1.1 集合的概念 课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第1章 集合与常用逻辑用语 1.1 集合的概念 人教A版2019高中数学必修第一册 N* N Z Q R 必修第一册 第一章 集合与常用逻辑用语 充分条件与必要条件、 全称量词与特称量词 学习目标：学会使用集合和逻辑用语表达和交流数学问题，提升交流的逻辑性、准确性、简洁性、统一性 集合：可简洁、准确地表达数学研究对象及研究范围的数学语言。为定义函数和研究函数的性质、随机事件的关系、方程或不等式的解集、点线面的关系等提供语言基础。 逻辑用语：表达命题及命题间的逻辑关系的数学语言。可以使我们正确理解数学概念、合理论证数学结论、准确表达数学内容。 集合的概念、表示方法、基本关系、基本运算 章导语 见章首页开篇例子 集合论作为数学中最富创造性的伟大成果之一，是在19世纪末由德国的康托尔(1845－1918)创立起来的。但是，它萌发、孕育的历史却源远流长，至少可以追溯到两千多年前。 格奥尔格·康托尔 德国数学家 集合论创始人 主要成就：集合论和超穷数理论 “关于数学无穷的革命几乎是由他一个人独立完成的。” 4 什么是集合？什么是元素？ 看下面的例子： （1）1~10之间的所有偶数； （2）卢老师所在初中今年入学的全体高一新生； （3）所有的正方形； （4）到直线l的距离等于定长d的所有点； （5）方程的所有解； （6）地球上的四大洋 2，4，6，8，10 全部正方形，无数个 点构成了直线 太平洋、大西洋、印度洋、北冰洋 全部新生 一般地，我们把研究对象统称为元素，常用小写字母a, b, x, y, …表示. 把由元素组成的总体叫做集合(简称为集)。常用大写字母A, B, R, Z, …表示. 什么是集合？什么是元素？ “对象” 集合中的“对象”所指的范围非常广泛，现实生活中我看到的、听到的、想到的、触摸到的事物和抽象的符号等等，都可以看做对象。比如数、点、图形、多项式、方程、函数、人等等、 “总体” 集合是一个整体，已暗含“所有”“全部”“全体”的含义，因此一些对象一旦组成集合，那么这个集合就是全体，而非个别对象了。 （1）用A表示高一(2)班全体学生组成的集合. （2）用a表示高一(2)班的一位同学，b表示高一(3)班的一位同学. 思考：a，b与集合A分别有什么关系? 如果a是集合A中的元素，就说a 集合A，记作 ； 如果a不是集合A中的元素，就说a 集合A，记作 . 属于 不属于 问题2 总结2 3、常用的数集比如自然数集怎么表示？ 【自然数集】 全体自然数组成的集合，包括0，1，2…等，记作N，也叫非负整数集 【正整数集】 全体正整数组成的集合，记作N*或N+； 【整数集】 全体整数组成的集合，记作Z； 【有理数集】 全体有理数组成的集合，记作Q； 【实数集】 全体实数组成的集合，记作R； 以上数集之间的关系如图所示： N* N Z Q R 注意写法 从上面的例子可以看 出：我们可以用自然 语言来描述集合，还 可以用什么方法呢？ 1.所有的“帅哥”能否构成一个集合？由此说明什么？ 2.由1,3,0,5,︱-3︳这些数组成的一个集合中有5个元素，这种说法正确吗？ 3.高一（5）班的全体同学组成一个集合，调整座位后这个集合有没有变化？ 问题3：集合中元素有什么性质？ 集合元素的特性 1.确定性 2.互异性 3.无序性 集合元素必须是确定的。不能确定的对象不能组成集合。 集合中的元素可以任意排列，与次序无关。 给定一个集合，集合中的元素一定是不同的。若相同的对象归入同一个集合时，只能算集合中的一个元素。 总结 集合的元素相同 问题4：什么样的两个集合相等？ 1. 判断下列元素的全体是否组成集合，并说明理由． (1) 与定点A，B等距离的点； (2) 高中学生中的游泳能手． 教材P5练习1 解：(1) 能组成集合. (2) 不能组成集合，因为不满足集合元素的确定性. 2. 用符号“∊”或“∉”填空： ∊ ∉ ∉ ∊ ∊ ∉ 教材P5练习2 集合的3种表示方法之列举法 “地球上的四大洋”组成的集合怎么表示？ “方程的所有实数根”组成的集合怎么表示？ 像这样，把集合的元素一一列出来，并用花括号｛｝括起来表示集合的方法 叫做列举法。 ｛大西洋，太平洋，北冰洋，印度洋｝ ｛0，2｝ 用列举法表示下列集合 （1）小于10的所有自然数的集合； （2）方程 的所有实数根组成的集合. 【解】（1）｛0，1，2，3，4，5，6，7, 8, 9｝ （2）｛1，0｝ 注意： 由于集合具有无序性，所以第(1)题的答案可以有多种呈现方式， 如｛0，1，2，4，5，6，7，3, 8, 9｝等 例1 集合的3种表示方法之列举法 【问题】哪些集合适合用列举法表示呢？ （1）含有有限个元素且元素个数较少的集合 （2）元素较多，但是元素的排列呈现一定的规律，在不至于发生误解的情况 下，也可以列出几个元素作代表，其他元素用省略号表示，如自然数集 N可以表示为｛0，1，2，…，n…｝ （3）当集合所含元素属性特征不易表述时，用列举法比较方便，如 ｛｝ 集合的分类 【有限集】含有有限个元素的集合 【无限集】含有无限个元素的集合 思考3：a与{a}有什么区别？ 元素 集合 集合的3种表示方法之描述法 能否用列举法表示不等式x－3<7的解集？该集合中的元素有什么性质？ 所有奇数的集合怎么表示？偶数的集合怎样表示？有理数集怎么表示呢？ 奇数集、偶数集表示方法是否唯一？ 奇数集表示为｛ ∈Z| =(∈Z)｝， 偶数集表示为｛ ∈Z| =(∈Z)｝； 把不等式x－3<7的解集表示为｛ ∈R| <10｝ 集合的3种表示方法之描述法 一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P()的元素 所组成的集合表示为｛ ∈A|P()｝ 这种表示集合的方法称为描述法。 温馨提示：有时也用冒号或者分号代替竖线，写成 ｛ ∈A：P()｝或｛ ∈A；P()｝ 例2 试分别用描述法和列举法表示下列集合： （1）方程的所有实数根组成的集合A； （2）由大于10而小于20的所有整数组成的集合B. 集合的3种表示方法之描述法 问题：用描述法表示集合需要注意什么问题？ （1）竖线前面表示的是集合的元素，｛ |｝， ｛ |｝， ｛ |｝分别是三个不同的集合. （2）竖线后面写清元素满足的条件，一般是方程或者不等式. （3）不能出现未说明的字母，如｛｝未说明的取值情况，故集合中的 元素不确定. （4）所有描述内容都要写在花括号里面，如写法｛ ｝，∈Z不符合 要求，应改为｛ ，∈Z ｝ （5）多层描述时，要准确适用“或”“且”等表示元素关系的词语，如 {|} 3. 用适当的方法表示集合： (1) 方程x2-9=0的所有实数根组成的集合； (2) 一次函数y=x+3与y=-2x+6图象的交点组成的集合； (3)不等式4x-5<3的解集. 解：（1）{-3, 3}； （2）{(1, 4)}； （3）{x|x<2}. 教材P5练习3 表示集合的三种方法各有什么特点？ 自然语言是最基本的语言形式，使用范围广，但是具有多义性，有时难于表达。 列举法直观地体现了元素的个体，但是有局限性，多适用于元素个数较少的有限集。 描述法具有抽象概括、普遍性的特点，适用于元素共同特征明显的集合，有些集合元素没有明显的共同特征，则不能用描述法。 方程的解集 ｛1｝ ｛| ｝ 表示集合的三种方法各有什么特点？ 几何语言及其他语言的关系及构成 形象化 具体化 自然语言 (通俗、易懂) 图形语言 (形象、直观) 集合语言 简介、抽象 文字化 抽象化 抽象化 形象化 文字语言 符号语言 图形语言 新知基础巩固 P5 ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ {2,3,4,5} {1,-2} {x∈Z|-1<x<2} ∈ ∈ ={0,1} 新知基础巩固 P6 {y∈R|y=x2－4} {x∈R|y=2/x} {x|x=2k,1≤k≤5且k∈Z} 1~10之间的所有偶数 {1,2,3,12,21,23,32,13,31,123,132,213,231,312,321} {x∈R|3x≥4－2x} 高中求“解集”要写成集合的形式 (3){4,5,6} (4){造纸术、指南针、火药、印刷术} {x|x=2k,k=1,2,3,4,5} $