专题10 简单事件的概率6大题型（压轴题专项训练）数学浙教版九年级上册

专题10 简单事件的概率七类题型 典例详解 类型一、随机事件及其可能性 类型二、简单事件的概率计算 类型三、放回与不放回类问题 类型四、频率估算概率 类型五、概率的简单应用 类型六、频率与概率的关系辨析 压轴专练 类型一、随机事件及其可能性 例1．（24-25七年级下·宁夏银川·期末）下列事件：①打开电视机，正在播放动画片；②下个星期天会下雨； ③抛掷两枚质地均匀的骰子，向上一面的点数之和是1； ④一个有理数的平方是非负数；⑤若异号，则． 属于确定事件的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式1-1．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）下列为随机事件的是（   ） A．通常加热到时，水沸腾 B．任意画一个三角形，其内角和是 C．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 D．无论为何实数，结果一定为正数 变式1-2．（25-26七年级上·河南郑州·开学考试）把下面7张数字卡片放入纸袋，随意摸出一张．下面描述正确的是（   ） A．一定能摸出 B．不可能摸出 C．摸出的可能性最小 D．摸出的可能性最大 变式1-3．（24-25九年级上·河北邢台·期中）有四个盒子，随机从盒子中摸出1个球，摸出红球可能性最大的是（   ） A． B． C． D． 类型二、简单事件的概率计算 例2．（2025·山东济南·模拟预测）如图，正方形是一块绿化带，其中阴影部分都是正方形的花圃．已知自由飞翔的小鸟，将随机落在这块绿化带上，则小鸟不落在花圃上的概率为 ． 变式2-1．（18-19七年级下·全国·单元测试）一个不透明口袋中装有红球个，黄球个，绿球个，这些球除颜色外没有任何其他区别．从中任意摸出一个球． (1)计算摸到的是绿球的概率． (2)如果要使摸到绿球的概率为，需要在这个口袋中再放入多少个绿球？ 变式2-2．（20-21九年级上·四川泸州·期末）甲乙两位选手参加学校组织的“经典诵读”决赛，规则是以现场抽乒乓球的方式确定参赛题目．一个不透明的纸箱中装有三个形状、大小、质地等完全相同的乒乓球，乒乓球上分别有、、三个题目的编号．甲先从纸箱中随机抽取一个乒乓球，工作人员记录后放回搅匀，再由乙从中随机抽取一个乒乓球，选手按各自抽取的题目进行比赛． (1)选手甲选中题目的概率是　　　； (2)请用列表法或画树状图法求甲和乙选中不同题目的概率． 变式2-3．（20-21九年级上·江西宜春·期末）2020年春，一场新冠肺炎疫情席卷全国，在这场与疫情的战斗中，基层干部也是主力军，不少党员干部放弃春节与家人团聚的机会，吃住在抗“疫”第一线，奋战在防控疫情最需要的地方． 某单位甲、 乙两名党员计划报名到各社区参加疫情防控工作，现有A、B、C、D四个社区可供他们选择． (1)党员甲从四个社区随机选择一个报名， 则恰好选择C社区的概率为 ； (2)若甲、乙两名党员各随机从四个社区中选择一个报名，请用画树状图或列表的方法求出他们恰好选择同一个社区的概率． 类型三、放回与不放回类问题 例3．（24-25九年级下·安徽宿州·阶段练习）一只不透明的袋子中装有1个白球、2个红球和1个绿球，这些球除颜色外都相同．将球搅匀，从中任意摸出1个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球．求2次摸到的球颜色不同的概率为（　　） A． B． C． D． 变式3-1．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“最”  “美”  “辽”  “宁”的四个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀．从中任取一球，不放回，再从中任取一球，取出的两个球上的汉字恰能组成“辽宁”的概率是 （    ） A． B． C． D． 变式3-2．（2025·河南平顶山·三模）“四大名著”《红楼梦》《水浒传》《三国演义》《西游记》是中国优秀文化的重要组成部分．某校七年级准备从这四部名著中随机抽取两本（先随机抽取一本，不放回，再随机抽取另一本）开展“名著共读”活动，则该年级的学生恰好抽取到《三国演义》和《西游记》的概率是（    ） A． B． C． D． 变式3-3．（24-25九年级下·贵州贵阳·阶段练习）小明和小刚做游戏，游戏规则如下：将分别标有数字，，，4的个小球放入一个不透明的袋子中，这些球除数字外都相同．从中随机摸出一个球记下数字后放回，再从中随机摸出一个球记下数字．若两次数字差的绝对值小于，则小明获胜，否则小刚获胜．求小明获胜的概率． 类型四、频率估算概率 例4．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）一个不透明的袋子里装有黑白两种颜色的球共50只，这些球除颜色外都相同．小明从袋子中随机摸一个球，记下颜色后放回，不断重复，并绘制了如图所示的统计图，根据统计图提供的信息解决下列问题： (1)估计摸一次球能摸到黑球的概率是__________（精确到，袋中黑球的个数约为__________只； (2)若小明又将一些相同的黑球放进了这个不透明的袋子里，然后再次进行摸球试验，当重复大量试验后，发现黑球的频率稳定在0.6左右，则小明后来放进了多少个黑球？ 变式4-1．（25-26九年级上·全国·课后作业）某商场有一个可以自由转动的转盘（如图）．规定：顾客购物100元以上可以获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一个区域就获得相应的奖品．下表是活动进行中的一组统计数据： 转动转盘的次数n 100 150 200 500 800 1000 落在“铅笔”的次数m 68 111 136 345 546 701 落在“铅笔”的频率 (1)计算并完成表格（结果保留小数点后两位）； (2)转动该转盘一次，获得铅笔的概率约是多少（结果保留小数点后一位）？ 变式4-2．（25-26九年级上·全国·课后作业）投针试验 (1)在一个平面上画一组间距为的平行线，将一根长度为的针任意投掷在这个平面上，针可能与某一直线相交，也可能与任一直线都不相交．根据记录在下表中的投针试验数据，估计针与直线相交的概率． 试验次数n 25 50 75 100 125 150 175 200 225 250 … 相交次数m … 相交频率 … (2)在投针试验中，如果在间距、针长时，针与直线相交的概率为p，那么当d不变、l减小时，概率p如何变化？当l不变、d减小时，概率p如何变化（在试验中始终保持）? 变式4-3．（2025·江苏无锡·模拟预测）在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共只，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 摸到白球的次数 摸到白球的频率 (1)请估计：当 很大时，摸到白球的频率将会接近______（精确到 ）； (2)试估算口袋中黑、白两种颜色的球各有多少只？ (3)在（）的条件下，若从中先摸出一只球，不放回，再摸出一只球，请用列表或树状图的方法求两次都摸到白球的概率． 变式4-4．（24-25七年级下·广东揭阳·期末）工厂质检员对甲员工近期生产的产品进行抽检，统计合格的件数，得到如下表格： 抽取件数（件） 合格频数 m 合格频率 (1)估计任抽一件该产品是合格品的概率是________；表格中m的值为________； (2)某天甲员工被抽检了件该产品，估计其中不合格品有多少件？ 类型五、概率的简单应用 例5．（21-22九年级上·云南文山·期末）小明和小刚用如图的两个转盘做游戏，游戏规则如下：分别旋转两个转盘，当两个转盘所转到的数字之积为奇数时，小明得2分；当所转到的数字之积为偶数时，小刚得1分，这个游戏对双方公平吗？请用树状图或者列表法说明理由． 变式5-1．（2025·云南丽江·模拟预测）数学老师用游戏的方式给甲、乙两个学习小组提供足球票观看比赛．游戏规则如下：在一个不透明的口袋中装有分别标有数字1，2，3，4的四张卡片（除标号外，其余都相同），甲组代表从口袋中任意摸出1张卡片，卡片上的数字记为．在另一个不透明的口袋中装有分别标有数字1，2，3的三个小球（除标号外，其余都相同），乙组代表从该口袋里任意摸出1个小球，小球上的数字记为．然后计算这两个数的积，即．若为奇数，则甲组获得足球票，否则，乙组获得足球票． (1)用列表或画树状图的方法，求甲组获得足球票的概率； (2)你认为这个游戏公平吗？请说明理由． 变式5-2．（24-25七年级下·河南郑州·期末）小明和小亮都想参加学校社团组织的暑期实践活动，但只剩下一个名额，小明提议用如下的办法决定谁去参加活动：将一个可以自由转动的转盘等分成个扇形，分别标有，，，，，，，，，这个数字．转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字．小明转动转盘，小亮猜数，若所猜数字与转出的数字相符，则小亮参加活动，否则小明参加活动．猜数的方法从下面两种中选一种：①猜“是的倍数”或“不是的倍数”；②猜“是大于的数”或“不是大于的数”． (1)猜“是的倍数”的概率是_______； (2)如果你是小亮，那么为了尽可能参加活动，你将选择哪一种猜数方法？怎样猜？为什么？ (3)你认为这两种猜数方法对双方公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请设计一种对双方都公平的猜数方法． 变式5-3．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，现有一个转盘被分成六等份．分别标有数字1，2，3，4，5，6，自由转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字．（指向分界线时重新转动） (1)随机转动转盘一次，转出的数字是5的概率是_____． (2)小明和小亮一起做游戏，转动转盘一次，若转出的数字是3的倍数，则小明获胜，不是3的倍数，则小亮获胜．这个游戏对双方公平吗？请判断并说明理由． 类型六、频率与概率的关系辨析 例6．（22-23九年级上·广东潮州·期末）下列说法正确的是（    ）． A．不可能事件发生的概率为1 B．随机事件发生的概率为 C．概率很小的事件不可能发生 D．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率 变式6-1．（20-21九年级上·河南三门峡·期末）下列说法中不正确的是（    ） A．抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率与抛硬币的次数无关 B．随机选择一户二孩家庭，头胎、二胎都是男孩的概率为 C．任意画一个三角形内角和为360°是随机事件 D．连续投两次骰子，前后点数之和为偶数的概率是 变式6-2．（19-20七年级下·陕西西安·期末）学完《概率初步》这一章后，老师让同学结合实例说一说自己的认识，请你判断以下四位同学说法正确的是（　　） A．小智说，做3次掷图钉试验，发现2次钉尖朝上，因此钉尖朝上的概率是 B．小慧说，某彩票的中奖概率是5%，那么如果买100张彩票一定会有5张中奖 C．小通说，射击运动员射击一次只有两种结果：中靶与不中靶，所以它们发生的概率都是 D．小达做了20次抛掷均匀硬币的试验，其中有5次正面朝上，15次正面朝下，他认为再做一次，正面朝上的概率是二分之一 变式6-3．（2019·湖南邵阳·二模）“五一”长假期间，某玩具超市设立了一个如图所示的可以自由转动的转盘，开展有奖购买活动，顾客购买玩具就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应奖品．下表是该活动的一组统计数据： 转动转盘的次数n 100 150 200 500 800 1000 落在“铅笔”区域的次数m 68 108 140 355 560 690 落在“铅笔”区域的频率 0.68 0.72 0.70 0.71 0.70 0.69 下列说法不正确的是（　　） A．当n很大时，估计指针落子在”铅笔“区域的概率大约是0.70 B．假如你去转动转盘一次，获得“铅笔”概率大约是0.70 C．如果转动转盘3000次，指针落在“文具盒”区域的次数大约有900次 D．转动转盘20次，一定有6次获得“文具盒” 1．（2025·湖北孝感·一模）下列事件中，属于随机事件的是（　　） A．太阳从东方升起 B．抛一枚硬币，正面朝上 C．用长度分别是，，的细木条首尾顺次相连，可组成一个三角形 D．通常情况下，温度降到以下，纯净的水会结冰 2．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）投掷一枚形状规则、质地均匀的骰子（六个面分别标记、、、、、点），有下列事件：①掷得的点数是；②掷得的点数是奇数；③掷得的点数不小于；④掷得的点数为．这些事件发生的可能性由大到小排列是 （填序号）． 3．（2025·北京海淀·三模）咖啡店自制了300袋黄油饼干，从中随机抽取了10袋检测了它们的质量（单位：g），得到的数据如下：47，46，a，50，49，49，48，50，52，49，这组数据的众数只有一个，恰好是a．则从这300袋饼干中随机抽取一袋，抽到质量为 g的可能性最大，并估计这批饼干中质量超过的饼干有 袋． 4．（24-25七年级下·山东济南·阶段练习）如图，一只蚂蚁在区域内爬行，是的中线，，分别为，的中点，则蚂蚁停留在阴影区域的概率为 ． 5．（2023九年级上·湖南邵阳·竞赛）甲、乙两位棋手棋艺相当，他们在一项奖金为10000元的比赛中相遇，比赛为七局四胜制（无平局）．已经进行了五局的比赛，结果为甲三胜二负．现在因故要停止比赛，问应该如何分配这10000元比赛奖金才算合理？ 答：甲得 元；乙得 元． 6．（2024九年级下·广东·学业考试）为减轻学生负担，2021年4月某某中学成立相应部门进行作业调查，随机从八年级（共800人）一共抽取10位不同班的同学了解作业情况，他们在校完成所有作业的时间（单位）分别为：                                                    (1)该数据的平均数为___________，中位数为___________． (2)2023年也开展了此类活动，调查的同样是八年级学生的作业情况，10个同学平均每天完成所有作业的时间是小时．求该校2022，2023这两年学生作业时间的平均增长的百分率． (3)该校的数学竞赛实力十分出众，即将参加2021年的区数学竞赛．比赛报名需要搭配1位男生和1位女生参赛，训练队一共有3名男生与2名女生，请用列表或树状图的方式说明随机从5人中挑选2人，刚好符合报名要求的概率． 7．（24-25七年级下·广东茂名·阶段练习）在一只不透明的口袋里，装有若干个除了颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．如表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数 59 96 116 295 480 601 摸到白球的频率 0.64 0.58 0.59 0.60 0.601 (1)上表中的___________； (2)“摸到白球的”的概率的估计值是___________（精确到0.1）； (3)如果袋中有12个白球，那么袋中一共有多少个球？ 8．（24-25七年级下·四川巴中·期中）同一副扑克中有9张分别写有1、2、3、4、5、6、7、8、9的扑克牌，把它们的背面朝上洗匀后，在桌面排开，从中任意摸取一张牌． (1)摸到大于4的概率是多少？ (2)小明和小凡利用这9张扑克做游戏，摸到奇数小明获胜，摸到偶数小凡获胜．这个游戏对双方公平吗？说明理由． 9．（20-21九年级上·湖北武汉·期中）下列说法正确的是 （填序号）． ①买彩票中奖是个随机事件，因此中奖的概率与不中奖的概率都是50%． ②小明在10次抛图钉的实验中发现3次钉尖朝上，据此，他说钉尖朝上的概率一定是30%． ③在一次课堂进行的实验中，甲，乙两组同学估计一枚硬币落地后正面朝上的概率分别是和． ④13名同学中有两名同学出生的月份相同是随机事件． 10．（2025·陕西咸阳·模拟预测）茂陵博物馆是以汉武帝茂陵、霍去病墓及大型石刻群等为主的西汉断代史博物馆，馆藏文物丰富．馆内文创店新推出四款特色明信片(除画面不同外，其他完全相同)，分别是：．马踏匈奴，．西汉鎏金马，．四神纹玉铺首，．四神纹铜染器，店员将这四款明信片各取一张背面朝上洗匀后放于展示台上． (1)小茂随机抽取一张明信片，则抽到“．西汉鎏金马”的概率是____________； (2)小茂想随机抽取两张明信片(先随机抽取一张，不放回，洗匀后再随机抽取一张)，一张送给朋友，一张自己收藏．请用列表法或画树状图法求他抽取的两张明信片中含有．四神纹玉铺首的概率． 11．（2025·陕西咸阳·三模）字谜是一种文字游戏，也是汉字特有的一种语言文化现象．现有四张大小、形状、质地都相同的字谜卡片，依次记作A、B、C、D（如图），将这四张卡片背面朝上洗匀．小虎和小麦两人玩猜字谜游戏，规则为：小虎先从四张卡片中随机抽取一张并猜卡片上字谜的谜底，卡片不放回，然后，小麦再从剩下的三张卡片中随机抽取一张并猜卡片上字谜的谜底． (1)小虎抽出A卡片的概率是__________； (2)若小虎能猜出A、D卡片上的谜底，猜不出B、C卡片上的谜底；小麦能猜出A、B、C卡片上的谜底，猜不出D卡片上的谜底．请用画树状图或列表法求小虎和小麦都能猜出自己所抽取卡片上字谜谜底的概率． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 简单事件的概率七类题型 典例详解 类型一、随机事件及其可能性 类型二、简单事件的概率计算 类型三、放回与不放回类问题 类型四、频率估算概率 类型五、概率的简单应用 类型六、频率与概率的关系辨析 压轴专练 类型一、随机事件及其可能性 例1．（24-25七年级下·宁夏银川·期末）下列事件：①打开电视机，正在播放动画片；②下个星期天会下雨； ③抛掷两枚质地均匀的骰子，向上一面的点数之和是1； ④一个有理数的平方是非负数；⑤若异号，则． 属于确定事件的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了随机事件，必然事件，有理数的加法及乘方，熟练掌握相关定义是解题的关键．事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的；在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件；据此进行判断即可． 【详解】解：打开电视机，正在播放动画片是随机事件，则①不是确定事件， 下个星期天会下雨是随机事件，则②不是确定事件， 抛掷两枚质地均匀的骰子，向上一面的点数之和是1为不可能事件，则③是确定事件， 一个有理数的平方是非负数为必然事件，则④是确定事件， 若异号，则是随机事件，则⑤不是确定事件， 综上，属于确定事件的有2个， 故选：B． 变式1-1．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）下列为随机事件的是（   ） A．通常加热到时，水沸腾 B．任意画一个三角形，其内角和是 C．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 D．无论为何实数，结果一定为正数 【答案】C 【分析】本题主要考查了事件的分类，掌握可能发生也可能不发生的事件是随机事件成为解题的关键． 根据随机事件的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．在标准大气压下，水加热到必然沸腾，属于必然事件，不是随机事件； B．三角形内角和恒为，不可能是，属于不可能事件，不是随机事件． C．经过交通信号灯路口时，可能遇到红灯、绿灯或黄灯，结果具有不确定性，符合随机事件的定义，符合题意； D．无论实数取何值，始终为正数，属于必然事件，不是随机事件． 故选C． 变式1-2．（25-26七年级上·河南郑州·开学考试）把下面7张数字卡片放入纸袋，随意摸出一张．下面描述正确的是（   ） A．一定能摸出 B．不可能摸出 C．摸出的可能性最小 D．摸出的可能性最大 【答案】D 【分析】本题考查可能性，可能性的大小是指所求情况数占总情况数的几分之几，结合题意逐项判断即可． 【详解】解：7张卡片中，数字1有4张，数字2有1张，数字3有2张， 因此摸出卡片1、2、3的可能性分别为：，，， 随意摸出一张，不一定能摸出，故 A选项描述错误； 随意摸出一张，可能摸出，故 B选项描述错误； 随意摸出一张，摸出的可能性最小，故 C选项描述错误； 随意摸出一张，摸出的可能性最大，故D选项描述正确； 故选：D． 变式1-3．（24-25九年级上·河北邢台·期中）有四个盒子，随机从盒子中摸出1个球，摸出红球可能性最大的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了可能性.我们知道可能性指的是事件发生的概率，掌握以上知识是解题的关键； 本题分别求出4个选项中摸出红球的概率，然后进行比较，即可求解； 【详解】解：A、摸出红球的概率为； B、摸出红球的概率为； C、摸出红球的概率为； D、摸出红球的概率为； ∵， ∴A选项摸出红球可能性最大， 故选：A； 类型二、简单事件的概率计算 例2．（2025·山东济南·模拟预测）如图，正方形是一块绿化带，其中阴影部分都是正方形的花圃．已知自由飞翔的小鸟，将随机落在这块绿化带上，则小鸟不落在花圃上的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质及几何概率，关键是表示出大正方形的边长，从而表示出两个阴影正方形的边长，最后表示出面积． 设正方形的边长为a，根据题意可得是等腰直角三角形，从而得到，再证得和都是等腰直角三角形，，从而得到，然后根据概率公式计算，即可． 【详解】解：设正方形的边长为a， ∵四边形为正方形， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴和都是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴小鸟不落在花圃上的概率为． 故答案为： 变式2-1．（18-19七年级下·全国·单元测试）一个不透明口袋中装有红球个，黄球个，绿球个，这些球除颜色外没有任何其他区别．从中任意摸出一个球． (1)计算摸到的是绿球的概率． (2)如果要使摸到绿球的概率为，需要在这个口袋中再放入多少个绿球？ 【答案】(1)； (2)再放入个绿球． 【分析】本题考查概率公式，一般方法为：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种可能，那么事件的概率． 口袋中共有个球，每个球被摸到的机会相等，其中有个绿球，所以摸到绿球的概率为； 设需要在这个口袋中再放入个绿球，因为增加后摸到绿球的概率是，所以增加绿球后绿球的个数占总数的，列方程求解即可． 【详解】（1）解：口袋中装有红球个，黄球个，绿球个，共个球， 其中绿球的个数是个， 任意摸出一个球是绿球的概率为； （2）解：设需要在这个口袋中再放入个绿球， 根据题意可得：， 解得：， 经检验是原分式方程的解， 答：需要在这个口袋中再放入个绿球． 变式2-2．（20-21九年级上·四川泸州·期末）甲乙两位选手参加学校组织的“经典诵读”决赛，规则是以现场抽乒乓球的方式确定参赛题目．一个不透明的纸箱中装有三个形状、大小、质地等完全相同的乒乓球，乒乓球上分别有、、三个题目的编号．甲先从纸箱中随机抽取一个乒乓球，工作人员记录后放回搅匀，再由乙从中随机抽取一个乒乓球，选手按各自抽取的题目进行比赛． (1)选手甲选中题目的概率是　　　； (2)请用列表法或画树状图法求甲和乙选中不同题目的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了用列表法或画树形图法求随机事件的概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比；得到所求的情况数是解决本题的易错点． （1）利用概率公式直接计算即可； （2）画树状图列举出所有情况，看甲和乙所选中不同题目的情况数占总情况数的多少即可． 【详解】（1）解：根据题意得：选手甲选中题目A的概率是， 故答案为：； （2）画树状图如下： 由树状图可以看出，所有可能出现的结果共有9种，选中不同题目的结果有6种， ∴甲和乙选中不同题目的概率 变式2-3．（20-21九年级上·江西宜春·期末）2020年春，一场新冠肺炎疫情席卷全国，在这场与疫情的战斗中，基层干部也是主力军，不少党员干部放弃春节与家人团聚的机会，吃住在抗“疫”第一线，奋战在防控疫情最需要的地方． 某单位甲、 乙两名党员计划报名到各社区参加疫情防控工作，现有A、B、C、D四个社区可供他们选择． (1)党员甲从四个社区随机选择一个报名， 则恰好选择C社区的概率为 ； (2)若甲、乙两名党员各随机从四个社区中选择一个报名，请用画树状图或列表的方法求出他们恰好选择同一个社区的概率． 【答案】(1) (2)见解析， 【分析】（1）根据简单地概率公式，解答即可． （2）根据画树状图法，求概率解答即可． 本题考查了简单地概率公式，树状图法求概率，熟练掌握画树状图法求概率是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，得恰好选择C社区的概率为， 故答案为：． （2）解：画树状图如下： 由树状图可知，则他们恰好选择同一个社区的概率是． 类型三、放回与不放回类问题 例3．（24-25九年级下·安徽宿州·阶段练习）一只不透明的袋子中装有1个白球、2个红球和1个绿球，这些球除颜色外都相同．将球搅匀，从中任意摸出1个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球．求2次摸到的球颜色不同的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】画树状图，共有16种等可能的结果，其中2次摸到的球颜色不同的结果有10种，再由概率公式求解即可．本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验． 【详解】解：画树状图如图所示： 共有16种等可能的结果，其中2次摸到的球颜色不同的结果有10种， ∴2次摸到的球颜色不同的概率为， 故选：B． 变式3-1．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“最”  “美”  “辽”  “宁”的四个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀．从中任取一球，不放回，再从中任取一球，取出的两个球上的汉字恰能组成“辽宁”的概率是 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了画树状图求概率，先画出树状图，即可得出所有可能出现的结果，及符合条件的结果，再根据概率公式得出答案，掌握树状图求概率是解题的关键． 【详解】解：画树状图如图， 一共有种可能出现的情况，取出的两个球上的汉字恰能组成“辽宁”的种情况， ∴取出的两个球上的汉字恰能组成“辽宁”的概率是， 故选：． 变式3-2．（2025·河南平顶山·三模）“四大名著”《红楼梦》《水浒传》《三国演义》《西游记》是中国优秀文化的重要组成部分．某校七年级准备从这四部名著中随机抽取两本（先随机抽取一本，不放回，再随机抽取另一本）开展“名著共读”活动，则该年级的学生恰好抽取到《三国演义》和《西游记》的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了画树状图求概率，画出树状图，根据树状图求出共有种等可能的情况出现，其中恰好抽取到《三国演义》和《西游记》的情况有种，从而可得：恰好抽取到《三国演义》和《西游记》的概率为． 【详解】解：把《红楼梦》《水浒传》《三国演义》《西游记》四本书分别记为，，，， 根据题意，画出如下的树状图： 由树状图可知共有种等可能的情况出现，其中恰好抽取到《三国演义》和《西游记》的情况有种， 恰好抽取到《三国演义》和《西游记》的概率为． 故选： A． 变式3-3．（24-25九年级下·贵州贵阳·阶段练习）小明和小刚做游戏，游戏规则如下：将分别标有数字，，，4的个小球放入一个不透明的袋子中，这些球除数字外都相同．从中随机摸出一个球记下数字后放回，再从中随机摸出一个球记下数字．若两次数字差的绝对值小于，则小明获胜，否则小刚获胜．求小明获胜的概率． 【答案】 【分析】本题考查了画树状图法求概率，根据画树状图法求概率即可，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：画树状图如图所示， 差的绝对值为：，，，，，，，，，，，，，，，，共种等可能结果，小于的有种， ∴小明获胜的概率为． 类型四、频率估算概率 例4．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）一个不透明的袋子里装有黑白两种颜色的球共50只，这些球除颜色外都相同．小明从袋子中随机摸一个球，记下颜色后放回，不断重复，并绘制了如图所示的统计图，根据统计图提供的信息解决下列问题： (1)估计摸一次球能摸到黑球的概率是__________（精确到，袋中黑球的个数约为__________只； (2)若小明又将一些相同的黑球放进了这个不透明的袋子里，然后再次进行摸球试验，当重复大量试验后，发现黑球的频率稳定在0.6左右，则小明后来放进了多少个黑球？ 【答案】(1) (2)小明后来放进了25个黑球 【分析】本题考查利用频率估算概率，利用概率求数量，熟练掌握概率是频率的稳定值，是解题的关键： （1）利用频率估计概率，再根据概率公式求出黑球的个数即可； （2）根据频率估计概率，设后来放进了个黑球，根据概率公式列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：由图可知，估计摸一次球能摸到黑球的概率是， 故袋中黑球的个数约为（只）； 故答案为：； （2）由题意，放入一些黑球后，摸出黑球的概率为， 设后来放进了个黑球，则， 解得：； 答：小明后来放进了25个黑球． 变式4-1．（25-26九年级上·全国·课后作业）某商场有一个可以自由转动的转盘（如图）．规定：顾客购物100元以上可以获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一个区域就获得相应的奖品．下表是活动进行中的一组统计数据： 转动转盘的次数n 100 150 200 500 800 1000 落在“铅笔”的次数m 68 111 136 345 546 701 落在“铅笔”的频率 (1)计算并完成表格（结果保留小数点后两位）； (2)转动该转盘一次，获得铅笔的概率约是多少（结果保留小数点后一位）？ 【答案】(1)0.68、0.74、0.68 、0.69、0.68、0.70 (2) 【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，数值越来越精确． （1）根据频率的算法，频率＝频数÷总数，可得各个频率； （2）根据频率的定义，可得当n很大时，频率将会接近其概率． 【详解】（1）解： 转动转盘的次数 100 150 200 500 800 1000 落在“铅笔”的次数 68 111 136 345 546 701 落在“铅笔”的频率 0.68 0.74 0.68 0.69 0.68 0.70 （2）由表格可知：获得铅笔的概率约是； 故转动该转盘一次，获得铅笔的概率约是． 变式4-2．（25-26九年级上·全国·课后作业）投针试验 (1)在一个平面上画一组间距为的平行线，将一根长度为的针任意投掷在这个平面上，针可能与某一直线相交，也可能与任一直线都不相交．根据记录在下表中的投针试验数据，估计针与直线相交的概率． 试验次数n 25 50 75 100 125 150 175 200 225 250 … 相交次数m … 相交频率 … (2)在投针试验中，如果在间距、针长时，针与直线相交的概率为p，那么当d不变、l减小时，概率p如何变化？当l不变、d减小时，概率p如何变化（在试验中始终保持）? 【答案】(1)表格见详解，概率为 (2)当d不变，l减小时，概率p会变小；当l不变，d减小时，概率p会变大 【分析】本题主要考查了根据数据描述求频率，用频率估计概率，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． （1）根据试验填写数据即可，根据次数最多的一次确定概率； （2）根据生活常识进行判断即可得到答案． 【详解】（1）解： 试验次数n 25 50 75 100 125 150 175 200 225 250 … 相交次数m 12 23 35 45 50 60 73 68 88 95 … 相交频率 … 根据表格可得：针与任一直线相交的概率为； （2）解：当d不变，l减小时，概率p会变小；当l不变，d减小时，概率p会变大． 变式4-3．（2025·江苏无锡·模拟预测）在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共只，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 摸到白球的次数 摸到白球的频率 (1)请估计：当 很大时，摸到白球的频率将会接近______（精确到 ）； (2)试估算口袋中黑、白两种颜色的球各有多少只？ (3)在（）的条件下，若从中先摸出一只球，不放回，再摸出一只球，请用列表或树状图的方法求两次都摸到白球的概率． 【答案】(1) (2)口袋中黑色的球只，白色的球有只 (3)两次都摸到白球的概率为 【分析】本题考查了频率估计概率，画树状图或列表法求概率，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据表中的数据，估计出摸到白球的频率； （）通过摸到白球的频率即可求出摸到白球和黑球的概率，然后通过口袋中黑、白两种颜色的球的概率即可求出口袋中黑、白两种颜色的球； （）画出树状图，一共有种等可能结果，两次都摸到白球的情况有种结果，然后利用概率公式即可求解． 【详解】（1）解：根据题意可得当很大时，摸到白球的频率将会接近， 故答案为：； （2）解：∵当很大时，摸到白球的频率将会接近， ∴摸到白球的概率是，摸到黑球的概率是， ∴口袋中有白球（只），黑球（只）， 答：口袋中黑色的球只，白色的球有只； （3）解：画树状图如图， 一共有种等可能结果，两次都摸到白球的情况有种结果， ∴两次都摸到白球的概率为． 变式4-4．（24-25七年级下·广东揭阳·期末）工厂质检员对甲员工近期生产的产品进行抽检，统计合格的件数，得到如下表格： 抽取件数（件） 合格频数 m 合格频率 (1)估计任抽一件该产品是合格品的概率是________；表格中m的值为________； (2)某天甲员工被抽检了件该产品，估计其中不合格品有多少件？ 【答案】(1)； (2)估计其中不合格品有件 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． （1）利用频率估计概率可得任抽一件该产品是合格品的概率，用总件数乘合格的频率即可得出m的值； （2）总件数乘以不合格的概率即可． 【详解】（1）解：估计任抽一件该产品是合格品的概率是， ， 故答案为：，； （2）解：抽取件数为时，合格的频率趋近于， 估计任抽一件该产品是不合格品的概率为； ∴（件）， 答：估计其中不合格品有件． 类型五、概率的简单应用 例5．（21-22九年级上·云南文山·期末）小明和小刚用如图的两个转盘做游戏，游戏规则如下：分别旋转两个转盘，当两个转盘所转到的数字之积为奇数时，小明得2分；当所转到的数字之积为偶数时，小刚得1分，这个游戏对双方公平吗？请用树状图或者列表法说明理由． 【答案】公平．理由见解析 【分析】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 游戏是否公平，关键要看游戏双方赢的机会是否相等，即判断双方取胜的概率是否相等，或转化为在总情况明确的情况下，判断双方取胜所包含的情况是否一致． 【详解】解：公平．理由如下： 画树状图得： 从图表中可以得到：，， 小明的积分为，小刚的积分为． 故平均每次积分相等，所以游戏公平． 变式5-1．（2025·云南丽江·模拟预测）数学老师用游戏的方式给甲、乙两个学习小组提供足球票观看比赛．游戏规则如下：在一个不透明的口袋中装有分别标有数字1，2，3，4的四张卡片（除标号外，其余都相同），甲组代表从口袋中任意摸出1张卡片，卡片上的数字记为．在另一个不透明的口袋中装有分别标有数字1，2，3的三个小球（除标号外，其余都相同），乙组代表从该口袋里任意摸出1个小球，小球上的数字记为．然后计算这两个数的积，即．若为奇数，则甲组获得足球票，否则，乙组获得足球票． (1)用列表或画树状图的方法，求甲组获得足球票的概率； (2)你认为这个游戏公平吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)这个游戏不公平，理由见解析 【分析】此题考查了游戏公平性，以及列表法与树状图法，判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平． （1）列表得出共有12种等可能的结果，其中为奇数的结果有4种，再由概率公式求解即可； （2）由（1）可知，甲组获得足球票的概率，共有12种等可能的结果，其中为偶数的结果有8种，再由概率公式求出乙组获得足球票的概率，然后比较即可． 【详解】（1）解：列表如下： 1 2 3 4 1 2 3 共有12种等可能的结果，其中为奇数的结果有4种， 甲组获得足球票的概率； （2）解：这个游戏不公平，理由如下： 由（1）可知，甲组获得足球票的概率，共有12种等可能的结果，其中为偶数的结果有8种， 乙组获得足球票的概率， ， 甲组获得足球票的概率乙组获得足球票的概率， 这个游戏不公平． 变式5-2．（24-25七年级下·河南郑州·期末）小明和小亮都想参加学校社团组织的暑期实践活动，但只剩下一个名额，小明提议用如下的办法决定谁去参加活动：将一个可以自由转动的转盘等分成个扇形，分别标有，，，，，，，，，这个数字．转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字．小明转动转盘，小亮猜数，若所猜数字与转出的数字相符，则小亮参加活动，否则小明参加活动．猜数的方法从下面两种中选一种：①猜“是的倍数”或“不是的倍数”；②猜“是大于的数”或“不是大于的数”． (1)猜“是的倍数”的概率是_______； (2)如果你是小亮，那么为了尽可能参加活动，你将选择哪一种猜数方法？怎样猜？为什么？ (3)你认为这两种猜数方法对双方公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请设计一种对双方都公平的猜数方法． 【答案】(1) (2)选择方法①中“不是3的倍数”，见解析 (3)不公平，猜“是奇数”或“是偶数” 【分析】本题主要考查了应用概率解决游戏公平问题，掌握概率的计算公式是解题的关键． （1）利用简单概率公式进行求解即可； （2）求出每种方式的概率，然后进行比较即可； （3）根据概率相等设计方法即可． 【详解】（1）解：是的倍数的数有：3，6，9， ∴猜“是的倍数”的概率是， 故答案为：； （2）解：选择方法①中“不是3的倍数”，理由如下： 大于的数有：5，6，7，8，9，10， ∴猜“是大于的数”的概率为：； 不是大于4的数有：1，2，3，4， ∴猜“不是大于的数”的概率为：； 由①可得猜“不是的倍数”的概率是， ∵， ∴选择方法①中“不是3的倍数”； （3）解：不公平，因为两人抽到的概率不相等， 猜“是奇数”或“是偶数”比较公平． 变式5-3．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，现有一个转盘被分成六等份．分别标有数字1，2，3，4，5，6，自由转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字．（指向分界线时重新转动） (1)随机转动转盘一次，转出的数字是5的概率是_____． (2)小明和小亮一起做游戏，转动转盘一次，若转出的数字是3的倍数，则小明获胜，不是3的倍数，则小亮获胜．这个游戏对双方公平吗？请判断并说明理由． 【答案】(1)； (2)不公平，理由见解析． 【分析】本题考查了简单的概率公式及游戏公平性的判断，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据简单的概率公式求解即可； （2）根据题意，转出的数字是的倍数只有两个，不是的倍数有四个，从而判断得出答案． 【详解】（1）解：随机转动转盘一次，转出的数字是5的概率是， 故答案为：； （2）解：不公平，理由如下： 转盘中的倍数有和两个数，而不是的倍数有共四个数， ∴小明获胜的概率为：，小亮获胜的概率为：， ∵， ∴这个游戏对双方不公平． 类型六、频率与概率的关系辨析 例6．（22-23九年级上·广东潮州·期末）下列说法正确的是（    ）． A．不可能事件发生的概率为1 B．随机事件发生的概率为 C．概率很小的事件不可能发生 D．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率 【答案】D 【分析】利用概率的意义、随机事件的判定等知识分别判断，即可确定正确的选项． 【详解】解：A.不可能事件发生的概率为0，故该选项错误，不符合题意； B.随机事件发生的概率大于0，小于1，，故该选项错误，不符合题意； C.概率很小的事件也可能发生，故该选项错误，不符合题意； D.随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率、随机事件、概率的意义等知识，解题的关键是了解大量重复试验中，事件发生的频率可以估计概率． 变式6-1．（20-21九年级上·河南三门峡·期末）下列说法中不正确的是（    ） A．抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率与抛硬币的次数无关 B．随机选择一户二孩家庭，头胎、二胎都是男孩的概率为 C．任意画一个三角形内角和为360°是随机事件 D．连续投两次骰子，前后点数之和为偶数的概率是 【答案】C 【分析】根据抛硬币简单概率求法判断选项A，利用求概率的方法判断选项B，根据三角形的内角和是180°判断选项C，求出两次抛骰子的所有可能结果和点数和为偶数的结果数即可判断选项D，即可做出选择． 【详解】A、抛一枚质地均匀的硬币，出现的情况有两种一正一反，正面朝上的概率是，与抛硬币的次数无关，故原选项正确； B、随机选择一户二孩家庭，头胎、二胎的共有4种等可能的结果，其中，都是男孩的有1种，所以随机选择一户二孩家庭，头胎、二胎都是男孩的概率为，此原选项正确， C、任意一个三角形的内角和为180°，所以任意画一个三角形内角和为360°是不可能事件，为确定性事件，不是随机事件，故原选项不正确，； D、连续投两次骰子，前后点数之和共有36种等可能的结果，其中点数之和是偶数的有18种结果，所以前后点数之和为偶数的概率是，故原选项正确， 故选择：C． 【点睛】本题考查求事件发生的概率，理解事件发生的概率的意义，会区分确定事件与随机事件，能根据所学概率知识对各个选项作出正确判断是解答的关键． 变式6-2．（19-20七年级下·陕西西安·期末）学完《概率初步》这一章后，老师让同学结合实例说一说自己的认识，请你判断以下四位同学说法正确的是（　　） A．小智说，做3次掷图钉试验，发现2次钉尖朝上，因此钉尖朝上的概率是 B．小慧说，某彩票的中奖概率是5%，那么如果买100张彩票一定会有5张中奖 C．小通说，射击运动员射击一次只有两种结果：中靶与不中靶，所以它们发生的概率都是 D．小达做了20次抛掷均匀硬币的试验，其中有5次正面朝上，15次正面朝下，他认为再做一次，正面朝上的概率是二分之一 【答案】D 【分析】试验次数足够大时，频率才可以表示概率，A选项试验次数过少，所以错误；5%是每张均有%的可能中奖，而不是100张彩票一定会有5张中奖，偷换概念；概率题一定要考虑样本空间，然后确定样本，C中还有脱靶的可能，所以错误；抛掷一枚均匀硬币，结果只有两种正面朝上和正面朝下，且每次发生的可能是相等的，每做一次，正面朝上的概率都是二分之一． 【详解】小智说，做3次掷图钉试验，发现2次钉尖朝上，但是试验次数少，因此不能确定钉尖朝上的概率，所以A错误； 小慧说，某彩票的中奖概率是5%，那么如果买100张彩票不一定会有5张中奖，所以B错误； 小通说，射击运动员射击一次只有两种结果：中靶与不中靶，所以它们发生的概率都是不正确，中靶与不中靶不是等可能事件，一般情况下，还有脱靶的可能，所以C错误； 小达做了20次抛掷均匀硬币的试验，其中有5次正面朝上，15次正面朝下，他认为再做一次，正面朝上的概率是二分之一，所以D正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了频率和概率的区别，等可能时间概率的计算；在初中课程中认为当试验次数足够大时，频率可以表示概率；等可能事件中，n件事发生的概率都是相等的，因此每件事发生的概率是． 变式6-3．（2019·湖南邵阳·二模）“五一”长假期间，某玩具超市设立了一个如图所示的可以自由转动的转盘，开展有奖购买活动，顾客购买玩具就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应奖品．下表是该活动的一组统计数据： 转动转盘的次数n 100 150 200 500 800 1000 落在“铅笔”区域的次数m 68 108 140 355 560 690 落在“铅笔”区域的频率 0.68 0.72 0.70 0.71 0.70 0.69 下列说法不正确的是（　　） A．当n很大时，估计指针落子在”铅笔“区域的概率大约是0.70 B．假如你去转动转盘一次，获得“铅笔”概率大约是0.70 C．如果转动转盘3000次，指针落在“文具盒”区域的次数大约有900次 D．转动转盘20次，一定有6次获得“文具盒” 【答案】D 【分析】根据图表可求得指针落在铅笔区域的概率，另外概率是多次实验的结果，因此不能说转动转盘20次，一定有6次获得文具盒． 【详解】A、频率稳定在0.7左右，故用频率估计概率，指针落在“铅笔”区域的频率大约是0.70，故A选项正确； 由A可知B、转动转盘一次，获得铅笔的概率大约是0.70，故B选项正确； C、指针落在“文具盒”区域的概率为0.30，转动转盘2000次，指针落在“文具盒”区域的次数大约有3000×0.3＝900次，故C选项正确； D、随机事件，结果不确定，故D选项正确． 故选D． 【点睛】本题要理解用面积法求概率的方法．注意概率是多次实验得到的一个相对稳定的值． 1．（2025·湖北孝感·一模）下列事件中，属于随机事件的是（　　） A．太阳从东方升起 B．抛一枚硬币，正面朝上 C．用长度分别是，，的细木条首尾顺次相连，可组成一个三角形 D．通常情况下，温度降到以下，纯净的水会结冰 【答案】B 【分析】本题主要考查的是必然事件、不可能事件、随件事件的概念、三角形的三边关系等知识点，必然事件是指在一定条件下，一定发生的事件，不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即为随机事件，是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 根据事件发生的可能性大小来判断相应事件的类型即可解答． 【详解】解：A． 太阳从东方升起，此事件是必然发生的，即必然事件，不符合题意； B． 抛一枚硬币，正面朝上，是随机事件，符合题意； C． 用长度分别是，，的细木条首尾顺次相连，可组成一个三角形，是不可能事件，不符合题意； D． 通常情况下，温度降到以下，纯净的水会结冰，是必然事件，不符合题意． 故选：B． 2．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）投掷一枚形状规则、质地均匀的骰子（六个面分别标记、、、、、点），有下列事件：①掷得的点数是；②掷得的点数是奇数；③掷得的点数不小于；④掷得的点数为．这些事件发生的可能性由大到小排列是 （填序号）． 【答案】② ③ ① ④ 【分析】此题考查可能性大小的比较，正确记忆相关知识点是解题关键．只要总情况数目相同，谁包含的情况数目多，谁的可能性就大，反之也成立；若包含的情况相当，那么它们的可能性就相等．分别比较情况数的大小即可选得答案． 【详解】解：根据题意，投掷一枚普通的六面体骰子，共种情况： ① 掷得的点数是包含种情况； ② 掷得的点数是奇数包括种情况； ③ 掷得的点数不小于包括种情况； ④ 掷得的点数为包括种情况， 故发生的可能性由大到小的顺序排为② ③ ① ④． 故答案为：② ③ ① ④． 3．（2025·北京海淀·三模）咖啡店自制了300袋黄油饼干，从中随机抽取了10袋检测了它们的质量（单位：g），得到的数据如下：47，46，a，50，49，49，48，50，52，49，这组数据的众数只有一个，恰好是a．则从这300袋饼干中随机抽取一袋，抽到质量为 g的可能性最大，并估计这批饼干中质量超过的饼干有 袋． 【答案】 49 90 【分析】本题考查了众数的定义，事件发生的可能性大小，样本估计总体，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 根据众数的定义即可得到，根据众数的定义即可得到抽到质量为的可能性最大，再用样本估计总体的方法求解这批饼干中质量超过的饼干的数量． 【详解】解：数据46有1个；数据47有1个；数据48有1个；数据49有3个；数据50有2个；数据52有1个， ∵数据的众数只有一个，恰好是a， ∴； ∵众数为49， ∴抽到质量为的可能性最大， 则这批饼干中质量超过的饼干有：（袋）， 故答案为：49；90． 4．（24-25七年级下·山东济南·阶段练习）如图，一只蚂蚁在区域内爬行，是的中线，，分别为，的中点，则蚂蚁停留在阴影区域的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是利用三角形的中线的性质求面积，几何概率的含义，设，根据三角形的中线的性质求解，，再利用概率公式计算即可． 【详解】解：设， ∵，分别为，的中点， ∴，，， ∵是的中线， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴蚂蚁停留在阴影区域的概率为， 故答案为： 5．（2023九年级上·湖南邵阳·竞赛）甲、乙两位棋手棋艺相当，他们在一项奖金为10000元的比赛中相遇，比赛为七局四胜制（无平局）．已经进行了五局的比赛，结果为甲三胜二负．现在因故要停止比赛，问应该如何分配这10000元比赛奖金才算合理？ 答：甲得 元；乙得 元． 【答案】 【分析】本题考查了列举法求概率． 列出取胜情况，则可求得甲、乙胜的概率，继而求得答案． 【详解】解：第6局、第7局的取胜情况有（甲，甲），（甲，乙），（乙，乙），（乙，甲）4种情况， ∵甲三胜二负， ∴（甲，甲），（甲，乙），（乙，甲）均为甲胜，（乙，乙）为乙胜， ∴甲胜的概率为，乙胜的概率为， ∴甲得元、乙得元． 故答案为：， 6．（2024九年级下·广东·学业考试）为减轻学生负担，2021年4月某某中学成立相应部门进行作业调查，随机从八年级（共800人）一共抽取10位不同班的同学了解作业情况，他们在校完成所有作业的时间（单位）分别为：                                                    (1)该数据的平均数为___________，中位数为___________． (2)2023年也开展了此类活动，调查的同样是八年级学生的作业情况，10个同学平均每天完成所有作业的时间是小时．求该校2022，2023这两年学生作业时间的平均增长的百分率． (3)该校的数学竞赛实力十分出众，即将参加2021年的区数学竞赛．比赛报名需要搭配1位男生和1位女生参赛，训练队一共有3名男生与2名女生，请用列表或树状图的方式说明随机从5人中挑选2人，刚好符合报名要求的概率． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查平均数、中位数、一元二次方程的应用、列表或树状图求概率，熟练掌握相关概念与方法是解题的关键． （1）利用平均数和中位数的计算方法即可解决； （2）设该校2022，2023这两年学生作业时间的平均增长的百分率为，由题意得，求解即可； （3）利用列表法求概率即可． 【详解】（1）解：平均数为， 数据从小到大排列为，，，，，，，，，， 其中中间的两个数是和， 故中位数为， 故答案为：，； （2）解：设该校2022，2023这两年学生作业时间的平均增长的百分率为, 由题意得， 解得：，（舍）， 答：该校2022，2023这两年学生作业时间的平均增长的百分率为； （3）解：根据题意列表为： 男1 男2 男3 女1 女2 男1 男2，男1 男3，男1 女1，男1 女2，男1 男2 男1，男2 男3，男2 女1，男2 女2，男2 男3 男1，男3 男2，男3 女1，男3 女2，男3 女1 男1，女1 男2，女1 男3，女1 女2，女1 女2 男1，女2 男2，女2 男3，女2 女1，女2 由表可知共有20种等可能的情况，其中恰好为1位男生和1位女生的有12种， 则刚好符合报名要求的概率为． 7．（24-25七年级下·广东茂名·阶段练习）在一只不透明的口袋里，装有若干个除了颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．如表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数 59 96 116 295 480 601 摸到白球的频率 0.64 0.58 0.59 0.60 0.601 (1)上表中的___________； (2)“摸到白球的”的概率的估计值是___________（精确到0.1）； (3)如果袋中有12个白球，那么袋中一共有多少个球？ 【答案】(1) (2) (3)20个 【分析】本题考查如何利用频率估计概率，解题关键是要注意频率和概率之间的关系． （1）根据表中的数据，计算得出摸到白球的频率； （2）由表中数据即可得； （3）根据口袋中白球的数量和概率即可求出口袋中球的总数． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：根据题意，利用频数和频率预估概率，频数越大，概率误差越小， ∴频数为1000时，频率为 ∴“摸到白球的”的概率的估计值是； （3）解：（个） 所以，袋中一共有20个球． 8．（24-25七年级下·四川巴中·期中）同一副扑克中有9张分别写有1、2、3、4、5、6、7、8、9的扑克牌，把它们的背面朝上洗匀后，在桌面排开，从中任意摸取一张牌． (1)摸到大于4的概率是多少？ (2)小明和小凡利用这9张扑克做游戏，摸到奇数小明获胜，摸到偶数小凡获胜．这个游戏对双方公平吗？说明理由． 【答案】(1) (2)不公平，理由见解析 【分析】本题考查了等可能事件的概率，一般地，如果一个试验有n种等可能的结果，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为． （1）根据概率公式进行计算即可； （2）根据摸到奇数的结果求出摸到奇数的概率，根据摸到偶数的结果求出摸到偶数的概率，比较概率大小即可得知游戏是否公平． 【详解】（1）解：摸到大于4的结果有5种， ； （2）不公平，理由如下： 摸到奇数的结果有5种， ， 摸到偶数的结果有4种， ， ， 这个游戏对双方不公平． 9．（20-21九年级上·湖北武汉·期中）下列说法正确的是 （填序号）． ①买彩票中奖是个随机事件，因此中奖的概率与不中奖的概率都是50%． ②小明在10次抛图钉的实验中发现3次钉尖朝上，据此，他说钉尖朝上的概率一定是30%． ③在一次课堂进行的实验中，甲，乙两组同学估计一枚硬币落地后正面朝上的概率分别是和． ④13名同学中有两名同学出生的月份相同是随机事件． 【答案】③ 【分析】根据随机事件以及频率和概率的意义分别分析即可； 【详解】①买彩票中奖是个随机事件，但是中奖的可能性很小，此选项错误． ②小明在10次抛图钉的实验中发现3次钉尖朝上，据此，他说钉尖朝上的概率一定是30%，此说法错误，只有当实验次数较多时，才能用实验结果推算概率，是一个估计值，不是准确值； ③在一次课堂进行的实验中，甲、乙两组同学估计一枚硬币落地后正面朝上的概率分别是0.48和0.51，此说法正确； ④13名同学中有两名同学出生的月份相同是必然事件，此说法错误； 故答案为：③． 【点睛】本题考查了概率的意义以及概率与频率的区别，正确区分他们是解题的关键． 10．（2025·陕西咸阳·模拟预测）茂陵博物馆是以汉武帝茂陵、霍去病墓及大型石刻群等为主的西汉断代史博物馆，馆藏文物丰富．馆内文创店新推出四款特色明信片(除画面不同外，其他完全相同)，分别是：．马踏匈奴，．西汉鎏金马，．四神纹玉铺首，．四神纹铜染器，店员将这四款明信片各取一张背面朝上洗匀后放于展示台上． (1)小茂随机抽取一张明信片，则抽到“．西汉鎏金马”的概率是____________； (2)小茂想随机抽取两张明信片(先随机抽取一张，不放回，洗匀后再随机抽取一张)，一张送给朋友，一张自己收藏．请用列表法或画树状图法求他抽取的两张明信片中含有．四神纹玉铺首的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了概率公式、画树状图求概率等知识点，正确画出树状图是解题的关键． （1）直接运用概率公式求解即可； （2）先根据题意画出树状图确定所有等可能结果数和满足题意的结果数，然后运用概率公式求解即可． 【详解】（1）总共有四张特色明信片，“．西汉鎏金马”是其中一张， ∴抽到“．西汉鎏金马”的概率是， 故答案为：； （2）画树状图如下： 由上图可知共有12种等可能的结果，其中含有．四神纹玉铺首的结果有6种， ∴(抽取的两张明信片中含有．四神纹玉铺首)． 11．（2025·陕西咸阳·三模）字谜是一种文字游戏，也是汉字特有的一种语言文化现象．现有四张大小、形状、质地都相同的字谜卡片，依次记作A、B、C、D（如图），将这四张卡片背面朝上洗匀．小虎和小麦两人玩猜字谜游戏，规则为：小虎先从四张卡片中随机抽取一张并猜卡片上字谜的谜底，卡片不放回，然后，小麦再从剩下的三张卡片中随机抽取一张并猜卡片上字谜的谜底． (1)小虎抽出A卡片的概率是__________； (2)若小虎能猜出A、D卡片上的谜底，猜不出B、C卡片上的谜底；小麦能猜出A、B、C卡片上的谜底，猜不出D卡片上的谜底．请用画树状图或列表法求小虎和小麦都能猜出自己所抽取卡片上字谜谜底的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是概率公式求概率，用画树状图法求概率． （1）直接根据概率公式求解即可； （2）根据题意画出树状图，小虎和小麦抽取的结果有12种，其中小虎和小麦都能猜出自己所抽取卡片上字谜谜底有5种，再求小虎和小麦都能猜出自己所抽取卡片上字谜谜底的概率． 【详解】（1）解：∵共有4张卡片， ∴小虎抽出A卡片的概率是， 故答案为：； （2）解：根据题意画树状图如下： 由图可知，小虎和小麦抽取的结果有12种，其中小虎和小麦都能猜出自己所抽取卡片上字谜谜底有5种， ∴小虎和小麦都能猜出自己所抽取卡片上字谜谜底的概率为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $