表示点到的距离和为4， 且，则点的轨迹为以为焦点的椭圆，则， 可得点的轨迹的方程为，故选：C. 题型03 求轨迹方程的方法 直接法 【典例3-1】(2025·黑龙江大庆·模拟预测)设A，B两点的坐标分别为，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是，则点M的轨迹方程为(   ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.85【知识点】轨迹问题——椭圆 【分析】设出交点的坐标，写出两直线的斜率，直接由斜率之积列式化简. 【详解】设，则由已知得， 化简得.故选：C． 【典例3-2】(24-25高二上·河南南阳·阶段练习)动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数，则动点的轨迹方程是(    ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.65【知识点】求平面轨迹方程、轨迹问题——椭圆 【分析】根据已知条件列方程，化简整理即可求解. 【详解】设是点到直线的距离， 根据题意，动点的轨迹就是集合.由此得， 将上式两边平方并化简，得，即.所以动点的轨迹方程为.故选：B. 【典例3-3】(2025高三·全国·专题练习)已知定点，定直线，动点到定直线的距离为，平面上满足下列条件的动点的轨迹为椭圆的是(    ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.65【知识点】轨迹问题——椭圆 【分析】设动点，由题可得所满足等式，即可判断选项正误. 【详解】设动点，由题，，. 对于A， 不为椭圆，故A错误； 对于B，类似A分析可得不为椭圆，故B错误； 对于C， 表示以原点为中心， 焦点为的椭圆向右平移两个单位后所形成的椭圆，故C正确； 对于D， 表示以原点为中心， 焦点为的双曲线向右平移7个单位所形成的双曲线，故D错误.故选：C 【变式3-1】(24-25高二上·湖南长沙·期中)已知两点的坐标分别是，直线相交于点，且直线的斜率与直线的斜率的差是，则点的轨迹方程为(    ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.65【知识点】求抛物线的轨迹方程、求平面轨迹方程 【分析】设，根据，整理即可得解. 【详解】设，则，整理得， 所以动点的轨迹方程是.故选：A. 【变式3-2】(2024·浙江·一模)双曲线的另一种定义：动点与定点的距离和它与定直线：的距离的比是常数，则点的轨迹是一个双曲线.动点与定点的距离和它与定直线：的距离的比是，则点的轨迹方程为(    ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.85【知识点】求双曲线的轨迹方程 【分析】根据给定条件，列出方程并化简得答案. 【详解】设，依题意，，化简整理得， 所以点的轨迹方程为.故选：B 【变式3-3】(24-25高二上·江西南昌·期末)在平面直角坐标系中，动点与两个定点和连线的斜率之积等于，记点的轨迹为曲线，直线：与交于，两点，则下列结论中正确的是(    ) A．的方程为 B．的离心率为 C．的渐近线与圆相切 D．满足的直线有条 【答案】C【难度】0.65【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、求双曲线的轨迹方程、判断直线与圆的位置关系、已知方程求双曲线的渐近线 【分析】设点，根据已知可求得曲线的方程即可得A；由曲线的方程即可得其离心率，即可得B；借助渐近线方程与点到直线距离公式计算可得C；联立曲线与直线方程计算可得表示，解出即可得D. 【详解】对A：设点，由已知得，整理得， 所以点的轨迹为曲线的方程为，故A错误； 对B：离心率，故B错误； 对C：圆的圆心到曲线的渐近线的距离为：， 又圆的半径为，故C正确； 对D：直线与曲线的方程联立，整理得， 设，，，且，即， 有，所以， 要满足，则需，即或(无解)， 解得，当，此时、分别为、， 而曲线为，所以没有满足条件的直线，故D错误.故选：C. 【变式3-4】(24-25高三下·湖南长沙·阶段练习)设，点在轴上，点在轴上，且，当点在轴上运动时，点的轨迹方程为(    ) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.65【知识点】求抛物线的轨迹方程、向量垂直的坐标表示 【分析】设点，根据向量关系及垂直关系可得点的轨迹方程. 【详解】设点，因为，则为的中点，且点在轴上，所以，则, 又，则，， 由，故点的轨迹方程为.故选：D. 【变式3-5】(多选)(24-25高三上·广东·开学考试)设两点的坐标分别是，直线相交于点，设直线的斜率分别为，下列说法正确的是(    ) A．当时，点的轨迹是椭圆的一部分 B．当时，点的轨迹是双曲线的一部分 C．当时，点的轨迹是抛物线的一部分 D．当时，点的轨迹是椭圆的一部分 【答案】ABC【难度】0.65【知识点】求抛物线的轨迹方程、求双曲线的轨迹方程、轨迹问题——椭圆、求平面轨迹方程【分析】设，求出和，每个选项代入公式判断. 【详解】设，则， 当时，即，有，故A正确； 当时，有，故B正确； 当时，，即，故C正确； 当时，，即显然不是椭圆，故D错误.故选：ABC 【变式3-6】(多选)(2025高三·全国·专题练习)(多选)已知点在圆F：上，，动点(纵坐标不为0)满足，则(    ) A．点的轨迹方程为 B．的最大值为 C．的最小值是 D．(点为坐标原点)的最小值为7 【答案】ACD【难度】0.4【知识点】求抛物线的轨迹方程、基本不等式求和的最小值、定点到圆上点的最值(范围)【分析】对于，设，由，化简可得其轨迹；对于，由的范围可判断；对于，由，可得，所以，由范围可判断；对于，当在圆与轴的左交点处时，，同时取最小值. 【详解】对于，由题意可知，设，如图，过点作轴于点， 则，所以， 即，所以，A正确； 对于，由对称性可假设点在一象限，则， 因为，当且仅当，即时取等号， 所以，所以，B错误； 对于，由，可得， 所以，且，所以，C正确； 对于，当在圆与轴的左交点处时，，同时取最小值，此时， 所以的最小值为，D正确.故选：ACD． 题型04 求轨迹方程的方法 参数法 【典例4】(2025高三·全国·专题练习)椭圆上的两点为原点，连接，若，则线段中点的轨迹方程为 ． 【答案】【难度】0.65【知识点】轨迹问题——椭圆、求平面轨迹方程【分析】设，，由条件可得，构造参数方程求解. 【详解】，，则，整理得，线段中点的坐标为 所以有，即线段中点的轨迹方程为． 故答案为：． 【变式4-1】(2025·黑龙江辽宁·模拟预测)若圆上恰有三个点到直线的距离为1，则动点的轨迹方程是(    ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.65【知识点】由圆的一般方程确定圆心和半径、求双曲线的轨迹方程、求平面轨迹方程【分析】由圆上恰有三个点到直线的距离为，得到圆心到直线的距离恰好为，求得，设，得到，代入方程，即可得到点的轨迹方程. 【详解】由圆，可得标准方程为， 所以圆心，半径为， 若圆上恰有三个点到直线的距离为， 则满足圆心到直线的距离恰好为，即，即， 设，则，代入，可得， 整理得，即点的轨迹方程为.故选：A. 【变式4-2】(24-25高二下·上海·期末)坐标平面上的点，将点绕原点逆时针旋转后得到点.这个过程称之为旋转变换，已知旋转变换公式：，将曲线：绕原点顺时针旋转后得到曲线，则曲线的方程为(   ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.4【知识点】轨迹问题——椭圆、求平面轨迹方程 【分析】设曲线上一点，其绕原点顺时针旋转后对应的曲线上的点为，然后根据旋转变换公式列方程组表示出，代入曲线的方程化简可得结果. 【详解】设曲线上一点，其绕原点顺时针旋转后对应的曲线上的点为， 则，即，所以， 所以， 所以，所以， 所以，即.所以曲线的方程为.故选：B 题型05 求轨迹方程的方法 相关点法 【典例5-1】(2025高二·全国·专题练习)已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上任意一点，则的中点的轨迹是(    ) A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆 【答案】A【难度】0.94【知识点】椭圆定义及辨析、求平面轨迹方程 【分析】解法1：设的中点为，则，把点代入椭圆方程、化简，判断轨迹形状； 解法2：用圆锥曲线的定义和三角形中位线解得，可判断点的轨迹． 【详解】解法1：设的中点为，则， 又点在椭圆上，所以，化简得， 即的中点的轨迹是椭圆．故选：A． 解法2：如图，取的中点，连接，则为的中位线． 因为，所以点的轨迹是椭圆．故选：A． 【典例5-2】(24-25高三上·宁夏石嘴山·期中)已知的斜边为，且，，则直角边中点的轨迹方程是(   ) A． B． C．(且) D．(且) 【答案】C【难度】0.85【知识点】求平面轨迹方程、数量积的坐标表示、轨迹问题——圆 【分析】设，根据是线段的中点，得到，根据计算即可求得的轨迹方程. 【详解】设，因为，是线段的中点，得， 所以，即，所以， 由，得，即， 又不能与重合，所以且，解得且， 动点的轨迹方程为(且).故选：C 【典例5-3】(24-25高二下·上海·期中)在平面直角坐标系中，O为原点，P为曲线上一动点，则线段的中点轨迹方程为 ． 【答案】【难度】0.65【知识点】求平面轨迹方程 【分析】利用中点坐标公式，设出线段中点的坐标以及点的坐标，再根据点在已知曲线上，将点的坐标代入曲线方程，进而得到中点的轨迹方程. 【详解】设线段的中点为，点的坐标为. 因为是的中点，所以可得，即. 因为点在曲线上，所以将代入曲线方程可得.化简得： 故答案为：. 【变式5-1】(2025·江苏南京·三模)已知曲线，从上任意一点向轴作垂线段，为垂足，则线段的中点的轨迹方程为(   ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.85【知识点】轨迹问题——椭圆 【分析】设点，由题意，根据中点的坐标表示可得，代入圆的方程即可求解. 【详解】设点，则，因为为的中点，所以，即， 又在圆上，所以，即， 即点的轨迹方程为.故选：A 【变式5-2】(24-25高二上·山东菏泽·期中)已知曲线，从曲线上任意一点P向y轴作垂线，垂足为，且，则点N的轨迹方程为(    ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.85【知识点】求平面轨迹方程【分析】由向量找到三点的关系，设所求点的坐标，由三点关系得到的坐标，然后代入曲线，得到点N的轨迹方程. 【详解】∵，∴三点共线，且 又∵轴，∴设，则，， ∵点在上，∴，即.故选：B. 【变式5-3】(24-25高二下·海南海口·期中)在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足.当点在圆上运动时，线段的中点的轨迹方程(当点经过圆与轴的交点时，规定点与点重合)为(    ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.65【知识点】轨迹问题——椭圆 【分析】设点、，则，由中点坐标公式可得，由已知条件可得出，将代入等式，化简可得出轨迹的方程； 【详解】设点、，则， 由中点的坐标公式可得，所以，， 因为点在圆上，则，则，整理可得. 因此，轨迹的方程为.故选：A. 【变式5-4】(24-25高二上·河南周口·期末)已知长为6的线段的两端点分别在轴和轴上，点满足，则关于点的轨迹，下列说法正确的是(    ) A．点的轨迹是焦点在轴上的椭圆 B．点的轨迹是短轴长为1的椭圆 C．点的轨迹是离心率为的椭圆 D．点的轨迹是长轴长为10的椭圆 【答案】D【难度】0.65 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、轨迹问题——椭圆、求椭圆的长轴、短轴 【分析】先设，点，则，由得，， 代入，化简得到轨迹方程，结合长短轴概念，离心率公式计算判定即可. 【详解】设，则，设点，则， 由得，，所以，则， 代入，得，即，则， 所以，，所以点的轨迹是焦点在轴上的椭圆，短轴长为， 离心率为，长轴长为，故A，B，C错误，D正确.故选：D. 【变式5-5】(24-25高二上·江苏南通·阶段练习)如图，轴，垂足为，点在的延长线上，且，当点在圆上运动时，点的轨迹方程为 ． 【答案】【难度】0.85【知识点】求平面轨迹方程 【分析】设点的坐标为，点，可得，根据点在圆上即可求出． 【详解】解：设点的坐标为，点，由题意可知， 则由题可得，即， 点在圆上运动，， 即点的轨迹方程为．故答案为： 【变式5-6】(2024·江苏南通·二模)已知抛物线，过点的直线与抛物线交于，两点，则线段中点的轨迹方程为 . 【答案】【难度】0.85【知识点】求抛物线的轨迹方程、直线与抛物线交点相关问题、根据韦达定理求参数、求平面轨迹方程【分析】设出直线AB的方程，联立抛物线方程，可得根与系数关系，利用中点坐标公式可表示出线段中点的坐标，化简，即可得答案. 【详解】由题意知直线的斜率不为0，设的方程为， 联立抛物线方程，得，， 设，则， 设线段中点，则， 即，故线段中点的轨迹方程为，即，故答案为： 题型06 求轨迹方程的方法 交轨法 【典例6】(24-25高二上·河北廊坊·期末)如图，矩形中，，，，，点在线段上，点在轴的非负半轴上，且，则与的交点的轨迹所在的曲线方程为 ．(注：可不用标注范围) 【答案】【难度】0.65【知识点】轨迹问题——椭圆【分析】根据给定条件，用表示点的坐标，再求出直线方程，并联立消去参数即得曲线方程. 【详解】依题意，由，得， 则，当时，直线， 直线，联立两条直线的方程消去得， 当时，直线与交于点，即点在曲线上，而满足方程， 由点在线段上，点在轴的非负半轴上，得， 所以所求曲线方程为为.故答案为： 【变式6-1】(2025·安徽池州·二模)已知直线，圆，过上一点作的两条切线，切点分别为，使四边形的面积为的点有且仅有一个，则此时直线的方程为(    ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.65【分析】根据题意，可得，且，由点到直线的距离公式求得，进而求得直线的方程，再求出直线的方程，求得点的坐标，求出以为直径的圆的方程，易知直线是圆与以为直径的圆的公共弦所在直线，两圆方程相减得解. 【详解】如图，，解得，所以， 因这样的点有且仅有一个，由图知此时， 则圆心到直线的距离为6，即， 化简得，其中，，则， ，所以，即， 则直线的斜率为，所以直线，即，联立， 解得，即，因的中点坐标为，且， 则以为直径的圆的方程为 ，整理得， 易知直线是圆与以为直径的圆的公共弦所在直线，将两圆的方程相减得， 故直线的方程为.故选：B. 【变式6-2】(24-25高二上·全国·课后作业)已知过点的直线与相交于点C，过点的直线与相交于点D，若直线CD与圆相切，则直线AC与BD的交点M的轨迹方程为 ． 【答案】【难度】0.65【知识点】轨迹问题——椭圆 【分析】设点，，，，根据切线可得，结合交点运算求解即可. 【详解】设点，，，，则直线CD的方程为， 因为直线CD与圆相切，则，可得； 又因为直线AC与BD的交点为M，所以，解得，可得， 所以点M的轨迹方程为．故答案为：. 【变式6-3】(2025·广东·一模)如图，在矩形中，分别是矩形四条边的中点，点在直线上，点在直线上，，直线与直线相交于点，则点的轨迹方程为 . 【答案】【难度】0.65【知识点】求双曲线的轨迹方程【分析】以所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，求出直线的方程与直线的方程，联立求解即可. 【详解】以所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系. 因为，所以 ， 所以 ，又因为 ， 所以 ，所以. 因为 ，所以直线的方程为 ①， 因为 ，所以直线的方程为 ②. 由①可得 ，代入②化简可得 ， 结合图象易知点可到达 ，但不可到达 ， 所以点的轨迹方程为 ，故答案为： 【变式6-4】(25-26高二上·全国·课后作业)在平面直角坐标系中，，，动点和分别位于正半轴和负半轴上，若，则和的交点的轨迹方程为 ． 【答案】【难度】0.65【知识点】求平面轨迹方程【分析】设，，,由题意可得，用截距式分别表示出直线、的方程，再分别用表示出，代入，即可得M点的方程，最后再验证时的情况，即可得答案. 【详解】设，，．因为，所以． 已知，，根据直线的截距式方程(为轴上的截距，为轴上的截距)， 可得直线的方程为．已知，，则直线的方程为． 因为是和的交点，所以的坐标满足和的方程． 对于直线的方程，用表示出,得． 对于直线的方程，用表示出,得． 因为，所以，即． 当时的情况不满足动点和分别位于轴正半轴和负半轴上， 因此所求轨迹方程为．故答案为： 题型07 求轨迹方程的方法 几何法 【典例7-1】(2025高二·全国·专题练习)在锐角三角形PMN中，，，垂足为Q，，则点P的轨迹为( ) A．长轴长为2的椭圆的一部分 B．长轴长为的椭圆的一部分 C．实轴长为2的双曲线的一部分 D．实轴长为的双曲线的一部分 【答案】D【难度】0.65【知识点】求平面轨迹方程、求双曲线的实轴、虚轴 【分析】建立平面直角坐标系，设，则，由三角形为锐角三角形得到， 利用,求出，根据方程特征即可得到答案. 【详解】以MN所在直线为x轴，MN的垂直平分线为y轴，MN的中点为坐标原点， 建立平面直角坐标系，不妨令，，设，则，    因为是锐角三角形，所以，则|，，， 由，得， 整理得，其为双曲线的一部分，且双曲线的实轴长为， 故点P的轨迹为实轴长为的双曲线的一部分．故选：D 【典例7-2】(24-25高三上·浙江·阶段练习)在矩形中，，，，分别是，的中点，，分别是线段，上的动点，且，记和的交点为，则的轨迹的离心率是(    ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.65【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、轨迹问题——椭圆 【分析】建立平面直角坐标系，求出的轨迹的方程，进而求出其离心率. 【详解】在矩形中，建立如图所示的平面直角坐标系，则， 设，设，由，得， 由共线、共线，得，整理得，即， 因此的轨迹方程为， 的轨迹是长半轴长，短半轴长的椭圆(除长轴端点外)， 所以的轨迹的离心率是.故选：A 【典例7-3】(24-25高二上·全国·课后作业)已知定点，是圆上任意一点，点关于点的对称点为，线段的垂直平分线与直线相交于点，则点的轨迹方程是(   ) A．7 B． C．. D． 【答案】B【难度】0.65【知识点】求双曲线的轨迹方程、利用双曲线定义求方程 【分析】按点在轴左右分类探讨可得，再利用双曲线定义求出方程. 【详解】如图当点在轴左侧时，连接，由点关于点的对称点为，得是线段中点， 而点是线段的中点，则， 由为线段的垂直平分线，得，于是，    当点在轴右侧时，同理，则， 所以点的轨迹是以为焦点，实轴长为2的双曲线，对应的方程为.故选：B 【变式7-1】(24-25高三上·贵州黔南·期末)在圆上任取一点，过点作轴的垂线，垂足为，若，则点的轨迹方程为(   ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.85【知识点】求平面轨迹方程【分析】由向量关系知道三点共线，所以设出三点坐标，由向量关系建立等式，将点坐标代入圆的方程，得到定点轨迹方程. 【详解】因为，所以三点共线，所以设． 因为，所以，所以． 因为点在圆上，将点代入，得，所以，故选：A． 【变式7-2】(多选)(2025·辽宁沈阳·二模)在平面内，存在定圆和定点，点是圆上的动点，若线段的中垂线交直线于点，关于点轨迹叙述正确的是(    ) A．当点与圆心重合时，点的轨迹为圆 B．当点在圆上时，点的轨迹为抛物线 C．当点在圆内且不与圆心重合时，点的轨迹为椭圆 D．当点在圆外时，点的轨迹为双曲线 【答案】ACD【难度】0.65【分析】由点是线段的中垂线与直线的交点，可得.对点的位置分类讨论，利用线段垂直平分线的定义与性质、圆的性质及圆锥曲线的定义逐项判断即可. 【详解】设圆的半径. 当点与圆的圆心重合时，线段的中垂线与直线的交点即为的中点， 此时，因此点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，故选项A正确； 当点在圆上时，如图所示，根据圆的性质可知线段的中垂线与直线的交点即为圆心， 轨迹为一个点，故选项B错误； 当点在圆内且非圆心时，如图所示. ∵点是线段的中垂线与直线的交点，，， (其中为圆的半径)，∴点的轨迹为椭圆，故选项C正确；    当点在圆外时，如图所示.∵点是线段的中垂线与直线的交点， ，，或，∴或(其中为圆的半径)，即，∴点的轨迹为双曲线，故选项D正确.故选：ACD. 【变式7-3】(多选)(24-25高三下·浙江杭州·阶段练习)已知定圆，点是圆所在平面内异于的定点，点是圆上的动点，若线段的中垂线交直线于点．则点的轨迹可能为(   ) A．椭圆 B．双曲线的一支 C．双曲线 D．圆 【答案】AC【难度】0.65【知识点】椭圆定义及辨析、双曲线定义的理解、轨迹问题——椭圆 【分析】根据点的不同，结合图形以及椭圆和双曲线的定义进行判断即可. 【详解】由题知，，圆半径为，连接，则， 当在圆内时，如图所示，所以， 可得点的轨迹为到两定点之间的距离之和为的椭圆； 当在圆上时，如图，为圆的弦，则点的轨迹是点， 当点在圆外时，如图，则， 所以点的轨迹为到两定点之间距离之差的绝对值为的双曲线.故选：AC 【变式7-4】(多选)(23-24高二上·四川攀枝花·期末)已知点是圆上的任意一点，点，线段的垂直平分线交于点，设点的轨迹为曲线.直线与曲线交于，两点，且点为线段的中点，则下列说法正确的是(    ) A．曲线的方程为 B．曲线的离心率为 C．直线的方程为 D．的周长为 【答案】ACD【难度】0.65【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、轨迹问题——椭圆、求弦中点所在的直线方程或斜率【分析】由题意作出图分析可知曲线为椭圆，从而求出椭圆的方程判断选项A与B，由点差法求出直线的斜率，然后求得直线的方程，可知C正确，由直线过椭圆的上焦点，所以的周长为，可知D正确. 【详解】如图：由图可知点到点与点的距离之和始终为定值且， 故点的轨迹为：以点与点为焦点的椭圆，可设其方程为， 故，，所以，，所以椭圆的方程为：，故A正确； 椭圆的离心率为：，故B错误； 直线与椭圆交于，两点，且点为线段的中点， 设，，则，. 由点差法得：，所以，所以， 即，所以直线的方程为：，即，故C正确； 由于直线：过椭圆的上焦点，所以的周长为，故D正确。故选：ACD. 【变式7-5】(多选)(24-25高二上·江苏常州·期中)如图，圆，圆，动圆与圆外切于点，与圆内切于点，圆心的轨迹记为曲线，则(    )    A．的方程为 B．的最小值为 C． D．曲线在点处的切线与线段垂直 【答案】BCD【难度】0.15 【知识点】用定义求向量的数量积、求椭圆中的最值问题、轨迹问题——椭圆、求椭圆的切线方程 【分析】对A，直接根据椭圆的定义可得答案；对B，利用与互补，求出的最大角即可；对于C，直接利用向量的坐标运算求解；对于D，求出点处的切线斜率，再利用，求出点的坐标，再判断切线斜率和的关系即可. 【详解】因为圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为， 对于选项A，设动圆的半径为，由条件得，则， 且不重合，故点的轨迹为以为焦点的椭圆(去掉重合的点)， 则曲线的方程为，故选项A错误； 对于选项B，由图可知与互补，设， 在中，，则， 又，所以，当且仅当时取等号， 又，所以，得到的最小值为，故选项B正确； 对于选项C，， 当且仅当时等号成立，故选项C正确； 对于选项D，设点， 下面先证明椭圆上一点的的切线方程为. 联立，消去得， 则，又，所以. 所以椭圆上一点的的切线方程为. 则过点的椭圆的切线方程为，切线斜率为， 又，所以， 则 得，解得， 所以， 又， 因为，所以，所以，所以， 所以，即曲线在点处的切线与线段垂直，故D正确；故选：BCD. 【变式7-6】(2025·广东广州·模拟预测)如图，在平面直角坐标系中，点在轴上运动，点在轴上运动，点在线段的延长线上，且，，则点的轨迹方程为 ．    【答案】【难度】0.85【知识点】轨迹问题——椭圆、求平面轨迹方程【分析】根据已知条件得到向量，然后用坐标表示出来，根据线段的长度即可求得点的轨迹方程. 【详解】设，由题意，又， 所以，即，所以，所以， 所以曲线C的方程为.故答案为：. 题型08 轨迹方程的应用 【典例8-1】(2024高二·全国·专题练习)发现土星卫星的天文学家乔凡尼卡西尼对把卵形线描绘成轨道有兴趣.像笛卡尔卵形线一样， 笛卡尔卵形线的作法也是基于对椭圆的针线作法作修改，从而产生更多的卵形曲线.卡西尼卵形线是由下列条件所定义的：曲线上所有点到两定点(焦点)的距离之积为常数.已知：曲线C是平面内与两个定点和的距离的积等于常数的点的轨迹，则下列命题中正确的是 ①．曲线C过坐标原点；②．曲线C关于坐标原点对称；③．曲线C关于坐标轴对称；④．若点P在曲线C上，则 的面积不大于 【答案】②③④【难度】0.85【知识点】求平面轨迹方程、由方程研究曲线的性质 【分析】设动点坐标为，由已知求出轨迹方程，对选项逐一验证即可. 【详解】由题意设动点坐标为，则，即， 若曲线C过坐标原点，将点代入曲线C的方程中可得与已知矛盾， 故曲线C不过坐标原点，故①错误； 把方程中的被代换，被代换，方程不变，故曲线C关于坐标原点对称，故②正确； 因为把方程中的被代换，方程不变，故此曲线关于轴对称， 把方程中的被代换，方程不变，故此曲线关于轴对称，故曲线C关于坐标轴对称，故③正确； 若点P在曲(多选)线C上，则，， 当且仅当时等号成立，故的面积不大于，故④正确.故选：②③④. 【典例8-2】(24-25高二上·江苏泰州·期中)《文心雕龙》中说“造化赋形，支体必双，神理为用，事不孤立”，意思是自然界的事物都是成双成对的.已知动点到定点的距离和它到直线的距离的比是常数.若某条直线上存在这样的点，则称该直线为“成双直线”，下列说法正确的是(    ) A．动点的轨迹方程为： B．的最大值为16 C．点为动点的轨迹上的任意一点，，，则的面积为 D．直线与动点的轨迹交于两点，则的最小值为 【答案】AD【难度】0.65 【知识点】求椭圆中的最值问题、轨迹问题——椭圆、椭圆中焦点三角形的面积问题、椭圆的对称性 【分析】首先利用轨迹法求点的轨迹方程，再利用椭圆的性质和定义，以及基本不等式，即可判断选项. 【详解】设，则，化简为，故A正确； B.由A可知，，的最大值为，故B错误； C.由椭圆方程可知，点是椭圆的左焦点，则， 即，， ，所以，则，故C错误； D.四边形是平行四边形，即， , 当，即时，等号成立，所以则的最小值为，故D正确.故选：AD 【典例8-3】(2025高三·北京·专题练习)双纽线是卡西尼卵形线的一类分支，在数学曲线领域占有至关重要的地位，同时也具有特殊的有价值的艺术美．在平面上，把与定点、距离之积等于的动点的轨迹称为双纽线，则下列说法正确的是 ①双纽线的图象关于原点对称；②双纽线的方程为；③双纽线上任意一点到坐标原点的距离都不超过；④若直线与双纽线只有一个公共点，则实数的取值范围为 【答案】①③④【难度】0.4【知识点】求平面轨迹方程、由方程研究曲线的性质 【分析】设双纽线上的动点，直接根据题意化简即可判断②；由曲线上任一点关于原点的对称点适合曲线方程可判断①；利用已知方程变形，根据有界性结合两点间距离公式可判断③；联立直线与双纽线研究方程根的情况即可判断④． 【详解】设双纽线上的动点，由，得， 即，整理得：，故②错误； 将方程中的换为，换为，可得，方程不变， 即双纽线的图象关于原点对称，故①正确； 设动点，则，即，故③正确； 直线恒过原点，且双纽线经过原点，则直线与曲线至少一个公共点， 又直线与双纽线只有一个公共点，故除原点外无其他公共点， 联立，消得， 当，即时，方程仅一解，满足题意； 当时，当时，方程恒成立，即恒有一解， 当时，方程化简得， 当，即或时，方程无解，满足题意； 综上实数的取值范围为，故④正确.故答案为：①③④. 【变式8-1】(2025·黑龙江牡丹江·模拟预测)2025春节档国产影片《哪吒之魔童闹海》接连破全球票房记录，影片中哪吒与敖丙是不可分割的二人组，其中敖丙的武器“盘龙冰锤”相撞后形成了如图所示的曲线，可以用来表示数学上特殊的曲线．如图所示的曲线C过坐标原点O，C上的点到两定点，()的距离之积为定值．当时，C上第一象限内的点P满足的面积为，则(   ) A．6 B． C． D． 【答案】B【难度】0.4【知识点】求平面轨迹方程、求两曲线的交点、由方程研究曲线的性质 【分析】根据题设有，设结合定义得，利用三角形面积公式有，即是曲线与以直线的圆的交点，联立曲线与圆求得，应用两点距离公式求. 【详解】由原点在曲线上，则，设，则， 所以，则，所以， 由，且，可得， 所以，易知是曲线与以直径的圆的交点， 联立，且在第一象限，可得， 所以.故选：B 【变式8-2】(24-25高二下·湖南·期中)曲线和曲线组合围成“心形图”(如下图所示)，记“心形图”为曲线，曲线所围成的“心形”区域的面积等于(    ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.65【知识点】由标准方程确定圆心和半径、由方程研究曲线的性质、cosx(型)函数对称性的其他应用【分析】首先分析在第一象限的图形，发现第一象限的面积等于曲线与轴的交点及坐标原点所围成的直角三角形的面积， 由对称性可求得第四象限的面积，再计算第二、三象限面积，为两个半圆，由此可算得“心形”区域的面积. 【详解】如图所示，设，线段的中点为， 因为曲线关于点对称， 所以可将曲线与轴，轴围成的区域割补为直角三角形的区域， 于是曲线与轴，轴围成的区域面积就是直角三角形的面积， 即； 根据对称性，可得曲线与轴，轴围成的区域面积为， 又曲线所围成的“心形”区域中，两个半圆的面积为， 所以曲线所围成的“心形”区域的面积等于.故选：C. 【变式8-3】(多选)(2025·黑龙江齐齐哈尔·一模)泰戈尔说过一句话：世界上最远的距离，不是树枝无法相依，而是相互瞭望的星星；世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，却在转瞬间无处寻觅．已知点，直线，动点到点的距离是点到直线的距离的2倍，若某直线上存在这样的点，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论中正确的是(   ) A．点的轨迹方程是 B．直线是“最远距离直线” C．圆的方程为：，其上一动点，则的最小值为 D．点的轨迹与圆是没有交汇的轨迹(也就是没有交点) 【答案】AC【难度】0.65【知识点】求双曲线的轨迹方程、判断两曲线交点的个数、求双曲线中的最值问题、已知方程求双曲线的渐近线 【分析】对A：设出，结合题意计算即可得；对B：由双曲线方程得渐近线，根据渐近线与双曲线的位置关系判断；对C：结合点与双曲线的位置关系，根据点与圆的位置关系求解；对D：联立两方程，借助判断有无交点即可得. 【详解】对于A，设，则有，整理可得， 故点的轨迹方程是，故A正确； 对于B，由点的轨迹方程是知，双曲线的渐近线为， 可得直线为其一条渐近线，故直线与点的轨迹方程没有交点， 则直线不是“最远距离直线”，故B错误； 对于C，圆的方程为：，其圆心，半径为， 由点与圆的位置关系可知，，又即， 根据点与双曲线的位置关系可得，故，故C正确； 对于D，联立圆与点的轨迹方程，有，可得， ，故点的轨迹与圆有交点，故D错误.故选：AC. 【变式8-4】(多选)(2024高三·全国·专题练习)某校一数学兴趣小组设计了一款飞行器模型，其平面图的轮廓线为：平面内动点到定点的距离与到定直线的距离之和为6，点的轨迹为曲线，则下列说法中正确的有(   ) A．点在曲线的内部 B．曲线关于轴对称 C．若点在上，则 D．直线被曲线截得的线段长为 【答案】BC【难度】0.65【知识点】求抛物线的轨迹方程、抛物线的范围、由方程研究曲线的性质、求直线与抛物线相交所得弦的弦长 【分析】利用距离公式列方程求曲线的构成，数形结合判断A、B；根据所得方程，讨论点的位置判断C；联立直线求交点坐标，两点距离公式判断D. 【详解】设点，因为点到定点的距离与到定直线的距离之和为6， 所以， 当时，得，两边平方得， 当时，得，两边平方得， A，如图，曲线由两段抛物线弧组成，在中， 令，得，故点不在曲线的内部，错误；    B，由图易知，两段抛物线弧均关于轴对称，故曲线关于轴对称，正确； C，若点在上，得，所以， 若点在上，同理得，正确； D，由，得或(舍)， 由，得或(舍)， 故与曲线交于， 可得，错误．故选：BC 【变式8-5】(24-25高二下·贵州六盘水·期末)椭圆规是用来画椭圆的一种器械，它的构造如图所示，在一个十字形的金属板上有两条互相垂直的导槽，在直尺上有两个固定滑块，，它们可分别在横槽和纵槽中滑动，在直尺上的点处用套管装上铅笔，使直尺转动一周就画出一个椭圆.现以横槽和纵槽所在直线分别为轴和轴建立直角坐标系，若，是的中点，则的轨迹方程为 . 【答案】【难度】0.65【知识点】轨迹问题——椭圆【分析】设x轴上的点，y轴上的点，点，利用题设所得和中点坐标公式即可求解. 【详解】设x轴上的点，y轴上的点，点， 则由，又是的中点， 所以，所以即，所以的轨迹方程为. 故答案为： 【变式8-6】(24-25高二下·陕西西安·期中)Cassini卵形线是由法国天文家Jean－Dominique Cassini(1625-1712)引入的．卵形线的定义：线上的任何点到两个固定点，的距离的乘积等于常数．是正常数，设，的距离为，如果，就得到一个没有自交点的卵形线；如果，就得到一个双纽线；如果，就得到两个卵形线．若，．动点P满足．若A和是轨迹C与y轴交点中距离最远的两点，则面积的最大值为 ．    【答案】【难度】0.65【知识点】求平面轨迹方程、三角形面积公式及其应用、椭圆中三角形(四边形)的面积、由方程研究曲线的性质 【分析】由题意可得，即可确定曲线形状，结合，可求得曲线方程；由此可求出A和的坐标，利用曲线的对称性，可考虑P在第一象限内情况，要求面积的最大值，需求的P点横坐标的最大值，利用换元法结合二次函数的性质即得． 【详解】由题意可得，，，∴，故动点P的轨迹为双纽线， 设，因为，所以，即， 所以动点P的轨迹C的方程为；    令，可得，解得或，所以不妨设，， 由对称性，故可考虑P在第一象限的情况， 因为为定值，所以面积最大时，即点P的横坐标最大， 又即， 所以，令，则 因为，所以，故， 当时，取得最大值1，即的最大值为1，则x的最大值为1， 所以的最大值为，故面积的最大值为．故答案为：． 一、单选题 1.(24-25高二下·河南安阳·期末)在平面直角坐标系中，曲线：的周长为(    ) A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C【难度】0.94【知识点】由方程研究曲线的性质、直线截距式方程及辨析 【分析】利用方程可判断曲线的对称性，再研究第一象限的线段，根据对称性即可求得周长. 【详解】在曲线的方程中，令用或用代换，曲线方程都没有变， 所以曲线关于轴，轴对称，原点对称， 当，时，曲线的方程为，表示以和为顶点的线段， 其长度为，根据对称性知，其他三条线段的长也为2， 所以曲线：的周长为.故选：C. 2.(24-25高三上·云南·阶段练习)设两点的坐标分别为，，直线与相交于点，且它们的斜率之积为，则点的轨迹方程为(    ) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.85【知识点】求双曲线的轨迹方程、求平面轨迹方程 【分析】利用给定条件直接求解动点的轨迹方程即可. 【详解】设点，则的斜率为，的斜率为， 故，所以，故D正确.故选：D 3.(24-25高二上·全国·课后作业)已知曲线的方程为，则曲线关于(    )对称 A．轴 B．轴 C．原点 D．直线 【答案】B【难度】0.85【知识点】由方程研究曲线的性质【分析】利用坐标互换一一判定选项即可. 【详解】曲线的方程为， 将换为不变，原方程仍为，所以曲线关于轴对称； 将换为不变，原方程变为，所以曲线不关于轴对称； 将换为换为，原方程变为，所以曲线不关于原点对称； 将换为换为，原方程变为， 所以曲线不关于直线对称．故选:B． 4.(2025·黑龙江齐齐哈尔·一模)已知曲线，从曲线上任一点向轴作垂线，垂足为，且，则点的轨迹方程为(   ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.85【知识点】轨迹问题——椭圆 【分析】设出点的坐标，并表示出点，再代入已知曲线方程即可. 【详解】设点，由轴于点，且，得，则， 又点是曲线上的任意一点，因此， 所以点的轨迹方程为.故选：A 5.(24-25高二上·广东梅州·期末)曲线的方程为，则曲线上的点的纵坐标的最大值为(    ) A．2 B． C． D． 【答案】D【难度】0.85【知识点】由方程研究曲线的性质 【分析】根据题意可知关于x的方程有根，利用判别式运算求解即可. 【详解】因为，即， 可知关于x的方程有根，则，解得， 所以曲线上的点的纵坐标的最大值为.故选：D. 6.(24-25高二上·广东清远·期末)一动圆与圆外切，同时与圆内切，则该动圆圆心的轨迹方程为(    ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.65 【知识点】轨迹问题——椭圆、利用椭圆定义求方程、由圆的位置关系确定参数或范围 【分析】根据给定条件，求得两圆的圆心和半径，判定已知两圆的位置关系为内切，求得切点坐标，利用动圆与已知两圆相外切，内切的条件列出关于和动圆半径r的方程组，消去r再利用椭圆的定义写出轨迹方程，最后根据已知两圆的位置关系做出取舍. 【详解】圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为， 因为，所以两圆相内切于点， 设动圆的圆心为，半径为，则，， 因此点的轨迹方程是以为焦点，长轴长为10的椭圆(不含点)， 所以该动圆的圆心的轨迹方程为.故选：B 7.(24-25高二上·浙江·期中)自19世纪之后，折纸艺术与自然科学结合到了一起，它开始在西方成为教育教学和科学研究的工具.随着折纸过程中的数学之迷被解开，折纸发展成为了现代几何学的一个分支.现有一张半径为，圆心为的圆形纸片，在圆内选定一点且.将圆形纸片翻折一角，使圆周正好过点，把纸片展开后，留下一条折痕，折痕上到两点距离之和最小的点为.如此反复，就能得到越来越多的折痕，设点的轨迹为曲线，线段的中点为，在上任取一点，则的最小值是(    ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.4【知识点】轨迹问题——椭圆、数量积的运算律 【分析】利用折叠的几何性质及椭圆的定义先判定曲线的轨迹，再建立直角坐标系，结合向量的坐标运算和函数的最值的求法即可求解. 【详解】如图所示，设折痕为直线，点与关于折痕对称，，在上任取一点， 由中垂线的性质可知：，当且仅当与重合时取等号. 即折痕上到两点距离之和最小的点为，且. 故的轨迹是以为焦点，且长轴长为的椭圆，焦距，， 故， 以所在直线为轴，的中垂线为轴建立直角坐标系， 则曲线的方程为，则，， 设，则，， 则，， 因此可得，， 由二次函数的性质知，当时，取得最小值为故选：A. 8.(23-24高二上·福建福州·阶段练习)平面内两定点和，动点，满足，动点的轨迹为曲线，其中错误的是(    ) A．存在，使曲线过坐标原点； B．曲线关于轴对称，但不关于轴对称； C．若三点不共线，则周长最小值为； D．曲线上与不共线的任意一点关于原点对称的点为，则四边形的面积不大于. 【答案】B【难度】0.15【知识点】求平面轨迹方程、由方程研究曲线的性质 【分析】根据题意得到曲线方程为，根据各项描述依次分析判断即可. 【详解】平面内和，动点满足， 故 ， A：代入，可得，正确； B：对应曲线任意点，则关于y轴对称点为，关于轴对称点为， 将代入上式得； 将代入上式得； 所以曲线既关于轴对称，也关于轴对称，不正确; C：若、、三点不共线，则 ， 当且仅当时等号成立，又，所以周长的最小值为，正确； D：由于实质是卡西尼卵形线(图象形式较多)，下图为其中一种图象形式，    曲线上与、不共线的任意一点关于原点对称的点为， 又图象既关于轴对称，又关于轴对称，且，知： 四边形的面积为， 当且仅当时等号成立，此时，所以四边形的面积不大于，正确. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：曲线为，对于的取值范围不同，实际的图象呈现不同的形式，结合基本不等式即可证明C，对于D虽不能画出具体图形，但是可以根据其对称性画出大概图象，得到面积表达式. 二、多选题 9.(2025·江西·二模)已知两点的坐标分别为为坐标平面内的动点，直线的斜率分别为，且满足(为定值)，设动点的轨迹为．则(    ) A．轨迹关于原点对称 B．轨迹关于直线对称 C．当时，轨迹为一条直线 D．当时，轨迹存在最高点 【答案】BD【难度】0.65【知识点】求抛物线的轨迹方程、判断抛物线的开口方向、求平面轨迹方程、求抛物线的对称轴【分析】设，根据题意写出斜率之差的方程，化简可得的轨迹为挖去两个点的关于轴对称的抛物线，由此可以分析各个选项的正误. 【详解】设，则，整理得， 即，所以轨迹为挖去两个点的关于轴对称的抛物线，故A错误，B正确； 当时，，即一条直线挖去了两个点，故C错误； 当时，轨迹为，开口向下，有最高点，故D正确．故选：BD 10.(23-24高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习)泰戈尔说过一句话：世界上最远的距离，不是树枝无法相依，而是相互了望的星星，却没有交汇的轨迹；世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，而是纵然轨迹交汇，却在转瞬间无处寻觅．已知点，直线，动点到点的距离是点到直线的距离的．若某直线上存在这样的点，则称该直线为“最远距离直线”．则下列结论中正确的是(    ) A．点的轨迹方程是 B．直线是“最远距离直线” C．点的轨迹与圆没有交点 D．平面上有一点，则的最小值为11 【答案】ACD【难度】0.4【知识点】求椭圆中的最值问题、求点到直线的距离、轨迹问题——椭圆 【分析】对A：设出，结合题意计算即可得；对B、C：联立两方程，借助判断有无交点即可得；对D：借助题目定义，将转化为点到直线的距离，从而得到，计算出的最小值即可得. 【详解】对于A，设，则有，整理可得， 故点的轨迹方程是，故A正确； 对于B，联立直线与点的轨迹方程，有，可得， ，故直线与点的轨迹方程没有交点， 则直线不是“最远距离直线”，故B错误； 对于C，联立圆与点的轨迹方程，有，可得， ，故点的轨迹与圆没有交点，故C正确； 对于D，过点作垂直直线于点，由题意可得， 故，则当三点共线，即垂直直线时， 有，故的最小值为，故D正确.故选：ACD. 11.(24-25高二上·云南曲靖·期末)我们把平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹，称为卡西尼卵形线(Cassini Oval)．在平面直角坐标系中，两个定点，，，是平面上的两个动点，设满足的的轨迹为一条连续的封闭曲线，满足的的轨迹为一条连续的封闭曲线，则(   ) A．关于轴、轴对称 B．当不在轴上时， C．当时，纵坐标的最大值大于 D．当，有公共点时， 【答案】ACD【难度】0.15 【知识点】根据椭圆的有界性求范围或最值、轨迹问题——椭圆、求平面轨迹方程、由方程研究曲线的性质 【分析】对于A，写出轨迹方程，将，代入即可判断，对于B，由三角形两边之差小于第三边即可判断，对于C，通过即可判断，对于D，联立方程，得到，结合椭圆范围可判断. 【详解】对于选项A：设，由，得， 将代入得到， 将将代入得到， 所以关于轴、轴均对称，A正确； 对于选项B：当不在轴上时，与不共线，可以作为一个三角形的三个顶点， 所以，B错误； 对于选项C：当时，， 当时，可得：，解得：，此时， 即，故当时，点的纵坐标的最大值大于1，C正确； 对于选项D：由，得为椭圆，且，其方程为， 所以，代入， 得，所以，因为，所以， 解得：或舍去，D正确；故选：ACD. 【点睛】方法点睛：曲线关于轴、轴的对称对称性问题，可将，代入曲线方程，是否满足即可判断. 三、填空题 12.(2025高三·全国·专题练习)已知动圆在圆的外部且与圆相切，同时还在圆的内部且与圆相切，则动圆的圆心的轨迹的方程是 . 【答案】【难度】0.85【知识点】轨迹问题——椭圆 【分析】利用两圆相切可得到，再利用椭圆的定义可得到点的轨迹. 【详解】设圆的半径为，则根据题意，得，于是， 可知：点的轨迹为满足的椭圆，因此点的轨迹方程为．故答案为： 13.(2025·山东日照·二模)已知与x轴相交于C，D两点，点，以AB为直径的圆与⊙O内切，则△BCD面积的最大值为 ． 【答案】8【难度】0.65 【知识点】求椭圆中的最值问题、轨迹问题——椭圆、由圆的位置关系确定参数或范围 【分析】由两圆内切可以判定得到B的轨迹方程为椭圆，根据椭圆的性质即可确定最大值. 【详解】如图，设以为直径的圆的圆心为，，因为两圆内切，所以， 又为的中位线，所以，所以， 所以的轨迹为以，为焦点的椭圆， ，， 显然当为椭圆短轴顶点即时，的面积最大， 最大值为.故答案为：8 14.(24-25高二上·全国·课后作业)过曲线上一点作圆的两条切线，切点分别为，若，则曲线的方程为 ． 【答案】(且)【难度】0.4【知识点】求双曲线的轨迹方程、过圆外一点的圆的切线方程【分析】设P及切线方程，由直线与圆相切得出关于斜率k的方程，由判别式得出，再由斜率关系计算即可. 【详解】设，则过点的切线方程为，即， 所以，得， 则是此方程的两根，，，即， 故，得，而要满足题意需P在圆外，则， 即曲线的方程为(且)．故答案为：(且) 四、解答题 15.(2025高三·全国·专题练习)如图，已知椭圆的动弦垂直交轴于点，椭圆的长轴端点分别为，试探求直线与交点的轨迹方程． 【答案】【难度】0.85【知识点】求平面轨迹方程 【分析】设，计算直线与的两点式方程，两式相乘得到，结合点在抛物线上化简得到所求点的轨迹方程. 【详解】设直线与交于点，设， 则，①；．②；由①②得．③ 又因为在椭圆上，所以． 所以，代入③得．经化简得，即． 所以所求直线与交点的轨迹方程为． 16.(2025高三·全国·专题练习)如图，若以抛物线上两动点为直径端点的圆恒过定点，求证：(1)圆心的轨迹仍是抛物线；(2)直径过定点． 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析【难度】0.65 【知识点】求平面轨迹方程、抛物线中的直线过定点问题、直线与抛物线交点相关问题 【分析】(1)解法1：利用相关动点法，求的轨迹方程，确定轨迹是抛物线. 解法2：设直线与抛物线方程联立，可得，同理可得， 根据为中点，消去参数，可得轨迹方程，再确定轨迹是抛物线. (2)解法1：设直线方程为，与抛物线方程联立，结合韦达定理及列式，可得的关系，进而确定直线过定点. 解法2：利用平移变换，把问题转化成：点在新坐标原点，点在抛物线上，且，求证：直径过定点．再利用类似解法1的办法证明. 【详解】(1)设． 由已知及直径圆得 将⑤变形，并代入③④得， 即． 化简得，即．⑥ 将①变形，②平方，得，⑦；．⑧ ⑧⑦和②均代入⑥，得的轨迹方程为．所以的轨迹仍为抛物线. 解法2：相关直线法：已知，设，. 则，即， 由于2和为方程两根，故．即， 同理：设，，则. 即， 即， 即即即． 所以的轨迹仍为抛物线. (2)解法1  联立方程得，整理得． 设，因为，所以， 所以． 所以，，， 所以， 所以，所以，所以定点． 解法2  对作坐标变换 令题目等价于：点在新坐标系原点，点在抛物线上，且， 求证：直径过定点． 设，则由，得． 联立方程得(齐次化)． 令，得，整理得． 因为，所以，即，所以过定点． 还原后得，故定点为． 17. (2025高三·全国·专题练习)如图，已知过点的直线与椭圆交于不同的两点，点是弦的中点． (1)若，求点的轨迹方程；(2)求的取值范围． 【答案】(1)；(2)【难度】0.65 【知识点】求平面轨迹方程、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围 【分析】(1)设，分两种情况求解：若直线轴，则点为； 若直线与轴不平行，设，则，将与椭圆联立， 由韦达定理结合条件求得消去即可得点的轨迹方程； (2)设，分两种情况求解：①当轴时，为椭圆长轴的端点，点在原点处，此时，，；②若直线与轴不平行，根据是的中点得，并由弦长公式求得，， 进而得到，再由的范围求其取值范围即可． 【详解】(1)①若直线轴，则点坐标为. ②若直线与轴不平行，设，则， 设， 由消去，得．(*) ∴， . 由直线与椭圆有两个不同的交点，可得，即，所以． 由得，，∴， 两式相除，可得，即，代入①，，整理得． 综上所述，点的轨迹方程为． (2)①当轴时，分别是椭圆长轴的两个端点，则点在原点处， 所以，，所以，； ②若直线与轴不平行，由方程(*)，得， 所以，， 同理 所以． 因为，所以，所以，所以． 综上所述，． 18.(25-26高三上·辽宁沈阳·期末)设动点到坐标原点的距离和它到直线的距离之比是一个常数，记点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程，并讨论的形状与值的关系；(2)若时，得到的曲线为，将曲线向左平移一个单位得到曲线，过点的直线与曲线交于不同的两点，，过的直线分别交曲线于，设，，求的取值范围． 【答案】(1)，讨论见解析；(2).【难度】0.4 【知识点】求平面轨迹方程、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、根据韦达定理求参数 【分析】(1)根据题意列出关系式并化简为，讨论的取值判断曲线的形状；(2)由题意可得曲线的方程为：，由直线与曲线相交及，得；同理由得：；由直线与曲线相交得的表达式，进而得到的表达式，求出取值范围. 【详解】(1)设，由题设有，即， 故曲线的方程为：. (i)时，曲线的方程为：是抛物线； (ii)时，曲线的方程为：， 当时，，，所以曲线的方程为焦点在轴上的双曲线； 当时，,所以曲线的方程为焦点在轴上的椭圆. 综上，时，曲线是焦点在轴上抛物线；当时，曲线是焦点在轴上的双曲线；当时，曲线是焦点在轴上的椭圆. (2)当时，曲线的方程为：，则曲线的方程为：， 设，则，由，得，， (i)与轴不垂直时，方程为：, 由 ，消去，整理得：． 由根与系数的关系有：，所以，又，所以； 与轴垂直时，，也满足：， 同理可证：，所以. 设：，由，消去整理得：， 据题设有且，整理得， 因为，所以， 又，所以，所以， 所以，故的取值范围为． 19.(2025·河北·模拟预测)在直角坐标系中，点与点的连线的斜率的乘积为定值，记点的轨迹为. (1)求的方程；(2)若点是上两点，且满足直线与的斜率之和为. (ⅰ)若点坐标为，求直线的斜率；(ⅱ)若为的外心，证明：平分. 【答案】(1);(2)(ⅰ)；(ⅱ)证明见解析【难度】0.15 【知识点】求平面轨迹方程、椭圆中的定值问题 【分析】(1)根据两点间的斜率公式及题中条件即可求解； (2)(ⅰ)设直线的斜率为.则由直线的点斜式方程可得直线的方程，联立直线的方程与椭圆的方程，消去整理化简后结合韦达定理及点是直线与的交点，可求得，将其代入直线的方程可得点的坐标，同理可得点的坐标，根据斜率公式即可求解直线的斜率； (ⅱ)设，直线的方程分别为.令曲线，化简可得：，由曲线为过点的圆，可取，即可求得点的坐标与直线的斜率，进而比较与的大小即可证明. 【详解】(1)由题意得：，化简可得的方程为：. (2)(i)设直线的斜率为.则直线的方程为：， 与联立方程组，消去可得：， 整理得：， 由于直线与交于两点，则由韦达定理可得：，即， 代入直线的方程可得，所以点的坐标为. 因为直线的斜率为，同理可得点的坐标为. 故直线的斜率. (ⅱ)设，直线的方程分别为. 令曲线， 化简可得：， 因为曲线为过点的圆，可取，即， 此时曲线，所以点的坐标为， 所以直线的斜率为， 则，所以，即平分. 第 1 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $