甘肃省定西市渭源县第二中学2025-2026学年高三上学期第一次模拟数学试卷

2025-2026学年甘肃省定西市渭源二中高三（上）第一次模拟数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合，，若，则实数a的取值范围是(    ) A. B. C. D. 2.已知复数，则(    ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 3.已知向量和满足，则向量在向量上的投影向量为(    ) A. B. C. D. 4.设是等差数列的前n项和，若，则(    ) A. B. C. D. 5.若角满足，则(    ) A. B. C. D. 6.的展开式中的系数为(    ) A. 252 B. 162 C. 126 D. 36 7.2025年1月7日9时5分，西藏自治区日喀则市定日县发生级地震，现从各省共抽派7支抢险工作队前往5个灾区县救援，要求每个受灾县至少有一个工作队的方法种数共有(    ) A. 1800 B. 16800 C. 14280 D. 25200 8.已知双曲线的左，右焦点分别为，，过的直线l与其右支交于P，Q两点，若，，则C的离心率为(    ) A. B. 2 C. D. 4 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9.在棱长为1的正方体中，O为上底面的中心，则(    ) A. 平面 B. C. 直线与的距离为 D. 直线BC与平面所成角的正弦值为 10.已知，分别为双曲线C：的左、右焦点，C的一条渐近线l的方程为，且到l的距离为，点P为C在第一象限上的点，点Q的坐标为，PQ为的平分线.则下列正确的是(    ) A. 双曲线的方程为 B. C. D. 点P到x轴的距离为 11.已知数列的前n项和为，且，，则(    ) A. B. 数列是等差数列 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.曲线在处的切线方程为______. 13.已知函数，若，则实数a的值等于______. 14.已知函数在区间上有3个零点，则a的取值范围为______. 四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题12分 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足 求角A的大小； 已知，，求BC边上的中线AD的长. 16.本小题12分 在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，，，E为PD的中点，如图所示. 证明：平面PAB； 若为等边三角形，平面平面ABCD，，求二面角的余弦值. 17.本小题12分 某校在2024年开展了两次劳动基地除草耕地活动，首次活动有800名学生参加.活动结束后，经评估发现有的学生的劳动技能得到了提升.为进一步增强劳动教育效果，学校汲取首次活动的经验并进行改进，第二次活动面向未参加第一次活动的学生开展.不仅增加了辨别杂草种类、合理使用农具等具有挑战性的任务，还特邀农业专家进行现场指导.已知第二次活动吸引了1200名学生参加，且活动结束后，有960名学生的劳动技能得到了提升. 补充完整下面的列联表； 劳动技能提升的学生人数 劳动技能未提升的学生人数 合计 首次活动 第二次活动 合计 依据小概率值的独立性检验，能否认为该校第二次除草耕地活动中学生的劳动技能提升与活动改进有关？ 从参加第二次除草耕地活动的学生中按照劳动技能是否提升进行分层，用分层随机抽样的方法抽取20名学生进行意见调查，再从这20名学生中随机抽取3名进行深度访谈，求其中恰好有2名学生的劳动技能提升的概率. 附：， 18.本小题12分 已知双曲线C：的离心率为，点在C上，A，B为C的左、右顶点. 求C的方程； 若点M，N在C的右支上在第一象限，直线AM，BN分别交y轴于P，Q两点，且 ⅰ探究：直线MN是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由； ⅱ设，分别为和的面积，求的取值范围. 19.本小题12分 已知函数 若，求的单调区间； 当时，，求a的取值范围. 答案和解析 1.【答案】B  【解析】解：集合，， 若，则，解得 实数a的取值范围是 故选： 化简集合B，利用集合B是集合A的子集，列不等式求出a的范围． 本题考查集合间关系的应用，属于基础题． 2.【答案】C  【解析】解：由复数，得， 则 故选： 3.【答案】A  【解析】解：，，则， 则在的投影向量为 故选： 先计算向量，再应用投影向量公式计算即可求解． 本题考查了平面向量的投影向量计算问题，是基础题． 4.【答案】D  【解析】【分析】 本题考查等差数列的前n项和公式，属于基础题． 由已知和等差数列的求和公式可得，进而可得，，代入化简可得． 【解答】 解：是等差数列的前n项和，且， ，即， 整理可得，， ， 故选： 5.【答案】C  【解析】解：因为， 所以，， ， 所以 故选： 根据两角和的余弦公式以及、的关系，可求出，再将所求式子切化弦，可得结果． 本题主要考查两角和与差的三角函数，属于中档题． 6.【答案】B  【解析】解：的展开式中的系数为 故选： 分别按第一个括号选1，和进行讨论，利用二项式定理求解． 本题考查二项式定理的应用，属于基础题． 7.【答案】B  【解析】解：从各省共抽派7支抢险工作队前往5个灾区县救援，要求每个受灾县至少有一个工作队， 则可将7人分为1，1，1，1，3或1，1，1，2，2五组即可， 则不同的分组方法有种， 则每个受灾县至少有一个工作队的方法种数共有种． 故选： 根据题意可将7人分为1，1，1，1，3或1，1，1，2，2五组，再分到5个灾区即可． 本题考查排列组合相关知识，属于中档题． 8.【答案】B  【解析】解：过的直线l与其右支交于P，Q两点，如图， 根据双曲线定义，可得，， 又，解得，， 又，可得，， 在中，根据余弦定理得， 在中，根据余弦定理得， 因为，所以， 化简整理得，解得 故选： 先根据双曲线定义依次求出、、和，接着由在和中运用余弦定理列方程即可求解． 本题考查双曲线的简单性质的应用，直线与双曲线的位置关系的应用，是中档题． 9.【答案】ACD  【解析】解：由题意可建立空间直角坐标系，如图所示： 则，，，，，，， 所以，， 对于A，设平面的法向量为， 则，令，可得， 所以，即， 又因为平面，所以平面，故A正确； 对于B，，， 则， 所以不成立，故B错误； 对于C，因为，设，， 则，令，则， 又因为，所以直线与的距离为，故C正确． 对于D，，平面的法向量， 设直线BC与平面所成角为， 则， 所以直线BC与平面所成角的正弦值为，故D正确． 故选： 建立空间直角坐标系，根据向量法判断线面平行、线线垂直判断A，B，运用异面直线向量距离公式求解判断C，根据向量法求解线面角判断 本题考查空间向量在立体几何中的应用，属于中档题． 10.【答案】BD  【解析】解：分析选项A：由渐近线方程，得，即， 利用焦点到渐近线距离公式，解得， 结合，得，，双曲线方程为，A错误； 分析选项B：根据角平分线定理，，计算，，得， 结合双曲线定义，解得，，B正确； 分析选项D：设，由，列方程， 解得，，点P到x轴距离为，D正确； 分析选项C：计算，C错误． 故选： 根据双曲线的性质即可求解． 本题考查了双曲线的性质，属于基础题． 11.【答案】ACD  【解析】解：因为，所以， 所以，因为，所以， 所以数列是首项为2，公比为2的等比数列， 所以，即，故B错误，C正确； 对于A，，故A正确； 对于D，，故D正确． 故选： 由递推式可得，构造等比数列可求得，可判断B，C；代值计算判断A；求和可判断 本题考查由数列的递推式求通项，前n项和，等比数列的定义，属于中档题． 12.【答案】  【解析】解：因为，所以， 所以当时，， 所以切线方程为，即 故答案为： 求导，利用导数的几何意义求切线斜率，利用点斜式求切线方程． 本题考查函数的切线方程的求解，属基础题． 13.【答案】  【解析】解：因为， 当时，，， 故舍， 当时，， 若，即时，， 解得， 若即时，， 此时a不存在， 综上 故答案为： 由已知分段函数解析式对a进行分类讨论，然后结合对应的函数解析式代入建立关于a的方程，可求． 本题主要考查了分段函数的函数值求解，体现了分类讨论思想的应用，属于中档题． 14.【答案】  【解析】解：时，， 因为在区间上有3个零点，所以， 解得，故a的取值范围为 故答案为： 根据函数解析式，得到时，的取值范围，根据正弦函数的零点列出不等式，可得到a的取值范围． 本题主要考查三角函数的图象与性质，属于中档题． 15.【答案】；   【解析】由正弦定理及得，， 所以，即， 又， 所以， 所以， 因为，所以， 所以， 因为，所以 在中，由余弦定理知，， 所以，解得或舍负， 因为D是BC的中点， 所以， 所以，即， 故BC边上的中线AD的长为 利用正弦定理化边为角，并结合两角和的正弦公式化简可得，再由同角三角函数的关系，即可得解； 在中，利用余弦定理求出c的值，再由，将其两边平方，结合平面向量数量积的运算法则，求解即可． 本题考查解三角形，熟练掌握正余弦定理，两角和的正弦公式，平面向量的运算法则是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题． 16.【答案】证明：取PA的中点F，连接EF，BF， 因为E是PD的中点，所以，， 又，， 所以，， 所以四边形BCEF是平行四边形，所以， 又平面PAB，平面PAB， 所以平面 解：取AB的中点O，连接OP， 因为为等边三角形，所以， 又平面平面ABCD，平面平面，平面PAB， 所以平面ABCD， 以A为原点，AB，AD所在直线分别为x，y轴，作，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，， 设平面PAC的法向量为，则， 取，则，，所以， 设平面ACE的法向量为，则， 取，则，，所以， 所以，， 由图知，二面角为锐角， 故二面角的余弦值为  【解析】取PA的中点F，连接EF，BF，先证四边形BCEF是平行四边形，可得，再由线面平行的判定定理，即可得证； 取AB的中点O，连接OP，由面面垂直的性质定理可证平面ABCD，再以A为原点建系，利用向量法求二面角即可． 本题考查立体几何的综合应用，熟练掌握线面平行的判定定理，面面垂直的性质定理，以及利用向量法求二面角是解题的关键，考查空间立体感，逻辑推理能力和运算能力，属于中档题． 17.【答案】能；    【解析】首次活动劳动技能提升的学生人数人； 首次活动劳动技能未提升的学生人数人； 第二次活动劳动技能提升的学生人数为960人； 第二次活动劳动技能未提升的学生人数人， 劳动技能提升的学生人数 劳动技能未提升的学生人数 合计 首次活动 560 240 800 第二次活动 960 240 1200 合计 1520 480 2000 零假设为 ：该校第二次除草耕地活动中学生的劳动技能提升与活动改进无关， ， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即该校第二次除草耕地活动中学生的劳动技能提升与活动改进有关，该推断犯错误的概率不超过 抽取的20名学生中劳动技能得到提升的人数为人，抽取的20名学生中劳动技能未得到提升的人数为人， 记从这20名学生中随机抽取3名进行深度访谈，其中恰好有2名学生的劳动技能提升为事件A，则 由已知条件即可完成列联表； 由独立性检验知识可以完成判断； 依据组合的知识和古典概型公式即可求解． 本题考查了列联表与独立性检验应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题． 18.【答案】；   ⅰ过定点，定点坐标；ⅱ  【解析】离心率，，而，， 双曲线的方程为，. 将点代入双曲线方程，得，，， 的方程为 ⅰ直线MN过定点， 由双曲线C的方程可知，，设，， 法一：设直线MN的方程为，联立 整理得， 则， ， 直线令，得，. 直线，令，得， 由，得， 即， ， 即， ， ， 整理可得， ，直线MN过定点 方法二：由，可设，，则直线即的方程为， 联立整理得， 由题设知，且， 由根与系数关系，得，， ，即， 又直线即的方程为， 联立得， 由题设知，且， 由根与系数关系，得，， ， ，. 当时， 直线MN的方程为， 化简整理得，直线MN过定点， 当时，，即， 解得直线MN也过定点， 综上，直线MN过定点 ⅱ由ⅰ知，直线MN过定点， 则， 由ⅰ知，， ， ， 又点M，N在双曲线C的右支上，双曲线C的渐近线方程为， ， 令，则 于是， 令，则，在单调递减， 在单调递增， 当，即时，取得最小值， 的取值范围是 由离心率和双曲线上的点结合，解得，，即可得出答案； ⅰ设，， 方法一：设直线MN的方程为，一方面，与双曲线方程联立，结合韦达定理得到；另一方面，写出直线AM，BN的方程，进而得到P，Q的坐标，再由得到从而有，即可得到直线MN所过的定点． 方法二：由，设，，得直线即的方程为，联立双曲线的方程，结合韦达定理求得，写出直线BN的方程，进而可得，分和两种情况，得直线MN的方程即可得直线MN所过的定点； ⅱ由ⅰ结合，得到，M，N在双曲线C的右支上根据渐近线方程得到，通过换元并利用导数可求得的取值范围． 本题主要考查双曲线的性质，直线与双曲线的综合，考查运算求解能力，属于难题． 19.【答案】在上单调递增，没有单调递减区间；     【解析】当时，， 令， 则， 令，则， 当时，， 当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以在时取最小值，即，所以， 所以在上单调递增，没有单调递减区间． 因为，， 所以要使当时，， 必须满足，即 下面证明满足题意： ①当时，， 令，则， 所以在上单调递增， 又，当时，， 所以存在，使得， 所以当时，，即在上单调递减， 所以当时，， 所以当时，不恒成立． ②当时，由， 令，， 由知，在上单调递增， 所以， 所以当时，，即； 综上所述，实数a的取值范围是 求函数的定义域及导函数，利用导数证明，由此确定函数的单调区间；结合关系，，得出在上恒成立的必要条件为，再证明时，在恒成立，时不满足条件，可得结论 本题考查导数的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $