专题09二次函数与特殊图形7大题型（压轴题专项训练）数学浙教版九年级上册

专题09 二次函数与特殊图形七类题型 典例详解 类型一、公式法计算二次函数中图形面积 类型二、二次函数与直角三角形 类型三、二次函数与等腰直角三角形 类型四、二次函数与等边三角形 类型五、二次函数与全等三角形 类型六、二次函数与平行四边形 类型七、二次函数与矩形、正方形、菱形 压轴专练 类型一、公式法计算二次函数中图形面积 等腰三角形存在性：一般是两定一动型,已知两定点,在坐标轴或函数图象上找一动点，使这三个点构成等腰三角形，通常需要按腰分类讨论 (1)几何法：两面一线法。①两圆：分别以这两个定点为圆心，两定点间的线段长为半径作圆,圆与坐标轴的交点即为所求点(注意验证三点是否不共线)；②一线；作两定点间线段的垂直平分线,它与坐标轴的交点即为所求点. (2)代数法：利用两点间距离公式(勾股定理)，根据两腰相等列方程 例1．（24-25九年级下·贵州贵阳·阶段练习）如图，已知抛物线经过三点，直线l是抛物线的对称轴． (1)求抛物线的表达式； (2)设点P是直线l上的一个动点，当点P到点A，B的距离之和最短时，求点P的坐标； (3)点M也是直线l上的一个动点，且为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点M的坐标． 变式1-1．（2025·宁夏银川·三模）小明为了参加学校举办的“趣味数学”作品展，用铁丝摆成如图①中抛物线的形状，并提出以下三个问题，请你解答： (1)建立合适的平面直角坐标系，如图②，可知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，求抛物线的解析式； (2)如图②，钢珠P可沿着铁丝在点A到点C的位置任意滑动，点A，C，P构成，试求面积的最大值； (3)若沿抛物线的对称轴再摆另一条铁丝（足够长），钢珠Q可以沿着铁丝在x轴上方上下滑动，点构成△，是否存在某一时刻，使△为等腰三角形．若存在，请直接写出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 变式1-2．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图①，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，抛物线与y轴交于点，与x轴正半轴交于点，设M是点C，D间抛物线上的一点（包括端点）．其横坐标为m． (1)求抛物线的解析式； (2)当m为何值时，面积S取得最大值？请说明理由； (3)如图②，连接，抛物线上是否存在点Q，使得是以为底的等腰三角形，如果存在，请求出点Q的坐标，不存在，请说明理由． 变式1-3．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，抛物线与轴的交点分别为和，与轴交于点，连接、，点是线段上，不与点、重合的一个动点，过点作轴，交抛物线于点，交于点，其对称轴与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)在点的运动过程中，能否使线段？若能，请求出点的坐标，若不能，请说明理由； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点，使是等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 类型二、二次函数与直角三角形 直角三角形的存在性：一般是两定一动型，已知两定点，在坐标轴或函数图象上找一动点，使这三个点构成直角三角形.通常需要按直角或斜边分类讨论。 (1)几何法：可以采用两线一圆法，①两线:两定点所连线段的垂线(垂足不同,过两定点各有一条垂线)，与坐标轴的交点即为所求点，可以构造全等或者相似三角形求解也可以设一次函数表达式求解。②一圆：利用直径所对的圆周角是90°，以两定点所连线段为直径作圆,与坐标轴交点即为所求点. (2)代数法：设动点,对直角进行讨论，用勾股定理列方程，有时也可构造一线三垂直模型. 例2．（23-24九年级下·安徽芜湖·自主招生） 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线过A，B，C三点，点A的坐标是，点C的坐标是，动点P在抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)是否存在点P，使得是以为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由； (3)过动点P作垂直y轴于点E，交直线于点D，过点D作x轴的垂线，垂足为F，连接，当线段的长度最短时，求出点P的坐标． 变式2-1．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图1，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴交于点A、，抛物线经过点B，且与直线的另一个交点为． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得为直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 变式2-2．（2025九年级上·浙江·专题练习）抛物线与x轴交于、B两点，与y轴交于，顶点为D，点M是抛物线上任意一点． (1)求抛物线解析式； (2)在抛物线对称轴右侧的图象上是否存在点M，使？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由； (3)点N为抛物线对称轴上一动点，若以B、N、C为顶点的三角形为直角三角形，求出所有相应的点N的坐标． 类型三、二次函数与等腰直角三角形 等腰直角三角形的存在性：结合了等腰和直角，一般需要分类讨论 （1）几何法：三线三圆法 （2）代数法：设动点，根据关系列方程。 例3．（2025九年级上·浙江·专题练习）已知如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点E是抛物线上的第一象限的点，求的最大值，并求取得最大值时x的值； (3)如图2，在抛物线上是否存在一点P，使是以为斜边的等腰直角三角形？若存在，求点P的坐标，若不存在请说明理由． 变式3-1．（2025九年级上·浙江·专题练习）二次函数的图象交轴于点，点两点，交轴于点．动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿方向运动，过点作轴交直线于点，交抛物线于点，连接，设运动的时间为秒． (1)求二次函数的表达式； (2)连接，当时，求的面积； (3)在直线上存在一点，当是以为直角的等腰直角三角形时，求此时点的坐标． 变式3-2．（2025九年级上·浙江·专题练习）二次函数的图象交x轴于两点，交y轴于点C，动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿方向运动，过点M作轴交直线于点N，交抛物线于点D，连接，设运动的时间为t秒． (1)求二次函数的表达式； (2)在直线上存在一点P，当是以为直角的等腰直角三角形时，求此时点P的坐标． 类型四、二次函数与等边三角形 例4．（23-24九年级上·四川南充·期中）如图，O是坐标原点，点，，，在y轴的正半轴上，点， ，，在函数位于第一象限的图象上，若，，，都是等边三角形，则线段的长是 ． 变式4-1．（24-25九年级上·山东济宁·阶段练习）如图1，抛物线与x轴的两个交点中左边的一个交点为，将该抛物线沿y轴翻折，得到抛物线，点A的对应点为点，将抛物线，沿x轴分别向右、向左平移1个单位后，恰好重合（如图2），重合后的抛物线的顶点坐标为． (1)求平移前的抛物线对应的二次函数的表达式． (2)小明发现：将抛物线，沿x轴分别向右，向左平移个单位，平移后得到的两条抛物线与y轴的交点的位置在发生变化． ①试求出t与m之间的函数表达式． ②在平移过程中，求当m为何值时，是等边三角形． 变式4-2．（24-25九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图：已知抛物线的图像过点、，点为抛物线在第一象限上的一动点． (1)求、的值； (2)过点作轴的平行线交直线于点，求的最大值； (3)点为抛物线对称轴上一动点，若为等边三角形，求点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)点的坐标为． 【分析】本题主要考查了求函数解析式、二次函数综合、等边三角形的性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）直接运用代入消元法求解即可； （2）设点的坐标为，则，，易得点的横坐标为，则，然后根据二次函数的性质即可解答； （3）先求得抛物线的对称轴为，设点的坐标为，设点的坐标为，则，，易得、、，由等边三角形的性质可得为等边三角形，即，则、，据此列方程组求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的图像过点、， 故将代入，得， 将代入，得． （2）解：由（1）可得抛物线的解析式为， 设点的坐标为，则，， ∵轴， ∴点的纵坐标为， ∵点在直线的图像上， ∴点的横坐标为， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为． （3）解：抛物线的对称轴为， 设点的坐标为，点的坐标为，则，， 则， ， ， ∵为等边三角形， ∴， ∴，， ∴，解得：或（不合题题意舍弃）， ∴， 点的坐标为． 类型五、二次函数与全等三角形 例5．（22-23九年级上·全国·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，点P为抛物线上的一个动点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)若点P在直线上方，当四边形面积最大时，求点P的坐标； (3)过点P作抛物线对称轴的垂线，垂足为点D，点Q是对称轴上一点，当与全等时，求点P，Q的坐标． 变式5-1．（23-24九年级上·河南周口·期中）如图，抛物线的顶点坐标为，与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线的对称轴为直线l，点P是抛物线上一点，过点P作l的垂线，垂足为D，E是l上的点，要使以P、D、E为顶点的三角形与全等，求满足条件的点P和点E的坐标． 变式5-2．（24-25九年级上·广东广州·期中）如图所示，抛物线经过点，，，它的对称轴为直线． (1)求的面积； (2)求抛物线的解析式； (3)点是该抛物线上的一个动点，过点作直线的垂线，垂足为点，点是直线上的点，若以点，，为顶点的三角形与全等，求满足条件的点，点的坐标． 类型六、二次函数与平行四边形 例6．（24-25九年级下·海南三亚·阶段练习）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、（点在点的左侧），与轴交于点，点的坐标为，点的坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，若点是第二象限内抛物线上一动点，当面积最大时，求点的坐标及面积的最大值； (3)如图2，若点是抛物线上一动点，点是抛物线对称轴上一点，是否存在点，使得以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 变式6-1．（21-22九年级上·广东东莞·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过，．直线交轴于点，是直线下方抛物线上的一个动点，过点作，垂足为，轴，交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)求的长为8时点的坐标； (3)是抛物线上一点，是抛物线对称轴上一点，直接写出所有使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形的点的横坐标． 变式6-2．（21-22九年级上·辽宁鞍山·期中）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于点，交y轴于点． (1)求此二次函数的解析式； (2)若点M是该二次函数图象上一点，且是以为直角边的直角三角形，求点M的坐标； (3)P为x轴上一点，N为抛物线上一点，是否存在这样的点P，使得以点为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 类型七、二次函数与矩形、正方形、菱形 例7．（24-25九年级下·辽宁抚顺·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于和两点． (1)求抛物线的解析式． (2)若为抛物线上一点，且在对称轴的右侧，过点作轴的平行线交抛物线于点，过点向轴作垂线，交轴于点，当时，求点的横坐标． (3)为抛物线上的一个动点，点的横坐标为，以点为中心作正方形，，点在轴上，且点在点的上方． 当正方形在轴右侧的顶点落在抛物线上时，求的值； 正方形的边与抛物线只有两个交点，且交点的纵坐标之差为1时，请直接写出的值． 变式7-1．（24-25九年级下·吉林长春·阶段练习）在平面直角坐标系中，抛物线（为常数）的对称轴为直线，且经过点．点在该抛物线上，其横坐标为． (1)求此抛物线对应的函数表达式； (2)当，的取值范围是____________． (3)将此抛物线上两点之间的部分（包括两点）记为图象，当图象与直线只有一个公共点时，求的取值范围； (4)设点的坐标为，当不与坐标轴平行时，以为对角线构造矩形，且轴．当抛物线在矩形内部的点的纵坐标随的增大而增大或随的增大而减小，直接写出的取值范围． 变式7-2．（24-25九年级下·吉林长春·开学考试）在平面直角坐标系中，抛物线经过点、．点A，B均在这条抛物线上，点的横坐标为，点的横坐标为． (1)求该抛物线所对应的函数表达式并写出顶点坐标； (2)当点、点纵坐标相等（A，B两点不重合）时，求的值； (3)将此抛物线上A、B两点之间的部分（包含A、B两点）记为图像． ①当图像的最大值与最小值的差为5时，求的值； ②若点的坐标为，点的坐标为，以为边构造正方形，当图像在正方形内部点的纵坐标随增大而增大或者随增大而减小时，直接写出的取值范围． 1．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点 ，且，直线与抛物线交于、两点，与轴交于点 ，点是抛物线的顶点，设直线上方抛物线上的动点的横坐标为. (1)求该抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)连接、，当为何值时，； (3)在直线上是否存在一点使为等腰直角三角形，若存在请直接写出点的坐标，不存在请说明理由. 2．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于、B两点，其顶点为，直线与x轴交于点D，与y轴交于点C，点P是x轴下方的抛物线上一动点，过P点作轴于点F，交直线于点E，设点P的横坐标为m． (1)请直接写出抛物线的解析式； (2)若，求m的值； (3)连接，是否存在点P，使是以为底边的等腰三角形？若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由． 3．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，抛物线经过点和，顶点为D． (1)求抛物线的解析式和直线的解析式； (2)连接，判断的形状； (3)在抛物线的对称轴上，是否存在一点E，使得为等腰直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由． 4．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，抛物线与x轴交点A、B，与y轴交于点C． (1)在抛物线对称轴上是否存在一点P，使为等腰三角形，如果存在，求出P点坐标； (2)抛物线上有一动点N，y轴上有一动点M，当是以为直角的等腰直角三角形时，求N点坐标． 5．（2023九年级上·湖南邵阳·竞赛）已知抛物线的顶点，与x轴的一个交点． (1)求a，b的值； (2)若此抛物线与x轴的另一个交点为B，求过点B、M的直线方程； (3)设抛物线与y轴的交点为C，问在抛物线上是否存在点P，使平行四边形的面积是面积的8倍？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 6．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图1，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴的交点分别为点B和点C，抛物线经过点B、点C，且与x轴交于另一点A．点P为线段上的一个动点，连接，在上方作，交抛物线于点E． (1)请求出抛物线的解析式及点A的坐标； (2)如图2，当平分时，请求出的长； (3)点N是y轴上的一点，在（2）的条件下，抛物线上是否存在点M，使得以点M、N、P、B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M坐标；若不存在，请说明理由． 7．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于，两点．与y轴交于点C，连接． (1)求该抛物线的解析式，并写出它的对称轴； (2)若点N为抛物线的对称轴上一点，抛物线上是否存在点M，使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 8．（22-23九年级上·全国·期中）已知抛物线：与x轴的交点为，，与y轴的交点为C，且． (1)求点C的坐标以及抛物线的表达式； (2)将抛物线绕坐标平面内的某一点P旋转，得到的新抛物线与y轴的交点为点E，若新抛物线上存在一点F，使得以B，C，E，F为顶点的四边形是以为边的菱形，求点F的坐标； (3)将（2）中点E在y轴正半轴时的新抛物线记为． ①直接写出此时旋转中心P的坐标； ②再将向右平移至与只有一个公共点Q，请直接写出点Q的坐标． 9．（24-25九年级上·广东韶关·阶段练习）如图，已知二次函数的图象经过点，与轴交于点，点是直线上方的抛物线上一动点，过点作轴，交直线于点，过点作的垂线，垂足为． (1)求该二次函数的解析式． (2)求线段的最大值． (3)点是抛物线对称轴上的一个动点，是平面内的一点，是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 10．（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，抛物线的图象经过，两点，与轴交于点，是抛物线的顶点． (1)求抛物线的表达式和顶点的坐标； (2)将原抛物线进行平移，平移后的抛物线顶点为，在原抛物线的对称轴上，是否存在一点，使以，，，为顶点的四边形是矩形？若存在，求出点的坐标，并说明平移的方向和距离；若不存在，请说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 二次函数与特殊图形七类题型 典例详解 类型一、公式法计算二次函数中图形面积 类型二、二次函数与直角三角形 类型三、二次函数与等腰直角三角形 类型四、二次函数与等边三角形 类型五、二次函数与全等三角形 类型六、二次函数与平行四边形 类型七、二次函数与矩形、正方形、菱形 压轴专练 类型一、公式法计算二次函数中图形面积 等腰三角形存在性：一般是两定一动型,已知两定点,在坐标轴或函数图象上找一动点，使这三个点构成等腰三角形，通常需要按腰分类讨论 (1)几何法：两面一线法。①两圆：分别以这两个定点为圆心，两定点间的线段长为半径作圆,圆与坐标轴的交点即为所求点(注意验证三点是否不共线)；②一线；作两定点间线段的垂直平分线,它与坐标轴的交点即为所求点. (2)代数法：利用两点间距离公式(勾股定理)，根据两腰相等列方程 例1．（24-25九年级下·贵州贵阳·阶段练习）如图，已知抛物线经过三点，直线l是抛物线的对称轴． (1)求抛物线的表达式； (2)设点P是直线l上的一个动点，当点P到点A，B的距离之和最短时，求点P的坐标； (3)点M也是直线l上的一个动点，且为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点M的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或或． 【分析】（1）直接将三点坐标代入抛物线的解析式中求出待定系数即可； （2）由图知：A、B点关于抛物线的对称轴对称，那么根据抛物线的对称性以及两点之间线段最短可知，直线l与x轴的交点，即为符合条件的P点； （3）由于的腰和底没有明确，因此要分三种情况来讨论：①、②、③；可先设出点的坐标，然后用点纵坐标表示的三边长，再按上面的三种情况列式求解． 【详解】（1）解：将代入抛物线中， 得：， 解得：， 故抛物线的解析式：． （2）解：当P点在x轴上，P、A、B三点在一条直线上时，点P到点A、点B的距离之和最短， 此时， 故； （3）解：如图所示：抛物线的对称轴为：， 设， 已知， 则：； ①若，则， 得：，解得：， ②若，则， 得：，解得：； ③若，则， 得：，解得：； 当时，三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去； 综上可知，符合条件的点，且坐标为或或或． 【点睛】此题主要考查了二次函数综合题涉及了抛物线的性质及解析式的确定、等腰三角形的判定、勾股定理、解方程等知识，在判定等腰三角形时，一定要根据不同的腰和底分类进行讨论，以免漏解． 变式1-1．（2025·宁夏银川·三模）小明为了参加学校举办的“趣味数学”作品展，用铁丝摆成如图①中抛物线的形状，并提出以下三个问题，请你解答： (1)建立合适的平面直角坐标系，如图②，可知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，求抛物线的解析式； (2)如图②，钢珠P可沿着铁丝在点A到点C的位置任意滑动，点A，C，P构成，试求面积的最大值； (3)若沿抛物线的对称轴再摆另一条铁丝（足够长），钢珠Q可以沿着铁丝在x轴上方上下滑动，点构成△，是否存在某一时刻，使△为等腰三角形．若存在，请直接写出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键： （1）根据抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点，待定系数法求解析式即可； （2）连接，先求得的解析式，设，过点作轴的垂线，交于点，则，根据列出关于的式子，进而根据配方法求得最值； （3）根据题意，设，分三种情况讨论，进行求解即可． 【详解】（1）解：抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点， 设抛物线解析式为，将代入得： 解得 抛物线解析式为 即； （2）解：如图，过点作轴的垂线，交于点， ， 则直线的解析式为 设，则 当时，最大，最大值为； （3）解：存在，理由如下： ，， ， ， ， 抛物线的对称轴为， 设， 则，， ①当时，，解得：或（不合题意，舍去）； ∴； ②时，，解得：或（不合题意，舍去）； ∴ ③当时，，解得：； ∴； 综上：或或． 变式1-2．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图①，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，抛物线与y轴交于点，与x轴正半轴交于点，设M是点C，D间抛物线上的一点（包括端点）．其横坐标为m． (1)求抛物线的解析式； (2)当m为何值时，面积S取得最大值？请说明理由； (3)如图②，连接，抛物线上是否存在点Q，使得是以为底的等腰三角形，如果存在，请求出点Q的坐标，不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)2，理由见解析 (3)存在，或 【分析】本题主要考查了二次函数综合题，待定系数法求函数的解析式，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）如图所示，连接，过点M作轴交于E，过点M作分别交直线于G、F，先求出直线的解析式，进而得到，则点M在运动过程中的长保持不变，故要使的面积最大，则最大，即要使最大，进一步推出当最大时，最大，即此时的面积最大，求出，则，再用m表示出，然后结合二次函数的性质求解即可； （3）设，根据勾股定理得到，根据等腰三角形的性质得到，列方程即可得到结论． 【详解】（1）解：把，代入抛物线解析式中得：， 解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：当m为2时，的面积最大，理由如下： 如图，连接，过点M作轴交于E，过点M作分别交直线于G、F， 设直线的解析式为， 把，代入得∶ ，解得：， ∴直线的解析式为， ∵直线的解析式为， ∴， ∵， ∴， ∴点M在运动过程中的长保持不变，要使的面积最大，则最大，即要使最大， ∵， ∴当最大时，最大，即此时的面积最大， ∵点M的横坐标为m， ∴， ∴， ∵， ∴当时，最大，即此时的面积最大； （3）解：设， ∴， ∵是以为底的等腰三角形， ∴， ∴， 解得：， ∴点Q的坐标为或． 变式1-3．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，抛物线与轴的交点分别为和，与轴交于点，连接、，点是线段上，不与点、重合的一个动点，过点作轴，交抛物线于点，交于点，其对称轴与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)在点的运动过程中，能否使线段？若能，请求出点的坐标，若不能，请说明理由； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点，使是等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)能， ； (3)点的坐标为：或或或． 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到等腰三角形的性质、线段长度的表示方法等，分类求解是解题的关键． （1）由待定系数法即可求解； （2），而直线和x轴的夹角为，则，即可求解； （3）当时，列出等式，即可求解；当或时，同理可解． 【详解】（1）解：设抛物线的表达式为：， 则， 解得：， 则抛物线的表达式为：； （2）解：能，理由： 由抛物线的表达式知，点， 由点、的坐标得，直线的表达式为：，直线和轴的夹角为， 设点，则点， 则， ∵直线和轴的夹角为，， 则， 解得：， 即点的坐标为：； （3）解：存在，理由： 设点，而点， 则，，， 当时， 则， 解得：； 当或时， 同理可得或， 解得：（舍去）或6或或， 即点的坐标为：或或或． 类型二、二次函数与直角三角形 直角三角形的存在性：一般是两定一动型，已知两定点，在坐标轴或函数图象上找一动点，使这三个点构成直角三角形.通常需要按直角或斜边分类讨论。 (1)几何法：可以采用两线一圆法，①两线:两定点所连线段的垂线(垂足不同,过两定点各有一条垂线)，与坐标轴的交点即为所求点，可以构造全等或者相似三角形求解也可以设一次函数表达式求解。②一圆：利用直径所对的圆周角是90°，以两定点所连线段为直径作圆,与坐标轴交点即为所求点. (2)代数法：设动点,对直角进行讨论，用勾股定理列方程，有时也可构造一线三垂直模型. 例2．（23-24九年级下·安徽芜湖·自主招生） 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线过A，B，C三点，点A的坐标是，点C的坐标是，动点P在抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)是否存在点P，使得是以为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由； (3)过动点P作垂直y轴于点E，交直线于点D，过点D作x轴的垂线，垂足为F，连接，当线段的长度最短时，求出点P的坐标． 【答案】(1) (2)存在，P的坐标是或 (3)点P的坐标是或 【分析】本题考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． （1）将，两点代入列方程计算即可； （2）分、两种情况，分别求解即可； （3）为矩形，则，，据此计算最小值即可求解． 【详解】（1）解：将，两点代入得 解得：，， ∴抛物线解析式为； （2）解：存在． 理由：如图所示： ①当时，设直线交轴于点，则 ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴设的解析式为． ∵将代入得，解得， ∴直线的解析式为． ∵联立， 解得（舍去）， ∴． ②当时，设直线交轴于点，则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴设的解析式为． ∵将代入得，解得， ∴直线的解析式为． ∵联立， 解得（舍去）， ∴． 综上所述，P的坐标是或． （3）解：如图2所示：连接． ∵， ∴设的解析式为． ∵将代入得，解得， ∴直线的解析式为． 设点，则点 则， ∵，故有最小值，此时， 即点， 将代入得到：， 解得， 故点P的坐标是或． 变式2-1．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图1，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴交于点A、，抛物线经过点B，且与直线的另一个交点为． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得为直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点P的坐标为或或或 【分析】（1）将点C的坐标代入得，，故点，将点B、C的坐标代入抛物线表达式，即可求解； （2）分是斜边、是斜边、是斜边三种情况，利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：将点C的坐标代入得，， 故点； 将点B、C的坐标代入抛物线的表达式得， 解得， 故抛物线得表达式为； （2）解：由抛物线的表达式知，其对称轴为直线， 设点， 而点B、C的坐标分别为、， 则，， 同理， 当是斜边时，则 解得； 当是斜边时，同理可得， 当是斜边时，的中点坐标为，， 则， 解得， 故点P的坐标为或或或． 【点睛】本题考查二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质，勾股定理的运用等，其中对于问题（2），要注意分类求解，避免遗漏． 变式2-2．（2025九年级上·浙江·专题练习）抛物线与x轴交于、B两点，与y轴交于，顶点为D，点M是抛物线上任意一点． (1)求抛物线解析式； (2)在抛物线对称轴右侧的图象上是否存在点M，使？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由； (3)点N为抛物线对称轴上一动点，若以B、N、C为顶点的三角形为直角三角形，求出所有相应的点N的坐标． 【答案】(1) (2)存在，； (3)点N的坐标为或或或． 【分析】此题主要考查了二次函数综合以及勾股定理的应用和待定系数法求函数解析式等知识，利用分类讨论得出N点坐标是解题关键． （1）直接利用待定系数法求出抛物线解析式进而得出答案即可； （2）首先求出：，：，令，即可求出M点坐标即可； （3）①若，则，②若，则，③若，则，分别求出N点坐标即可． 【详解】（1）解：抛物线过，， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式为：； （2）解：存在． 如图1，当时， ， 由（1）可得抛物线， ∴， 设直线的解析式为：， ∴， ∴， ∴：， ∵，∴：， ∴， ∴（舍）， ， ∴， ∴； （3）解：设，则，，， ①如图2，若，则，即， ∴， ∴解得：， ∴点N的坐标为或； ②若，则，即， ∴， ∴， ∴点N的坐标为； ③若，则，即， ∴， ∴， ∴点N的坐标为， 综上，点N的坐标为或或或． 类型三、二次函数与等腰直角三角形 等腰直角三角形的存在性：结合了等腰和直角，一般需要分类讨论 （1）几何法：三线三圆法 （2）代数法：设动点，根据关系列方程。 例3．（2025九年级上·浙江·专题练习）已知如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点E是抛物线上的第一象限的点，求的最大值，并求取得最大值时x的值； (3)如图2，在抛物线上是否存在一点P，使是以为斜边的等腰直角三角形？若存在，求点P的坐标，若不存在请说明理由． 【答案】(1) (2)时，取得最大值4 (3)不存在，理由见解析 【分析】（1）待定系数法求解可得； （2）作轴，设点，表示出、、的长，根据列出函数解析式并配方成顶点式，从而得出最值情况； （3）若要使是以为斜边的等腰直角三角形，则点P在线段的中垂线上，据此可先求出线段中垂线的解析式，结合二次函数解析式从而求得中垂线与抛物线的交点坐标，再根据勾股定理逆定理判断此时的交点能否使是以为斜边的直角三角形，从而得出答案． 【详解】（1）解：将点，代入， 得：， 解得：， ∴抛物线解析式为：； （2）解：如图1，过点E作轴于点D， 设点， 则，，， ∴ ， 则当时，取得最大值4； （3）解：不存在， 如图2，设的中垂线交轴于点， ∵点，， ∴，，， ∵的中垂线交于点， ∴，设，则， 由勾股定理得， 解得， ∴点的坐标为， ∵点，， ∴的中点F的坐标为， 设所在直线解析式为， 将点，代入，得：， 解得：， ∴所在直线解析式为， 由得或， 若点P坐标为， ∵ ，， ∴，即不是等腰直角三角形，舍去； 若点P坐标为， ∵ ，， ∴，即不是等腰直角三角形，舍去； 综上，这样的点P不存在． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合运用，熟练掌握待定系数法求函数解析式、二次函数的性质及线段中点公式、勾股定理逆定理是解题的关键． 变式3-1．（2025九年级上·浙江·专题练习）二次函数的图象交轴于点，点两点，交轴于点．动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿方向运动，过点作轴交直线于点，交抛物线于点，连接，设运动的时间为秒． (1)求二次函数的表达式； (2)连接，当时，求的面积； (3)在直线上存在一点，当是以为直角的等腰直角三角形时，求此时点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）依据二次函数经过点和两点，代入到解析式中计算即可得出结果； （2）由题意可知，面积为，分别计算出和的长度即可得出结果； （3）首先，在等腰中，利用勾股定理得到点到或点的距离，然后，运用两点距离公式建立等式，计算得到点横坐标，由于点横坐标与点横坐标相等，所以将坐标代入二次函数解析式即可得到结果． 【详解】（1）解：二次函数，过点，点， 点坐标代入解析式可得： ， 解得： ， 二次函数解析式为． （2）动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿方向运动， 当时，点坐标为， 将点和代入到直线中可得， ，， 直线． 直线， 令，代入直线可得， 同理，代入二次函数中得到， ，， 面积为． （3）设直线上存在一点，使得是以为直角的等腰直角三角形， 点和，由两点距离公式可知， ， 在等腰中，应用勾股定理可知， ， ， 利用两点距离坐标公式可知， ， ， 将可得， ， 将式代入式可得， ， 整理得： 解得：或． 点横坐标为或， 点与点横坐标相同， 点横坐标为或， 分别代入二次函数解析式可得， 或， 点的坐标为或． 【点睛】求解本题的关键是掌握勾股定理（在直角三角形中，两条直角边长平方的和等于斜边长的平方），两点距离坐标公式（例如，点和，则两点间距离为）． 变式3-2．（2025九年级上·浙江·专题练习）二次函数的图象交x轴于两点，交y轴于点C，动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿方向运动，过点M作轴交直线于点N，交抛物线于点D，连接，设运动的时间为t秒． (1)求二次函数的表达式； (2)在直线上存在一点P，当是以为直角的等腰直角三角形时，求此时点P的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了二次函数与几何的综合题，待定系数法求二次函数表达式，根据等腰直角三角形求点的坐标，解题的关键是根据点的坐标求出函数解析式，同时根据解析式将点表示出来，列出方程进行计算． （1）将、两点的坐标代入二次函数解析式中，求出系数与即可； （2）由的值得出的坐标，因此设，由勾股定理可得，，根据题意，所以，得出的坐标为，再利用勾股定理列出方程，解得或，代入求值即得出答案． 【详解】（1）解：将 ， 代入中， 得： ， 解得： ． 二次函数的表达式为； （2）解：∵， ∴， ． 对于，当， ∴， ∴， 设， 则，． ， ， ， ． ， ∴， ， 将代入整理得：， 解得：或． 将或分别代入中， 或． 类型四、二次函数与等边三角形 例4．（23-24九年级上·四川南充·期中）如图，O是坐标原点，点，，，在y轴的正半轴上，点， ，，在函数位于第一象限的图象上，若，，，都是等边三角形，则线段的长是 ． 【答案】2550 【分析】设，，，由等边三角形的性质，结合勾股定理可求 ，，，由点的坐标得，，，将此代入二次函数解析式求出，，，找出规律 ，即可求解． 【详解】解：如图，分别过，，作轴的垂线，垂足分别为、、， 设，，， ，，都是等边三角形， ，，， ， ， ， 同理可求：，， ，，， 点， ，在函数位于第一象限的图象上， ， 解得：，（舍去）， ， 同理可求： ， ， ， ， ； 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的综合运用，勾股定理应用，等边三角形的性质，能利用二次函数合运用勾股定理应用，等边三角形的性质找出规律是解题的关键． 变式4-1．（24-25九年级上·山东济宁·阶段练习）如图1，抛物线与x轴的两个交点中左边的一个交点为，将该抛物线沿y轴翻折，得到抛物线，点A的对应点为点，将抛物线，沿x轴分别向右、向左平移1个单位后，恰好重合（如图2），重合后的抛物线的顶点坐标为． (1)求平移前的抛物线对应的二次函数的表达式． (2)小明发现：将抛物线，沿x轴分别向右，向左平移个单位，平移后得到的两条抛物线与y轴的交点的位置在发生变化． ①试求出t与m之间的函数表达式． ②在平移过程中，求当m为何值时，是等边三角形． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，函数图象平移的性质，函数图象对称的性质，等边三角形的性质是解题的关键． （1）设平移前的抛物线的解析式为，则平移前的抛物线的解析式为，得出平移后的抛物线的解析式为，平移后的抛物线的解析式，根据重合后的抛物线的顶点为，求出，，即可得平移前的抛物线的解析式为，将点代入求出即可解答． （2）①根据题意得出平移后的抛物线的解析式为，平移后的抛物线的解析式为，将代入解析式即可求解． ②根据是等边三角形，得出，则，，列出方程，求出的值即可． 【详解】（1）解：设平移前的抛物线的解析式为，则平移前的抛物线的解析式为， ∴平移后的抛物线的解析式为，平移后的抛物线的解析式， ∵重合后的抛物线的顶点为， ∴，， ∴，， ∴平移前的抛物线的解析式为， 将点代入可得， 解得， 故平移前的抛物线的解析式为． （2）解：①平移后的抛物线的解析式为，平移后的抛物线的解析式为， 将代入解析式可得，， 则． ②∵是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， 解得：或（负值舍）． 变式4-2．（24-25九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图：已知抛物线的图像过点、，点为抛物线在第一象限上的一动点． (1)求、的值； (2)过点作轴的平行线交直线于点，求的最大值； (3)点为抛物线对称轴上一动点，若为等边三角形，求点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)点的坐标为． 【分析】本题主要考查了求函数解析式、二次函数综合、等边三角形的性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）直接运用代入消元法求解即可； （2）设点的坐标为，则，，易得点的横坐标为，则，然后根据二次函数的性质即可解答； （3）先求得抛物线的对称轴为，设点的坐标为，设点的坐标为，则，，易得、、，由等边三角形的性质可得为等边三角形，即，则、，据此列方程组求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的图像过点、， 故将代入，得， 将代入，得． （2）解：由（1）可得抛物线的解析式为， 设点的坐标为，则，， ∵轴， ∴点的纵坐标为， ∵点在直线的图像上， ∴点的横坐标为， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为． （3）解：抛物线的对称轴为， 设点的坐标为，点的坐标为，则，， 则， ， ， ∵为等边三角形， ∴， ∴，， ∴，解得：或（不合题题意舍弃）， ∴， 点的坐标为． 类型五、二次函数与全等三角形 例5．（22-23九年级上·全国·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，点P为抛物线上的一个动点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)若点P在直线上方，当四边形面积最大时，求点P的坐标； (3)过点P作抛物线对称轴的垂线，垂足为点D，点Q是对称轴上一点，当与全等时，求点P，Q的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或，或 【分析】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数与面积，二次函数与特殊三角形形，难度大，清晰的分类讨论是解本题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出点C的坐标，再求出直线的解析式为，过P点作轴交于点G，设，则，求出，进而求出，利用二次函数的性质即可解答； （3）根据题意易证是等腰直角三角形，由与全等，得到是等腰直角三角形，推出，设，则，得到，即可求解． 【详解】（1）解：将两点代入，得， 解得， ∴； （2）解：令，则， ∴， 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为， 过P点作轴交于点G， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴时，四边形面积有最大值， 此时； （3）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∵与全等， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， 设， 则， ∴， ∴或，或， ∴或，或． 变式5-1．（23-24九年级上·河南周口·期中）如图，抛物线的顶点坐标为，与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线的对称轴为直线l，点P是抛物线上一点，过点P作l的垂线，垂足为D，E是l上的点，要使以P、D、E为顶点的三角形与全等，求满足条件的点P和点E的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为或，点的坐标为或 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，二次函数综合，全等三角形的性质等等： （1）根据题意把顶点代入到解析式的顶点式中，即可求解； （2）设，则，根据全等三角形的性质得到，求出的值，当 时，点位于直线的右侧，此时， ，求出点的坐标为，即可求解； 当 时，点位于直线的左侧，同理可解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为 ， ∴设抛物线的表达式为：； （2）解：在中，当 时，， ∴， 当时，即，解得：， 俗， ， 设，则， ∵和全等，且， ∴， ， 或． ①当 时，点位于直线的右侧， 此时，， ∴点的坐标为， ∴， ∵， ∴对应点的坐标为或． ②当 时，点位于直线的左侧， 此时，， ∴点的坐标为， ∴， ∵， ∴对应点的坐标为或． 综上所述，点的坐标为或，点的坐标为或． 变式5-2．（24-25九年级上·广东广州·期中）如图所示，抛物线经过点，，，它的对称轴为直线． (1)求的面积； (2)求抛物线的解析式； (3)点是该抛物线上的一个动点，过点作直线的垂线，垂足为点，点是直线上的点，若以点，，为顶点的三角形与全等，求满足条件的点，点的坐标． 【答案】(1)； (2)； (3)，，，． 【分析】（）求出的长，然后利用面积公式即可求解； （）利用待定系数法求解析式即可； （）分别解得的坐标，抛物线的对称轴，推理出当时，以，，为顶点的三角形与全等，设，则，据此当点在抛物线对称轴的右（或左）侧时解答即可； 本题考查了二次函数的应用，根据题意推出两个三角形全等的条件，掌握待定系数法、二次函数的对称性及坐标轴上点的特征，解题的关键是掌握知识点的应用与分类讨论的思想方法． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∴； （2）解：∵，，， ∴可设所求解析式为：， 则，解得：， ∴， ∴解析式为； （3）解：∵抛物线：， ∴对称轴直线， ∴直线为直线， ∵，， ∴等腰中，， ∵与全等，， ∴且点、在直线上， 设，则， ∴当时，，即； ∴当时，，即； ∵，， ∴，即 ∵，点，在直线上， ∴， ∴，， ∴，，，． 类型六、二次函数与平行四边形 例6．（24-25九年级下·海南三亚·阶段练习）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、（点在点的左侧），与轴交于点，点的坐标为，点的坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，若点是第二象限内抛物线上一动点，当面积最大时，求点的坐标及面积的最大值； (3)如图2，若点是抛物线上一动点，点是抛物线对称轴上一点，是否存在点，使得以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)面积的最大值：， (3)点的坐标为：或或 【分析】（1）把点，点的坐标代入，求出，，即可； （2）过点作轴交于点，设的解析式为，求出的解析式，设点且，则点，求出，再根据二次函数的性质求解即可； （3）根据平行四边形的性质分类讨论：①当为平行四边形的对角线时；②当为平行四边形的对角线时；③当为平行四边形的对角线时，分别求解，即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为：． （2）解：过点作轴交于点，垂足为F，如图： ∵，，设直线解析式为， 将、代入， 得：， ∴， ∴直线解析式为， 设，，则， ∴， ∵， ∴当时，最大为， ∴面积为， ∴ 面积的最大值：， 此时. （3）解：存在． ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 设点N的坐标为，点M的坐标为 分三种情况：①当为平行四边形的对角线时，如图， ∵、， ∴，即， 解得，. ∴， ∴点M的坐标为 ②当为平行四边形的对角线时，如图， ∵、， ∴，即， 解得，. ∴， ∴点M的坐标为； ③当AC为平行四边形的对角线时，如图， ∵、， ∴线段的中点H的坐标为，即H， ∴， 解得，， ∴， ∴点M的坐标为， 综上，点的坐标为：或或． 【点睛】本题是二次函数综合题，其中涉及到二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，平行四边形的判定与性质．熟知几何图形的性质利用数形结合是解题的关键． 变式6-1．（21-22九年级上·广东东莞·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过，．直线交轴于点，是直线下方抛物线上的一个动点，过点作，垂足为，轴，交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)求的长为8时点的坐标； (3)是抛物线上一点，是抛物线对称轴上一点，直接写出所有使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形的点的横坐标． 【答案】(1) (2) (3)，， 【分析】（1）根据待定系数法求二次函数的解析式，即可解决问题； （2）先求出直线的解析式中值，即可得到的正切值，过点作交于点，求出的长度，再根据一次函数和二次函数图像的性质用表示出的长度，得到方程，即可得到答案； （3）点，，，为顶点的四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质对角线互相平分，对角线交点就是两条对角线的中点，根据中点公式列出关于两个相对顶点的横坐标的关系，并且分三种情况进行讨论即可得到答案； 【详解】（1）解：由题意可得：， 解得：， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：∵，， ∴， ∴直线的解析式为， ∴， ∵， ∴， ∴， 过点作交于点， 又， ∴， 由题和（1）可得：， 解得：， ∴， ∴点； （3）解：由题可知点的横坐标为，设点的横坐标为m， ∵点，，，为顶点的四边形是平行四边形， 又，， ∴或或， ∴ 或或； ∴以点，，，为顶点的四边形是平行四边形的点的横坐标为或或． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式，待定系数法求一次函数的解析式，解直角三角形，平行四边形的性质等知识点，解决此题的关键是第（3）小问要分类讨论，并且灵活运用对角线互相平分． 变式6-2．（21-22九年级上·辽宁鞍山·期中）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于点，交y轴于点． (1)求此二次函数的解析式； (2)若点M是该二次函数图象上一点，且是以为直角边的直角三角形，求点M的坐标； (3)P为x轴上一点，N为抛物线上一点，是否存在这样的点P，使得以点为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)或或 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）用待定系数法求出直线的表达式为：，设点,表示出，分为直角和为直角两种情况，利用勾股定理求解即可； （3）当为对角线时，由中点坐标公式列出方程组，即可求解；当或为对角线时，同理可解． 【详解】（1）解：设抛物线的表达式为：， 则， 解得， 则抛物线的表达式为：； （2）设直线的表达式为， 将代入得： 解得， 直线的表达式为， 设点, 则， ， ， 如图，当为直角时，， ， 即, 整理得：， 解得，或3（舍去）， 即点； 如图，当为直角时，， ， ， 整理得：， 解得或0（舍去） 即点； 综上，点M的坐标为或； （3）存在，理由： 设点，点， 如图，当为对角线时， 由中点坐标公式得： 解得（不合题意的值已舍去）， 即点； 当或为对角线时，同理可得： 或， 解得或或， 当时，点N为，与点C重合，故舍去， 即点或， 综上，点P的坐标为：或或． 【点睛】本题为二次函数综合题，涉及到函数的性质、平行四边形的性质、直角三角形的性质、勾股定理等，分类求解是本题解题的关键． 类型七、二次函数与矩形、正方形、菱形 例7．（24-25九年级下·辽宁抚顺·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于和两点． (1)求抛物线的解析式． (2)若为抛物线上一点，且在对称轴的右侧，过点作轴的平行线交抛物线于点，过点向轴作垂线，交轴于点，当时，求点的横坐标． (3)为抛物线上的一个动点，点的横坐标为，以点为中心作正方形，，点在轴上，且点在点的上方． 当正方形在轴右侧的顶点落在抛物线上时，求的值； 正方形的边与抛物线只有两个交点，且交点的纵坐标之差为1时，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)点的横坐标为或 (3) 的值为1或； 的值为或或 【分析】本题是二次函数的综合题，涉及待定系数法求函数解析式、二次函数的图象与性质、坐标与图形、正方形的性质等知识，正确求出二次函数解析式并利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键． （1）利用待定系数法求解函数解析式即可； （2）设点的坐标为，则．根据抛物线的对称性得到点，则，利用已知得到，进而解方程可求解； （3）①设点的坐标为．根据题意和中点坐标公式可得点的坐标为，点的坐标为求出当点落在抛物线上时和当点落在抛物线上时的m值即可解答； ②分当正方形与抛物线的交点在边和上时；当正方形与抛物线的交点在边和上时；正方形与抛物线的交点均在边上；当正方形与抛物线的交点在边和上时；正方形与抛物线的交点在边和上，分别讨论求解即可． 【详解】（1）解：代入，得， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：设点的坐标为， ， ， ∴抛物线的对称轴为直线， 根据题意，得点与点关于对称轴对称， 点， 点在对称轴的右侧， ∴，， ， ∴， 或， 整理，得或， 解得（舍去）或（舍去）， 点的横坐标为或． （3）解：①点在抛物线上， 点的坐标为， 四边形为正方形，点，在轴上，点为正方形的中心，， 点的坐标为，点的坐标为， 当点落在抛物线上时，， 解得（舍去），， 当点落在抛物线上时，， 解得（舍去），， 综上所述，的值为1或； ②的值为或或， 理由：根据题意，得抛物线与正方形的边必有一个交点， 分以下几种情况： 如图1，当正方形与抛物线的交点在边和上时， 由①得当抛物线过点时，, ，此时点在点的下方， 交点的纵坐标之差为1， ，解得， 如图2，当正方形与抛物线的交点在边和上时， ，此时点在点的下方， 交点的纵坐标之差为1， ， 解得（舍去）， 当点与点重合时，， 解得（舍去），， 当时，正方形与抛物线的交点均在边上，交点纵坐标的差为0， 如图3，当正方形与抛物线的交点在边和上时， ，此时点在点的上方，点在点的下方， 交点的纵坐标之差为1， ， 解得（舍去）， 当时，正方形与抛物线的交点在边和上，此时交点纵坐标的差为，不可能为1． 综上所述，的值为或或． 变式7-1．（24-25九年级下·吉林长春·阶段练习）在平面直角坐标系中，抛物线（为常数）的对称轴为直线，且经过点．点在该抛物线上，其横坐标为． (1)求此抛物线对应的函数表达式； (2)当，的取值范围是____________． (3)将此抛物线上两点之间的部分（包括两点）记为图象，当图象与直线只有一个公共点时，求的取值范围； (4)设点的坐标为，当不与坐标轴平行时，以为对角线构造矩形，且轴．当抛物线在矩形内部的点的纵坐标随的增大而增大或随的增大而减小，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 (4)或或 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式，矩形的性质，熟练掌握二次函数的图象与性质，进行分类讨论是解题的关键． （1）运用待定系数法求解即可； （2）利用二次函数的图象与性质即可求出取值范围； （3）注意分类讨论，利用二次函数的图象与性质，画出临界状态分析即可； （4）注意分类讨论，利用二次函数的图象与性质，画出临界状态分析即可． 【详解】（1）解：由对称轴为直线得， ， 解得， 将点代入得， ， 解得，， ∴抛物线对应的函数表达式为； （2）解：由解析式得， ，抛物线开口向下，顶点为最高点，顶点纵坐标为最大值，为， ∵对称轴为直线， ∴当时，； 当时，； 当时，， 故答案为：； （3）解：由题意得，， 如图所示，当点在轴的左侧，正好落在上时， 此时，， 解得（正值已舍），此时符合题意； 如图所示，当时， 符合题意， ∴当点在轴左侧，； 如图所示，当时， 此时，不符合题意； 如图所示，当点在轴的右侧时，点恰好落在上， 此时，， 解得，，此时符合题意； 如图所示，当时， 此时符合题意； 如图所示，当点正好落在上时， 此时，， 解得（负值已舍），此时符合题意； 如图所示，当时， 此时不符合题意； 当点在轴右侧时，， 综上，当图象与直线只有一个公共点时，求的取值范围为：或； （4）解：∵四边形是矩形， ∴轴， ∴， 当点在点左侧，且均在轴左侧时，如图所示， 此时，； 当重合，此时轴，不符合题意，如图所示， 当时，矩形在抛物线的外部，不符合题意，如图所示， 当时，轴，不符合题意，如图所示， 当时，此时，符合题意，如图所示， 当点M落在抛物线上时，如图： 此时，,由于对称轴为直线， ∴， ∴时，符合题意； 当轴时，不符合题意，如图所示， 此时，， ∴， 解得，或（舍去）， 当时，如图所示，符合题意， 综上所述，m的取值范围是：或或． 变式7-2．（24-25九年级下·吉林长春·开学考试）在平面直角坐标系中，抛物线经过点、．点A，B均在这条抛物线上，点的横坐标为，点的横坐标为． (1)求该抛物线所对应的函数表达式并写出顶点坐标； (2)当点、点纵坐标相等（A，B两点不重合）时，求的值； (3)将此抛物线上A、B两点之间的部分（包含A、B两点）记为图像． ①当图像的最大值与最小值的差为5时，求的值； ②若点的坐标为，点的坐标为，以为边构造正方形，当图像在正方形内部点的纵坐标随增大而增大或者随增大而减小时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)，顶点坐标 (2) (3)①或；②或 【分析】本题考查二次函数的最值，待定系数法求函数解析式，二次函数的增减性，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题． （1）利用待定系数法求解即可； （2）利用二次函数的性质构建方程求解即可； （3）①分情况讨论，点A在点B左侧时，根据在对称轴同侧和异侧，然后距离对称轴远近问题，再建立方程求解即可，当点A在点B右侧时，同理可得； ②分两种情形：当图像G在正方形内部点的纵坐标y随x增大而增大时，当图像G在正方形内部点的纵坐标y随x增大而减小时，分别求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：， 该抛物线所对应的函数表达式为：， ，， 顶点坐标为； （2）点A的横坐标为，点B的横坐标为，点A、点B纵坐标相等， ， 解得：； （3）①由题可知， ， 令，解得， 当点在点B左侧时，，则， Ⅰ，当点A和点B在对称轴两侧时，且点A距离对称轴更远时， 则，此时无解； Ⅱ，当点A和点B在对称轴两侧时，且点B距离对称轴更远时， 则，解得， ，， ， 解得，（舍去）； Ⅲ，当点A、B均在对称轴右侧时，则， ，， ， 解得，，故舍去； Ⅲ，当点A和点B均在对称轴左侧时， 则，此时无解，故不存在； 当点A在点B右侧时，，解得， 点A一定在对称轴右侧， Ⅰ，当点B在对称轴右侧时， 则，解得， ，， ， 此时，方程无解，故不存在； Ⅱ，当点B在对称轴左侧时，且点A距离对称轴更远时， 则，解得， ，， ， 解得，舍去，，舍去； Ⅲ，当点B在对称轴左侧时，且点B距离对称轴更远时， 则，解得， ，， ， 解得（舍去），； 综上，的值为或； ②抛物线的对称轴为直线， 当时，正方形在第二象限，A在轴左侧，B在第四象限， 抛物线在轴左侧随增大而增大， 需要图像与正方形有交点， ， ， 解得：或， ； 当时，正方形在第四象限， 抛物线在第四象限内随增大而减小， 需要图像与正方形有交点， 在抛物线与轴正半轴交点的右侧， ， ， 在B的右侧， ， 当A点在抛物线与轴正半轴交点的右侧时，符合题意， ， 综上所述，或． 1．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点 ，且，直线与抛物线交于、两点，与轴交于点 ，点是抛物线的顶点，设直线上方抛物线上的动点的横坐标为. (1)求该抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)连接、，当为何值时，； (3)在直线上是否存在一点使为等腰直角三角形，若存在请直接写出点的坐标，不存在请说明理由. 【答案】(1)；顶点Q坐标为 (2)或1 (3)存在；或 【分析】（1）分别求出点A，B的坐标，设抛物线的解析式为交点式，代入点C的坐标，求出抛物线的解析式即可； （2）根据题意将的面积和的面积表示出来，令，即可解出m的值； （3）分、、三种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴点的坐标为，点A的坐标为， 设抛物线的表达式为，将点的坐标代入，得， 解得， ∴抛物线的表达式为， ∵， ∴抛物线的顶点Q坐标为：． （2）解：联立， 解得：，， ∴点的坐标为， 如图1，过点作轴的平行线，交于点，设点，则点， ∴， 解得：或1． （3）解：存在； 设点，点，，而点， ①当时，如图2，过点作轴的平行线，过点，点作轴的平行线，交过点且平行于轴的直线于点，， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 即，， 解得：或， 当时，，解得，（舍去） ∴点； ②当时，如图3所示， 此时，则点P、H关于抛物线对称轴对称，即垂直抛物线的对称轴，而对称轴与x轴垂直，故轴，则， 同理可得，（舍去）， 故点坐标为． ③当时， （Ⅰ）当点P在抛物线对称轴右侧时，如图所示： 点P在AD下方，与题意不符，故舍去； （Ⅱ）当点P在抛物线对称轴左侧时，同理可得， 解得：（舍去），， 点； 综上可得，点的坐标为或． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，难度较大，涉及到一次函数、二次函数、三角形全等、图形的面积计算等，要注意分类求解，避免遗漏，熟练掌握这些性质、判定，二次函数的图像和性质是解决本题的关键． 2．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于、B两点，其顶点为，直线与x轴交于点D，与y轴交于点C，点P是x轴下方的抛物线上一动点，过P点作轴于点F，交直线于点E，设点P的横坐标为m． (1)请直接写出抛物线的解析式； (2)若，求m的值； (3)连接，是否存在点P，使是以为底边的等腰三角形？若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)1或 (3)存在， 【分析】（1）根据抛物线顶点坐标，设抛物线的解析式为，把点A的坐标代入，可得抛物线的解析式； （2）根据抛物线解析式与直线解析式表示出点P、E的坐标，然后表示出，再列出绝对值方程，然后求解即可； （3）根据等腰三角形的性质，可得点C在线段的垂直平分线上，即线段的中点的纵坐标为，再列出关于m的方程，然后求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为， ∴可设抛物线的解析式为， 把代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：当时，， 解得：， ∴点， ∵P在x轴下方， ∴， 设点P的横坐标是m，则， ∴， ∵， ∴， 若， 解得：或5（舍去）； 若， 解得：或（舍去）； 综上所述，或1； （3）解：存在， ∵直线与y轴交于点C，与x轴交于点D， ∴点， ∵是以为底边的等腰三角形， ∴点C在线段的垂直平分线上， 即线段的中点的纵坐标为， 根据题意得：， ∴， 解得：． 【点睛】本题是二次函数综合题型，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 3．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，抛物线经过点和，顶点为D． (1)求抛物线的解析式和直线的解析式； (2)连接，判断的形状； (3)在抛物线的对称轴上，是否存在一点E，使得为等腰直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)直角三角形 (3)存在，E的坐标为或 【分析】 本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，直角三角形及等腰直角三角形的性质及判定等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度． （1）用待定系数法可得抛物线的解析式；直线的解析式； （2）由二次函数表达式求出顶点，即可得，故是直角三角形； （3）设，可得，分三种情况：①若为斜边，则，此时，不符合题意；②若为斜边，，此时，为等腰直角三角形，；③若为斜边，可得或，即知． 【详解】（1）解：由抛物线经过点设解析式为， 把代入得， 解得， ∴； ∴抛物线的解析式为； 设直线的解析式为，将代入得： ， 解得， ∴直线的解析式为； （2）是直角三角形，理由如下： ∵， ∴顶点， ∵， ∴，，， ∴， ∴，即是直角三角形； （3）存在一点E，使得为等腰直角三角形，理由如下： ∵， ∴抛物线的对称轴是直线， 设， ∵， ∴， ①若为斜边，则， 解得， 此时，不符合题意； ②若为斜边，， 解得， 此时， ∴为等腰直角三角形， 即满足条件，； ③若为斜边，则， 解得或， 当时，，此时为等腰直角三角形， ∴满足条件，， 当时，不符合题意； 综上所述，E的坐标为或． 4．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，抛物线与x轴交点A、B，与y轴交于点C． (1)在抛物线对称轴上是否存在一点P，使为等腰三角形，如果存在，求出P点坐标； (2)抛物线上有一动点N，y轴上有一动点M，当是以为直角的等腰直角三角形时，求N点坐标． 【答案】(1)存在，或或或或 (2)或 或 【分析】（1）由抛物线得出点A、B、C的坐标以及抛物线的对称轴，设点，分三种情况，根据等腰三角形的性质即可求出P点坐标； （2）过点N分别作轴于D，轴于E，证明，，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线， 当时，， 当时，， 解得或3， ∴， ∴抛物线的对称轴为直线， 设点， ∴， ， ， 当时， ， 解得， ∴P点坐标为； 当时， ， 解得， ∴P点坐标为或； 当时， ， 解得， ∴P点坐标为或； 综上所述，P点坐标为或或或或； （2）解：过点N分别作轴于D，轴于E， ∴四边形是矩形，， ∴， ∵是以为直角的等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点N是抛物线上一动点， ∴设N点坐标为， ∴， 解得或， ∴N点坐标为或或或 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，运用分类思想是解题的关键． 5．（2023九年级上·湖南邵阳·竞赛）已知抛物线的顶点，与x轴的一个交点． (1)求a，b的值； (2)若此抛物线与x轴的另一个交点为B，求过点B、M的直线方程； (3)设抛物线与y轴的交点为C，问在抛物线上是否存在点P，使平行四边形的面积是面积的8倍？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)点P的坐标为，或，或，或 【分析】（1），代入，解方程组即得； （2）求出，设直线解析式为，将，代入，解方程组即得： （3）设直线交y轴于点D，连接，求出，得，∴，由，得，设，由，得，∴得，解得；；即得． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点，与x轴的一个交点， ∴． 解得． 故． （2）解：由（1）知，， ∴． 当时， ． ∴． 设直线解析式为． ∵， ∴． 解得． ∴． （3）解：存在，理由： 设直线交y轴于点D，连接． 对， 令，则． 对， 令，则． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． 设． ∵， ∴． ∴． ∴． 当时， ． 解得． 当时， ． 解得． ∴点P的坐标为，或，或，或． 【点睛】本题考查了二次函数与一次函数综合．熟练掌握待定系数法求二次函数解析式和一次函数解析式，二次函数与一次函数的图象和性质，二次函数与三角形面积综合，平行四边形性质，分类讨论，作辅助线，是解题的关键． 6．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图1，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴的交点分别为点B和点C，抛物线经过点B、点C，且与x轴交于另一点A．点P为线段上的一个动点，连接，在上方作，交抛物线于点E． (1)请求出抛物线的解析式及点A的坐标； (2)如图2，当平分时，请求出的长； (3)点N是y轴上的一点，在（2）的条件下，抛物线上是否存在点M，使得以点M、N、P、B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)存在，M坐标为或或 【分析】（1）由直线求出点B和点C，再利用待定系数法求抛物线的解析式，令求点A的坐标； （2）过P作，垂足为Q，根据等腰直角三角形的性质和角平分线的定义，说明，证明是等腰直角三角形，得到，再求出P、E的坐标，最后求； （3）分两种情况求解：线段作为平行四边形的一条边或对角线，根据平行四边形对角线互相平分，数即可求解点M的坐标． 【详解】（1）解：当时，；令，， ∴点，点， ∵抛物线经过点B、点C， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为， 令，得或， ∴点A的坐标为． （2）解：过P作，垂足为Q， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， 令，得或， ∴， 令，得， ∴， ∴． （3）解：存在点M，使得以点M、N、P、B为顶点的四边形是平行四边形，满足条件的点M坐标为或或．理由如下： 由（2）可知，，， ∵点N是y轴上的一点，点M在抛物线上， ∴设点的坐标为，点的坐标为， 当线段作为平行四边形的一条边时， 则或， 解得：或， 当时，， 当时，， ∴点M的坐标为或； 当线段作为平行四边形的对角线时， 则，解得， 此时， ∴点M的坐标为， 综上，点M坐标为或或． 【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数解析式，并与等腰直角三角形和平行四边形结合，对于（2），关键是说明． 7．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于，两点．与y轴交于点C，连接． (1)求该抛物线的解析式，并写出它的对称轴； (2)若点N为抛物线的对称轴上一点，抛物线上是否存在点M，使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) ，其对称轴为直线 (2) 存在，或或 【分析】 （1）将点，代入，可得，，即可求解； （2）分四边形是平行四边形、四边形是平行四边形、四边形时平行四边形三种情况，分别求解即可． 【详解】（1） 解：将点，代入，得 ． 解得， 故该抛物线的解析式为，其对称轴为直线． （2） 解：存在点M使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形， 由题得，，，设，， ①四边形是平行四边形时，， ∴， ∴； ②四边形是平行四边形时，， ∴， ∴； ③四边形是平行四边形时，， ∴， ∴； 综上所述：或或． 【点睛】 本题主要考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，待定系数法确定函数解析式，平行四边形的性质，其中（2），要注意分类求解，避免遗漏． 8．（22-23九年级上·全国·期中）已知抛物线：与x轴的交点为，，与y轴的交点为C，且． (1)求点C的坐标以及抛物线的表达式； (2)将抛物线绕坐标平面内的某一点P旋转，得到的新抛物线与y轴的交点为点E，若新抛物线上存在一点F，使得以B，C，E，F为顶点的四边形是以为边的菱形，求点F的坐标； (3)将（2）中点E在y轴正半轴时的新抛物线记为． ①直接写出此时旋转中心P的坐标； ②再将向右平移至与只有一个公共点Q，请直接写出点Q的坐标． 【答案】(1),抛物线的表达式为； (2)，， (3)①；② 【分析】（1）由勾股定理可得，可得，设，将代入，即可求得抛物线的表达式为； （2）设，，根据菱形性质即可求得∶ ，，，再运用菱形性质即可求得答案； （3）①当点在轴正半轴时，，设新抛物线的表达式为，将，代入，即可求得新抛物线的顶点坐标为，运用旋转的性质即可求得旋转中心的坐标； ②设抛物线向右平移个单位得抛物线：，根据抛物线与只有一个公共点，可得方程的根的判别式为0，即可求得答案． 【详解】（1）解：，， ，， ， ， ， ， ， ∵抛物线与轴的交点为，， ∴设，将代入得：， 解得：， ， ∴点的坐标为，抛物线的表达式为； （2）解：设，，如图1， ∵以，，，为顶点的四边形是以为边的菱形， 或， ∵点在轴上， ，，， ，，或，， ，，； （3）解：①当点在轴正半轴时，， ∵原抛物线的表达式为，顶点坐标为， 设新抛物线的表达式为，将，代入，得： ， 解得：， ∴新抛物线的表达式为， ∴顶点坐标为， 设旋转中心为， ∵点为的中点， ， ， ∴旋转中心的坐标为； ②设抛物线向右平移d个单位得抛物线：， ∵抛物线与只有一个公共点Q， ∴关于的一元二次方程有两个相等的实数根， 整理得：， ， ， 解得：（舍去），， ∴抛物线的解析式为， 由， 解得：， ， ． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数图象和性质，平移变换的性质，旋转变换的性质，菱形的性质，一元二次方程根的判别式应用等知识，综合性强，难度较大，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，从而求出点的坐标． 9．（24-25九年级上·广东韶关·阶段练习）如图，已知二次函数的图象经过点，与轴交于点，点是直线上方的抛物线上一动点，过点作轴，交直线于点，过点作的垂线，垂足为． (1)求该二次函数的解析式． (2)求线段的最大值． (3)点是抛物线对称轴上的一个动点，是平面内的一点，是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，，， 【分析】（1）利用待定系数法确定函数关系式． （2）设，，利用两点间的距离公式得到，利用配方法求得最值．可证明为等腰直角三角形，则最大时，最大，求解即得到答案． （3）由题意，以、、、为顶点的四边形是菱形，即为等腰三角形，分三种情况讨论：①，②，③，借助于方程求得点的坐标，进而求得坐标． 【详解】（1）解：二次函数的图象经过，， ， 解得， 此二次函数表达式为； （2）设直线为，因其经过，， ， 解得，， 直线的表达式为， 设，， ， ， ， ∴的最大值为， ，， 为等腰直角三角形， ， 轴， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， 随增大而增大， 当的最大值为时， ； （3）答：存在以、、、为顶点的四边形是菱形； 解：若以、、、为顶点的四边形是菱形，即为等腰三角形， 二次函数的对称轴为，，， 在中由勾股定理可得，． 设，则，． 分三种情况讨论： 若， 则，解得， ； 此时四边形为菱形， ∵菱形对角线互相平分，由中点公式知： ， 即， 若，，得， ，； 此时四边形为菱形， 同理求得或， 若，，得或， ，． 、、三点共线， 舍去． 此时四边形为菱形， 此时 的坐标为：，，，． 10．（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，抛物线的图象经过，两点，与轴交于点，是抛物线的顶点． (1)求抛物线的表达式和顶点的坐标； (2)将原抛物线进行平移，平移后的抛物线顶点为，在原抛物线的对称轴上，是否存在一点，使以，，，为顶点的四边形是矩形？若存在，求出点的坐标，并说明平移的方向和距离；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)点的坐标为或，当点的坐标为时，原抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移个单位长度；当点的坐标为时，原抛物线向左平移1个单位长度． 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可 （2）设，分三种情况讨论：①以为对角线时，由，求出m的值，再由中点坐标公式，求得，则平移的方向为先向右平移1个单位长度，再向上平移个单位长度；②以为对角线时，点P在x轴上，则，从而求得，则平移的方向为向左平移1个单位长度；③以为对角线时，矩形不存在 本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，函数图象平移的性质，点的平移性质是解题的关键 【详解】（1）解：抛物线与轴交于点，． 将，代入， 得解得 抛物线的表达式为， ， 顶点的坐标为； （2）存在． 如图，设． ①以为对角线． 此时，，， ， 即，解得． ，为矩形的对角线，由中点坐标公式，得， 平移的方向为先向右平移1个单位长度，再向上平移个单位长度． ②以为对角线． ，点在轴上， ，则， 平移的方向为向左平移1个单位长度． ③以为对角线时，矩形不存在． 综上所述，点的坐标为或，当点的坐标为时， 原抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移个单位长度； 当点的坐标为时，原抛物线向左平移1个单位长度． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $