专题07 函数的单调性与最值值域7考点（期中真题汇编，天津专用）高一数学上学期人教A版2019必修第一册

专题07 函数的单调性与最值值域 7高频考点概览 考点01 定义法证明函数的单调性 考点02 函数的单调性与单调区间 考点03 已知函数的单调性求参数 考点04 利用函数的单调性解不等式 考点05 利用函数的单调性比较大小 考点06 利用函数的单调性求函数最值 考点07 求解函数的值域 地 城 考点01 定义法证明函数的单调性 1．(24-25高一上·天津耀华中学滨城学校·期中)已知函数是定义在上的奇函数， (1)求a、b的值及的解析式； (2)用定义法证明函数在上单调递增； (3)若不等式 恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)，，； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）根据奇函数的性质：区间对称性及求参数值即可； （2）根据单调性定义，令，应用作差法比较函数值大小，即可证结论； （3）根据不等式及（2）结论有，即可求范围. 【详解】（1）由题设，且恒成立， 所以，可得，故， 综上，，， （2）令，则 ， 由上且，故， 所以函数在上单调递增，得证. （3）由题设， 结合（2）知，可得. 2．(24-25高一上·天津弘毅中学·期中)已知函数是定义域在上的奇函数，且. (1)求a，b的值； (2)用定义法证明函数在上单调递增； (3)解不等式. 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）由及列方程求参数值，注意验证； （2）根据单调性定义，应用作差法比较大小，即可证； （3）由奇函数、单调性得，求解即可. 【详解】（1）由题设，，则， 所以，则，满足题设， 所以； （2）由（1），令， 则 ， 由，则， 所以函数在上单调递增； （3）由题设， 则， 所以，即. 3．(24-25高一上·天津西青区张家窝中学·期中)已知是定义在上的偶函数，且时，. (1)判断函数在上的单调性并利用定义证明； (2)求函数的解析式； (3)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)函数在上单调递增，证明见解析 (2) (3)或 【分析】（1）根据函数单调性的定义：结合作差法和对数性质计算证明. （2）利用偶函数的性质，已知时的解析式，可求出时的解析式. （3）先求出时的值，再根据函数单调性和奇偶性求解的取值范围. 【详解】（1）函数在上单调递增，证明如下： 任取，设，则， 根据对数运算法则，可得， 因为，所以，那么， 又因为对数函数在上单调递减， 当时，，即，所以， 所以函数在上单调递增. （2）设，则， 因为是偶函数，所以， 所以. （3）当时，令， 根据指数对数互化，则，解得， 因为在上单调递增，在上单调递减，且是偶函数， 所以等价于，则， 则或.解得或. 4．(24-25高一上·天津滨海新区塘沽第一中学·期中)已知是R上的奇函数，且当时，函数的解析式为， (1)求函数的解析式，判断在上的单调性，并用定义法证明； (2)若存在实数s，t，，使得成立，求正实数m的取值范围； (3)若，求x的取值范围. 【答案】(1)，在上单调递减；证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据奇函数的定义求函数解析式，并结合单调性的定义证明单调性； （2）由题意分析可知：，结合单调性分析求解； （3）根据单调性分析可得，进而运算求解. 【详解】（1）当时，，则， 由是R上的奇函数可得，且； 综上：； 在上单调递减，证明如下： ，，且， 则， 由可得，，，， 则，即， 所以在上单调递减. （2）因为存在实数s，t，，使得成立可得， 则， 由（1）可知在上单调递减，即在上单调递减， 则， 可得， 由于m为正实数，即， 则有，可得，，即， 综上所述，正实数m的取值范围. （3）因为，且在上单调递减， 由，可得，即， 即，整理可得，解得， 所以实数x的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：对于（2）根据存在性问题分析可知，结合单调性分析最值，即可得解. 5．(24-25高一上·天津和平区天津益中学校·期中)设、，已知函数是定义在上的奇函数． (1)求的值； (2)若，用函数单调性的定义证明“函数在上单调递减”； (3)若存在，使，求的取值范围． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）利用奇函数的定义可求出实数的取值范围； （2）由（1）可得，任取、且，作差，变形后判断的符号，结合函数单调性的定义判断可证得结论成立； （3）由题意可知，存在，使得，当时不等式不成立；当时，由参变量分离法可得出，利用基本不等式求出的最小值，即可得出关于实数的不等式，由此可解得实数的取值范围. 【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数，则， 即，化简可得，解得. （2）因为，由（1）可得， 任取、且，即，所以，，， 则 ，即， 故当时，函数在上为减函数. （3）因为存在，使得，可得， 当时，原不等式显然不成立， 当时，则有，则， 由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以，解得或， 因此，实数的取值范围是. 6．(24-25高一上·天津第一中学滨海学校·期中)已知函数. (1)证明:为奇函数； (2)判断的单调性，并加以证明； (3)求的值域. 【答案】(1)证明见解析 (2)在上单调递增，证明见解析 (3) 【分析】（1）求出定义域后，验证是否成立即可得； （2）借助单调性定义计算即可得； （3）先计算出的范围后即可得函数值域. 【详解】（1）由，则的定义域为， 又， 故为奇函数； （2）在上单调递增，证明如下： 令，则 由，则，又，故， 故在上单调递增； （3）， 当时，由，故， 故， 即的值域为. 地 城 考点02 函数的单调性与单调区间 1．(24-25高一上·天津双港中学·期中)若为奇函数，则的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由为奇函数，求出的值，利用复合函数的单调性特征求的单调递增区间. 【详解】函数为奇函数，的定义域为， 由，∴， 函数的定义域为， 函数在定义域内单调递增， 当时，的单调递增区间为， 所以的单调递增区间为. 故选：D． 2．(24-25高一上·天津耀华中学滨城学校·期中)函数的单调减区间是 ． 【答案】 【分析】讨论、，结合二次函数的性质确定递减区间. 【详解】当时，， 所以，在上函数单调递增，在上函数单调递减， 当时，，即在上函数单调递增， 综上，函数的单调减区间为. 故答案为： 3．(24-25高一上·天津九十六中学·期中)已知，则函数的单调递增区间为 . 【答案】 【分析】将绝对值去掉，转化为分段函数，画出图象求解即可. 【详解】，画出函数图象，    结合图象得函数的单调递增区间为. 故答案为：. 4．(24-25高一上·天津南开中学·期中)的单调递增区间为 . 【答案】 【分析】利用复合函数“同增异减”的性质可知求得函数的单调递减区间即可. 【详解】易知函数是由指数函数和二次函数复合而来， 由复合函数单调性可知求出函数的单调递减区间即可， 利用二次函数性质可知，在上单调递减， 所以的单调递增区间为. 故答案为： 5．(24-25高一上·天津滨海新区塘沽第一中学·期中)已知函数的图象恒过点，则 ，函数的单调递增区间为 . 【答案】 8 【分析】先求得的图象所过定点的坐标，再由对数型复合函数的单调性确定单调区间． 【详解】当时，得， 所以过定点，即，所以； 函数， 令，解得或，函数在上递减，在上递增， 又在单调递增， 所以在为增函数，在为减函数， 所以函数的单调递增区间为． 故答案为：；． 6．(24-25高一上·天津滨海新区大港油田第三中学·期中)函数的单调递减区间是 ． 【答案】； 【分析】利用复合函数的单调区间求解方法可得答案. 【详解】设，则，； 因为为减函数，在区间为减函数，在区间为增函数， 所以函数的单调递减区间为. 故答案为： 7．(24-25高一上·天津弘毅中学·期中)定义在上的函数为奇函数，且当时，. (1)求和的值； (2)求函数的解析式； (3)作的图象，并写出单调区间和值域（直接写出单调区间和值域）. 【答案】(1)，； (2)； (3)作图见解析，答案见解析. 【分析】（1）根据解析式及奇函数性质，将自变量代入求值即可； （2）利用奇函数的性质求解析式即可； （3）根据解析式画出图象，数形结合确定单调区间和值域. 【详解】（1）由题设，； （2）若，则，故， 由在上的函数为奇函数，则，且时，， 所以； （3） 由图知，的单调增区间为，单调减区间为，且值域为R. 8．(24-25高一上·天津百华实验中学·期中)已知是二次函数，且满足，. (1)求的解析式； (2)直接写出的单调区间； (3)求在区间上的最大值和最小值. 【答案】(1) (2)在上单调递减，在上单调递增 (3)答案见详解 【分析】（1）设，利用待定系数法即可求出解析式； （2）由，二次函数图象开口向上，且对称轴为，可得单调区间； （3）通过讨论，，时，即可求得二次函数在区间上的最值. 【详解】（1）因为是二次函数， 设， ∴， 所以， ∵，即， ∴，即， 又∵，∴， 所以. （2）由（1）知，， 因为，函数图象开口向上，且对称轴为， 所以在上单调递减，在上单调递增. （3）由（2）知，当时，在区间上单调递减， 所以， ； 当时，在区间上单调递减，在上单调递增， 所以， ； 当时，在区间上单调递减，在上单调递增， 所以， ， 综上，当时，的最大值为5，最小值为； 当时，的最大值为5，最小值为； 当时，的最大值为，最小值为. 地 城 考点03 已知函数的单调性求参数 1．(24-25高一上·天津九十六中学·期中)已知函数在上单调递减，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数的对称轴列不等式即可得解. 【详解】由二次函数性质可知，要使函数在上单调递减，只需， 解得，即的取值范围为. 故选：A 2．(24-25高一上·天津滨海新区大港油田第一中学·期中)函数 在区间上单调递减，则a的取值范围是（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数的性质列不等式求解即可. 【详解】由题意，二次函数的开口向上，对称轴方程为， 因为函数在区间上单调递减，所以，解得. 故选：B. 3．(24-25高一上·天津弘毅中学·期中)已知函数在内单调递减，则的取值范围是( ). A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分段函数在内单调递减，且具有连续性，求出二次函数的对称轴，列不等式可求解． 【详解】由题意，解得． 故选：C． 4．(24-25高一上·天津百华实验中学·期中)已知是定义在上的减函数，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为是定义在上的减函数， 所以，解得. 故选：A. 考点：分段函数的单调性. 【点晴】本题主要考查了分段函数的单调性的应用，其中解答中涉及到一次函数的单调性的应用、减函数的定义、分段函数的性质、不等式的求解等知识点的考查，属于基础题，解答中熟练掌握分段函数的性质及一次函数的单调性是解答的关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力. 5．(24-25高一上·天津弘毅中学·期中)已知函数，若在单调递增，则m的范围为 . 【答案】. 【分析】由题意，结合二次函数性质得单调区间，进一步结合已知即可列不等式求解. 【详解】由题意， 所以在单调递减，在单调递增，在单调递减，在单调递增， 若在单调递增， 则或，解得或. 故答案为：. 6．(24-25高一上·天津滨海新区塘沽紫云中学·期中)已知幂函数在第一象限单调递增，则 . 【答案】2 【分析】根据函数为幂函数，得到方程，求出或，再根据函数单调性去掉不合要求的根，得到答案. 【详解】因为为幂函数，所以，解得或， 当时，，在上单调递增，满足题意， 当时，，在上单调递减，不合要求，舍去； 故答案为：2 7．(24-25高一上·天津咸水沽第一中学·期中)已知幂函数在上为减函数，则实数 ． 【答案】-1 【分析】利用幂函数的定义列出方程求出m的值，将m的值代入函数解析式检验函数的单调性． 【详解】∵y=（m2﹣5m﹣5）x2m+1是幂函数 ∴m2﹣5m﹣5=1解得m=6或m=﹣1 当m=6时，y=（m2﹣5m﹣5）x2m+1=x13不满足在（0，+∞）上为减函数 当m=﹣1时，y=（m2﹣5m﹣5）x2m+1=x﹣1满足在（0，+∞）上为减函数 故答案为m=﹣1 【点睛】本题考查幂函数的定义：形如y=xα（其中α为常数）、考查幂函数的单调性与幂指数的正负有关． 8．(23-24高一上·天津第一百中学、咸水沽第一中学·期中)已知函数，满足对任意的实数，都有成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据分段函数的单调性列式求解. 【详解】对任意的实数，都有成立， 所以函数在R上为减函数，可得，解得， 所以实数a的取值范围为. 故答案为： 9．(24-25高一上·天津和平区天津益中学校·期中)若函数在区间内单调递减，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题意知，第一步函数单调递减，由复合函数单调性可知，第二步考虑函数定义域即可得到答案. 【详解】由题意知，第一步函数单调递减，由复合函数同增异减可知，第二步考虑函数定义域， 在恒成立， 得到 故答案为：. 地 城 考点04 利用函数的单调性不等式 1．(24-25高一上·天津和平区天津益中学校·期中)已知函数若 ，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】判断函数的单调性，再利用单调性求解不等式. 【详解】当时，函数在上单调递增，， 当时，在上单调递增，， 因此函数在R上单调递增， ，解得， 所以实数a的取值范围是. 故选：D 2．(24-25高一上·天津弘毅中学·期中)已知函数是定义域为的奇函数，且，若对任意的，，且，都有成立，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由在单调递增，又结合为奇函数得出上递增，再由等价于或，即可求解集. 【详解】对任意的，，且，都有成立，所以在单调递增， 又因为函数是定义域为的奇函数，所以在单调递增， 由， 当时，，即； 当时，，即； 由可得. 故选：D. 3．(24-25高一上·天津耀华中学滨城学校·期中)已知，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造函数，利用的单调性可得，进而可得. 【详解】由得， 设，因函数与都是上的增函数， 故为上的增函数， 又因，故， ， 故A正确， 因，，与1的大小都不确定，故B，C，D错误， 故选：A 4．(24-25高一上·天津滨海新区塘沽第一中学·期中)已知函数的定义域为，，对于任意，当时，（其中为自然对数的底数），若，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】化简式子得到，构造函数， 并得到是减函数.然后解不等式，得出实数的取值范围. 【详解】∵，， ∴，则 令，∴， 即当时，，即函数在上单调递减， ∵，当时，不成立， 当时，，则，即，即， ∴，则， ∴ 当时，，则，即，即， ∴，则，无解. 综上所述： 故答案为： 5．(24-25高一上·天津第一中学滨海学校·期中)已知是定义域为的函数，且是奇函数，是偶函数，满足，若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先根据函数的奇偶性求得的解析式，构造函数，根据的单调性以及对进行分类讨论来求得的取值范围. 【详解】由题意可得， 因为是奇函数，是偶函数， 所以，联立， 解得，又因为对于任意的，都有成立， 所以，即成立， 构造， 所以由上述过程可得在单调递增， 若，则对称轴，解得； 若，则在单调递增，满足题意； 若，则对称轴恒成立；综上，． 故答案为： 【点睛】易错点睛： 奇偶性判断的细节：在利用奇偶性构造函数时，容易在符号处理上出现错误，尤其是对于奇函数和偶函数的性质.确保每一步推导中符号的准确是非常重要的. 分类讨论的完整性：在进行参数的分类讨论时，必须确保每种情况都被考虑到，包括.如果遗漏某一情况，可能会导致结论不完整. 6．(24-25高一上·天津滨海新区大港油田第一中学·期中)已知定义在上的函数是奇函数，且 则满足不等式的实数a的取值范围为 【答案】 【分析】先确定函数的定义域，再根据奇函数的性质化简不等式，最后利用函数的单调性解不等式即可. 【详解】由函数的定义域为，得，解得； 由，得， 又函数是奇函数，则， 因为函数满足，所以函数为减函数， 所以，解得， 综上，， 故答案为：. 7．(24-25高一上·天津宁河区芦台第二中学·期中)已知函数是定义在区间上的函数，且在该区间上单调递增，则满足 的 的取值范围是 . 【答案】 【分析】由函数单调性脱去函数外衣求解可得答案，注意定义域的限制. 【详解】因是定义在区间上的单调递增函数，且， 则. 故答案为：. 8．(24-25高一上·天津五区县重点校联考·期中)函数对任意的实数a，b，都有，且当时，． (1)求的值； (2)求证：是R上的增函数； (3)解关于实数x的不等式． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）利用赋值法计算即可； （2）利用赋值法结合函数单调性的定义证明即可； （3）根据（1）（2）的结论去函数符号，再利用指数函数的单调性解不等式即可. 【详解】（1）因为对任意的实数a，b，都有， 不妨取，则，所以； （2）任取实数，且，则， 由当时，，得， 依题意，， 所以函数是R上的增函数； （3）由（1）知，，由（2）知，函数是R上的增函数， 则不等式， ， 即，所以， 解得（舍去）或，即，所以原不等式的解集是. 【点睛】思路点睛：抽象函数问题通常利用赋值法，结合已知条件判定函数单调性（奇偶性）去函数符号可解不等式. 9．(24-25高一上·天津滨海新区大港油田第一中学·期中)（1） 计算的值. （2） 已知函数（，且），且函数的图象过点. 若成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）2（2） 【分析】（1）根据对数的运算性质，换底公式计算即可； （2）先根据对数函数的定义域得，再利用函数图象上的已知点求函数解析式，最后利用对数函数的单调性解不等式即可. 【详解】（1） （2）由题意得，解得或， 又，即，解得，则， 因为函数在上单调递增，且， 所以，则，解得， 综上，或 因此，实数的取值范围是. 地 城 考点05 利用函数的单调性比较大小 1．(24-25高一上·天津百华实验中学·期中)已知函数，则（    ） A．是增函数 B．是偶函数 C．的最大值为 D． 【答案】D 【分析】利用分离常数法结合单调性的性质判断的单调性，结合单调性分析判断ACD；根据奇偶性的必要性前提分析判断B. 【详解】由题意可得：，且在区间上单调递增， 所以在区间上单调递减，故A错误； 因为定义域不关于原点对称，所以不具有奇偶性，故B错误； 因为在区间上单调递减，所以的最大值为，故C错误； 且，故D项正确； 故选：D. 2．(24-25高一上·天津百华实验中学·期中)若是定义在上的偶函数，，有，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知关系式可知在上单调递减，由偶函数定义知，结合单调性可得函数值大小关系. 【详解】为定义在上的偶函数，； ，有，在上单调递减， ，即. 故选：D. 3．(24-25高一上·天津咸水沽第一中学·期中)已知函数，则下列结论正确的个数有（    ） （1） （2）函数为上的单调函数 （3）函数的值域为(0,2) （4），都有 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据函数的单调性、值域、作差法比较函数值大小，逐项判断即可证得结论， 【详解】因为，则定义域为，所以， 则，所以，故（1）正确； 当时，函数在上单调递减，此时； 当时，函数在上单调递减，此时， 所以函数为上的单调递减，且，函数的值域为(0,2)，故（2）（3）正确； ，则 因为，所以, 故，所以，都有. 故结论正确的个数有4个. 故选：D. 4．(24-25高一上·天津宁河区芦台第二中学·期中)函数是定义域为的偶函数，且在上单调递减， 则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由函数奇偶性结合函数单调性可得答案. 【详解】因是定义域为的偶函数， 则. 又在上单调递减， 则. 故选：D 5．(24-25高一上·天津第二耀华中学·期中)已知在上是减函数，，若，则下列正确的是（    ） A． B． C． D．以上都可能 【答案】C 【分析】由减函数的性质求解即可； 【详解】因为在上是减函数， 所以，若，则， 故选：C. 6．(24-25高一上·天津咸水沽第一中学·期中)已知，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由指数的计算化简的值，由幂函数指数大于0，函数单调递增，比较的值的大小；由底数大于1，指数函数单调递增，比较的值的大小，从而得出结论. 【详解】，， ∵，∴函数单调递增且，∴，即， ∵，∴函数单调递增且，∴，即， ∴. 故选：D. 7．(24-25高一上·天津第一中学滨海学校·期中)已知，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据幂函数、指数函数的单调性判定大小即可. 【详解】易知， 又定义域上单调递减，，所以， 易知单调递增，， 则， 综上. 故选：A 8．(24-25高一上·天津滨海新区北京师范大学天津生态城附属学校·期中)设，，，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据指数函数单调性，比较；根据幂函数单调性，比较，即可得出结果. 【详解】因为指数函数是减函数，所以，即； 又因为幂函数是增函数，所以，即， 所以. 故选：D. 地 城 考点06 利用函数的单调性求函数的最值 1．(24-25高一上·天津第九十五中学·期中)函数在区间上的最大值和最小值分别是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将函数展开，结合其图象的对称性和单调性即可求得其最值. 【详解】因 可知函数图象关于直线对称，且在上单调递减，在上单调递增， 又 故当时，取得最大值4；当时，取得最小值0. 故选：D. 2．(24-25高一上·天津九十六中学·期中)若在处取得最小值，则（    ） A．1 B．3 C． D．4 【答案】B 【分析】结合基本不等式求得正确答案. 【详解】依题意， ， 当且仅当时等号成立. 故选：B 3．(24-25高一上·天津九十六中学·期中)函数在区间上的最小值是（    ） A． B．0 C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的单调性计算可得. 【详解】因为，所以在上单调递增， 所以. 故选：B 4．(24-25高一上·天津静海区三校联考·期中)已知函数，且. (1)求； (2)判断函数在上的单调性，并用定义法证明； (3)求函数在区间上的最大值和最小值. 【答案】(1) (2)函数在上单调递增，证明见解析 (3)最大值为，最小值为6. 【分析】（1）直接由代入，即可求得； （2）利用定义法作差计算，即可证明函数的单调性； （3）利用函数的单调性计算最值即可. 【详解】（1）函数，因为， 所以，则. （2）函数在上单调递增， 由（1）知，， 下面证明单调区间， 设，则， 由，则， 所以，即， 所以函数在上单调递增. （3）由（2）可知在区间上单调递增，则在区间上单调递增， 所以， 则函数在上的最大值为，最小值为6． 5．(24-25高一上·天津朱唐庄中学·期中)已知函数. (1)先判断函数在区间上的单调性，再用定义法证明； (2)求函数在区间上的最值. 【答案】(1)在上单调递减，证明见解析； (2)最大值为，最小值为. 【分析】（1）将令应用作差法判断的大小判断单调性； （2）利用的单调性求区间的最值. 【详解】（1）在上单调递减， 令， 则 ， 又，， 所以，故， 则在区间上的单调递减. （2）由（1）知：在上的单调递减，所以在上递减， 即，， 故函数在区间上的最大值为，最小值为. 6．(24-25高一上·天津朱唐庄中学·期中)已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，函数在轴左侧的图象如图所示，请根据图象； (1)画出在轴右侧的图象，并写出函数的单调区间； (2)写出函数的解析式； (3)若函数，求函数的最小值. 【答案】(1)答案见解析 (2) (3). 【分析】（1）利用关于原点中心对称作出图象，由图象得单调区间； （2）根据奇函数定义求解析式； （3）用二次函数性质分类讨论即可求得最小值． 【详解】（1）函数是定义在上的奇函数，即函数的图象关于原点对称， 则函数图象如图所示． 故函数的单调递减区间为，单调递增区间为； （2）根据题意， 令，则，则， 又因为函数是定义在上的奇函数， 所以， 即， 所以. （3）当时，， 则， 其对称轴为， 当时，即，则， 当时，即，则， 故. 地 城 考点07 求解函数的值域 1．(24-25高一上·天津第四十七中学·期中)函数的值域是 . 【答案】 【分析】利用二次函数性质、指数函数性质求出值域即得. 【详解】依题意，，当且仅当时取等号，而函数在R上单调递减， 因此， 所以函数的值域是. 故答案为： 2．(24-25高一上·天津咸水沽第一中学·期中)已知函数为奇函数． (1)求实数的值； (2)判断函数在其定义域上的单调性，并用定义法证明； (3)若不等式成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)为上的增函数，证明见解析 (3) 【分析】（1）根据函数的奇函数的性质与定义求参数即可得结论； （2）利用单调性的定义，取值，作差，变形，定号，从而可证得函数单调性； （3）根据函数的奇偶性与单调性得不等式为，再利用不等式的恒成立、能成立求解最值即可得结论. 【详解】（1）∵为上的奇函数． ∴，∴，∴ 检验：此时为奇函数，满足条件； （2）为上的增函数， 证明：，且， ， ∵，∴，∴， ∴，即，∴为上的增函数． （3）∵，∴， ∵在上的奇函数，∴， ∵为上的增函数，∴， ∵对恒成立，∴， ∵在上单调递增，∴， ，使不等式成立，∴， ∵在上单增，在上单减， ∴，∴，∴， 另解：，使不等式成立， ∴， ∵，∴在上单减，在上单增 ∴ ∴即  ∴对恒成立 ∴， ∵在上单增，∴， ∴，∴． 3．(24-25高一上·天津滨海新区塘沽第一中学·期中)已知函数. (1)当，时，求函数的值域； (2)当时，若方程有两个不相等的实根，，且. ①求t的取值范围； ②证明：. 【答案】(1) (2)①；②证明见解析 【分析】（1）利用换元法可求值域； （2）①变形得到，即与有两个不同的交点，根据的单调性和图象，数形结合得到答案；②根据①得到，，且满足，即，计算出，又，代入后计算可得结论. 【详解】（1）当，时，，令，则， 则，即，故函数的值域为； （2）当时，， ①因为有两个不相等的实根，即有两个不相等的实根， ， 即，设，即与有两个不同的交点， 其中当时，单调递减， 当时，单调递增，其中， 当时，，结合图像可知；    ②由①可知，所以，， 且满足，，即. 又， 所以 ， 因为，所以，， 故.即证出 【点睛】函数零点问题：将函数零点问题或方程解的问题转化为两函数的图象交点问题，将代数问题几何化，借助图象分析，大大简化了思维难度，首先要熟悉常见的函数图象，包括指数函数，对数函数，幂函数，三角函数等，还要熟练掌握函数图象的变换，包括平移，伸缩，对称和翻折等，涉及零点之和问题，通常考虑图象的对称性进行解决. 4．(24-25高一上·天津静海区三校联考·期中)已知二次函数. (1)若，求在上的值域； (2)求在上的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先确定单调性，再根据单调性求值域； （2）分，，讨论，确定单调性即可得最小值. 【详解】（1）若，则，对称轴为， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 又， 所以在上的值域为； （2）二次函数， 对称轴为， 当，即时，在上单调递增，， 当，即时，在上单调递减，在上单调递增，， 当，即时，在上单调递减，， 综上：. 5．(24-25高一上·天津百华实验中学·期中)已知函数，且（1）． (1)求的值；判断并证明的奇偶性； (2)判断函数在，上是单调递增还是单调递减？并证明； (3)求在上的值域． 【答案】(1)，奇函数 (2)单调递增，证明见解析 (3) 【分析】（1）将代入函数解析式，求解即得，利用奇函数的定义判断并证明即可； （2）利用函数单调性的定义判断并证明即可； （3）利用函数的单调性即求． 【详解】（1）根据题意，函数，且（1）， 则(1)，解得； 由得，其定义域为，关于原点对称， 又由， 所以是奇函数； （2）在上是单调递增函数． 证明如下：设，则 ， 因为， 所以，， 则，即， 所以在上是单调递增函数． （3）由上知：在上单调递增， ， ， 的值域为． 6．(24-25高一上·天津第一中学滨海学校·期中)已知函数. (1)证明:为奇函数； (2)判断的单调性，并加以证明； (3)求的值域. 【答案】(1)证明见解析 (2)在上单调递增，证明见解析 (3) 【分析】（1）求出定义域后，验证是否成立即可得； （2）借助单调性定义计算即可得； （3）先计算出的范围后即可得函数值域. 【详解】（1）由，则的定义域为， 又， 故为奇函数； （2）在上单调递增，证明如下： 令，则 由，则，又，故， 故在上单调递增； （3）， 当时，由，故， 故， 即的值域为. 7．(24-25高一上·天津耀华中学滨城学校·期中)已知函数. (1)当时，求该函数的值域； (2)求不等式的解集； (3)若于恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）利用换元法，结合二次函数的性质求得函数在区间上的值域. （2）结合一元二次不等式、对数不等式的解法来求得不等式的解集. （3）利用换元法并分离常数，结合函数的单调性求得的取值范围. 【详解】（1）令，，则， 函数转化为，， 则二次函数，在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，取到最小值为，当时，取到最大值为5， 故当时，函数的值域为. （2）由题得，令，则，即，解得或， 当时，即，解得；当时，即，解得，故不等式的解集为或． （3）由于对于上恒成立， 令，，则即在上恒成立， 所以在上恒成立， 因为函数在上单调递增，也在上单调递增， 所以函数在上单调递增，它的最大值为， 故时，对于恒成立． 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题07函数的单调性与最值值域 ☆7高频考点概览 考点01定义法证明函数的单调性 考点02函数的单调性与单调区间 考点03已知函数的单调性求参数 考点04利用函数的单调性解不等式 考点05利用函数的单调性比较大小 考点06利用函数的单调性求函数最值 考点07求解函数的值域 目目 考点01 定义法证明函数的单调性 1.(Q425高-上天津耀华中学滨城学校期中)已知函数f)=+是定义在[-3上的奇函数。 (I)求a、b的值及f(x)的解析式： (2)用定义法证明函数f(x)在[一3，b]上单调递增： (3)若不等式f(m+1)+f(2-3m<0恒成立，求实数m的取值范围. 2.2425高-上天津弘毅中学期中)已知函数f)=0是定义域在[-1,1上的奇函数，且f得月= (1)求a,b的值； (2)用定义法证明函数f(x)在[-1,1]上单调递增； (3)解不等式f(t2-1)+f(2t-2)<0. 3.24-25高一上天津西青区张家窝中学期中)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且x≤0时，f(x)=l1og (-x+1). (I)判断函数f(x)在(-∞，0]上的单调性并利用定义证明； (2)求函数f(x)的解析式： (3)若f(a-1)<-1,求实数a的取值范围 4.(24-25高一上·天津滨海新区塘沽第一中学·期中)已知f(x)是R上的奇函数，且当x<0时，函数的解析式 为f=是 1/8 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)求函数f(x)的解析式，判断f(x)在(0，+o)上的单调性，并用定义法证明； (2)若存在实数s,t,rE[1,2,使得f(s)-f(t)川>mf(r)成立，求正实数m的取值范围； (3)若f(el2x+)>f(e1-刘，求x的取值范围 5.Q425高一上天津和平区天津益中学校期中)设a、b∈R,已知函数f)=是是定义在R上的奇函 数。 (1)求b的值； (2)若a>0,用函数单调性的定义证明“函数f(x)在(1，+∞)上单调递减”； (3)若存在xER,使f(x)川>1，求a的取值范围， 3x-1 6.24-25高一上天津第一中学滨海学校期中)已知函数f(x)=3*+1 (1)证明：f(x)为奇函数； (2)判断f(x)的单调性，并加以证明； (3)求f(x)的值域， 目目 考点02 函数的单调性与单调区间 1.(24-25高一上天津双港中学·期中)若f()=。s+1-1为奇函数，则g()=l[(x-1)(x-a]的单调递增 区间是() A.(0,1) B.(1,+∞) c.(,+o) D.(2,+∞) 2.(24-25高一上·天津耀华中学滨城学校·期中)函数y=xx-4的单调减区间是· 3.(24-25高一上·天津九十六中学.期中)已知f(x)=x2+2x+3,则函数f(x)的单调递增区间为 4.(24-25高一上·天津南开中学期中)f(x)=0.7x2-2x的单调递增区间为 5.(24-25高一上·天津滨海新区塘沾第一中学期中)已知函数y=log(x-1)+6(a>0,a≠1)的图象恒过点A (m,n),则m+n= ，函数g(x)=log(x2-mx)的单调递增区间为 6.(24-25高一上·天津滨海新区大港油田第三中学·期中)函数y=l0g(x2一4)的单调递减区间是· 7.(24-25高一上·天津弘毅中学·期中)定义在R上的函数f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)=x2-2x-3. 2/8 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 y 4321 -5432-101234.5x 4 (1)求f(2)和f(-1)的值； (2)求函数f(x)的解析式： (3)作f(x)的图象，并写出单调区间和值域（直接写出单调区间和值域）， 8.(24-25高一上·天津百华实验中学期中)己知f(x)是二次函数，且满足f(0)=1,f(x+1)-f(x)=4x (1)求f(x)的解析式： (2)直接写出f(x)的单调区间； (3)求f(x)在区间[-1，上的最大值和最小值 目目 考点03 己知函数的单调性求参数 1.(24-25高一上·天津九十六中学·期中)己知函数f(x)=x2-mx+5在(-∞，2]上单调递减，则m的取值范围 为() A.[4,+∞) B.[2,+∞) C.(-∞，4 D.（-∞，2] 2.(24-25高一上·天津滨海新区大港油田第一中学·期中)函数f(x)=x2+2(a一1)x+2在区间(-∞，4)上 单调递减，则α的取值范围是() A.[-3,+∞) B.（-0,-3] C.(-∞，5) D.[3,+∞) 3.2425高一上天津烈毅中学期中已知函数f)={(侣-+≤》在x∈R内单调递减，则的取 值范围是()。 A.(o, B.,) c.(1 D.[1,+∞) 4.(2425高一上天津百华实验中学期中)已知f(=(2a二1)x十4，<1是定义在R上的减函数，则a的 -X+1,x≥1 取值范围是() A.2) B.2 C. D. 3/8 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 5.(24-25高一上·天津弘毅中学.期中)己知函数f(x)=x2-4x,若f(x)在[m,m+1]单调递增，则m的范围 为 6.(24-25高一上天津滨海新区塘沽紫云中学期中)已知幂函数f(x)=(m2一m一1)xm在第一象限单调递增， 则m= 7.(24-25高一上·天津咸水沽第一中学.期中)己知幂函数y=(m2-5m一5)x2m+1在(0，+o)上为减函数，则 实数m= 8.(23-24高一上·天津第一百中学、咸水沽第一中学期中)已知函数f(x)= (2a-1)x+4a(x<1) 2(x≥1) ,满足对 任意的实数x1≠x2, 都有f)-f2<0成立，则实数a的取值范围为】 X1-X2 9.(24-25高一上·天津和平区天津益中学校期中)若函数f(x)=Vax+1在区间[-1,1]内单调递减，则实数a 的取值范围是 目目 考点04 利用函数的单调性不等式 1.2425商一上天律和平区天津益中学校期中已知函数f)={20若2-a购>fo),则实数a 的取值范围是() A.(-∞，-1)U(2,+∞) B.(-0,-2)U(1,+∞) C.（-1,2) D.（-2,1) 2.(24-25高一上·天津弘毅中学.期中)已知函数f(x)是定义域为(-∞，0)U(0,+o0)的奇函数，且f(-2)=0, 若对任意的x1,x2E(0,+o),且：1≠x2,都有f)二f2>0成立，则不等式xf)<0的解集为《) X1-X2 A.(-0,-2)U(2,+∞) B.(-∞，-2)U(0,2) C.(-2,0)U(2,+∞) D.(-2,0)U(0,2) 3.(2425高一上·天津耀华中学滨城学校·期中)已知x3一y3<2x一2y,则下列结论中正确的是() A.In(y-x+1)>0 B.In C.Inly+x>0 D.Inly-x>0 4.(24-25高一上天津滨海新区塘沽第一中学期中)已知函数f(x)的定义域为(0，+∞)，f(2)=号，对于任意 x1x2E(0,+o),当x1>x2时，x1x2[f(x1)-f(x2)】<x2e1-x1e(其中e为自然对数的底数)，若flna) lna>a,则实数a的取值范围为 5.(24-25高一上·天津第一中学滨海学校·期中)已知f(x),9(x)是定义域为R的函数，且f(x)是奇函数，g(x) 是偶函数，满足f)+9()=ax2+x+2,若对任意的1<x1<x2<2,都有9)-g2>-5成立，则实数 x1-x2 a的取值范围是 4/8 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 6.(24-25高一上·天津滨海新区大港油田第一中学期中)已知定义在[-2,2]上的函数f(x)是奇函数，且 f)-f2<0,则满足不等式f(1一2a)+f(a-3)>0的实数a的取值范围为 X1-X2 7.(24-25高一上·天津宁河区芦台第二中学.期中)已知函数f(x)是定义在区间[0，+∞)上的函数，且在该区 间上单调递塔，则满足f2x-1)<f()的x的取值范围是 8.(24-25高一上天津五区县重点校联考·期中)函数f(x)对任意的实数a,b,都有f(a+b)=f(a)+f(b) -3,且当x>0时，f(x)>3. (1)求f(0)的值； (2)求证：f(x)是R上的增函数； (3)解关于实数x的不等式f(1-5.9-x)+f(4·3-x)<6. 9.(24-25高一上·天津滨海新区大港油田第一中学.期中)(1)计算lg5-log23×log32+eln2+lg2的值 (2)已知函数f(x)=logax(a>0,且a≠1)，且函数的图象过点(2,1).若f(m2-m)<1成立，求实数m 的取值范围 目目 考点05 利用函数的单调性比较大小 1.(2425高-上天津百华实验中学期中)已知函数f)=2”xE[2,6,则() A.f(x)是增函数 B.f(x)是偶函数 C.f(x)的最大值为f(6) D.f(2)>f(4)>f(6) 2.(24-25高一上·天津百华实验中学期中)若f(x)是定义在(-o,+∞)上的偶函数，x1,x2∈[0，+∞) (x1≠2)，有)f@<0,则() X2一x1 A.f(3)<f(1)<f(-2) B.f(1)<f(-1)<f(3) C.f(-2)<f(1)<f(3) D.f(3)<f(-2)<f(1) 3.2425高一上天津咸水沽第一中学期中)已知函数f(x)=1一+1，则下列结论正确的个数有(） (1)f(2024)+f(-2024)=2 (2)函数f(x)为R上的单调函数 (3)函数f(x)的值域为(0,2) （4)x,2∈(0，+o),都有f)≤f士@ 2 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4.(24-25高一上·天津宁河区芦台第二中学期中)函数f(x)是定义域为R的偶函数，且在(0，+∞)上单调递减， 5/8 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 则() A.f(-m)>f(-1)>f(V2 B.f(-1)>f(-m)>f(2 c.f(-m)>f(2>f(-1) D.f(-1)>f(2>f(-m) 5.(24-25高一上·天津第二耀华中学.期中)已知f(x)在(2,5)上是减函数，x1,x2E(2,5),若x1<x2,则下列 正确的是() A.f(x1)<f(x2) B.f(x1)=f(x2) C.f(x1)>f(x2) D,以上都可能 6.24-25高一上天津成水洁第一中学期中)已知a=2,b=20,c=(月，则a,b,c的大小关系是() A.a<c<b B.c<b<a C.b<c<a D.c<a<b 7.24-25高-上天津第一中学滨海学校期中已知a=(目，b=(图，c=(),则a,b,c的大小关系是 () A.a>b>c B.b>a>c C.a>c>b D.c>a>b 8.(24-25高一上·天津滨海新区北京师范大学天津生态城附属学校·期中)设a=0.6.4,b=0.40.6，c= 0.404,则a,b,c的大小关系是() A.b>c>a B.c>a>b C.a>b>c D.a>c>b 目目 考点06 利用函数的单调性求函数的最值 1.(24-25高一上·天津第九十五中学·期中)函数f(x)=x-3引在区间[-1,4上的最大值和最小值分别是 () A.4,1 B.1,-4 C.4,-4 D.40 2.(24-25高一上天津九十六中学期中)若f()=x+x二2(x>2)在x=n处取得最小值，则n=（） 1 A.1 B.3 c.3 D.4 3.(2425高一上天津九十六中学期中)函数g()=“、一在区间，2上的最小值是() A.-1 B.0 C.-2 D. 4.2425高一上天津静海区三校联考期中)已知函数f()=士，且f(1)=10 (1)求a; (2)判断函数f(x)在[3，+∞)上的单调性，并用定义法证明： (3)求函数f(x)在区间[3,6上的最大值和最小值 6/8 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 5.(24-25高一上天津朱唐庄中学期中)已知函数f(x)=3x一1 ()先判断函数f(x)在区间(，+∞)上的单调性，再用定义法证明； (2)求函数f(x)在区间[1,5]上的最值 6.(24-25高一上·天津朱唐庄中学期中)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≤0时，f(x)=x2+4x, 函数f(x)在y轴左侧的图象如图所示，请根据图象： (I)画出f(x)在y轴右侧的图象，并写出函数f(x)(x∈R)的单调区间； (2)写出函数f(x)(x∈R)的解析式： (3)若函数g(x)=f(x)+(3一a)x+4(x∈[2,4)，求函数g(x)的最小值 目目 考点07 求解函数的值域 1.Q4-25高一上天津第四十七中学期中)函数y=()+2x+的值城是 2.24-25高一上天津威水洁第一中学期中已知函数f()=a~2*1+a=3,aER为奇函数. 2x+1 (I)求实数a的值； (2)判断函数f(x)在其定义域上的单调性，并用定义法证明； 6)若vx∈2,3]，3xE[-21】不等式f(m2-a)+f(。3-m)>0成立，求实数m的取值范围. 1 3.(24-25高一上·天津滨海新区塘沽第一中学·期中)已知函数f(x)=log2(2x+t)-Qx. (1)当a=0,t=2时，求函数f(x)的值域： (2)当a=2时，若方程f(x)=x有两个不相等的实根x1,x2,且x1<x2 ①求t的取值范围； ②证明：f(x1+1)+f(x2-1)<-1 4.(24-25高一上·天津静海区三校联考·期中)已知二次函数f(x)=x2-Qx+1,a∈R. (1)若a=2,求f(x)在[-1,2]上的值域； 7/8 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)求f(x)在[-1,2上的最小值g(a) 5.24-25高一上天津百华实验中学期中)已知函数f(0)=x+受，且f(1)=5. (I)求m的值；判断并证明f(x)的奇偶性； (2)判断函数f(x)在(2，+∞)，上是单调递增还是单调递减？并证明； 3)求fx)在9上的值域。 6。(2425高一上天津第一中学滨海学校期中)已知函数f()=禁 (1)证明：f(x)为奇函数； (2)判断f(x)的单调性，并加以证明； (3)求f(x)的值域 7.(24-25高一上天津耀华中学滨城学校期中)己知函数f()=(2l0g4x-2)(1og4x+) (1)当xE[1,16时，求该函数的值域； (2)求不等式f(x)>2的解集： (3)若f(x)<mlog4x于x∈[4,16]恒成立，求m的取值范围. 8/8